第三章动量与角动量

t2 t1
(F1
F2
)dt＝(P1
P2
)
• 推广到n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，所以内力矢量和为零。
所以： t2
( Fi )dt ( Pi )
t1 i
i
以F和P表示系统的外力矢量和与总动量，即
F Fi
P Pi
上式可 t2
写为： Fdt P
t1
所以有质点系的动量定理：
积分形式 t2 Fdt P t1
例8:质量为0.05kg的小块物体， 置于一光滑水平桌面上。有一 绳一端连接此物，另一端穿过 桌面中心的小孔（如图所示）。 该物体原以3rad/s的角速度在距 孔0.2m的圆周上转动。今将绳 从小孔缓慢往下拉，使该物体 之转动半径减为0.1m。则物体
的角速度 w 12rad/s
例9:(习题指导典型例题2)我国的第一颗人造地球卫星绕地球作 椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球 的平均半径R=6378km，卫星距地面最近距离l1=439km，最远 距离l2=2384km。若卫星在近地点速率v1=8.10 kms-1，求远地 点速率v2 。
4.不能确定
mAvA mBvB m车v车 0
被加工的工件碰撞后末速为0。如打击时间△t为
10-1s、10-2s、10-3s、10-4s，试计算这几种情
形下平均冲击力与重力的比值。
z
解：选取如图所示的z坐标。重锤 m与工
件撞击前的速度v0 2gh，撞
击后的速度vz=0。在撞击时间△t内，
h
重锤受工件的冲击力N和重力mg。
根据质点动量定理有：
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7N
Ix 0.061Ns I y 0.007 Ns
源自文库
I
I
2 x
I
2 y
6.14102 Ns
tan I y I x 0.1148 6.54
为I与x轴正方向的夹角。
2.炮车以仰角发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m 和M，炮弹相对于炮筒出口速度为v，不计炮车与地面 间的摩擦，则炮弹出口时炮车的反冲速度大小为多少？
解：已知 r a cosw tiˆ b sin w tˆj
v
dr dt
aw
sin
w
tiˆ
bw
cosw
tˆj
L
r
mv
mabw cos2 wtkˆ mabw sin2 wtkˆ
mabwkˆ
五、角动量定理和角动量守恒定律
1、角动量定理
由
L
r
P
得
dL
d
(r
P)
dr
P
r
dP
dt dt p mv
0 MV m(v cos V )
V mvcos
M m
3.一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止 的置于光滑的水平面上，如图。质量为mA和mB 的两个人A和B站在板的两头，他们由静止开始 相向而行。若mA<mB，A和B对地的速度大小相 同，问木板将如何运动？
1.向左运动
2.向右运动 3.静止不动
dt
dt
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
例：在一次物理竞赛中，赛题是从桌角A 处向B发射一个乒乓球，让竞赛者在桌边 B处用一只吹管将球吹进球门C（见本题 图），看谁最先成功。某生将吹管对准C
拼命吹，但球总是不进球门。试分析该生
第3章 动量和角动量
一、动量和冲量 动量定理 二、质点系的动量定理 动量守恒定律 三、质心 质心运动定律 四、质点的角动量 五、角动量定理和角动量守恒定律
一、动量和冲量 动量定理
1、动量
P
mv（描述质点运动状态，矢量）
大小：mv
方向：速度的方向
单位：kgm/s 2、冲量 I （力的作用对时间的积累，矢量）
mivi 2
mi vi1
微分形式 Fdt d P F d P
dt
t2 Fdt P t1
mivi 2
mi vi1
动量定理 分量形式
t2 Fxdt
t1
mi vi 2x
mi vi1x
t2 Fydt
t1
mivi 2 y
mi vi1y
2、质点系动量守恒定律
若F 0 有P 0
•两个质点的系统
i ·fij
·
· · f ji j
Fj
··
·
m1 : f F1
t2 t1
(F1
f )dt＝P1
m1v12
- m1v11
m2 : f F2
t2 t1
(F2
f )dt ＝P2
m2v22
- m2v21
t2 t1
(F1
F2
f
f )dt＝(P1
P2
)
f -f
代值得v2=6.30kms-1
v2
R l1 R l2
v1
1. 质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡 后，又以20m/s的速率飞出。 设两速度在垂直于板面的同 一平面内，且它们与板面法 线的夹角分别为45o和30o，求： 乒乓球得到的冲量.
v2
30o
45o
n
v1
解：取挡板和球为研究对象，
方向：右手螺旋定则判定
单位：kgm2/s
注意：作圆周运动的质点对圆心
的角动量大小 L＝r m v = m r2w
P L or
例7、一质量为m的质点沿着一条空间曲线运 动，该曲线在直角坐标下的矢径为：
r a cosw tiˆ b sin w tˆj 其中a、b、w
皆为常数，求该质点对原点的角动量。
dt dr v
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r
F
dt
称：M
r
F
dL
v
mv
r
F
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
M
单位：mN
v mv＝0
o
r
F
dL
r
F
M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
dt 等于它的角动量对时间的变化率。
rc
(m为总质量)
N mi ri
i 1 N
mi
N mi ri
i 1
m
i 1
y
对称物体 的质心就 是物体的 对称中心。
直角坐标系中的分量式为：
mi xi
xc
i
m
mi yi
yc
i
m
mi zi
zc
i
m
例4.任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
解：
y
xc
mx1 mx 2 3m
x1 x2 3
I＝
t2
Fdt
t1
大小：
t2
Fdt
t1
方向：由力的性质决定
单位：Ns
F为恒力时，可以得出I＝F t
3、动量定理：（将力的作用过程与效
果〔动量变化〕联系在一起）
F dP dt
d P Fdt
P2
t2
d P Fdt
P1
t1
F m d v d (mv)
P2 P1 I t2 Fdt t1
0 MVx mvx
m
而vx vx Vx
(M m)Vx mvx
M
Vxdt X vxdt R
mR
x
X
(M m)
三、质心、 质心运动定律 z
1、质心：质点系的质量中心
rc
质点系 N个质点
ri mi
位质矢量：：mr11 mr22 … mrii … mrNN
o
x
定义质心
的位矢：
mvc
i
F
dP
m
dvc
dt
dt
mac
F
mac
Fx macx Fy macy
若 Fx 0 则 acx 0
质心运动定律：系统的总质量和质心加速 度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
简化 复杂 运动 的分
析
例6.（利用质心运动定理重解例3）质量为M、半径
为R的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶
若Fx 0 则Px Pix mivix 常量
注意：1、动量守恒定律只适用于惯性系。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、系统动量守恒条件为外力矢量和为零，也可放宽为外 力与内力相比小很多的情形，如在碰撞、打击、爆炸等 相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。
4、某一方向上的动量守恒
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
如：在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向
东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这 一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）
（A）总动量守恒。 （B）总动量在任何方向的分量均不守恒。
（C）总动量在水平面上任意方向的分量守 恒，竖直方向分量不守恒。
[C]
例3：质量为M、半径为R的圆弧形槽停在光滑 水平面上，小物体m自槽顶静止下滑，求当m 滑至槽底时， M在水平面上移动的距离。 解： m和M组成的系统水平方向上动量守恒
rc
mi ri
i
m
2、质心运动定律
质心
位移：
rc
i
mi ri (或xc
m
i
mi xi )
m
质速心度：vc
drc dt
1 m
mvc
i
mi
mi vi
dri dt
P
1 m P
mi
i
mvc
vi
i
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心 的运动速度的乘积。
mvc
mi vi
P
P
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
静止下滑，求当m滑至槽底时， M在水平面上移动的
距离。
rc
i
mi ri m xc
i
mi xi 0
m
m
即 mx MX 0
x x X 而x R
X mR (M m)
M
x
质点四：、m质、点r的、角v、动P量mv
定义质点对点o的角动量L
L
P
o
mθ r
L
r
P
r m
v
大小：L＝rmvsin
一个质点系 所受的外力矢 量和为零时，
即P
Pi
mi vi
常矢量
这一质点系的 总动量就保持
i
i
不变。
由动量定理分量形式
t2 Fxdt
t1
mi vi 2x
mi vi1x
t2 Fydt
t1
mivi 2 y
mi vi1y
可得动量守恒定律分量形式： (即某一方向的动量守恒定律)
由于作用时间很短，忽略重力 y v2
影响。设挡板对球的冲力为 F
则有： I
F
dt
mv2
mv1
O
30o 45o x n
取坐标系，将上式投影，有：
v1
Ix Fxdt mv2 cos30 (mv1 cos 45) Fxt
I y Fydt mv2 sin30 mv1 sin 45 Fyt
失败的原因。
mv2
mv1
I
A
mv2
吹管 B
C
注意：动量为状态量，
Fx
冲量为过程量。
I
t2 t1
Fdt
mv2
-
mv1
Fx
动量定理可写成分量式，即： 0
tt
Ix Fxdt Fxt mv2x mv1x
I y Fydt Fytmv2y mv1y
例1.一重锤从高度h=1.5m处自静止落下，锤与
2、角动量守恒定律
M
dL
dt
如果M
0,
则
dL
0
dt
即L＝常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为 零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 注意： 1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2、M＝0，可以是r = 0,也可以是F = 0,还可能 是r与F同向或反向（例如有心力情况）。
面分布
体分布
例5.一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此
半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长
为dl的铁丝，质量为dm，
以λ表示线密度，dm=dl.分
析得质心应在y轴上。
yc
ydl
m
y R sin
dl Rd
yc
1 m
R sinRd
1
2 R2
0
m
m R
yc
2
R
注意：质心并 不在铁丝上。
例2.图示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度w 匀速转动。在小球转动一周的 过程中，
· m w
（1）小球动量增量的大小等于 0
（2）小球所受重力的冲量的大小等于
m
gt
mg
2 w
（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于
mg 2 w
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理
质点系（内力f、外力F） Fi
o
（x1，y1）
x2 x
yc
m y1 3m
y1 3
质量连续 分布时：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布