第三章动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
第三章动量与角动量
上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率 (dm / dt )及 喷 出 气 体 的 相 对 速 度 u 成 正 比 。 Mi v f v i u ln 练习：3.9 M f
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第三章 动量和角动量
2、冲量的方向
由动量定理： I p2 p1
冲量的方向与动量增量的方向一致 3、平均冲力
p2
I
p1
F
平均冲力：真实力在一个作用过程中的时间平均值
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
Fm I p p2 p1 t t t 2 t1 F
平均冲力等于质点动量的增量与作用时间之比。
o
t1
t2
t
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球,以与钢板法线 呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 . 设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F .
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos mv2 F Fx 14.1 N
2. 动量守恒定律
如 果 F外 Fi 0 i 则 P2 P1 0
§ 3-4
角动量 质点的角动量定理
前面我们引入了描述物体运动状态的量 ——动量。 本章引入新的状态量 —— 角动量
地球绕太阳运动？原子中的电子绕着原子核运动？
引入角动量是为了研究转动，角动量守恒定律的应用 非常广泛。
解：由质点的动量定理，
t1
F/N 30
t2 I Fdt p2 p1
0-4s，F为恒力
I ( F m g)t p2 p1 0 7 t/s 4 v 4m / s 1 0-7s， I (4 7) 30 mg t 25 N s p2 p1 2 v 2.5m / s
第三章动量与角动量
分量式:
Ix
t 0
t 0
Fi xdt mi vi x mi vi 0 x
Fi ydt mi vi y mi vi 0 y
Iy
§2.质点系动量定理和质心运动定理
一.质点系动量定理 对于有n个质点的质点系,它们每个质点既所受外力, 也受内力. 若第i质点在to时刻动量为
t ix i ix i
0
ix 0
t
iy
i
iy
i
iy 0
0
t
iz
i
iz
i
iz 0
0
二.质心
对于有n个质点的质点系,
, m , m 的位置矢量分别为 : r , r , r ; m
1 2 n 1 2 n
则定义质点系的质心位置:
r
c
mr mr mr
1 1 2 2 n
第三章
动量与角动量
§1.冲量和动量定理
1. 动量
P mv
大小： mv
方向： 速度的方向 单位： kg m · -1 s
2. 力的冲量 元冲量
dI Fdt
大小：
Fdt
方向： 力的方向 单位： N · s
(1) 恒力的冲量
(2) 变力的冲量 分量式
I FΔt t I Fd t
n
上式表明:作用于质点系的外力矢量和的冲量等于 质点系动量的增量. 上式称为质点系动量定理.
. t F dt m v m v
t n n
0
i
i 1
i
i
i 1
i
i0
分量式:
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第三章-动量和角动量(应用和材料专业)
mva
A
m v 2mv
A--C动量改变量为
mva
mvd
· B
m vb
O
m v
D
m v 2mv
m v
m vb
mva
A--D动量改变量为
mva
C
mvc
m v 2mv
m v
例4. 锥摆作匀速率圆运动一周， 周期为T0。求
y
【解】 1. 质点的动量改变量
锥摆 O
动量改变量为
l
m v2 m v1 m v m v 0
0
0
MS mS'(2)
利用相对运动位移变换得：
S S h tg (3)
vx
v
联立解(2)、(3)，
得斜面后退的距离：
V hx
S mh cos (M m)sin
S S’
S S h tg
例3. （书例3） 粒子散射问题。求 粒子碰
撞前后的速率比。
【解】系统：m，M
粒子碰撞过程受外力为 零，动量守恒
的方向
2. 动量定理的微分形式 F d t d P
P1
P2 I
3. 直角坐标系中动量定理
分量形式
I Ixi Iy j Izk
I x
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I y
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fz dt
mv2 z
mv1z
4.在时间 t1 t2内，物体受
m2 v 2
)
(m1v10
m2 v 20
)
质点系动量定理：作用于系统的合外力冲量等
第3章 动量和角动量
质心速度
drc dt
M mi vi
i
d rc
2
M mi ai
i
dt
2
质心加速度 M
质点系的总动量等于质点系内各质点的动量的矢量和：
即
P Mvc
19 P Mvc 故质点系的总动量等于质点系的总质量与质心速度的 乘积；其方向与质心速度方向相同。 将 P Mv 代入牛顿第二定律，得
解法一 :
Fx
5
用分量法
依据 F
t
'
t0 '
t t0
p2 p1 t t0
'
y
v2
mvx 2 mvx1 t
mv cos m v t
0
3
F
v1
x
0.14 40 cos 60 1 1.2 10
3
7.0 10 N
14
小 ，即所需加速过程太长。
2. vm ln
m0 m ,
m0 m 大，则v大，
这对燃料的携带来说不合适。
用多级火箭避免这一困难。
3.5 质心
质心---质点系的质量中心，它是质点系中一个特殊 的几何点。 一、质点系的质心
设质点系由 N 个质点组成：
15
相应的位矢为 r , r2 , ri , rN . 1
3
如考虑力在某段有限时间内的积累效果,则有:
I
t
'
Fdt
t0
p2
p1
dp p p2 p1
drc dt
M mi vi
i
d rc
2
M mi ai
i
dt
2
质心加速度 M
质点系的总动量等于质点系内各质点的动量的矢量和：
即
P Mvc
19 P Mvc 故质点系的总动量等于质点系的总质量与质心速度的 乘积；其方向与质心速度方向相同。 将 P Mv 代入牛顿第二定律，得
解法一 :
Fx
5
用分量法
依据 F
t
'
t0 '
t t0
p2 p1 t t0
'
y
v2
mvx 2 mvx1 t
mv cos m v t
0
3
F
v1
x
0.14 40 cos 60 1 1.2 10
3
7.0 10 N
14
小 ，即所需加速过程太长。
2. vm ln
m0 m ,
m0 m 大，则v大，
这对燃料的携带来说不合适。
用多级火箭避免这一困难。
3.5 质心
质心---质点系的质量中心，它是质点系中一个特殊 的几何点。 一、质点系的质心
设质点系由 N 个质点组成：
15
相应的位矢为 r , r2 , ri , rN . 1
3
如考虑力在某段有限时间内的积累效果,则有:
I
t
'
Fdt
t0
p2
p1
dp p p2 p1
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
3.2第三章-动量与角动量讲义
初 F2 + F1 + F n dt = P末 − P初
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
03动量和角动量
r ο
意义：相当于绕 作圆周运动 意义：相当于绕O作圆周运动 的角动量（动量矩） 的角动量（动量矩）
3.7 角动量守恒定律
dL 对角动量定理 M = dt
M =0
dL =0 dt
L=C
合外力矩为零时,质点角动量为恒量。 合外力矩为零时,质点角动量为恒量。
一质量2200kg的汽车以60km/h 2200kg的汽车以60km/h的速度 例4 一质量2200kg的汽车以60km/h的速度 沿一平直公路开行。 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距 公路50m的一点的角动量是多大？ 50m的一点的角动量是多大 公路50m的一点的角动量是多大？对公路 上任一点的角动量又是多大？ 上任一点的角动量又是多大？
v
２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间 作用力 ＝恒量，作用时间t1→t2，力对质点的冲量， ，力对质点的冲量，
I = F (t 2－t1 )
２） 变力的冲量
冲量的方向与力的方向相同。 冲量的方向与力的方向相同。
dI = Fdt
力在某一段时间间隔内的冲量
I =
∫
t
to
F dt的方向不能由某瞬时力的方向来决定。
解：篮球到达地面的速率
v − v = 2ax
2 2 0
（ ） v = 2gh = 2×9.8× 2 = 6.3 m/s）
2m v 2×0.58×6.3 2 ） F或 F = = = 3.8×10 （N） 0.019 ∆t
§1.5 匀加速直线运动
v = v0＋at
x =v0t + a t
1 2
2
v − v = 2ax
2
1
F ∆t
30o 60o m=140g
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
第三章动量与角动量
mg Mgx / L
F总 F mg 2Mgx / L Mgx / L 3mg
例3：传送带由马达牵引以 v = 2m/s 的速率水平匀速前进。漏 斗中的沙子以 40kg/s 的速率落料。漏斗口在传送带上方 h=0.5m处。求落料过程中落沙对传送带的作用力以及马达对传 送带的牵引力。 解：设落料过程中传送带对沙的作用 力为 F y ︱F ydt︱=︱0-dmVy︱
v M t时刻
(u)
x
v+dv
dm
）
M dm t+dt时刻
由动量守恒定律，有（t 时刻总动量 = t+dt 时刻总动量） Mv ( M dm)(v dv) dm(v u )
Mv Mdv udm dmdv
Mdv udm 0
Mdv udM 0（因 dm dM) dM dv u M
•对称物体的质心就是物体的对称中心。 •重心——地球对物体各部分引力的合力作用点，
•对于不太大的实物，质心与重心重合。
例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的 质心。 解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝， 质量为dm，以λ 表示线密度，dm=dl. 分析得质心应在y轴上。
d
yc
ydl
例 4，水平地面上一静止的炮车发射炮弹，炮车 质量为 M ，炮身仰角 ，炮弹质量 m ，炮弹刚出 口时，相对炮身的速度为u，不计地面摩擦。 1） 求炮弹刚出口时，炮车的速度。
2） 若炮筒长为l （即在发炮过程中，炮弹相对炮的行 程）求发炮过程中炮车移动的距离。
解：（ A ）以炮弹，炮车为一系统， 地面为参照系（水平向右为坐标正向） 此系统在水平方向 受合外力为零，动 量守恒。
第3章：动量与角动量.ppt
解：以竖直悬挂的链条和 桌面上的链条为一系统，
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
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若Fx 0 则Px Pix mivix 常量
注意：1、动量守恒定律只适用于惯性系。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、系统动量守恒条件为外力矢量和为零，也可放宽为外 力与内力相比小很多的情形，如在碰撞、打击、爆炸等 相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。
4、某一方向上的动量守恒
o
（x1，y1）
x2 x
yc
m y1 3m
y1 3
质量连续 分布时：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
rc
mi ri
i
m
2、质心运动定律
质心
位移：
rc
i
mi ri (或xc
m
i
mi xi )
m
质速心度：vc
drc dt
1 m
mvc
i
mi
mi vi
dri dt
P
1 m P
mi
i
mvc
vi
i
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心 的运动速度的乘积。
mvc
mi vi
P
P
mivi 2
mi vi1
微分形式 Fdt d P F d P
dt
t2 Fdt P t1
mivi 2
mi vi1
动量定理 分量形式
t2 Fxdt
t1
mi vi 2x
mi vi1x
t2 Fydt
t1
mivi 2 y
mi vi1y
2、质点系动量守恒定律
若F 0 有P 0
失败的原因。
mv2
mv1
I
A
mv2
吹管 B
C
注意：动量为状态量，
Fx
冲量为过程量。
I
t2 t1
Fdt
mv2
-
mv1
Fx
动量定理可写成分量式，即： 0
tt
Ix Fxdt Fxt mv2x mv1x
I y Fydt Fytmv2y mv1y
例1.一重锤从高度h=1.5m处自静止落下，锤与
一个质点系 所受的外力矢 量和为零时，
即P
Pi
mi vi
常矢量
这一质点系的 总动量就保持
i
i
不变。
由动量定理分量形式
t2 Fxdt
t1
mi vi 2x
mi vi1x
t2 Fydt
t1
mivi 2 y
mi vi1y
可得动量守恒定律分量形式： (即某一方向的动量守恒定律)
t2 t1
(F1
F2
)dt＝(P1
P2
)
• 推广到n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，所以内力矢量和为零。
所以： t2
( Fi )dt ( Pi )
t1 i
i
以F和P表示系统的外力矢量和与总动量，即
F Fi
P Pi
上式可 t2
写为： Fdt P
t1
所以有质点系的动量定理：
积分形式 t2 Fdt P t1
例2.图示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度w 匀速转动。在小球转动一周的 过程中，
· m w
（1）小球动量增量的大小等于 0
（2）小球所受重力的冲量的大小等于
m
gt
mg
2 w
（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于
mg 2 w
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理
质点系（内力f、外力F） Fi
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
2、角动量守恒定律
M
dL
dt
如果M
0,
则
dL
0
dt
即L＝常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为 零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 注意： 1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。
2、M＝0，可以是r = 0,也可以是F = 0,还可能 是r与F同向或反向（例如有心力情况）。
面分布
体分布
例5.一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此
半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长
为dl的铁丝，质量为dm，
以λ表示线密度，dm=dl.分
析得质心应在y轴上。
yc
ydl
m
y R sin
dl Rd
yc
1 m
R sinRd
1
2 R2
0
m
m R
yc
2
R
注意：质心并 不在铁丝上。
I＝
t2
Fdt
t1
大小：
t2
Fdt
t1
方向：由力的性质决定
单位：Ns
F为恒力时，可以得出I＝F t
3、动量定理：（将力的作用过程与效
果〔动量变化〕联系在一起）
F dP dt
d P Fdt
P2
t2
d P Fdt
P1
t1
F m d v d (mv)
P2 P1 I t2 Fdt t1
dt
dt
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
例：在一次物理竞赛中，赛题是从桌角A 处向B发射一个乒乓球，让竞赛者在桌边 B处用一只吹管将球吹进球门C（见本题 图），看谁最先成功。某生将吹管对准C
拼命吹，但球总是不进球门。试分析该生
dt dr v
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r
F
dt
称：M
r
F
dL
v
mv
r
F
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
M
单位：mN
v mv＝0
o
r
F
dL
r
F
M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
dt 等于它的角动量对时间的变化率。
0 MV m(v cos V )
V mvcos
M m
3.一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止 的置于光滑的水平面上，如图。质量为mA和mB 的两个人A和B站在板的两头，他们由静止开始 相向而行。若mA<mB，A和B对地的速度大小相 同，问木板将如何运动？
1.向左运动
2.向右运动 3.静止不动
如：在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向
东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这 一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）
（A）总动量守恒。 （B）总动量在任何方向的分量均不守恒。
（C）总动量在水平面上任意方向的分量守 恒，竖直方向分量不守恒。
[C]
例3：质量为M、半径为R的圆弧形槽停在光滑 水平面上，小物体m自槽顶静止下滑，求当m 滑至槽底时， M在水平面上移动的距离。 解： m和M组成的系统水平方向上动量守恒
例8:质量为0.05kg的小块物体， 置于一光滑水平桌面上。有一 绳一端连接此物，另一端穿过 桌面中心的小孔（如图所示）。 该物体原以3rad/s的角速度在距 孔0.2m的圆周上转动。今将绳 从小孔缓慢往下拉，使该物体 之转动半径减为0.1m。则物体
的角速度 w 12rad/s
例9:(习题指导典型例题2)我国的第一颗人造地球卫星绕地球作 椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球 的平均半径R=6378km，卫星距地面最近距离l1=439km，最远 距离l2=2384km。若卫星在近地点速率v1=8.10 kms-1，求远地 点速率v2 。
被加工的工件碰撞后末速为0。如打击时间△t为
10-1s、10-2s、10-3s、10-4s，试计算这几种情
形下平均冲击力与重力的比值。
z
解：选取如图所示的z坐标。重锤 m与工
件撞击前的速度v0 2gh，撞
击后的速度vz=0。在撞击时间△t内，
h
重锤受工件的冲击力N和重力mg。
根据质点动量定理有：
mvc
i
F
dP
m
dvc
dt
dt
mac
F
mac
Fx macx Fy macy
若 Fx 0 则 acx 0
质心运动定律：系统的总质量和质心加速 度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
简化 复杂 运动 的分
析
例6.（利用质心运动定理重解例3）质量为M、半径
为R的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶
•两个质点的系统
i ·fij
·
· · f ji j