第五章劳斯判据
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控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
机械工程控制基础 第五章
第五章简介：本章介绍了单输入单输出控制系统稳定性的定义及其判定依据。
对于不同的系统，稳定性的定义不同。
系统的稳定性指标是控制系统设计过程中需要考虑的众多性能指标中最重要的指标,不稳定的系统是无法使用的。
主要包括赫尔维茨判据、劳斯判据、幅角原理、奈奎斯特稳定性判据等概念.重点是赫尔维茨稳定性判据和劳斯稳定性判据及其在系统分析中的应用.难点是应用复变函数的幅角原理推导奈奎斯特稳定性判据和对稳定裕度的理解。
随堂测试：一、知识点名称1：控制系统稳定性的基本概念1。
是保证控制系统正常工作的先决条件。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案：A解析：不稳定的系统是无法使用的。
2。
是控制系统最重要的性能指标。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案:A解析：稳定性是控制系统最重要的性能指标知识点名称2：单输入单输出控制系统稳定的条件1.单输入单输出控制系统稳定的条件为(）A 特征方程根具有副实部B特征方程根具有副实部C极点位于复平面的右半部D极点位于虚轴上正确答案:A解析：单输入单输出控制系统稳定的充分必要条件为特征方程根全部具有副实部2。
某单位反馈系统的开环传递函数为,则该系统稳定的K值范围为（) A.K〉0 B。
K>1 C。
0〈K<10 D K〉-1正确答案:A解析:其特征方程为,根据二阶螺丝准则和朱里准则，该系统稳定条件为;所以的K的取值范围为K〉0知识点名称3：赫尔维茨稳定性判据1。
赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正,是线性系统稳定的条件。
(）A.充分 B 必要C充要 D 即不充分也不必要正确答案:C解析：线性系统稳定的充要条件赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正。
2。
如果满足主子式前提下，若所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正。
（）A BC D正确答案：B解析：如果满足条件,若所有奇次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨矩阵的主子式必为正；反之亦然。
劳斯判据
0.4
Amplitude
Amplitude Amplitude
4 8
Amplitude
0.5
0.2
0
2
6 0.4 0 -0.5 0.3 -0.2 -2 4 0
0.2
-0.4 -1
-4 2 -6
0.1
2015-6-8
0 1 2 3 Time (sec) 4 5 6
-0.6
6
0 2 4 6 8 10 Time (sec) 12 14 16 18 20 0 0 0.5 1 Time (sec) 1.5 2 2.5
10
若表中第一列出现负数项，则系统不 稳定，第一列元素符号改变的次数， 等于S右半平面极点的个数。
利用劳斯稳定性判据可以讨论个别参数对稳定 性的影响，从而求得这些参数的取值范围。
例1：已知系统的结构图，要使系统稳定K应该怎么取值？
K s (0.2 s 1)(0.1s 1)
[解]：闭环传递函数为：
25
例 4： s 2 s 2 s 4 s s 1 0
5 4 3 2
S5 1
S4
符号 改变 一次 符号 改变 一次
2
4
1 2
1
1 0 0 0 0
26
2 0
S3 S2 S1 S0
2015-6-8
4
1
1 2
1
1 0 0
1
第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面，故系统不稳定。
3
2
要使系统稳定，必须满足：
15 50 50K 0 K 15 0 K 15 15 50K 0
思考：如果取K=0和K=15，系统分别处于什么样的状态？
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
第五章劳斯稳定性判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化， 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
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控制系统的稳定性分析
S4
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12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
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上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
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控制系统的稳定性分析
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劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
第五章 控制系统的稳定性
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s )，并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表 ，利用 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表， 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)
用s=z-α代入原特征多项式， 再用劳斯判据判断其z多项式的 特征根情况。 s3+4s2+6s+4=0 a1a2＞a0a3 系统是稳定的，全部特征根 在S左半平， 检查是否有α=1的裕量。 s=z-α原s特征式得： z3+1z2+1z+1=0 a1a2=a0a3 系统临界稳
2
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为： 劳斯表：
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为：
劳斯判据：系统稳定的充分必要条件是系统闭环特 征方程各项系数均为正(必要条件)，且劳斯表的第一列 各元素均为正(充分条件)。 第一列的系数中如果出现负号，则劳斯阵列 表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程 的实部为正的实根数目，也就是特征根在根平面 右半部分的数目。
系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列各元素均为正充分条件学习要点
劳斯稳定性判据
学习要点： 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数，即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根（闭环传递函数的极点）为： -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根， 实部全为负，则系统是稳定的。
2
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为： 劳斯表：
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为：
劳斯判据：系统稳定的充分必要条件是系统闭环特 征方程各项系数均为正(必要条件)，且劳斯表的第一列 各元素均为正(充分条件)。 第一列的系数中如果出现负号，则劳斯阵列 表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程 的实部为正的实根数目，也就是特征根在根平面 右半部分的数目。
系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列各元素均为正充分条件学习要点
劳斯稳定性判据
学习要点： 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数，即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根（闭环传递函数的极点）为： -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根， 实部全为负，则系统是稳定的。
劳斯判据.ppt
a0 a2 a4
a6
b1
a1a2 a0a3 a1
a1 a3 a5 b1 b2 b3
a7
b2
a1a4 a0a5 a1
c1 c2 c3
b3
a1a6 a0a7 a1
一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部>0,则系统
c1
b1a3 a1b2 b1
s1 s0
稳定；否则，第一列系数符号 改变的次数，就为特征方程在 右半s平面的根数。
3.2.2 系统稳定的充要条件
xi t
nt
xo t
t
t=0 t
Xi s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
xo 0
t
xoi 0
X o s
X i s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
X o s
Xo s N s
G2 s 1 G1 sG2 s
b0 sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
表明在 S 平面内存在两个大小相等、符 号相反的实根或一对共轭虚根
[S] 显然，这些根的 数目一定是偶数。
由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数 代替全为零的行； （2）可以利用辅助方程，解出这些特征根。
例：Ds s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
e jt E j cos jt Fj sin jt
i 1
j k 1
若系统稳定，则 xo t |t 0
〈i 0， j 0 系统稳定的充要条件
i， j 对应闭环传递函数
特征根的实部
代数稳定判据汇总
s 6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s 4 2 12 16 0
s3 s2 s1 s0
s 6 1 8 20 16
s5 1 6 8 0
s4 1 6 8 0
s 3 10 03 00 0
s2 3 8 0 0
1 s1 3
0
0
0
s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态
，即：lim t
y
(t
)
0
则线性控制系统是稳定的。
m
kg (s zi )
Y (s) n1
i 1 n2
(s p j ) (s2 2 l nls nl2 )
j 1
l 1
线性控制系统稳定的充分必要条件
下面讨论系统稳定性与系统极点之间的关系: 由于系统的输入为单位脉冲信号R(s) 1，则系统的输出为：
第五章 系统的稳定性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
线性控制系统稳定的充分必要条件
两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。
由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初
始条件为零，输入作用为单位脉冲信号 (t)，这时系统的输出便
5.2 Routh(劳斯)稳定判据
• Routh判据是基于方程式根和系数的关系建 立的。 • 通过对系统特征方程式的各项系数进行代 数运算，得出全部根具有负实部的条件， 从而判断系统的稳定性。 • 这种稳定判据又称代数判据。
一、系统稳定的必要条件
• 设系统特征方程为：
(5.2.1)
• 将式<5. 2. 1)中各项同除以Qn并分解因式，得
• 例4设系统的特征方程为 D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 试判别系统的稳定性。 解 根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
• 由于第一列各元符号不完全一致，所以系 统不稳定。第一列各元符号改变次数为2， 因此有两个具有正实部的根。 • 其实，从特征方程各项系数不全为正，即 可知系统是不稳定的。 • 若ε 上下各元符号不变，且第一列元符号 均为正，则有共扼虚根，此时系统是临界 稳定的，而非渐近稳定。
• 式（5.2. 7）中，由a1a2-a0a3＞0可看出，在a3,a2和a0均为正 的情况下，若a1为负，则不能满足上式，因此必须a1＞0,其 实，这就是a3,a2,a1,a0均应大于零。 • 式(5.2.7)中，充要条件之一a1a2-a0a3 ＞0可改写为 a1a2＞a0a3 • 它表示中间二项系数之积应大于前后两项系数之积。 • 因此，对于三阶系统，只要校验其特征方程的系数，若不满 足上述条件，就可立即判断为不稳定；若满足上述条件，且 各项系数均为正，则为稳定。
• 例3设某系统的特征方程
• 试确定待定参数λ 及μ ，以便使系统稳定。 • 解根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
• 根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有
• 所以，使系统稳定的叔产的取值范围为 λ ＞0及μ ＞1
第五章-1-劳斯稳定性判据[1]自动控制原理_浙江大学考研资料.doc
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第五章-1-劳斯稳定性判据[1]自动控制原理_浙江大学考研资料自动控制理论浙江大学控制科学与工程学系芳周立芳徐正国第五章控制系统特性1? 输入变量、输出变量? 方程的阶独立储能元件? 输入输出模型及其一般形式微分方程传递函数方块图? 状态空间模型? 线性化第二章回顾2第二章列写系统方第三章回顾? 稳态响应? 暂态响应? 系统暂态（动态）? 时间响应性能指标? 状态方程的全解3第三章微分方程的4第四章回顾? 系统整体传递函数? 仿真图? 信号流图? 从传递函数到状态空间模型的转换第四章系统表示方5第五章关键词? 系统稳定性? 劳斯稳定性判据? 相对稳定性? 系统型别? 稳态误差? 稳态误差系数6第五章要点? 引言? 劳斯稳定性判据? 数学量与物理量? 反馈系统型别? 稳态误差系数? 稳态误差系数的应用? 非单位反馈系统? 小结控制科学与工程学系引言? 引言? 系统稳定性8? 开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。
开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。
? 衡量反馈控制系统性能的五个重要指标? 稳定性? 稳态误差的存在性及量级? 可控性? 可观性? 参数灵敏性引言引言基于状态空间模型取决于系统的特征方程，有多种分析方法。
取决于系统的特征方程，有多种分析方法。
9? 劳斯稳定性判据为判别系统稳定性提供了途径，并且不需要直接计算系统特征方程的根。
为判别系统稳定性提供了途径，并且不需要直接计算系统特征方程的根。
? 稳态误差可以根据单位反馈系统（或等价的单位反馈系统）的（或等价的单位反馈系统）的开环传递函数获得，其作为一种性能指标，为系统分类提供了依据。
获得，其作为一种性能指标，为系统分类提供了依据。
引言引言10? 我们将介绍一种评价系统稳定性的有力工具劳斯- 赫尔维茨方法，该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复平面，该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复平面右半平面的特征根个数。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
系统的稳定性
L L L L M
a1
0 0 0 0 0 ao
∆n =
M
0 0
M L
M L
a2
第五章 系统的稳定性
∆1=an-1>0
an-1 ∆2 = an an-3 >0 an-2 an-1 an-3 an-5 ∆3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
∆n>0
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 行列式直接由系数排列， 行列式直接由系数排列 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 表要简单些， 而明确，因此，比列 表要简单些 较为方便，但对六阶以上的系统， 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式： 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
第五章 系统的稳定性
补充： 补充： 映射定理：设复变函数 映射定理：设复变函数F(s)有p 有 个极点和Z个零点被 平面内某一封 个极点和 个零点被s平面内某一封 个零点被 闭曲线所包围， 闭曲线所包围，并且这一封闭曲线 不经过F(s)的任何极点或零点。当 的任何极点或零点。 不经过 的任何极点或零点 复变量s顺时针方向沿此封闭曲线 复变量 顺时针方向沿此封闭曲线 移动一周时， 移动一周时，在F(s)平面内的映射 平面内的映射 曲线将顺时针方向包围坐标原点
a n-2 a n-3
… …
每一行元素可以同时乘以或除以相同数 2）列出Routh表 列出 表 3）由稳定判据判断稳定性 ） 第一列符号无改变， 第一列符号无改变，系统无实部为正的 特征根→ 特征根→稳定 第一列符号改变n 则有n 第一列符号改变n次，则有n个实部为正 的特征根→ 的特征根→不稳定
第五章 系统的稳定性
第五章劳斯判据
c4 d4
c1
b1an3an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7an1b4, b1
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
c1b3b1c3 c1
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在 系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中 第一列的系数全为正号。
例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
，统化第 系有 一 统一一列
s 1 112 .7 0 s 0 50
不 稳
个 正
次
系 数
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P (s)2 s4 4s2 8 5 0 (s2 2)s 5 ( 2 1 ) 0
s 1 , s 5 j
原 ( s 1 ) 方 s 1 ( ) s j ( 5 ) s 程 j ( 5 ) s 2 ( )
解：列写劳斯行列式： s 4 1 3 5
s3 2 4 0
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s2 1 s1 6 s0 5
50 00 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s 1 ,2 1 . 2 0 . 9 8 j ,7 s 3 ,4 2 . 9 1 . 4 j2
劳斯行列式：
sn an an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
s0
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
(第12讲) 第五章 劳斯稳定性判据
a 0 s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n 0
则该系统稳定的条件为： a. 特征方程的各项系数 a i ( i 0 , , n 1) 都不等于零； b. 特征方程的各项系数 a i 的符号都相同； 此两项为必要条件。
例 如 ： q s s 2 s s 4 s s 2s 8
2
s1 , 2
a1
a1 4 a 2 a 0
2
2a2
只有 a 2 , a 1 , a 0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
06-7-20
控制系统的稳定性分析
13
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为：
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
( t ) a n 1 y
(m )
06-7-20 控制系统的稳定性分析 2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
其他：
一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统； 若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡 量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战 斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗 机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。
劳斯判据的证明(2024版)
可编辑修改精选全文完整版1、劳斯判据证明思路：（1）将给定的描述系统运动的高阶齐次微分方程变换为齐次状态方程．（2）给定对称正定（或非负定）矩阵Ｑ，根据式Ax x= ,Q PA P A T -=+求出相应的矩阵Ｐ（3）由要求矩阵Ｐ为正定的条件证明赫尔维茨稳定判据2、赫尔维茨稳定性判据证明．Ax x= （1） Q PA P A T -=+ （2）设在输入信号为零的情况下，系统的齐次微分方程为01111=++⋅⋅⋅++---x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n （3） 式（3）的系数行列式为：n n n a a a a a a a a a a a 0000000000000000010000011123451231-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 赫尔维茨判据为：系数行列式n ∆的各阶顺序主子式大于0.证明：首先将系统的高阶微分方程写成状态方程的形式．选择系统的状态变量为 []T n x x x x 21=令x x =1，则式（2）等价于下列状态方程：Ax x= ，其中1210000010000000001000000100000010b b b b A n n----=-(4) 该矩阵特点是：主对角线上除最后一个元素外，其余元素均为0；主对角线以上各元素为1；主对角线以下各元素从第二行开始依次为-bn 到-b1。
其次，应给定矩阵Ｑ，并根据式（2）去求矩阵P设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21200000000b Q (5) 这是一个对称非负定矩阵，由此可知李雅普诺夫函数的导数为 2212nT x b Qx x V -=-= 。
只要x1，x2，…，xn 不全都为零，则0≠n x ，于是()x V 不可能恒为零．所以按式（4）选定的矩阵Ｑ是合理的．再假设矩阵Ｐ是对角线矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-121000000000000p p p p P n n (6) 将式（４）、式（5）、式（6）代人式（２），即可得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11212112000000000000b b b b b b b b b P n n最后检验矩阵Ｐ的正定性．如欲系统的半衡点是大范围渐近稳定的，则矩阵Ｐ应是正定的，亦即矩阵Ｐ主对角线上各元素均应大于零，即有 0,0,012121>>>b b b b b b n 。
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用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式 的计算；
当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的 符号变化次数；
若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可 利用辅助方程求出；
若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不 稳定根的个数。
例5.3 s5 2s4 2s3 4s2 s 1 0
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
➢ 系统（运动）稳定性概念 (Stability)
❖ 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
➢ 静态误差计算 (Static Error)
❖ 有关定义和计算
➢ 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
❖ 各类性能指标定义和二阶系统运动分析
解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据
5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据
已知系统的特征方程式为：
ansn an1sn1 a1s a0 0
(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根 的个数。
例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
Y (s)
2s 1
R(s) s4 7s3 18s2 21s 10
解：它的特征方程式是：s4 7s3 18s2 21s 10 0 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，
劳斯行列式： s4 1 18 10
s3 7 21 0
解：列写劳斯行列式： s4 1 3 5
s3 2 4 0
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s2 1 5 0 s1 6 0 0 s0 5 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s1,2 1.29 0.87 j, s3,4 2.9 1.42 j
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
s1 112.7 0
不 稳
个 正
次
系 数
s0 50
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s) 2s4 48s2 50 (s2 25)(s2 1) 0
s 1, s 5 j 原方程 (s 1)(s 1)(s j5)(s j5)(s 2)
辅助方程是系统特征方程的一个因子式。
方程解为：
s1,2 0.8284 1.5272j s3 -1.8423 s4,5 - 0.9073 1.3690j
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；
l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 dP(s) 的系数代替零行，继续 ds 劳斯行列式的计算；
5.1 控制系统的稳定性分析
控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的 稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞ 时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。
5.1.1 系统稳定性的概念及条件
一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下， 其输出也是有界的。
系统稳定的充分必要条件是系统特征根 （极点）全部具有负实部。
s0 50
辅助多项式： P(s) 2s4 48s2 50
求p(s)对s 的导数:
dP(s) 8s3 96s ds
导数方程的系数代入s3 行。
例5.6
s5 1 s4 2
24 25 48 50
部说号行
的 根
明 系
变
列 式
s3 0 (8) 0 (96) s2 24 50
，统化第 系有 一 统一一列
s2 105
7
10 0
s1 1715 105
0
0
s0 10 0
劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。
实际上该系统的4个根为：
s1 1.94, s2 2.76, s3,4 1.15 0.73 j
例5.2 若一系统的特征方程为：
s4 2s3 3s2 4s 5 0
利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。
l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。
例5.5
试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0
解：
s5 1 24 25
s4 2 48 50
计算劳斯行列式
s3 08 906 s2 24 50
s1 112 .7
S5 1
2
1
S4 2
4
1
1
S3 0
2
0
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c))
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s5 2s4 3s3 6s2 10s 15 0
an1an4 anan5 an1
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7 an1b4 b1
,
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
c1b3 b1c3 c1
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在 系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中 第一列的系数全为正号。
劳斯行列式：
sn an sn1 an1 sn2 b1 sn3 c1 sn4 d1
an2 an3 b2 c2 d2
an4 an5 b3 c3 d3
s0
ansn an1sn1 a1s a0 0
an6 an7 b4
b1 b3
an1an2 anan3 ,
an1
b2
an1an6 anan7 , an1
解：计算劳斯行列式如下：
s5
1
s4
2
3 10 6 15
s5 1
ε→0
首列整理为: s4 2
s3 0 5/2
s2
6 5
15号改变一次 → 符号改变一次 →
s3 s2 5/ s1 25 / 10 s0 15
系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。
5.1.3 劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 2、分析系统参数对系统稳定性的影响
例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该
当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的 符号变化次数；
若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可 利用辅助方程求出；
若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不 稳定根的个数。
例5.3 s5 2s4 2s3 4s2 s 1 0
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
➢ 系统（运动）稳定性概念 (Stability)
❖ 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
➢ 静态误差计算 (Static Error)
❖ 有关定义和计算
➢ 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
❖ 各类性能指标定义和二阶系统运动分析
解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据
5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据
已知系统的特征方程式为：
ansn an1sn1 a1s a0 0
(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根 的个数。
例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
Y (s)
2s 1
R(s) s4 7s3 18s2 21s 10
解：它的特征方程式是：s4 7s3 18s2 21s 10 0 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，
劳斯行列式： s4 1 18 10
s3 7 21 0
解：列写劳斯行列式： s4 1 3 5
s3 2 4 0
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s2 1 5 0 s1 6 0 0 s0 5 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s1,2 1.29 0.87 j, s3,4 2.9 1.42 j
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
s1 112.7 0
不 稳
个 正
次
系 数
s0 50
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s) 2s4 48s2 50 (s2 25)(s2 1) 0
s 1, s 5 j 原方程 (s 1)(s 1)(s j5)(s j5)(s 2)
辅助方程是系统特征方程的一个因子式。
方程解为：
s1,2 0.8284 1.5272j s3 -1.8423 s4,5 - 0.9073 1.3690j
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；
l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 dP(s) 的系数代替零行，继续 ds 劳斯行列式的计算；
5.1 控制系统的稳定性分析
控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的 稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞ 时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。
5.1.1 系统稳定性的概念及条件
一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下， 其输出也是有界的。
系统稳定的充分必要条件是系统特征根 （极点）全部具有负实部。
s0 50
辅助多项式： P(s) 2s4 48s2 50
求p(s)对s 的导数:
dP(s) 8s3 96s ds
导数方程的系数代入s3 行。
例5.6
s5 1 s4 2
24 25 48 50
部说号行
的 根
明 系
变
列 式
s3 0 (8) 0 (96) s2 24 50
，统化第 系有 一 统一一列
s2 105
7
10 0
s1 1715 105
0
0
s0 10 0
劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。
实际上该系统的4个根为：
s1 1.94, s2 2.76, s3,4 1.15 0.73 j
例5.2 若一系统的特征方程为：
s4 2s3 3s2 4s 5 0
利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。
l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。
例5.5
试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0
解：
s5 1 24 25
s4 2 48 50
计算劳斯行列式
s3 08 906 s2 24 50
s1 112 .7
S5 1
2
1
S4 2
4
1
1
S3 0
2
0
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c))
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s5 2s4 3s3 6s2 10s 15 0
an1an4 anan5 an1
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7 an1b4 b1
,
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
c1b3 b1c3 c1
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在 系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中 第一列的系数全为正号。
劳斯行列式：
sn an sn1 an1 sn2 b1 sn3 c1 sn4 d1
an2 an3 b2 c2 d2
an4 an5 b3 c3 d3
s0
ansn an1sn1 a1s a0 0
an6 an7 b4
b1 b3
an1an2 anan3 ,
an1
b2
an1an6 anan7 , an1
解：计算劳斯行列式如下：
s5
1
s4
2
3 10 6 15
s5 1
ε→0
首列整理为: s4 2
s3 0 5/2
s2
6 5
15号改变一次 → 符号改变一次 →
s3 s2 5/ s1 25 / 10 s0 15
系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。
5.1.3 劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 2、分析系统参数对系统稳定性的影响
例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该