第五章劳斯判据

s2 105
7
10 0
s1 1715 105
0
0
s0 10 0
劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。
实际上该系统的4个根为：
s1 1.94, s2 2.76, s3,4 1.15 0.73 j
例5.2 若一系统的特征方程为：
s4 2s3 3s2 4s 5 0
利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。
5.1 控制系统的稳定性分析
控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的 稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞ 时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。
5.1.1 系统稳定性的概念及条件
一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下， 其输出也是有界的。
系统稳定的充分必要条件是系统特征根 （极点）全部具有负实部。
劳斯行列式：
sn an sn1 an1 sn2 b1 sn3 c1 sn4 d1
an2 an3 b2 c2 d2
an4 an5 b3 c3 d3
s0
ansn an1sn1 a1s a0 0
an6 an7 b4
b1 b3
an1an2 anan3 ,
an1
b2
an1an6 anan7 , an1
用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式 的计算；
当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的 符号变化次数；
若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可 利用辅助方程求出；
若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不 稳定根的个数。
例5.3 s5 2s4 2s3 4s2 s 1 0
s0 50
辅助多项式： P(s) 2s4 48s2 50
求p(s)对s 的导数:
dP(s) 8s3 96s ds
导数方程的系数代入s3 行。
例5.6
s5 1 s4 2
24 25 48 50
部说号行
的 根
明 系
变
列 式
s3 0 (8) 0 (96) s2 24 50
，统化第 系有 一 统一一列
l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。
例5.5
试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0
解：
s5 1 24 25
s4 2 48 50
计算劳斯行列式
s3 08 906 s2 24 50
s1 112 .7
解：列写劳斯行列式： s4 1 3 5
s3 2 4 0
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s2 1 5 0 s1 6 0 0 s0 5 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s1,2 1.29 0.87 j, s3,4 2.9 1.42 j
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据
5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据
已知系统的特征方程式为：
ansn an1sn1 a1s a0 0
(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根 的个数。
s1 112.7 0
不 稳
个 正
次
系 数
s0 50
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s) 2s4 48s2 50 (s2 25)(s2 1) 0
s 1, s 5 j 原方程 (s 1)(s 1)(s j5)(s j5)(s 2)
辅助方程是系统特征方程的一个因子式。
S5 1
2
1
S4 2
4
1
1
S3 0
2
0
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c))
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s5 2s4 3s3 6s2 10s 15 0
5.1.3 劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 2、分析系统参数对系统稳定性的影响
例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该
例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
Y (s)
2s 1
R(s) s4 7s3 18s2 21s 10
解：它的特征方程式是：s4 7s3 18s2 21s 10 0 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，
劳斯行列式： s4 1 18 10
s3 7 21 0
an1an4 anan5 an1
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7 an1b4 b1
,
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
c1b3 b1c3 c1
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在 系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中 第一列的系数全为正号。
方程解为：
s1,2 0.8284 1.5272j s3 -1.8423 s4,5 - 0.9073 1.3690j
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；
l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 dP(s) 的系数代替零行，继续 ds 劳斯行列式的计算；
百度文库
解：计算劳斯行列式如下：
s5
1
s4
2
3 10 6 15
s5 1
ε→0
首列整理为: s4 2
s3 0 5/2
s2
6 5
15
s1 30 2530 2 12 10
s0
15
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s3 s2 5/ s1 25 / 10 s0 15
系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
➢ 系统（运动）稳定性概念 (Stability)
❖ 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
➢ 静态误差计算 (Static Error)
❖ 有关定义和计算
➢ 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
❖ 各类性能指标定义和二阶系统运动分析