人教版小学八年级数学上册测试题等边三角形的性质与判定
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13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
01基础题
知识点1等边三角形的性质
1△．等边ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．如图△，过等边ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A．100°B．80°C．60°D．40°
3．如图△，ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°.
4．如图△，等边ABC的边长如图所示，那么y＝3．
5．如图所示△，ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．
6．如图所示△，等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.
证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝30°.
∴∠E＝∠ACB＝30°.
1
2
又∵CE＝CD，
1
2
∴∠DBE＝∠E.
∴DB＝DE.
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF.
知识点2等边三角形的判定
7．下列推理错误的是(B)
A△．在ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
B△．在ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
C△．在ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
D△．在ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
8△．在ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°．
9．如图△，在ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°△.求证：ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
10．如图所示△，锐角ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：
△ABC是等边三角形．
证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
又∵∠BOE＝∠COD，
∴∠EBO＝∠DCO.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
02中档题
11．如图△，ABC是等边三角形，AD是角平分线△，ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为(A)
A．3B．2C．1D．0
12．如图，点A，B，C在一条直线上△，ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B)
A．45°B．60°C．75°D．90°
⎧AB ＝CB ，
13．如图，将边长为 5 cm 的等边△ABC ，沿 BC 向右平移 3 cm △，得到
DEF ，DE 交 AC 于 M ，则
△MEC 是等边三角形，DM ＝3cm .
14．如图△，等边 ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点，以 BE 为一边且在 BE 下方作 等边△BEF ，连接 CF.
(1)求证：AE ＝CF ；
(2)求∠ACF 的度数．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝CB ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.
∵△BEF 是等边三角形，
∴EB ＝FB ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.
∴∠ABE ＝∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中，
⎪
⎨∠ABE ＝∠CBF ， ⎪⎩EB ＝FB ，
∴△ABE ≌△CBF(SAS)．∴AE ＝CF.
(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.
∵△ABE ≌△CBF ，
∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.
∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.
03
综合题
15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．
图1图2
解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F.
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE.
∴△ADF是等边三角形．
∴AD＝DF，∠AFD＝60°.
∴∠DFC＝180°－60°＝120°.
∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD.
∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.
∴△DBE≌△CFD(AAS)．
∴BE＝DF.∴BE＝AD.
(2)BE＝AD成立．理由如下：
过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.
同(1)可证△ADG是等边三角形，
∴AD＝DG，∠AGD＝60°.
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝∠AGD.
∵∠GDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠GDC＝∠DEC，ED＝CD.