人教版小学八年级数学上册测试题等边三角形的性质与判定
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。
人教版八年级数学上册13.3.2.1《 等边三角形的性质》同步训练习题
人教版八年级数学上册13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（学生版）一．选择题1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（）A．100°B．80°C．60°D．40°2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC 于E，若AB=1，则DB的长为（）A．B．C．D．5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（）度．A．30 B．20 C．25 D．156．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（）A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8二．填空题9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=°．10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D 在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为．11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=°．12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为．13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为．三．解答题14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．（1）求BE的长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA 上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．人教版八年级数学上册13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（教师版）一．选择题1．（2013•吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（）A．100°B．80°C．60°D．40°选A点评：此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角形内角和定理，此题较简单，是一道基础题．2．（2014秋•贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：过点E作EF⊥BC于F，先根据含30°的直角三角形的性质求出BF，再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF，即可得出BD．解答：解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：则∠BFE=90°，∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，∴∠FEB=90°﹣60°=30°，∵BE=AB+AE=8+4=12，∴BF=BE=6，∴CF=BC﹣BF=2，∵ED=EC，EF⊥BC，∴DF=CF=2，∴BD=BF﹣DF=4；故选：B．点评：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．3．（2014秋•岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长．解答：解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C．点评：本题主要考查了等边三角形三线合一的性质．4．（2015•港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC 于E，若AB=1，则DB的长为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据等边三角形性质，直角三角形性质求△BDE≌△AFD，得BE=AD，再求得BD 的长．解答：解：∵∠DEB=90°∴∠BDE=90°﹣60°=30°∴∠ADF=180﹣30°﹣90°=90°同理∠EFC=90°又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF∴△BED≌△ADF≌△CFE∴AD=BE设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得BE=，∴BD=．故选C．点评：本题利用了：1、等边三角形的性质，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性质．5．（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（）度．A．30 B．20 C．25 D．15考点：等边三角形的性质．分析：由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得∠ADC与∠DAC的度数，又由AE=AD，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，继而求得∠EDC的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD是△ABC的中线，∴∠DAC=BAC=30°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED===75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．故选D．点评：此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°考点：等边三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质．专题：计算题．分析：过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．解答：解：过C作CE∥直线m∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选C．点评：本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．7．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．解答：解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；∴BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的．故选：D．点评：此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．8．（2014春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（）A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8考点：等边三角形的性质．专题：数形结合．分析：设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B 的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1=x+2，然后解方程求出x即可得到A和B的边长．解答：解：如图，设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x，∵阴影部分是边长为1的小正三角形，∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，∴D的边长为2x﹣1或x+2，∴2x﹣1=x+2，解得x=3，∴A和B的边长分别3和6．故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力．二．填空题9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°°．10．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D 在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为2．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质．分析：延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．解答：解：延长BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∴∠EDB=∠ECF，在△EBD和△EFC中，，∴△EBD≌△EFC（SAS），∴∠B=∠F∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=∠F，∴AC∥EF，∴=，∵BA=BC，∴AE=CF=2，∴BD=AE=CF=2，故答案为：2．点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．11．（2015春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=1400．考点：等边三角形的性质．分析：先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．12．（2015秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为5．考点：等边三角形的性质．分析：利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB=BC．∴OE+OF=h．又∵等边三角形的高为5，∴OE+OF=5，故答案为5．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边都相等．13．（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：规律型．分析：做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标．解答：解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008．∴P2010的纵坐标为，横坐标=2008+1.5=2009.5．∴P2007（2007，）．点P2010处于顶点上，∵三角形边长为1，故P2010（2009，）．故答案为（2009，）．点评：本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点．三．解答题14．（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．（1）求BE的长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：（1）根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm，再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm，而CD=CE=3cm，所以BE=BC+CE=9cm；（2）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据“三线合一”得∠CBD=∠ABC=30°，而CD=CE，则∠CDE=∠E，接着利用三角形外角性质得∠CDE+∠E=∠ACB=60°，所以∠E=30°，于是得到∠CBD=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC=AB=6cm，∵BD⊥AC，∴AD=CD=AC=3cm，∵CD=CE=3cm，∴BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；（2）△BDE为等腰三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD⊥AC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，而∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠E=30°，∴∠CBD=∠E，∴△BDE为等腰三角形．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了等腰三角形的判定与性质．15．（2014秋•维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=∠ABC=×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．解答：（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，又∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB=30°；（2）证明：连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°由（1）知∠E=30°∴∠DBC=∠E=30°∴DB=DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点．点评：此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．16．（2013秋•宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA 上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据已知条件，利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN．（2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论．解答：证明；（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）∵△ABM≌△BCN（已证）．∴∠AMB=∠BNC，∵∠MBQ=∠NBC（公共角），∴△BQM∽△BCN，∴∠BQM=∠C=60°∵∠BQM和∠AQN是对顶角，∴∠AQN=60°．点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题．17．（2014秋•北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）EC=BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角．（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB，∵∠EOD为△COD的外角，∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，则BD和CE的夹角大小为60°．点评：此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。
第04讲 等边三角形(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)
第04讲等边三角形课程标准学习目标①等边三角形的概念与性质②等边三角形的判定③含30°角的直角三角形 1.掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。
2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。
3.掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。
知识点01等边三角形的概念与性质1.等边三角形的概念：三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的。
2.等边三角形的性质：如图①等边三角形的三条边都，三个角也，且三个角都等于°。
②等边三角形三条边都存在。
③等边三角形是一个图形，它有条对称轴，对称轴的交点叫做中心。
题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。
【即学即练1】1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【即学即练2】2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°【即学即练3】3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为．【即学即练4】4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．知识点02含30°角的直角三角形1.30°角所对的直角边与斜边的关系：30°角所对的直角边等于斜边的。
证明如下：1如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。
证明BD＝AB2∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝。
∵AD⊥BC∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝BD＝CD＝BC∴BD＝AB。
题型考点：含30°角的直角三角形的性质。
等边三角形的性质及判定
解（1）由已知可求得
C
∠BＣD= 30 °
于是在Rt△ADC 与Rt△BDC 中用本定理得BC=2，AB=4
A
DB
（2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理
BD=1/2BC
BC=1/2AB
∴ BD=1/2BC=1/4AB
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来.
２、等边三角形的对称轴有（Ｃ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（Ａ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
A
┓
C
B
体会.分享
请你说一说这节课的收获和体 验让大家与你一起分享 ？
有两个角等于60°的三角形是等边三角形。
当顶角为60°时，两个底角各为60°.
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
八年级上数学小专题全等三角形的性质与判定同步练习(人教版带答案)
八年级上数学小专题全等三角形的性质与判定同步练习（人教版带答案）小专题(四) 全等三角形的性质与判定 1．如图所示，D、E是△ABC 中BC边上的点，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，EB＝DC，那么∠1和∠2之间是什么关系？说你的理由．2．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.3．已知：如图，AB，CD交于点O，E，F为AB上两点，OA＝OB，OE ＝OF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.求证：△ACE≌△BDF. 4．如图，已知AC交BD于点O，AB＝DC，∠A＝∠D. (1)请写出符合上述条件的五个结论(并且不再添加辅助线，对顶角除外)；(2)从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．5．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．(不再添加辅助线和字母) 6．如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM 的周长为9 cm，AN＝2 cm，求△ABC的周长．7．如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：(1)任作线段AB，取中点O；(2)连接DO并延长使DO＝CO；(3)连接BC；(4)用仪器测量E，O在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只需测量BF，CF即可，为什么？8．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示方式放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一直线上，连接DC. (1)请找出图2中的全等三角形，并予以证明；(2)求证：DC⊥BE.9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，∠CAE ＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE，试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由． 10．(南京中考)(1)如图1，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.(2)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是锐角，请你用尺规在图2中作出△DEF，使△DEF和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹) 参考答案 1．在△ADC和△AEB 中，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，DC＝EB，所以△ADC≌△AEB(SAS)．所以∠DAC＝∠EAB. 因为∠EA B－∠DAE＝∠DAC－∠DAE，所以∠1＝∠2. 2.证明：∵FC∥AB，∴∠ADE＝∠CFE. 在△ADE和△CFE中，∠ADE＝∠CFE，DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE ＝CE. 3.证明：∵OA＝OB，OE＝OF，∴OA－OE＝OB－OF，即AE＝BF.在△ACE和△BDF中，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF，AE＝BF，∴△ACE≌△BDF(AAS)． 4.(1)五个结论：OB＝OC；OA＝OD；AC＝DB；∠ABO＝∠DCO；∠ABC＝∠DCB. (2)选证OB＝OC.在△ABO和△DCO 中，∠AOB＝∠DOC，∠A＝∠D，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO(AAS)．∴OB ＝OC. 5.答案不唯一，可以是∠E＝∠B，∠D＝∠A，FD＝CA，AB∥ED 等．以DF＝AC加以证明．∵BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中，BC＝EF，∠1＝∠2，CA＝FD，∴△ABC≌△DEF(SAS)． 6.因为MN平分∠AMC，所以∠AMN＝∠CMN，因为MN⊥AC，所以∠MNA＝∠MNC＝90°. 在△AMN和△CMN中，∠AMN ＝∠CMN，MN＝MN，∠MNA＝∠MNC，所以△AMN≌△CMN(ASA)．所以AN＝NC，AM＝CM. 因为AN＝2 cm，所以AC＝2AN＝4 cm. 又因为△ABM 的周长为9 cm，所以△ABC的周长为9＋4＝13(cm)． 7．由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC＝AD. 又∠A＝∠B，∠AOE＝∠BOF，AO＝BO，故△AOE≌△BOF. ∴AE＝BF. ∴DE＝CF. 因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了． 8.(1)图2中△ABE≌△ACD .证明：∵△ABC 和△AED都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD ＝90°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∴△ABE≌△ACD(SAS)． (2)证明：由(1)知△ABE≌△ACD，∴∠ACD ＝∠B＝45°. 又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90° .∴DC⊥BE. 9．BD＝AC，理由如下：过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE＝∠F. 又∵∠AEC＝∠DEF，E是CD的中点，∴CE＝DE.∴△AEC≌△FED. ∴AC＝FD. 又∵AD平分∠BAE，∴∠DAE＝∠BAD. 又∵∠B＝∠F，AD为公共边，∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF. ∴BD＝AC. 10.(1)证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，即∠CBG ＝∠FEH. 在△CBG和△FEH中，∠G＝∠H＝90°，∠CBG＝∠FEH，BC ＝EF，∴△CBG≌△FEH(AAS)．∴CG＝FH .在Rt△A CG和Rt△DFH 中，AC＝DF，CG＝FH，∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)．∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(AAS)． (2)略。
八年级-人教版-数学-上册-[能力提升]第3课时 等边三角形的性质和判定
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第3课时等边三角形的性质和判定1．由三个等边三角形随意摆放组成的图形如图所示，则∠1＋∠2＋∠3的度数为（）．A．90°B．120°C．180°D．无法确定2．由9个等边三角形拼成的六边形如图所示，若图中最小的三角形的边长是3，则这个六边形的周长为（）．A．90B．60C．50D．303．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，适当长度为半径画一条弧，分别交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则按边分，△AOC是一个_______三角形．4．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上的动点P（点P不与B，C两点重合），作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于D，E两点．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由．（2）若△PDE为等边三角形，求BD＋CE的值．参考答案1．【答案】C【解析】如图，由题意可知，∠1＝180°－60°－∠ABC＝120°－∠ABC，∠2＝180°－60°－∠ACB＝120°－∠ACB，∠3＝180°－60°－∠BAC＝120°－∠BAC．∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°．2．【答案】A【解析】如图，用字母表示各等边三角形的顶点．设等边三角形ABC的边长为a．∵9个三角形都是等边三角形，图中最小的三角形的边长是3，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CH＝DH＝DF＝a＋3，GF＝WF＝GH＝MG＝a＋6，MN＝ME＝a＋9．∵NE＝NA＋AE，∴a＋9＝2a．∴a＝9．∴这个六边形的周长为NB＋BC＋CD＋DF＋GF＋MG＋MN＝a＋a＋(a＋3)＋(a＋3)＋(a＋6)＋(a＋6)＋(a＋9)＝7a＋27＝63＋27＝90．3．【答案】等边【解析】∵用圆规以直角顶点O为圆心，适当长度为半径画一条弧，分别交直角两边于A，B两点，∴OA＝OB=OC．∵以A为圆心，OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝OA ．∴OC＝AC＝OA．∴△AOC是等边三角形．4．【答案】解：（1）∠BDP＝∠EPC．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B＝60°．∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠BDP．∴∠EPC＝∠BDP．（2）∵△PDE为等边三角形，∴PD＝PE．在△BDP 和△CPE 中，BDP CP E B D C E P P ∠∠=⎧⎪⎨⎪==⎩，，∠∠，∴△BDP ≌△CPE （AAS ）． ∴BD ＝CP ，BP ＝CE ．∴BD ＋CE ＝CP ＋BP ＝BC ＝8．。
部编数学八年级上册专题08等边三角形的判定和性质(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP V 中， 60P Ð=° ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP V 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ V 周长是（ ）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m 【答案】C【完整解答】解：∵60P Ð=° ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ，∵MNP V 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.2．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12Ð=Ð，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】B【完整解答】解：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ，∠BAE=60°，∵∠1=∠2，BE=CD ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AE=AD ，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE 是等边三角形．故答案为：B ．【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
人教版数学八上模块逐点清 19 等边三角形的性质与判定 专项训练(含答案)
人教版数学八上模块逐点清19.等边三角形的性质与判定建议用时：45分钟总分50分一选择题（每小题3分，共18分）1.如图，将边长为5cm的等边三角形ABC沿边BC向右平移3cm，得到△DEF，则四边形ADFB的周长为（）cm．A．20 B．21 C．22 D．232.如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3.三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°4.如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．35.已知，在△AB C中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，C D．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC6．如图，△AB C中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形二、填空题（每小题3分，共9分）7．如图，在△AB C中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．8.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．9．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有____（填序号）．三、解答题（7+8+8=23分）10.如图，在△AB C中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．11.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．12．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接O D．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO＝5，BO＝4，α＝150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．19.等边三角形的性质与判定参考答案1、【答案】B【解析】∵△ABC沿边BC向右平移3cm得到△DEF，∴DF＝AC＝5cm，AD＝CF＝3cm，∴四边形ADFB的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，＝5+5+3+5+3，＝21（cm），故选：B．2、【答案】B【解析】∵∠GEB＝40°，∴∠CEF＝∠GEB＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∴∠CFE＝180°﹣60°﹣40°＝80°．∵l∥m，∴∠CFE＝∠BAC+∠α，即80°＝60°+∠α，解得∠α＝20°．故选：B．3、【答案】B【解析】如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，故选：B．4、【答案】C【解析】延长EP 、FP 分别交AB 、BC 于G 、H ， 则由PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，可得， 四边形PGBD ，EPHC 是平行四边形， ∴PG ＝BD ，PE ＝HC ， 又△ABC 是等边三角形，又有PF ∥AC ，PD ∥AB 可得△PFG ，△PDH 是等边三角形， ∴PF ＝PG ＝BD ，PD ＝DH ， 又△ABC 的周长为12，∴PD +PE +PF ＝DH +HC +BD ＝BC =13×12＝4，故选：C ．5、【答案】D【解析】根据作图方法可得BC ＝BD ＝CD ， ∵BD ＝CD ，∴点D 在BC 的垂直平分线上， ∵AB ＝AC ，∴点A 在BC 的垂直平分线上，∴AD 是BC 的垂直平分线，故C 结论正确； ∴O 为B C 中点， ∴AO 是△BAC 的中线， ∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，故A 结论正确； ∵BC ＝BD ＝CD ，∴△BCD 是等边三角形，故B 结论正确；∵四边形ABDC 的面积＝S △BCD +S △ABC =12BC •DO +12BC •AO =12BC •AD ，故D 选项错误，故选：D ．6、【答案】D【解析】∵∠B ＝∠C ，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△AB C中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．7、【答案】30【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．8、【答案】15【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．9、【答案】①②③④【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．③三个角都相等的三角形是等边三角形④三边都相等的三角形是等边三角形，故答案为①②③④．10、证明：证法一：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°，∵∠B＝60°，在△AB C中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∴∠A＝∠B＝∠AC B．∴△ABC是等边三角形；证法二：∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°．∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACB＝60°在△AB C中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°∴∠A＝∠B＝∠AC B．∴△ABC是等边三角形．11、解：△BPQ是等边三角形，当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP，又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．12、（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴CO＝C D．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA＝OB＝4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，∴△AOD为直角三角形．又AO＝5，AD＝4，∴OD＝3，∴CO＝OD＝3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，求得α＝125°；∠AOD由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°−12求得α＝110°；由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，求得α＝140°；综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．。
人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形 同步练习(附答案)
13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定知识点1 三角形的性质1．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100° B．80°C．60° D．40°2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．第2题图第3题图3．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．4．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.知识点2等边三角形的判定5．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形6．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB 为等边三角形．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是( )A．60° B．55°C．45° D．不能确定10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm.11．如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形ODC，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．12．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．13．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最小边BC＝4 cm，则最长边AB的长是( ) A．5 cm B．6 cm C. 5 cm D．8 cm2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于( )A．3 B．4 C．5 D．6第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，则BD＝，BE＝．4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是．5．如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，求∠B，∠C，∠BAD的度数和AB的长度．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，连接BD.若DE＝2，则AC的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10第6题图第7题图7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，连接AE，BE＝6 cm，则AC的长为．9．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.(1)求∠E的度数；(2)求证：M是BE的中点．10．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.求：(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案：13．3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．B 2．3． 3．120°．4．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS)．∴BE ＝AD.5．C6．证明：∵DC ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝30°.∴∠ADC ＝∠DCB ＋∠B ＝60°. 又∵AD ＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． 7．∴BC ＝BE.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝60°. 又∵BC ＝BE ，8．A 9．A 10．18.11．解：∵△DOC 和△ABO 都是等边三角形，且点O 是线段AD 的中点，∴OD ＝DC ＝OC ＝OB ＝OA ，∠ADC ＝∠DAB ＝60°. 在△DBA 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠DAB ＝∠ADC ，AD ＝DA ，∴△DBA ≌△ACD(SAS)．∴∠BDA ＝∠CAD. ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠BDA ＋∠OBD ＝∠BOA ＝60°， ∴∠BDA ＝30°. ∴∠CAD ＝30°.∵∠AEB ＝∠BDA ＋∠CAD ， ∴∠AEB ＝60°.12．解：△BPQ 是等边三角形．理由：当t ＝2时， AP ＝2×1＝2(cm)， BQ ＝2×2＝4(cm)．∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4(cm)． ∴BQ ＝BP.∴∠B＝60°.∴△BPQ是等边三角形．13．解：(1)△ODE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC.∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠DBO＝∠DOB.∴DB＝DO.同理：EC＝EO.∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.第2课时含30°角的直角三角形的性质1．D2．A3．2__cm．4．4__cm2．5．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－120°)＝30°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°.又∵∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝7 m. 6．B 7．C 8．3__cm ． 9．解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°. 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE. 又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ， ∴∠E ＝12∠ACB ＝30°.(2)证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°.由(1)知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE. 又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点． 10．解：(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D.∵∠PBD ＝90°－60°＝30°，∠PAB ＝90°－75°＝15°， ∴∠APB ＝30°－15°＝15°.∴∠PAB ＝∠APB.∴BP ＝AB ＝7海里． (2)∵∠PBD ＝30°，∠PDB ＝90°， ∴PD ＝12PB ＝3.5海里．∵3.5>3，∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．。
人教版八年级数学上册等边三角形的判定同步训练习题
人教版八年级数学上册13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（学生版）一．选择题1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰不等边三角形4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（）A．60°B．45°C．90°D．不能确定5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（）A．B．C．D．6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（）A．B．C．D．7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm二．填空题9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= ．11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是．三．解答题13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD 是等边三角形．14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．16．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C 逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．人教版八年级数学上册13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（教师版）一．选择题1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形选D点评：节本题考查了等边三角形的判定：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：等边三角形的判定．分析：根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．解答：解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D．点评：本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰不等边三角形考点：等边三角形的判定．分析：先根据△ABC中，AB=AC得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而得出结论．解答：解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=60°，∴∠B=∠C==60°，∴△ABC是等边三角形．故选C．点评：本题考查的是等边三角形的判定，熟知三个角都相等的三角形是等边三角形是解答此题的关键．4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（）A．60°B．45°C．90°D．不能确定考点：等边三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可．解答：解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，∴b﹣c=0，a﹣b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°．故答案选：A．点评：本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．解答：解：如图：过点A作AD⊥BC于D，∵等边三角形△ABC的边长为4cm，∴DC=DB=2cm，∵AB=4cm，∴AD==2cm．故选A．点评：本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．解答：解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵BD⊥AC于D，∴AD=AC，∵△ABC周长为m，∴AD=，故选B．点评：本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．解答：解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP∴△MNP是等边三角形．又∵MQ⊥PN，垂足为Q，∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，∵NG=NQ，∴∠G=∠QMN，∴QG=MQ=a，∵△MNP的周长为12，∴MN=4，NG=2，∴△MGQ周长是6+2a．故选D．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm考点：等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．解答：解：∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，∴AE=BE=CE=AC=10cm，∴△ACE为等边三角形，∵CD⊥AE，∴DE=AE=5cm，∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，故选C．点评：本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．二．填空题9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= a 时，△AOP为等边三角形．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= 5 ．考点：等边三角形的判定与性质．分析：在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长解答：解∵等腰三角形的顶角为60°，∴底角==60°，∴三角形为等边三角形，∴腰长=底边长=5，所以它的腰长为5，故答案为5．点评：本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 2.1 ．考点：等边三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．解答：解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=1.8，BC=3.9，∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1．故答案为：2.1．点评：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是 a ．考点：等边三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．解答：解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，∵B为中点，∴BD=×a=，∴BC=a﹣﹣=，∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的，∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的，根据题意，第一个正六边形的边长是a，所以，第6个正六边形的边长：a×（）5=a．故答案为：a．点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的是解题的关键．三．解答题13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD 是等边三角形．考点：等边三角形的判定．专题：证明题．分析：根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论．解答：证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B=60°，又∵AB∥DC，∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，∴△OCD是等边三角形．点评：本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．考点：等边三角形的判定．分析：由AB=AC，AD⊥BC得到AD是BC的中垂线，由中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，BE=CE，即可得出△BCE的形状．解答：解：△BCE是等边三角形，理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AD为BC的中垂线，∴BE=EC，∵BC=BE，∴BC=CE=BE，∴△BCE是等边三角形．点评：此题考查等边三角形的判定，关键是利用了中垂线的判定和性质证明BE=CE．15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．考点：等边三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．解答：解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）∴△ODE是等边三角形；（4分）（2）答：BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，（7分）同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．（8分）点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．17．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C 逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．考点：等边三角形的判定；等腰三角形的判定．专题：几何综合题；分类讨论．分析：（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．解答：（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∴CO=CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA=OB=4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，∴△AOD为直角三角形．又AO=5，AD=4，∴OD=3，∴CO=OD=3；点评：此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定等知识，渗透分类讨论思想．。
人教版八年级数学上册等边三角形
反过来怎么样——逆向思维
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? 如果是,请你证明它.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC= 1 AB.
求证:∠A=300.
2
A
B
C
反过来怎么样——逆向思维
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
概念 性 质
等 有二 腰 条边 三 角 相等 形
等 有三 边 条边 三 角 轴一条 1、等边对等角 2、三线合一 3、对称轴三条
判定
1、定义 2等角对等边
1定义 2两个角是600 3等腰三角形有一个 600
我能行 3
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在 一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
A 300
C
这是一个通过线段之间的关系来判定 一个角的具体度数(300)的根据之一.
比一比：看 谁 算 的 快
1.如图：在Rt△ABC中 ∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=__８___cm Ｂ
３００
Ｃ
Ａ
2.如图:△ABC是等边三角形，
A
AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,
BD=４＿ｃ＿ｍ＿， BE=_２__ｃ_ ｍ E
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
回顾反思 4
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直
B
′ 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角
等于300).
13.3.2 等边三角形 人教版数学八年级上册同步作业(含答案)
13.3.2 等边三角形 必备知识·基础练(打“√”或“×”)1．三条边都相等的三角形是等边三角形．(√)2．三个角都相等的三角形是等边三角形．(√)3．有一个角是60°的三角形是等边三角形．(×)4．有一个角等于30°的三角形，它所对的边等于最长边的一半. (×) 5．在△ABC中，若AB＝BC＝AC，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.(√)知识点1 等边三角形的性质1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE 的周长为( D )A．4 B．30 C．18 D．12【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12.2．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__30__°.【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝30°.∴∠BAD＝123．(2020·阜新中考)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为__102°__．【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°.知识点2 等边三角形的判定4．(易错警示题)下列推理中，错误的是( B )A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形【解析】选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的．5．(2021·长沙期中)如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形．6.(2021·北京期中)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，{∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．知识点3 含30°角的直角三角形的性质7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是( C )A.3 cm B．6 cmC．9 cm D．12 cm【解析】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，∵AD＝3 cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm).8．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON 于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为( D )A.1 B．2 C．3 D．4【解析】如图，过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∠MON＝15°，∴∠2＝∠3＝12∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4.9．(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为( B )A.4 m B．6 m C．8 m D．12 m【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝12 m，∠A＝30°，∴BC＝1AB＝6 m．则立柱BC的长度为6 m．210．(2021·珠海期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，∵∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝3 cm，∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm).关键能力·综合练11.如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是( B )A．12 B．16C．20 D．24【解析】∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝1AB＝4，2∴△ABC的面积＝1×8×4＝16.212．(2021·深圳质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A.15° B．30° C．45° D．60°【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.13．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( D )A.63B．9C．6 D．33【解析】连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝3，∴AD＝CD＝3AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×1×3×3＝33.214．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( B )A.300a元B．150a元C．450a元D．225a元【解析】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝12AB×CD＝12×20×15＝150 m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元．15．(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ，∴∠B ＝∠BCF ，∵△AFC 为等边三角形，∴∠AFC ＝60°，∴∠B ＝∠BCF ＝30°.16．(2021·杭州期中)如图，AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，AD ，BE 交于点O ，则∠AOB ＝__120__°.【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝60°，∵AD ，BE 是等边△ABC 的两条高线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∴∠AOB ＝180°－∠BAD －∠ABE ＝180°－30°－30°＝120°.17．如图，已知△ABC 是等边三角形，过点B 作BD ⊥BC ，过A 作AD ⊥BD ，垂足为D ，若△ABC 的周长为12，求AD 的长．【解析】∵BD ⊥BC ，在等边三角形ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°.又∵AD⊥BD，即△ABD是直角三角形，∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半．∵等边三角形ABC的周长为12，∴其边长AB＝4.∴AD＝1AB＝2.218．(素养提升题)(2021·广州期中)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE 和AC分别于G，H点，连接GH.(1)试证明AD＝BE；(2)试证明△BCH≌△ACG；(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH.(3)△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，又∵∠ACG＝60°，∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).模型 等边三角形判定定理1的应用模型如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．【证明】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等边三角形．应用模型：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝CA.关闭Word文档返回原板块。
等边三角形性质与判定练习题
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一．选择题（共8小题）1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300°2．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60°5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15°7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题）9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度．10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm．11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形．12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=_________．D A14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A 、B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则∠AOC 等于多少？15．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF ，DE 、AC 相交于点G ，若线段CF=4cm ，则△GEC 的周长是 _________ cm ．17．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= _________ 度．课后作业1.2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编( 等边三角形的性质)原卷版
2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编等边三角形的性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE CD = ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD = D ．DE AB = 2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 α 的取值范围是（ ）A ．090α︒<<︒B ．60180α︒<<︒C ．6090α︒≤<︒D ．60180α︒≤<︒3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D 、E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC 、 AB 的中点， 6AD = ，F 是AD 上一动点，则 BF EF + 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长BC 交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.若BC ＝5，则五边形DECHF 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．126．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．1257．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正ABC 和正CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①ACD BCE ≅；②AD BE =；③60AOB ∠=︒；④CPQ 是等边三角形．其中正确的是（ ）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③8．（2分）（2021八上·江油期末）下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．两个等边三角形全等C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等9．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则最小值为()A．2B．3C．4D．610．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60 得到BN，连接HN.则在点M 运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．52评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·丰台期末）如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为 ．12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图，ABC 和DEC 都是等边三角形，连接AD ，BD ，BE ，30EBD ∠=︒．下列四个结论中：①ACD ≌BCE ；②180ADC BDE ∠+∠=︒；③222BE BD BC +=；④90BED ∠=︒，正确的是 （填写所有正确结论的序号）．13．（2分）（2021八上·延边期末）如图，正三角形ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，过点E 作EF AB 与BC 交于点F ．若8BC =，则EFC 的周长为 ．14．（2分）（2021八上·道里期末）如图，ABC 是等边三角形，点E 在AC 的延长线上，点D 在线段AB 上，连接ED 交线段BC 于点F ，过点F 作FN AC ⊥于点N ，75DB CN =，EF FD =，若17FB =，则AN 的长为 ．15．（2分）（2021八上·铁西期末）如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，ACP ∠= 度．16．（2分）（2021八上·延边期末）如图，ABC 是等腰直角三角形，AB 是斜边，以BC 为一边在右侧作等边三角形BCD ，连接AD 与BC 交于点E ，则BED ∠的度数为 度．17．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM+BN 最小时，∠MBN ＝ 度.18．（2分）（2021八上·铁东期中）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，以BC 为边+的在BC的右侧作等边BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP BP ∠的度数为．值最小时，CBP19．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·盐池期末）如图， ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE CD = ．求证： DB DE = ．22．（5分）（2021八上·建邺期末）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CAP 和 CBQ 都是等边三角形， BQ 和 CP 交于点 H ，求证： BQ CP ⊥ .23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如图，已知 ABC 是等边三角形，点M ，N 分别在CB ，BC 的延长线上，且BM＝CN.（1）（4分）求证：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的条件下，作∠AMN的平分线MF，MF与AB，AC，AN分别交于点D，E，F，若AD＝MD.求证：MF＝AC+CN.24．（13分）（2021八上·遵义期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：（1）（3分）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E 作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.25．（8分）（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；（Ⅰ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）（5分）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．①求证：∠FEA=∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）（5分）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．27．（10分）（2021八上·望花期末）已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点M．（1）（5分）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，①求证：△ABQ≌△CAP；②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（2）（5分）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．。
人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》练习题(附答案)
人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》练习题（附答案）一、选择题1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm2.如图，BC=10cm，∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm3.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE=AD，则∠DEC的度数为( )A. 105°B. 95°C. 85°D. 75°4.如图，直线l1//l2，△ABC是等边三角形∠1=50°，则∠2的大小为( )A. 60°B. 80°C. 70°D. 100°5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3则BD的长是( )A. 12B. 9C. 6D. 36.如图，直线l//m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的度数为( )A. 60°B. 42°C. 36°D. 30°7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，DE=2，则BC=( )A. 8B. 10C. 12D. 158.如图，四边形ABCD中∠C=30∘，∠B=90∘，∠ADC=120∘若AB=2，CD=8，则AD=( )A. 4B. 5C. 6D. 79.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上OP=12，点M，N在边OB上PM=PN，若MN=2，则OM的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，C为线段AB上一动点(不与点A、B重合)，在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD 交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH.以下五个结论：①AE=BD②GH//AB③AD=DH ④GE=HB⑤∠AFD=60°一定成立的是( )A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①③④⑤二、填空题11.若一个等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5√ 3cm，则这个等边三角形的面积是．12.如图∠MAN=60°，点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上．若△ABC是锐角三角形，则AC的取值范围是______．13.在△ABC中，若AB=AC=7，∠B=30°，则BC边上的高AD=．14.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为________米．15.如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是cm2．16.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是______．17.如图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED=5，则EC的长为．18.在△ABC中∠B=10°，∠C=20°，AC=2cm，CD⊥AB且CD交BA的延长线于点D，则CD的长为．19.如图，将边长为5cm的等边△ABC向右平移1cm，得到△A′B′C′，此时阴影部分的周长为cm．20.如图，△ABC为等边三角形DE//AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO= FO.若AC=7，FC=3，则OC的长为．三、解答题21.如图，在Rt△ABC中∠A=90°，∠B=30°，请用尺规作图法在AB上求作一点D，使得AB=3AD.(保留作图痕迹，不写作法)22.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．(1)求证：CD=BE；(2)求∠CFE的度数．23.如图∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE垂足分别为D、E，CE交AB于点F．(1)求证：BE=CD；(2)若∠ECA=75°，求证：DE=1AB．224.如图，在△ABC中AB=AC=8，∠CBA=45°．(1)求证：AC⊥AB；(2)分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D(点D在AC的左侧)，连接CD，AD，BD.求△ABD 的面积．25.如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．(1)尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE=∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E．(2)求证：△BEC是等边三角形；(3)求证：∠AMN=60°．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm∴斜边的长为2×2=4cm．故选：B．2.【答案】C【解析】解：∵∠B=∠BAC=15°∴AC=BC∵∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°又∵AD⊥BCAC=5cm．∴AD=12故选：C．根据等角对等边的性质可得AC=BC=10cm，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．先根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC可得∠CAD=30°，再由AD=AE可知∠ADE=∠AED，根据三角形内角和定理即可求出∠AED的度数，故可得出∠DEC的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°．∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC∴∠DAC=30°．∵AD=AE∴∠ADE=∠AED=180°−30°2=75°∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=105°．故选：A4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图∵△ABC是等边三角形∴∠A=60°∵∠1=50°∴∠3=∠1+∠A=50°+60°=110°∵直线l1//l2∴∠2+∠3=180°∴∠2=180°−∠3=70°故选：C．5.【答案】B【解析】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠ADC=90°=∠ACB∵∠B=30°∴∠A=90°−∠B=60°∴∠ACD=90°−∠A=30°∵AD=3∴AC=2AD=6∴AB=2AC=12∴BD=AB−AD=12−3=9故选：B．根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30°角的直角三角形性质求出AC=2AD，AB=2AC求出AB即可．本题主要考查的是含30°角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC=2AD，AB=2AC．6.【答案】B【解析】解：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ABC=60°．∵l//m∴∠1=∠ABC+18°=78°．∴∠α=180°−∠A−∠1=180°−60°−78°=42°．故选：B．先利用等边三角形的性质得到∠A、∠ABC的度数，再利用平行线的性质求出∠1的度数，最后利用三角形的内角和定理求出∠a．本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质等知识点，掌握“等边三角形的每个内角都是60°”、“三角形的内角和是180°”及平行线的性质是解决本题的关键．另解决本题亦可过点C作直线l的平行线，利用平行线的性质求解．7.【答案】C【解析】解：连接AD，如图所示：∵AB=AC，∠BAC=120∘∴∠B=∠C=30∘∵AC的垂直平分线交BC于D∴DA=DC，∠DEC=90∘∴CD=2DE=4∴AD=4∵∠BAD=120∘−30∘=90∘∴BD=2AD=8∴BC=BD+CD=8+4=12∴故选C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了含30∘角的直角三角形的性质，通过作辅助线得出直角三角形是解决问题的关键．作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F，先求出EF=AB=2，再根据含30∘角的直角三角形的性质得出DE= 12CD=4，进而得到DF=DE−EF=2，进而可得出答案．【解答】解：作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F，如图所示：则∠DEC=∠AFD=90∘，EF=AB=2∵∠C=30∘∴∠CDE=60°∴∠ADE=120°−60°=60∘，DE=12CD=4∴DF=DE−EF=2∵∠AFD=90°∴∠DAF=30∘∴AD=2DF=4．故选A．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30°角的直角三角形的性质得出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD−MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D在Rt△OPD中∠AOB=60°，OP=12∴∠OPD=30°∴OD=12OP=6∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2∴MD=ND=12MN=1∴OM=OD−MD=6−1=5．故选C.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG=CH，GE=HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC=60°就可以得出GH//AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，进而得出结论．【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形∴AD=AC=CD，CE=CB=BE，∠ACD=∠BCE=60°．∴∠DCE =60°．∴∠DCE =∠BCE ．∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE∴∠ACE =∠DCB ．在△ACE 和△DCB 中{AC =DC ∠ACE =∠DCB CE =CB∴△ACE ≌△DCB(SAS)∴AE =BD ，∠CAE =∠CDB ，∠AEC =∠DBC.故①正确；在△CEG 和△CBH 中{∠GEC =∠HBC CE =CB ∠GCE =∠HCB,∴△CEG ≌△CBH(ASA)∴CG =CH ，GE =HB ，故④正确；∴△CGH 为等边三角形∴∠GHC =60°∴∠GHC =∠BCH∴GH//AB ，故②正确；∵∠AFD =∠EAB +∠CBD∴∠AFD =∠CDB +∠CBD =∠ACD =60°，故⑤正确；∵∠DHC =∠HCB +∠HBC =60°+∠HBC∴∠DCH ≠∠DHC∴CD ≠DH∴AD ≠DH ，故③不正确；综上所述，正确的有：①②④⑤．故选B ．11.【答案】25√ 3cm 2【解析】【分析】根据周长可求边长；根据三角形面积公式计算．此题考查等边三角形的性质和三角形的面积计算，属基础题．【解答】解：∵等边三角形的周长是30厘米∴边长为10厘米．∵高是√ 102−52=√ 75=5√ 3厘米∴面积=10×5√ 3÷2=25√ 3(cm2).故答案是：25√ 3cm2．12.【答案】1<AC<4【解析】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中AB=2，∠A=60°∴∠ABC1=30°∴AC1=12AB=1在Rt△ABC2中AB=2，∠A=60°∴∠AC2B=30°∴AC2=4当点C在C1和C2之间时，△ABC是锐角三角形∴AC的取值范围是1<AC<4故答案为：1<AC<4．当点C在射线AN上运动，△ABC的形状可能是钝角三角形、直角三角形或锐角三角形．画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造含30°角的直角三角形，即可得到AC的取值范围．本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．13.【答案】3.5【解析】【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题关键．根据含30°角的直角三角形的性质即可得．【解答】解：∵在△ABC中AB=AC=7，∠B=30°，AD⊥BC∴AD=12AB=3.5故答案为：3.5．14.【答案】12【解析】【分析】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面4米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【解答】解：如图∵∠BAC=30°，∠BCA=90°∴AB=2CB而BC=4米∴AB=8米∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．故答案为12．15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形，等腰直角三角形，平行线的判定与性质等知识点，熟记公式是解题的关键.先利用直角三角形的性质求出AC的长，再根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质求出CF的长即可．【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=8cm∴AC=4cm．由题意可知BC//ED∴∠AFC=∠ADE=45°∴AC=CF=4cm．×4×4=8(cm2).故S△ACF=12故答案为8．16.【答案】6【解析】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点∴EF=2∵DE//AB，DF//AC∴△DEF是等边三角形∴剪下的△DEF的周长是2×3=6．故答案为：6．根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．17.【答案】10【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=5所以BE=CE所以∠B=∠DCE=30°在Rt△CDE中因为∠DCE=30°，ED=5所以CE=2DE=10．故答案为：10．18.【答案】1cm【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可求得∠DAC=30°，再根据直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的边等于斜边的一半，从而求得CD的长．本题考查直角三角形的性质的综合运用．【解答】解：∵∠B=10°，∠C=20°∴∠DAC=30°．∵CD⊥AB∴CD=1/2AC=1cm．故CD的长度是1cm．19.【答案】12【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平移的性质．利用等边三角形的性质得到AB=BC=5cm，∠B=∠ACB=60°，再根据平移的性质得到∠A′B′C′=∠B= 60°，BB′=1cm，B′C=4cm，于是可判断阴影部分为等边三角形，从而得到阴影部分的周长．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=5cm，∠B=∠ACB=60°∵等边△ABC向右平移1cm得到△A′B′C′∴∠A′B′C′=∠B=60°，BB′=1cm∴∠A′B′C′=∠ACB=60°，B′C=BC−BB′=5−1=4cm∴阴影部分为等边三角形∴阴影部分的周长为3×4=12(cm)．故答案为：12．20.【答案】221.【答案】解：如下图：点D即为所求．【解析】本题考查了尺规作图，掌握作一个角的平分线的方法是解题的关键．作∠ACB 的平分线即可．22.【答案】解：(1)∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠DBA =∠ADB =60°，∠CAE =60°∵∠DAB =∠DAC +∠CAB ，∠CAE =∠BAE +∠CAB∴∠DAC =∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC≌△BAE∴CD =BE ．(2)∵△DAC≌△BAE∴∠ADC =∠ABE∴∠CFE =∠BDF +∠DBF=∠BDF +∠DBA +∠ABF=∠BDF +∠DBA +∠ADC=∠BDA +∠DBA=60°+60°=120°．【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△DAC≌△BAE ．(1)利用△ABD 、△AEC 都是等边三角形，证明△DAC≌△BAE ，即可得到CD =BE ；(2)由△DAC≌△BAE ，得到∠ADC =∠ABE ，再由∠CFE =∠BDF +∠DBF =∠BDF +∠DBA +∠ABF ，即可解答．23.【答案】证明：(1)∵∠ACB =90°，AD ⊥CE ，BE ⊥CE∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ACD +∠CAD =90°，∠ADC =∠CEB =90°∴∠BCE =∠CAD在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB ∠CAD =∠BCE AC =BC∴△ADC≌△CEB(AAS)∴BE =CD ；(2)∵∠ECA=75°∴∠CAD=15°=∠BCE ∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CBA=∠CAB=45°∴∠BFE=60°，∠DAF=30°∴∠FBE=30°，DF=12AF∴EF=12BF∴DE=DF+EF=12(AF+BF)=12AB．【解析】(1)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得BE=CD；(2)由直角三角形的性质可得DF=12AF，EF=12BF，可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AB=AC∴∠CBA=∠ACB=45°∴∠CAB=180°−∠ACB−∠CBA=90°∴AC⊥AB．(2)解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E由题意得：AC=AD=CD=8∴△ACD是等边三角形∴∠DAC=60°∴∠DAE=180°−∠DAC−∠CAB=30°∴DE=12AD=4∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×8×4=16∴△ABD的面积为16．【解析】(1)利用等腰三角形的性质可得∠CBA=∠ACB=45°，然后利用三角形内角和定理求出∠CAB=90°，即可解答；(2)过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC=AD=CD=8，从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC=60°，从而利用平角定义可得∠DAE=30°，最后在Rt△DEA中，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE=4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25.【答案】(1)解：如图所示：(2)证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠ACH=120°∵CN平分∠ACH∴∠HCN=∠BCE=60°∵∠CBE=∠CBA=60°∴∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°∴△BEC是等边三角形；(3)证明：连接ME∵△ABC和△BCE是等边三角形∴AB=BC=BE在△ABM和△EBM中∵{AB=EB∠ABM=∠EBM BM=BM,∴△ABM≌△EBM(SAS)∴AM=EM，∠BAM=∠BEM∵AM=MN∴MN=EM∴∠N=∠CEM∵∠HCN=∠N+∠CMN=60°∠BEC=∠BEM+∠CEM=60°∴∠CMN=∠BEM=∠BAM∵∠AMC=∠ABC+∠BAM=∠AMN+∠CMN∴∠AMN=60°．【解析】【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、BC两边为D和F，以F为圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G，作射线BG，交NC的延长线于E，则∠CBE=∠CBA；(2)证明△BCE三个角都是60°，可得结论；(3)作辅助线，构建三角形全等，证明△ABM≌△EBM(SAS)，得AM=EM，∠BAM=∠BEM，证明∠CMN=∠BEM=∠BAM根据三角形外角的性质可得结论．。
八年级数学上册《第十三章 等边三角形的性质与判定》练习题
八年级数学上册《第十三章等边三角形的性质与判定》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE BD∥交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．12OB CE=B．ACE是直角三角形C．12BC AE=D．BE CE=2．已知：如图，在Δ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则Δ BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．133．下列判断正确的是（）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（2）（3）4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB ＝2，∠A ＝120°时，AC 等于（ ）AB C ．D ．25．四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，6AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE =则CE =（ ）A ．B ．C ．D ．46．如图，在四边形ABCD 中，8AD =，2BC =，90B ∠=︒，30A ∠=︒，120ADC =∠︒，则CD 的长为（ ）．A ．6B ．5C ．4D ．37．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝1，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，若直线A C ''经过点A ，则CC '的长为（ ）A ．1B ．2 CD ．4二、填空题8．如图，在边长为6的等边∠ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则∠ABP 的周长为 _____．9．等边三角形的判定：∠______的三角形是等边三角形．（定义）∠三个角都相等的三角形是等边三角形．∠有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．10．如图，在等边ABC 中，D 为边BC 上一点，E 为边CA 延长线上的点，连接DE 交AB 边于点F ，DF EF =，若2AE AF AEF =，△的面积为2，则BDF 的面积为______________．11．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE △的周长为______．12．如图，C 为AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作正方形ACDE 、正方形BCFG ，设∠AFC =α，则∠BDC 为_________（用含α的代数式表示）．13．如图，已知ABC ∆中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．14．如图，将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到∠A ′B ′C ′的位置，已知∠ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD =3，则A ′A 的值为___．三、解答题15．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 的方向行驶时，以P 为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P 对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次，它给学校A 带来噪声影响的总时间．16．如图，菱形ABCD的边长为2，120∠=︒，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，BCDAD的中点，连接EF．(1)求对角线AC的长；(2)求EF的长．17．如图，∠ABD∠∠EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：∠CD∠AE；∠AD∠CE；∠∠EAD＝∠ECD；正确的是____.18．已知∠ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定∠ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：222=+．BD CD AD参考答案：1．D【分析】由菱形的性质可知AC DB ⊥，AO OC =，由两直线平行，同位角相等可以推出90ACE AOB ∠=∠=︒，再证明Rt ACERt AOB △，得出12OB CE =，12AB AE =，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出12BC AE =．现有条件不足以证明BE CE =． 【详解】解：∠在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AC DB ⊥，AO OC =，∠90AOB ∠=︒，∠CE BD ∥，∠90ACE AOB ∠=∠=︒，∠ACE 是直角三角形，故B 选项正确；∠90ACE AOB ∠=∠=︒，CAE OAB ∠=∠，∠Rt ACERt AOB △， ∠12OB AB OA CE AE AC ===， ∠12OB CE =，12AB AE =，故A 选项正确； ∠BC 为Rt ACE 斜边上的中线， ∠12BC AE =，故C 选项正确； 现有条件不足以证明BE CE =，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AC DB ⊥，AO OC =是解题的关键．2．C【分析】根据题意易得AB =AC =2AD =6，AE =BE ，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∠AB =AC ，DE 垂直平分线段AB ，∠AD =BD ，AE =BE ，∠AD =3，∠AB =AC =2AD =6，∠BC =5，∠C △BEC =BC +BE +EC =BC +AE +EC =5+6=11；故选C ．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．3．A【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．【详解】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．4．D【分析】连接AC ，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，AB ＝2，∠A ＝120°，易得△ABC 是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：连接AC ，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．5．C【分析】根据菱形的性质得出AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出∠ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA=E在AC上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．【详解】解：∠四边形ABCD是菱形，如图所示，∠.AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，∠∠BAD=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠BD=AB=6，OB=12BD=3，∠OC=OA∠.AC=2OA=∠点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE∠CE=OC+OE=CE=O C-O E=故选：C．【点睛】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．6．C【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∠∠A=30°,∠B=90°，∠∠E=60°，∠∠ADC=120°，∠∠EDC=60°，∠∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∠AD=8，BC=2，∠2(2+x)=x+8，解得；x=4，∠CD=4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．7．CBCC ABA是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得【分析】根据旋转的性质可证明,AC =2AB =2，由勾股定理得BC =，从而解决问题．【详解】解：∠将∠ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，∠,,BA BA BCBC BAC BA C ， ∠∠BAC =60°，∠60'∠=︒A ，∠ABA '△是等边三角形，∠60ABA '∠=︒，∠60CBC ABA ，∠BCC '是等边三角形，∠CC BC '=，∠∠ABC =90°，∠BAC =60°，∠∠ACB =30°，∠AC =2AB =2，∠BC∠3CC BC ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，证明BCC '是等边三角形是解题的关键．8．6+【分析】如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明∠ABD ∠∠BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明∠BDP ∠∠ADB ，62BP PD ==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∠CE =BD =2，AB =AC =6，∠AE =4，∠cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∠BF=4，∠BE又∠BD=CE，∠∠ABD∠∠BCE（SAS），∠∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∠∠BDP=∠ADB，∠∠BDP∠∠ADB，∠BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∠BP PD=∠AP AD AP=-=∠∠ABP的周长=6AB BP AP++=+故答案为：6【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．9．三条边都相等60°【解析】略10．6【分析】过点D作DG∠CE，交AB于点G，先证明△AEF∠∠GDF（ASA），得到AE＝GD，GF＝AF，然后证明△GDB为等边三角形，由三角形面积之间的关系即可求得答案．【详解】解：过点D作DG∠CE，交AB于点G，∠∠E ＝∠GDF ，∠C ＝∠GDB ，∠DF ＝EF ，∠EF A ＝∠DFG ，∠∠AEF ∠∠GDF （ASA ），∠AE ＝GD ，GF ＝AF ，2GDF AEF S S ==△△，∠∠ABC 为等边三角形，∠∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°，∠DG ∠CE ，∠∠C ＝∠GDB ＝60°，∠BGD ＝∠BAC ＝60°，∠∠B ＝∠GDB ＝∠BGD ＝60°，∠∠GDB 为等边三角形，∠BG ＝GD ＝AE ，∠AE ＝2AF ，∠BG ＝2AF ＝2GF ，∠22GDB GDF AEF S S S ==△△△＝4，,∠BDF GDF GDB S S S =+△△△＝6，即△BDF 的面积为6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．11．14【分析】根据平行四边形的性质证得14AB AD +=，再证明OE 为线段BD 的垂直平分线，则BE=ED ，由ABE △的周长=+AB AD 即可求解．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠OB OD =，AB CD =，AD BC =，∠平行四边形的周长为28，∠14AB AD +=，∠OE BD ⊥，∠OE 是线段BD 的垂直平分线，∠BE ED =，∠ABE △的周长14AB BE AE AB AD =++=+=．【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明OE 是线段BD 的垂直平分线是解答的关键．12．90°-α【分析】由“SAS”可证△ACF ∠∠DCB ，得出∠CAF =∠BDC ，再由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∠四边形ACDE 和四边形BCFG 是正方形，∠AC =CD ，CF =CB ，∠ACF =∠DCB =90°，∠∠CAF +∠AFC =90°，在△ACF 和△DCB 中，AC DC ACF DCB CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACF ∠∠DCB （SAS ），∠∠CAF =∠BDC ，∠∠AFC =α，∠∠CAF =90°-∠AFC =90°-α，∠∠BDC =90°-α，故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．13．20°【分析】延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ，证明AEC △是等边三角形，设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ，再证明()△△ADC EBC SAS ≅，即可得到结果．【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∠2=++=+AE AD DB BE AD BD ，∠2=+AC AD BD ，∠AE AC =．∠60A ∠=︒，∠AEC △是等边三角形，∠60∠=∠=︒E ACE ，∠4∠=∠ABC ACD ，∠设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∠AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()△△ADC EBC SAS ≅，∠∠=∠=ACD ECB x ．∠∠=∠+∠ABC E BCE ，∠460=︒+x x ，∠20x =︒，∠60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．故答案是20︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．14．1【分析】设A ′B ′，A ′C ′交BC 于点E 、F ，由S △ABC =9、S △A ′EF =4且AD 为BC 边的中线知S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92，根据∠DA ′E ∠∠DAB 知(A D AD ')2='A DEABD S S ，据此求解可得．【详解】解：如图，设A’ B’，A’ C’交BC 于点E 、F ，∠S △ABC =9、S △A ′EF =4，且AD 为BC 边的中线，∠S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92， ∠将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到∠A 'B 'C '，∠A ′E ∠AB ，∠∠DA ′E ∠∠DAB ，则(A D AD ')2='A DEABD S S ，即(3'A D )2=49， 解得A ′D =2（负值舍去），321AA AD A D ''∴=-=-=故答案为：1．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．15．(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A 作AD ∠ON 于D ，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD 可得答案；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，则卡车在BC 段对学校A 有影响，利用勾股定理求出BD 和CD 的长，从而求出时间．（1）解：过A 作AD ON⊥，垂足为D ，由垂线段最短可知AD 为所求，∠30MON ∠=︒，80OA =米， ∠12AD OA =40=米， 答：噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，由题意，卡车P 到达B 点时开始对学校产生噪声影响，到达C 点时结束噪声影响，由（1）知AD ＝40米，∠30BD =米，同理可得：30CD =米，∠60BC =米，∠卡车的行驶速度为5米/秒，∠给学校A 带来噪声影响的总时间为60512÷=（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．16．(1)2【分析】（1）由菱形的性质得AB =BC =2，∠BCA =∠DCA =12∠BCD =60°，再证∠ABC 是等边三角形即可； （2）由三角形中位线定理得EF =12BD ，再由菱形的性质得AO =12AC =1，BO =DO ，AC ∠BD ，最后运用勾股定理解答即可．（1）解： 四边形ABCD 是菱形，∠AB BC =，BCA DCA ∠=∠，∠120BCD ∠=︒，∠60BCA ∠=︒ABC 是等边三角形∠2AC AB ==．（2）解：∠E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∠EF 是中位线，∠12EF BD =．又∠四边形ABCD 是菱形，∠112AO AC ==，AC BD ⊥，∠90AOB ∠=︒，∠在Rt AOB 中，由勾股定理得，222BO AB AO =-，∠22221BO =-，∠BO =∠2BD BO ==12EF BD =【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．17．∠∠∠【分析】首先延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，根据全等三角形的性质，得出∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，再根据等边对等角，得出∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ， 又因为∠ABD +∠EBC ＝180°，进而得出∠ABD ＝∠EBC ＝90°，再利用三角形的内角和等于180︒，得出∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，即可证明∠正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB +∠ECB ＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD ＝∠BEC ，进而得出∠BAD +∠ECB ＝90°，即可证明∠正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，再根据∠ECB ＝∠ECD +∠BCD ＝∠ECD +45°，又因为∠ADB ＝∠ECB ，得出∠EAD ＝∠ECD ，即可证明∠正确．【详解】解：延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，∠∠ABD ∠∠EBC ，∠∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，∠∠ABD +∠EBC ＝180°，∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ，∠∠ABD ＝∠EBC ＝90°，∠∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，∠∠BAE +∠BCD ＝90°，∠∠AMC ＝90°，∠CD ∠AE ，故∠正确；∠∠CEB +∠ECB ＝90°，∠BAD ＝∠BEC ，∠∠BAD +∠ECB ＝90°，∠∠ANC ＝90°，∠AD ∠CE ，故∠正确；∠∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∠∠EAD＝∠ECD，故∠正确；故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．18．等边6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明∠ACE∠∠CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证∠CEF∠∠GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∠BC＝2BD，∠BD＝CD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠BAD＝∠DAC＝30°，∠点D关于直线AC的对称点为点E，∠AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∠∠DAE＝60°，∠∠ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∠点D关于直线AC的对称点为点E．∠∠ACD∠∠ACE，∠CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∠BG＝CD，∠CE＝BG，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∠∠ACD＝∠GBC＝120°，∠∠ACE＝∠GBC＝120°，∠∠ACE∠∠CBG（S A S），∠AE＝CG，∠∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∠∠BCE+∠BGC＝180°，∠BG∠CE，∠∠G＝∠FCE，∠F为BE的中点，∠BF＝EF，∠∠BFG＝∠CFE，∠∠CEF∠∠GBF（AA S），∠CF＝GF，∠CF＝12CG＝12AE＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．19．证明见解析【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，由旋转的性质可得△BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，由全等三角形的性质可得BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，由三角形内角和定理求出∠EAD＝90°，结合勾股定理可得结论．【详解】解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接DE，∠∠BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，∠BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，∠∠BED是等边三角形，∠DE＝BD，在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，∠60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°，∠∠AED+∠ADE+∠BDC+∠ADB＝120°，∠∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°，∠∠EAD＝90°，∠222=+，DE AE AD∠222BD CD AD=+．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是本题的关键．。
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质（参考用时:30分钟）基础达标1.下列三角形，①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60。
的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是（A）（A）3个（B）2个（C）l个（D）0个2.如图，在RtAABC中,CM平分NACB交AB于点M,过点M作MX//BC 交AC于点N,且MN平分/AMC.若AN=1,则BC的长为（B）(A)4(B)6(C)4a/3(D)8第2题图3.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则ZBAD=30°第3题图4.如图，己知ZA0B=30°，点P在边0A上，点M,N在边0B上,且PM=PN=10,MN=12,则0P二16.第4题图5.如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，匕BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将AABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150度.第5题图6.如图，等边AABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC,求证:AD=BE.证明：在等边△A BC41,ZBAC=ZACB=60°,AB=AC,所以ZBAE=ZACD=120°.因为AE=CD,所以△A BE^ACAD.所以AD=BE.7.己知:如图，点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.ft证明：过点D作DM/7BE交AC于点M,则有ZMDF=ZE.在ZXMDF与Z\CEF中，因为NMFD=NCFE,FD二FE, ZMDF=ZE,所以△M DF^ACEF,所以DM=CE.因为AABC为等边三角形，所以ZA=ZB=60&.因为DM〃BE,所以ZADM=ZB=60w,ZADM=ZA=60°,所以AADM为等边三角形，所以DM=AD,所以AD=CE.8.如图所示，己知a〃b,c〃b,试用反证法证明：a〃c.证明：假设a与c不平行，即a与c相交,不妨设交点为P,由于a〃b,c 〃b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立.所以a〃c.9.如图，在RtAABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=3,AD是Z\ABC的角平分线,DE±AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是AABC的角平分线，所以NEAD=/CAD.因为ZACB=90°,DE_LAB,所以ZACD=ZAED.在Z\ACD与Z\AED中，ZACD=ZAED=90°,ZEAD=ZCAD,AD=AD,所以△A CD竺△AED,所以AE=AC.因为ZB=30。
人教版八年级上册数学 全等三角形综合测试卷(word含答案)
人教版八年级上册数学全等三角形综合测试卷（word含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5．∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．3．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则∠C=12∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；若∠EBC=∠C，则∠C=12∠ABC，∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，∴∠ABF=∠EBD，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，又∵∠BAD=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．4．如图，在等边ABC∆中取点P使得PA，PB，PC的长分别为3， 4， 5，则APC APBS S∆∆+=_________．【答案】936【解析】【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边3S△ADP＋S△BPD＝3 4×32＋12×3×4＝9364+．【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60︒，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60︒，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60︒，∴△ADP为等边三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF，在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.8．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，8BD=，2DC=，线段AC交线段DE于点F，若AF BD=，则AC=__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE∆≅∆，而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.【详解】解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (58)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)如图，在边长为4的等边ABC 中，点D 、E 分别是边AC 和AB 的一点； ()1如图1，当CD AE =时，连接BD 、CE ，设BD 与CE 交于点O ，①求证：BD CE =；②求BOC ∠的度数；()2如图2，点F 是边BC 的中点，点D 是边AC 的中点，过F 作EF DF ⊥交边AB 于点E ，连接DE ，请你利用目前所学知识试说明：23DE <<．【答案】（1）BD EC =；120；（2）23DE <<【解析】【分析】()1根据等边三角形的性质得到60A ACB ABC ∠=∠=∠=，AC BC =，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到ACE DBC ∠=∠，根据三角形的内角和即可得到结论；()2延长DF 到G 使DF FG =，连EG ，BG ，根据垂直平分线的性质得到ED EG =，根据全等三角形的性质得到DC BG =，推出CDF 是等边三角形，于是得到60DFC ∠=，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：()1ABC①是等边三角形，60A ACB ABC∴∠=∠=∠=，AC BC=，∴在AEC与CDB中AE CDA DCBAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEC∴≌()CDB SAS，BD EC∴=；②由①证得AEC≌CDB，ACE DBC∴∠=∠，EOB DBC OCB∴∠=∠+∠ACE OCB=∠+∠60ACB=∠=，180BOC BOE∴∠=-∠18060=-120=；()2延长DF到G使DF FG=，连EG，BG，EF DF⊥，DF FG=，EF∴垂直平分DG，ED EG ∴=，在FCD 与FBG 中，BF CF BFG CFD FG FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FCD ∴≌()FBG SAS ，DC BG ∴=，又D 是AC 中点，4AC =，2DC BG ∴==，又F 是BC 中点，4BC =，2BF ∴=，由CD CF =，且60C ∠=CDF ∴是等边三角形，60DFC ∴∠=，又90DFC ∠=30EFB ∴∠=，180603090BEF ∴∠=--=，112122BE BF ∴==⨯=， 13EG ∴<<，又2DE EG DF =>=，23DE ∴<<．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．72．已知：如图，AE ＝AD ，BE ＝CD ．求证：∠B ＝∠C ．【答案】证明见解析；【解析】【分析】先根据全等三角形的判定定理SAS 判定△ABD ≌△ACE ，然后由全等三角形的对应角相等知∠ABD=∠ACE ；最后根据等角的补角相等推知∠EBD=∠DCE ．【详解】证明：AE ADBE CD AE BE AD CDAB AC==∴+=+∴= 在△ABD 与△ACE 中∵AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△△ACE(SAS)∴∴B=∴C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.73．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线DE对折，点B 刚好与点A重合，连结AD，∠DAE与∠DAC的度数之比为2∶1，求∠B的度数．【答案】36°【解析】【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．【详解】解：由翻折的性质知，DE平分∠ADB，所以∠ADE＝∠BDE，∠DAB＝∠B.又因为∠DAE与∠DAC的度数之比为2∶1，所以设∠DAC＝x°，则∠B＝∠DAB＝2x°.因为∠C＝90°，根据三角形的内角和为180°，得x°＋2x°＋2x°＝90°，解得x＝18，所以∠B＝36°.【点睛】考查的是线段垂直平分线的性质，解题关键是运用线段垂直平分线的性质．74．如图甲所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC . BF 与CE 相交于点M（1）求证：①△ACE ≌△AFB ；②EC ⊥BF.（2）如图乙连接EF ，画出△ABC 边BC 上的高线AD,延长DA 交EF 于点N ，其他条件不变，下列四个结论：①∠EAN=∠ABC ；②△AEN ≌△BAD ；③AEF ABC S S ∆∆=；④EN=FN 。
八年级-人教版-数学-上册-[基础诊断]第3课时 等边三角形的性质和判定
![八年级-人教版-数学-上册-[基础诊断]第3课时 等边三角形的性质和判定](https://img.taocdn.com/s3/m/1c28c7fc294ac850ad02de80d4d8d15abf23001c.png)
第3课时等边三角形的性质和判定1．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α＝（）．A．60°B．42°C．36°D．30°2．下列条件不能得到等边三角形的是（）．A．有一个内角是60°的锐角三角形B．有一个内角是60°的等腰三角形C．顶角和底角相等的等腰三角形D．腰和底边相等的等腰三角形3．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到点E，使CE ＝CD，则BE＝（）．A．7B．8C．9D．104．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝12BC，连接CE并延长，交AB于点F，则∠AFE＝（）．A．100°B．105°C．110°D．115°5．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，AE＝AD，则∠ADE的度数为_______．6．已知△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．试判断△APQ的形状，并说明你的理由．参考答案1．【答案】B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°．∵l∥m，∴∠1＝∠ABC＋18°＝78°．∴∠α＝180°－∠A－∠1＝180°－60°－78°＝42°．2．【答案】A【解析】选项B：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；选项C：若等腰三角形的顶角和底角相等，则这个等腰三角形的三个内角相等，所以这个等腰三角形是等边三角形；选项D：若等腰三角形的腰和底边相等，则这个等腰三角形的三边相等，所以这个等腰三角形是等边三角形．3．【答案】C【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6．∵BD是AC边上的高，∴AD＝CD＝12AC＝3．∵CE＝CD，∴CE＝3，∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9．4．【答案】B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝12BC．∴∠CDE＝90°．∵DE＝12 BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°．∴∠AEF＝∠DEC＝45°．∴∠AFE ＝180°－∠BAD －∠AEF ＝105°．5．【答案】75°【解析】∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°．∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ＝30°． ∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180302-＝75°． 6．【答案】解：△APQ 为等边三角形．理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ．在△ABP 与△ACQ 中，∵C A ABP A Q B B A P C C Q ∠∠=⎧⎪⎨⎪=⎩=，，，∴△ABP ≌△ACQ （SAS ）．∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ ．∵∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AC ＝60°，∴∠P AQ ＝∠CAQ ＋∠P AC ＝60°．∴△APQ 是等边三角形．。
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13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
01基础题
知识点1等边三角形的性质
1△．等边ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．如图△，过等边ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A．100°B．80°C．60°D．40°
3．如图△，ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°.
4．如图△，等边ABC的边长如图所示，那么y＝3．
5．如图所示△，ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．
6．如图所示△，等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.
证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝30°.
∴∠E＝∠ACB＝30°.
1
2
又∵CE＝CD，
1
2
∴∠DBE＝∠E.
∴DB＝DE.
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF.
知识点2等边三角形的判定
7．下列推理错误的是(B)
A△．在ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
B△．在ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形
C△．在ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
D△．在ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形
8△．在ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°．
9．如图△，在ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°△.求证：ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
10．如图所示△，锐角ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：
△ABC是等边三角形．
证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
又∵∠BOE＝∠COD，
∴∠EBO＝∠DCO.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
02中档题
11．如图△，ABC是等边三角形，AD是角平分线△，ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为(A)
A．3B．2C．1D．0
12．如图，点A，B，C在一条直线上△，ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于P，连接CD，分别交BE，AE于Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B)
A．45°B．60°C．75°D．90°
⎧AB ＝CB ，
13．如图，将边长为 5 cm 的等边△ABC ，沿 BC 向右平移 3 cm △，得到
DEF ，DE 交 AC 于 M ，则
△MEC 是等边三角形，DM ＝3cm .
14．如图△，等边 ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为 AD 上一点，以 BE 为一边且在 BE 下方作 等边△BEF ，连接 CF.
(1)求证：AE ＝CF ；
(2)求∠ACF 的度数．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝CB ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.
∵△BEF 是等边三角形，
∴EB ＝FB ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.
∴∠ABE ＝∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中，
⎪
⎨∠ABE ＝∠CBF ， ⎪⎩EB ＝FB ，
∴△ABE ≌△CBF(SAS)．∴AE ＝CF.
(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.
∵△ABE ≌△CBF ，
∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.
∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.
03
综合题
15．(泰安中考)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)．求证：BE＝AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由．
图1图2
解：(1)证明：过点D作BC的平行线交AC于点F.
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠FDC＝∠DCE.
∴△ADF是等边三角形．
∴AD＝DF，∠AFD＝60°.
∴∠DFC＝180°－60°＝120°.
∵∠EBD＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠EBD.
∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.
∴△DBE≌△CFD(AAS)．
∴BE＝DF.∴BE＝AD.
(2)BE＝AD成立．理由如下：
过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.
同(1)可证△ADG是等边三角形，
∴AD＝DG，∠AGD＝60°.
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝∠AGD.
∵∠GDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，
∴∠GDC＝∠DEC，ED＝CD.
∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝DG.∴BE＝AD.。