倾斜角与斜率.ppt
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倾斜角与斜率 .ppt
tan y2 y1
x2 x1
y
y
P1(x1, y1)
P2 ( x2 , y2 )
o
x
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
o
x
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，
k y2 y1 还适用吗？为什么？ x2 x1
适用
y
P1(x1, y1) P2 (x2 , y2 )
l
y
O
l
l
P
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直线 的倾斜程度？
一、直线的倾斜角
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
yl
α
o
规定：当直线l和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°.
直线倾斜角α的范围为：
x
0o 180o.
注意：1、对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件: ①x轴正、方向； ②直线向上的方向； ③小于180°的非负角. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的范围为__0_°__≤__α__<1_8_0_°__.
提示：(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度. (2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应. (3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一 个点P和一个倾斜角α. (4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公 式中的次序可以同时调换. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 及 0 k知CA，直0 线AB与CA的倾斜角均为锐角；
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
2.1直线的倾斜角与斜率共26页PPT资料
升 高
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
前进
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角的正切值叫做这
条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0。90。
k(0,)
O
x
(1)
y
90。
k值不存在
O
x
(3)
kta n
y 90。18。 0
k(,0)
O
x
(2)
y
0。
k0
O
x
(4)
斜率公式
如何用两点的坐标表示直线的斜率?(α为锐角)
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直 l上 线的两个不同
o px
o p x
y
p
l
o
x
l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角0°.
直线的倾斜角
• 倾斜角的取值范围是
y
l
x o
0。18。 0
• 坐标平面上的任何一条直线都有唯一
的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定
一条直线的方向.
• 倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度.
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可．
y
l
2.1直线的倾斜角与斜率课件
注意： (1)轴的正方向；
(2)直线向上方向；
(3)当直线 与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
0°≤α<180°
l
α
o
o
6
新知探究
思考2: 直线a//b，那么它们的倾斜角ɑ相等吗？
y
a b
o
x
方向相同的直线，倾斜程度相同，倾斜角相等；
思考3: 一个倾斜角ɑ能确定一条直线吗？
一点+倾斜角
为1的直线2;
(2)经过C(3，1)，D(-2，0)两点的直线3，与经过点M(1，一4)且斜
率为-5的直线4.
2.试确定m 的值，使过A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过P(1，2)，
Q(-5，0)两点的直线:
(1)平行;(2)垂直.
25
26
巩固练习
练习4（课本P58习题2.1T4)
三点共线问题：
因此四边形ABCD是平行四边形
y
D
C
x
B
22
新知探究
探究四
l1⊥l2 时,k1 与k2 满足什么关系？
l1 的方向向量为a=(1，k1)
y
l1
l2 的方向向量为b=(1，k2)
l1⊥l2 a·b=0 1+k1·k2=0
k1·k2=-1
x
O
l2
两条直线垂直的判定：
当直线l1,l2斜率都存在时，若l1⊥l2,则k1·k2=-1
2）一点和一个方向也可以确定一条直线
无数
2、一个点可以确定_____条直线，这些直线的区别
是什么？
B
3、如何描述直线的倾斜程度（方向）?
oห้องสมุดไป่ตู้
(2)直线向上方向；
(3)当直线 与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
0°≤α<180°
l
α
o
o
6
新知探究
思考2: 直线a//b，那么它们的倾斜角ɑ相等吗？
y
a b
o
x
方向相同的直线，倾斜程度相同，倾斜角相等；
思考3: 一个倾斜角ɑ能确定一条直线吗？
一点+倾斜角
为1的直线2;
(2)经过C(3，1)，D(-2，0)两点的直线3，与经过点M(1，一4)且斜
率为-5的直线4.
2.试确定m 的值，使过A(m，1)，B(-1，m)两点的直线与过P(1，2)，
Q(-5，0)两点的直线:
(1)平行;(2)垂直.
25
26
巩固练习
练习4（课本P58习题2.1T4)
三点共线问题：
因此四边形ABCD是平行四边形
y
D
C
x
B
22
新知探究
探究四
l1⊥l2 时,k1 与k2 满足什么关系？
l1 的方向向量为a=(1，k1)
y
l1
l2 的方向向量为b=(1，k2)
l1⊥l2 a·b=0 1+k1·k2=0
k1·k2=-1
x
O
l2
两条直线垂直的判定：
当直线l1,l2斜率都存在时，若l1⊥l2,则k1·k2=-1
2）一点和一个方向也可以确定一条直线
无数
2、一个点可以确定_____条直线，这些直线的区别
是什么？
B
3、如何描述直线的倾斜程度（方向）?
oห้องสมุดไป่ตู้
倾斜角与斜率的关系及几何意义PPT课件
例题：已知直线l的倾斜角为，斜率为k
（1） 45 ,60 时，则斜率k的取值范围_____[1, 3 ) (2) 45 ,135 时，则斜率k的取值范围_____(,1) [1,)
(3)k 0，1时，则倾斜角的取值范围_____[0 ,45 ] (4)k 1，1时，则倾斜角的取值范围_____[0 ,45 ] [135 ,180 )
第4页/共6页
例题：已知两点A (-2，- 3) ，B(3，0) ，过点P(-1，2)的直线l与线段AB 始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
P·
·
B
·
A
直线PA的斜率为5 直线PB的斜率为-1/2 直线L的倾斜角大于直线PA的倾斜角，
小于直线PB的倾斜角
1、当直线倾斜角大于直线PA的倾斜角，逐渐接近90度时，斜率的范围为[5,+∞） 2、当直线倾斜角大于90度逐渐靠近直线PB时，斜率的范围为（-∞，-1/2]
综上所述直线L的斜率k∈ （-∞，-1/2]∪[5,+∞）
第5页/共6页
感谢您的观看！
第6页/共6页
直线pa的斜率为5直线pb的斜率为12直线l的倾斜角大于直线pa的倾斜角小于直线pb的倾斜角1当直线倾斜角大于直线pa的倾斜角逐渐接近90度时斜率的范围为52当直线倾斜角大于90度逐渐靠近直线pb时斜率的范围为12综上所述直线l的斜率k125
直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
参考定义：一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重
合y
时
，
所
转
过
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
栏目 导引
第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用1】 (1)已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四
象限，则直线l的倾斜角α的最大值为
( )．
A．135°
B．90° C．45° D．30°
(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为
( )．
A．k1＜k2＜k3 C．k2＜k1＜k3
探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存 在吗？ (2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点 有关吗？ 提示 (1)90° 不存在 (2)无关
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类型一 直线的倾斜角与斜率的概念
【例1】 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则 直线l和倾斜角为________． [思路探索] 直线的倾斜角的定义中 强调直线向上方向与x轴正向所成的 角，才是直线的倾斜角，因而将l与y 轴正向所成的30°角转化即可．
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【课标要求】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2．掌握求直线斜率的两种方法． 3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
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【核心扫描】 1．求直线的倾斜角和斜率．(重点) 2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点) 3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)
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类型二 求斜率及其范围
【例2】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)， B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． [思路探索] 由已知画出图形，由斜率公式求出kPA， kPB，利用数形结合思想解决． 解 根据题中的条件可画出图形，如图所示， 又可得直线 PA 的斜率 kPA＝－32，直线 PB 的 斜率 kPB＝43，
?
?－∞，－
?
3 2
?
?.
?
综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是
?
?－∞，－
?
3 2
??∪??4，＋∞ ? ?3
?
?.
?
[规律方法 ] (1)由倾斜角 (或范围 )求斜率 (或范围 )利用定义式 k
＝tan α (α≠90° )解决
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－xy11(x1≠ x2)求解．
温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：
(1)直线与x轴相交；
(2)x轴正方向；
(3)直线向上的方向
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2．斜率的概念及斜率公式
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值_____ 叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝_ta_n__α____
当α＝0°时，_k_＝___0_;当0°＜α＜90°时，__k_＞__0__; 取值范围 当90°＜α＜180°时，___k_＜__0___；当α＝90°时，
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
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【活学活用2】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的 直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图所示，由题意可知 kPA＝－4－3－01
＝－1，kPB＝23－ －01＝1.
(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 k≤－1，或 k≥1. (2)由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角 之间， 又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
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新知导学
1．倾斜角的概念和范围
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_正__方__向__
与直线l_向__上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
当直线l与x轴_平__行__或_重__合__时，我们规定它的倾斜角为
0°.直线的倾斜角α的范围是_0_°__≤α＜_1_8_0_°_．
斜率___不__存__在____
过两点的 直线的斜 率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率
k＝
y2－y1 __x_2－__x_1__
＝xy11－－xy22(x1≠
x2)
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温馨提示 (1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联 系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾 斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直 线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便． (2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：
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解析 有两种情况： ①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即 直线l的倾斜角为120°. 答案 60°或120° [规律方法] (1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图 形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况． (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜ 90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
平行(或重 直线情况
合)于x轴
由左向 右上升
垂直于 x轴
由右向 左上升
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
斜率的 0
取值范围
(0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
斜率的 增减性
单调增
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单调增
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互动探究
探究点1 ห้องสมุดไป่ตู้角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜 角？ 提示 是．
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结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时，它
的倾斜角逐渐增大到
90°，故斜率的取值范围为
???43，＋∞
?
?，
?
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角
由 90 ° 增 大 到 PA 的 倾 斜 角 ， 故 斜 率 的 变 化 范 围 是
B．k1＜k3＜k2 D．k3＜k2＜k1
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解析 (1)如图，因为直线l不经过第四象限， 故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0，0) 时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为 45°，故选C. (2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜ α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，选A. 答案 (1)C (2)A