2020年安庆市高三模拟考试(二模)理科数学试题

2 2 ≠2020 年安徽省安庆市高三模拟考试数学试题（理科）第 I 卷一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A = {x x +1 > 0}， B = {x x 2 + 5x - 6 < 0}，则 A B = A. (-1，1)B. (-1，2)C. (-1，3)D. (-1，6)【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、 一元二次不等式解集的计算方法.1.A.解析： A = {x x > -1}， B = {x - 6 < x < 1}，所以 A B = {x -1 < x < 1}.故选 A. 2. 已知i 为虚数单位，复数 z 满足(1+ i 3 )z = 2 ，则下列判断正确的是A. z 的虚部为iB. z = 2C. z ⋅ z = 2D. z 2 = 2【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 2. C. 解析： z =2 1+ i3 = 2 1- i= 1+ i ， 其虚部为1 ， A 错； z = = ， B 错；z ⋅ z = (1+ i)(1- i) = 2 ，C 正确； z 2 = (1+ i)2 = 2i ≠ 2 ，D 错误.故选 C.3. 设 p ： 0 < log x < 1 ， q ： 2x> 1 ，则 p 是 q 成立的A. 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力.3.A.解析： p ：1 < x < 2 ， q ： x > 0 ，而{x 1 < x < 2}⊂{x x > 0}，所以 p 是 q 成立的充分不必要条件.故选 A. 4. 函数 f (x ) =x sin x 的大致图象是x 2-112 +12【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力.4.A.解析： 函数 f (x ) 的定义域为 {x ∈ R x ≠ ±1}，且为偶函数， 排除选择支 C , D ； 当x ∈(1,π) 时， f (x ) > 0 ，排除 B ，故选 A.5. 等比数列{a }的前 n 项和为 S .若 a a = 2a 2 ， S =15，则 a + a =nn3 6542243 A.B.25 C. 32 D. 402【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.2a 1 a (1- q 4 ) 15 5.B.解析：设公比为q ，则 a 4 a 5 = 2a 5 ，所以q = 5 = a 4 ， 1 = 21- q 2 ，解得a 1 = 4 ，a 2 = 2 ， a 4 = 1 ， a 2 2 + a 4 = 5 ，故选 B. 26. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错．误．的是A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数 据的能力.6. D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出⨯恩格尔系数”，计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确；71 209 244 159 47 1074 1392 4078 15642011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为=9050 - 7486= 20.892% ，人均食品支出7486总额增长比率为= 9050 ⨯ 0.43 - 7486 ⨯ 0.42= 23.771% ，故 D 错误.选 D.7486 ⨯ 0.427. 已知矩形 ABCD ， AB = 2 AD = 4 ， E ， F 分别为 AB ， CD 的中点，将四边形 AEFD 沿 EF 折起,使∠AEB = 120 ，则过 A ， B ， C ， D ， E ， F 六点的球的表面积为A. 5 π 2B. 5πC. 10πD. 20π【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050 67 61 61 56 52 50 52494243142.04172.63300.12412.16465.44711048.32 1669.92 3144.12 3891.53 2 5 5 π 7.D解析：方法一：折起的如图所示，其中O 1 ，O 2 分别为正方形 AEFD 和 BCFE 的中心,O 为过 A ， B ， C ， D ， E ， F 六点的球的球心， G 为 EF 中点，则OO 1 ， OO 2 分别垂直于这两个平面，且∠OGO 1 = ∠OGO 2 = 60 °，所以OO 1 = O 1G tan ∠OGO 1 = ， 而O A = 1AF = ，所以OA = = ，所以球的表面积为4π ⋅ OA 2 = 20π . 1 2方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且∠AEB = 120 ，HD = HF = HC = GA = GE = GB = 2 ，因此球心为GH 的中点，DO = = ，所以球的表面积为 4π ⋅ OA 2 = 20π .故应选 D.8. 已知函数 f (x ) = 2 sin 2 ωx ，（ω> 0 ）的最小正周期为π ，若将其图象沿 x 轴向右平移m （ m > 0 ）个单位，所得图象关于 x = 对称，则实数 m 的最小值为3π π A.B ．43C ．3π D ． π4【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单 调性）的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解 与转换.考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算 求解能力.8.B.解析：f (x ) = - cos 2ωx +1，由其最小正周期为π ，有ω= 1 ，所以 f (x ) = - cos 2x +1，将其图象沿 x 轴向右平移m （ m > 0 ）个单位，所得图象对应函数为y = - cos(2x - 2m ) +1，其图象关于 x = π 对称，则有cos( 2π- 2m ) = ±1，3 32π - 2m = k π, k ∈ Z ， m = π - k π , k ∈ Z ，由 m > 0 ，实数m 的最小值为 π.选 B. 3 3 2 39. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的程序框图， 那么由框图可知，在 2000～3000 年中年份是闰年的个数OO 2 + O A 2 1 1DH 2 + HO 23 3 3 2 是A.241B.242C.243D.244【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想.9．C.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除．由 2000 + (n -1) ⨯ 4 < 3000 ，得 n < 251 ，所以在 2000～3000 年中，年份能被 4 整除个数是 250. 同理可得，在 2000～3000 年中，年份能被 100、400 整除个数分别是 10 和 3， 所以闰年的个数为 250 -10 + 3 = 243，故应选 C.10. 已知抛物线C : y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点为 F ，准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 作圆⎛p ⎫22p 2 px - ⎪ + y⎝ ⎭= 的切线，切点分别为点 A ， B . 若 AB 4= ，则 的值为A. 1B.C. 2D. 3【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系的分析能力.10.C.解析：连接 FA ，因为 F 就是圆⎛ x - ⎝ p ⎫2⎪ ⎭+ y 2 =p 2的圆心， 4 所以 FA ⊥ KA ，且 FA = p.2又 KF = p ，所以∠AKF = 30 °，那么∠AKB = 60 °，所以△ AKB 是等边三角形，所以 AB = AK =又 AB = ，所以 p = 2 .故应选 C.3 p .211. 棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P , Q 分别为C 1D 1 , BC 的中点，现有下列结25 论：① PQ // BD 1 ；② PQ // 平面 BB 1D 1D ；③ PQ ⊥ 平面 AB 1C ；④四面体 D 1 - PQB 的 1体积等于 24A.①③B.②③C.②④D.③④.其中正确的是【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以 及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力.11.C.解析：取 AD 中点 M ，连接 MD 1 与 MQ ，则 MQ //D 1C 1 ，B ⊄ 平面 MQC 1D 1 ，则 PQ与 BD 1 异面，矛盾，故①错误；取CD 中点 R ，易得平面 PQR // 平面 BB 1D 1D ，故②正确；若③正确，则 PQ ⊥ B 1C ,则C 1Q ⊥ B 1C ，矛盾，故③错误；（另解：由结论 BD 1 ⊥ 平面 AB 1C 和①知 PQ ，BD 1 不平行也可判断错误）.V= V = V = 1⨯ (1 ⨯ 1 ⨯ 1)⨯ 1 = 1，故④ 三棱锥D 1 -PQB正确三棱锥C 1 -PQB 三棱锥P -C 1QB3 2 2 2 24（④也可以这样判断：过点 B 作C 1Q 的垂线，垂足为 H ， BH ⊥ C 1D 1 ，因此， BH ⊥ 平5 5 1 1 1 1 5 1面 D 1PQ ， BH = 5， C 1Q =2 ，V 三棱锥D -PQB =3 S ∆D PQ ⋅ B H = ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 5 = 24.或者V= V1 1-V= 1 S ⋅ PD 3 2 2 2 = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 = 1 ）.故选 C.三棱锥D 1 - PQB三棱锥D 1 -C 1QB三棱锥P -C 1QB 3 ∆C 1QB 1 3 4 2 2412. 函数 f (x ) = ln x - ax 恰有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 . 则 x 1 所在区间为1 1 1 1 ⎪ A. ⎛ 0，1 ⎫B. ⎛ 1 1 ⎫C. ⎛ 1 1⎫D. ⎛1，1⎫e 3 ⎪e 3 ， 2 ⎪ e 2 ， ⎪ e ⎪ ⎝⎭⎝e ⎭ ⎝e ⎭ ⎝⎭【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求 解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想.12. D.解析：方法一：当 a ≤ 0 时不符合题意；当 a > 0 时，考查函数 g (x ) = ln x 与h (x ) = ax 图 象易知， g (x ) 与 h (x ) 图象在区间(0,1) 上必有一个交点，则在区间(1,+∞) 上有且仅有一个公共点，当 x ∈(1,+∞) 时， f (x ) = ln x - ax ， f '(x ) =1- ax ，则 f (x ) 在x(0, 1 ) 上单调递增，在( 1 a a,+∞) 上单调递减，所以 [ f (x )] = f ( )= ln -1 ，则只需ln -1 = 0 ，故 a = ，当 x ∈(0,1) maxa a a e时， f (x ) = - ln x - 1 x ，易知 e 1f ( ) e = 1- 1 e 2 > 0 ， f (1) = - 1 < 0 ，可e 知 x ∈ 11）.1 （ e，⎧ln x，x > 1方法二：令 f (x ) = ln x - ax = 0 ， a = x ⎪ x⎨ ln x - ⎩ x, 0 < x < 1作出图形如下，可知函数y = ln x 在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)单调递减，x y = - ln x 在(0,1)上单调递减，x由题意可知， a = ln e = 1，而e eln 1 ln 1- e 3 =3e 3 > - e 2 ln 1 = 2e 2 > - e =e > 11 1 1 ee 3e 2e故应选 D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知向量 a = (1， 3) ， a - b = 1 ，a 与 a - b 的夹角为60 ，则 a ⋅ b = .【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考 生的逻辑思维能力和运算求解能力.ln x =4 13.3.解析：由于 a = 2 ，a ⋅ (a - b)- b cos 60 = 1，所以 a 2- a ⋅ b = 1 ，所以 a ⋅ b = 3 . 14. 等差数列{a n }中， a 2 + 2a 16 < a 1 < 3a 11 ， S n 是其前 n 项和，则使 S n 取最大值的 n 的值为.【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.14.16. 解析： 方法 1 ： 设公差为 d ， 由 a 2 + 2a 16 < a 1 < 3a 11 得 31d < -2a 1 < 30d ， 故a 16 = a 1 +15d > 0 ， a 16 + a 17 = 2a 1 + 31d < 0 ，即 a 17 < -a 16 < 0 ，所以 n = 16 时， S n 取得最大值.方法 2 ： 设公差为 d ， 由 a 2 + 2a 16 < a 1 < 3a 11 得 31d < -2a 1 < 30d， 故 d < 0 ， 且15 < - a 1 < 31 ，又因为 S = d n 2 + (a - d )n ，其对应为二次函数 y = d x 2 + (a - d)x 的d 2 n 2 1 2 2 12图像开口向下，对称轴为 x = 1 - a 1 ∈⎛ 31 ,16⎫，故 n = 16 时， S 取得最大值.⎪ n2 d ⎝ 2 ⎭15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线段 AB 的三等分点且 AC = 2CB ，分别以线段 AB ，AC ，BC 为直径且在 AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）. 现等可能地从以 AB 为直径的半圆内任取一点， 则该点落在鞋匠刀形内的概率为.【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.15. . 解析：设 AC = 2r , BC = 2r ，则 AB = 2r + 2r ， r = 2r ，于是阴影部分的面积91 2 1 2 1 2π(r + r )2 πr 2 πr 2 为：12- 1- 2= πr 1r 2 ，于是所求概率为222πr r2r r 4r 2 4P = 1 2 = 1 2 = 2 = . π(r + r )2(r + r )2 (3r )2 9121 2 22a a5- ⋅216. 已知双曲线C : x 22 = 1(a > 0 ，b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，双曲线C 的一a b条渐近线方程记为 y = tan α⋅ x (0 < α< π) ，直线l : y = tan αx 与双曲线C 在第一 2 2象限交于点 P ，若OP ⊥ PF 2 ，则双曲线C 的离心率为.【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合 的思维方法和考生对数量关系的分析能力.16. -1 .解析：延长 F P 交直线 y = tan α⋅ x (0 < α< π于点 M ,则由角平分线的性质可2得 P 为 MF 2 的中点， OM= OF 2 ) 2= c ，易得 M (a ,b ) ， P (a + c , b) 代入双曲线 2 2x 2 y 2( a + c )22 (b )22 cC : - = 1 有C : - = 1 ，解得e = = -1 . a 2 b2 a 2b 2 a三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分.17.（本小题满分 12 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且（Ⅰ）求角 B 的大小；b +c a + c= sin A . sin B - sin C（Ⅱ）若△ ABC 的周长等于15 ，面积等于15 3 ，求 a ， b ， c 的值．4【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. b + c解析：（Ⅰ）由a + c=sin Asin B - sin C，根据正弦定理得52 yb +c =a ⇒b 2 -c 2 = a 2 + ac ⇒ a 2 + c 2 - b 2 = -ac ，a + cb - ca 2 + c 2 -b 2 1 2π根据余弦定理得cos B = = - ，由0 < B < π，所以 B =5 分2ac 2 3（Ⅱ）由 S= 1 ac sin B = 3 ac = 15 3，得 ac = 15 . 又 a + b + c = 15 ， ∆ABC2 4 4由（Ⅰ）知b 2 = a 2 + c 2 + ac = (a + c )2 -15 = (15 - b )2-15 ，所以b = 7 ， 化简得 a + c = 8.得 a = 3，c = 5 ，或者 a = 5，c = 3.所以 a = 3，b = 7, c = 5 ，或者 a = 5，b = 7, c = 3 ...................... 12 分18.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 ABCD 中， E 是线段 AD 的中点，∠ABD = ∠BCD = 90o ， AB = BD ，BC = DC = EC ．（Ⅰ）证明： BD ⊥ EC ；（Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值． 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本 方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及 计算考查考生的运算求解能力.解析：（Ⅰ）取线段 BD 的中点 F ，连接 EF 、CF .因为 E 是线段 AD 的中点，所以 EF / / AB ．又 AB ⊥ BD ，所以 EF ⊥BD ． 因为 BC = DC ， F 是 BD 的中点，所以CF ⊥ BD ．因为 EF ⊂ 平面 ECF ，CF ⊂ 平面 ECF ，EF CF = F ，所以 BD ⊥ 平面 ECF ，CE ⊂平面 ECF ，所以 BD ⊥ EC ． ............................... 5 分（Ⅱ）令 BC = DC = EC = a ，则 AB = BD = 2a ，那么 EF = 1AB =2a ， 22CF = 1 BD = 2 a ，所以 EF 2 + CF 2 = a 2 = EC 2 ，所以2 2EF ⊥ CF ．又 EF ⊥ BD ，CF ⊥ BD ，故可以点 F 为原点，射线 FC 、FD 、2 2 2 2 2 z 2 ⎩ 1 FE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．则⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ B 0 ，- 2 a ，0 ⎪ ， C 2 a ，0 ，0 ⎪ ， D 0 ，2 a ，0 ⎪ ， E 0 ，0 ，2 a ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 2 ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ 所以 BC = 2 a ， a ，0⎪ ， DC = a ，- a ，0 ⎪ ， EC = a ，0 ，- a ⎪ ． ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 22 ⎭ 设平面 BEC 、平面 DEC 的法向量分别为 m = ( x 1 ，y 1 ，z 1 ) ， n = ( x 2 ，y 2 ，z 2 ) ，⎧ 2 2⎧x = 1⎧⎪m ⋅ BC = 0⎪ 2 ax 1 + 2 ay 1 = 0 ⎪ 1由⎨ ，得⎨ ，取⎨ y 1 = -1 ，则 m = (1，-1，1) . ⎪⎩m ⋅ EC = 0⎪ 2 ax -2 az = 0 ⎪z = 1 ⎩⎪ 2 1 2 1 ⎩ 1⎧ 2 ax -2 ay = 0 ⎧x = 1⎧⎪n ⋅ DC = 0 ⎪ 2 2 2 2⎪ 1 由⎨ ，得⎨，取⎨ y 1 = 1，则 n = (1，1，1) .⎪⎩n ⋅ EC = 0 ⎪ 2 ax - ⎩⎪ 2 22 az = 0 ⎪ 2所以cos 〈m ，n 〉 = m ⋅ n= 1⨯1-1⨯1+ 1⨯1 = 1 .m n12 +12 +12 31 故平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值为 3.…………12 分解法二：令 BC = DC = EC = a ，由已知及（Ⅰ）可得： BE = ED = a ， 所以∆BCE ， ∆CDE 均为棱长为a 的正三角形.取CE 中点G ，则 BG ⊥ CE , DG ⊥ CE ，故∠BGD 为二面角 B - CE - D 的平面角，在∆BEG 中， BG = DG =3 a ， BD = 22a ，由余弦定理可得： cos ∠BGD =BG 2+ DG 2 - BD 2 2BG ⨯ DG = - 1 ,31故平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值为 .319.（本小题满分 12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超 市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民= 1C C 3C, P （ξ= 1）= 3 2 = C , P （ξ= 2）= 3 2 3 户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.（I ） 从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[3，4)（单位：kg)的概率是多少？②若抽取的 5 户中购买量在[3，6]（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在[3，6]（单位：kg)的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（II ） 将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值.【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和 应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率 的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.解析：（I ）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在[3,4)”发生的概率为 p =1 ......................................................................... 1 分4①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在[3,4) ”为 A ，则 P （A ）= 1- C 1 1 (1- 1)4 - (1- 1)5 = 47……… 3 分54 4 4 128 .②随机变量ξ所有可能的取值为 0，1，2.则P （ξ= 0）= 3 = 1 5 10C 2C 1 3 3 5 C 1C 2 3 5 = 3 , 10 5a 2 - c 2 10 y ξ 0 1 2P （ξ）1 10 353 10所以 E (ξ) = 1⨯ 3 + 2 ⨯ 3 = 6…………………7 分5 10 5（II ）每天对甲类生活物资的需求平均值为1.5⨯ 0.10 +2.5⨯ 0.30 +3.5⨯ 0.25 +4.5⨯ 0.20 +5.5⨯ 0.15 = 3.5 （kg ）……… 8 分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4,6]，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为 p = 0.35 ，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 X 户为“迫切需求户”，X ~ B (10,0.35) ，若 k 户的可能性最大，则 P ( X = k ) = C k p k (1- p )10-k , k = 0,1, ,10⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎧⎪C k (0.35)k (0.65)10-k ≥ C k -1(0.35)k -1(0.65)11-k⎨ ，得⎨ 10 10 ， ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k +1) ⎪C k (0.35)k (0.65)10-k ≥ C k +1(0.35)k +1(0.65)9-k ⎩ 10 10解得 2.85 ≤ k ≤ 3.85 ，由于 k ∈ N * ,故k = 3 ........................................................... 12 分20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : xa 2 2 1 + = 1（ a >b > 0 ）的离心率为 b 22 ， F 是 E 的右焦点，过点 F 的直线交 E 于点 A (x 1 ，y 1 ) 和点 B (x 2 ，y 2 ) （ y 1 y 2 ≠ 0 ）．当直线 AB 与 x 轴垂直时，AB = 3 ．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设直线l : x = 2a 交 x 轴于点G ，过点 B 作 x 轴的平行线交直线l 于点C ．求证：直线 AC 过线段 FG 的中点．【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结 合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何 问题的能力.解析：（Ⅰ）由 e = c = 1 ，得c = 1a ，所以b ==3 a ．a 2 22因为直线 AB 经过点 F ，且 y 1 y 2 ≠ 0 ，所以根据对称性，不妨设 y 1 > 0 > y 2 ．23 3 3 3 8k⎪ 当直线 AB 与 x 轴垂直时， x = x = c = 1a ，122⎛ ⎫ 3 3 y 1 = b = a ⋅ 2 ⎝ a= 2 ⎭ 4 a = - y 2 ，所以 AB = 2 y 1 = 2 a ．由 AB= 3 = 3a ，得 a = 2 ，所以b = 2x 2 + y 2 =3 a = ， c = 1． 2 所以椭圆 E 的方程为4 31． .............................. 4 分（Ⅱ）证法一：当直线 AB 与 x 轴垂直时， A ⎛1 3 ⎫ ， B ⎛1，- 3 ⎫ ， C ⎛4 ，- 3 ⎫ ，， ⎪ ⎪ ⎪⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝2 ⎭ -3 - 3这时直线 AC 的方程为 y - =2 2(x - 1) ，即 y = -x + 5． 24 -1 2令 y = 0 ，得 x = 5 ，点⎛ 5 ，0 ⎫恰为线段 FG 的中点．2 2 ⎪⎝ ⎭因为 F (1，0) ，当直线 AB 不与 x 轴垂直时，可设其方程为 y = k ( x -1) ，代入 x 2 + y 2= 1，4 3整理得(3 + 4k 2 ) x 2 - 8k 2x + 4(k 2 - 3) = 0 ．2所以 x 1 + x 2 =3 + 4k 2 ， x 1x 2 =4 (k 2 - 3)． 3 + 4k 2因为 A ( x ，y ) ，B ( x ，y ) ，C (4 ，y) ，所以直线 AC 的方程为 y =y 2 - y 1( x - x ) + y ．11 2 224 - x 1因为 y 1 = k ( x 1 -1) ， y 2 = k ( x 2 -1) ，所以 y 2 - y 1 ⎛ 5 - x ⎫ + y=k ( x 2 - x 1 ) ⎛ 5 - x ⎫+ k (x- 1) 4 - x 2 1 ⎪ 1 4 - x 2 1 ⎪11 ⎝ ⎭ 1⎝ ⎭ ( x - x )⎛ 5 - x ⎫+ (4 - x )(x -1) ⎡( x 2 - x 1 ) ⎛ 5 ⎫ ⎤ 2 1 2 1 ⎪ 1 1 = k ⎢ - x 1 ⎪ + (x 1 -1)⎥ = k ⋅ ⎝ ⎭ ⎣ 4 - x 1 ⎝ 2 ⎭ ⎦4 - x 1 1 1 ⎛ 1 ⎫21- ⎝ 2 a ⎪ ⎭ a 2( x 1 + x 2 ) - x 1 x 2 - 4 5 ⋅ 8k 24 (k 2- 3) 2 - 2 - 4 = k ⋅ 2 = k ⋅ 2 3 + 4k3 + 4k4 - x 1 4 - x 1 20k 2 - 4 (k 2 - 3)- 4 (3 + 4k 2 )⎛ 5 ⎫ = k ⋅ 4 - x 3 + 4k 2= 0 ，这说明直线 AC 过点 2 ，0 ⎪ ．1 () ⎝ ⎭ 综上可知直线 AC 过线段 FG 的中点． .................................. 12 分 证法二：连接 AC 交 x 轴于点 M ，过点 A 作 l 的垂线于点 D ，则 AC//FG//AD 所 以MF = AM , MG = CM , BF = CG = BC =CMBC AC AD AC AF GD AD MA MF = AM ⋅ BC , MG =CM ⋅ AD AC AC BF = CG = BC AF GD ADMF = AM ⋅ BC , =CM ⋅ AD AC AC AM ⋅ BC MF = MG AC CM ⋅ AD = AM ⋅BC = AM ⋅ BC =1 CM ⋅ AD CM AD CM ⋅ BC = 1 ADAC AM故直线 AC 过线段 FG 的中点． 21.（本小题满分 12 分）已知 f (x ) = a ln x +1(a -1) x 2 +1（a ∈ R ）. 2（Ⅰ）讨论 f (x ) 的单调性；（Ⅱ）当 a = -1时，对任意的 x 1 ， x 2 ∈(0 ，+ ∞) ，且 x 1 ≠ x 2 ，都有> mx 1 x 2 ，求实数 m 的取值范围．【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活 运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑 推理能力、运算求解能力和推理论证能力.'a(a -1)x 2 + a解析：（Ⅰ） f ( x ) = + (a -1) x =（ x > 0 ）．xxx 1 f (x 2 ) - x 2 f (x 1 )x 1 - x 25f (x 1 ) x 1 ⎛1 2 x x （1）当 a ≥ 1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(0 ，+ ∞) 上单调递增；(a - 1) xx（2）当0 < a < 1时， f '(x ) =⎝⎭⎝x⎭ ，所以当 x时， f '(x ) < 0，当0 < x f '(x ) > 0 ，⎛ ⎫ 所以 f (x ) 在 0 上单调递增，在 + ∞ ⎪ 上单调递减；⎝ ⎭（3）当 a ≤ 0 时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 在(0 ，+ ∞) 上单调递减 ..................................... 5 分（Ⅱ）当 a = -1时， f (x ) = - ln x - x 2 +1 ,不妨设0 < x < x ，则> mx 1 x 2 等价于 - > m (x 2 - x 1 ) ，考察函数g (x ) =f (x ) x ，得g '(x ) = ln x - x 2 - 2 x 2 ，令h (x ) = ln x - x 2- 2x 2， h '(x ) = 5- 2 ln x ，x3555则 x ∈(0，e 2) 时，h '(x ) > 0 ，x ∈(e 2，+ ∞) 时，h '(x ) < 0 ，所以 h (x ) 在区间(0，e 2)5上是单调递增函数，在区间(e 2，+ ∞) 上是单调递减函数.故5 g '(x ) ≤ g '(e 2) = 1 2e 5-1 < 0 ，所以 g (x ) 在(0,+∞) 上单调递减.从而 g (x ) > g (x ) ，即 f (x 2 ) < f (x 1 ) ，故 f (x 1 ) - f (x 2 ) > m (x - x ) ，1221 x 1 x 2所以f (x 1 )+ mx > f (x 2 ) + m x ，即 g (x ) + mx > g (x ) + mx恒成立，1 2 1 1 2 21 2设ϕ(x ) = g (x ) + mx ，则ϕ(x ) 在(0,+∞) 上恒为单调递减函数，从而ϕ'(x ) = g '(x ) + m ≤ 0 恒成立！故ϕ'(x ) = g '(x ) + m ≤12e 5-1+ m < 0 ， 故 m ≤ 1-1 2e 5. ……… 12 分x 1 f (x 2 ) - x 2 f (x 1 )x 1 - x 2 f (x 2 ) x 2 x 2 1x（二）选考题：共10 分。