2021届黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试文科数学试卷

2021年黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设:|43|1P x -≤；2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若┑p 是┑q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2 B ．1(0,)2 C ．1(,0][,)2-∞+∞ D ．1(,0)(,)2-∞+∞ 3．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A．B ．C ．4D ．24．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）A．5 B ．5 C．5-．5- 5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-37．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35或32C ．23-或23D ．43-或34-8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值59．已知函数2()3f x x ax b =++- （x ∈R ）图象恒过点（2,0），则22a b +的最小值为（ ）A ．5B ．15 C ．4 D ．1410．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ） A ．任意x A ∈，都有(3)0f x +> B ．任意x A ∈，都有(3)0f x +< C ．存在x A ∈，都有(3)0f x +=D ．存在x A ∈，都有(3)0f x +<11．设函数()(sin cos )x f x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e e πππ-- C ．2015211e e ππ-- D ．20162(1)1e e e πππ--12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- [来二、填空题13．已知2,2()(2),2x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(log 7)f =________．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并且1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则(105.5)f =______．15．设1<x<2，则ln x x ，（ln x x）2，22ln x x 的大小关系是__________________．（用“<”连接）16．已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知3,2π==C c ．（1）若ABC ∆的面积等于3,求b a ,（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．[来源18．（本小题满分12分）关于x 的二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，1,,E E F 分别是棱1,,AD AA AB 的中点．（1）证明：直线1//EE 平面1FCC ； （2）求二面角1B FC C --的余弦值．20．（本小题满分12分）抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知曲线2()(1)ln (,)y f x a x b x a b R ==-+∈在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1．（1）若函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设函数()2()1.x f x x e ax =--（1）若1,2a =求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式. 2．A 【解析】试题分析：∵:|43|1P x -≤，∴1:12P x ≤≤，∴1:12P x x ⌝><或；∵2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，∴:1q a x a ≤≤+，∴:1q x a x a ⌝>+<或，又∵┑p 是┑q 的必要不充分条件，即q p ⌝⇒⌝，而p ⌝推不出q ⌝，∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，∴102a ≤≤． 考点：命题的否定、必要条件、充分条件、充要条件的判断． 3．C 【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积. 【详解】解方程34x x =可得：1232,0,2x x x =-==，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0， 利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：()2324200142|8444S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.故选C . 【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||5r OP ==，∴25sin 55α==． 考点：任意角的三角函数的定义． 5．A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 6．B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：则(2,0),(1,1)A B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为-6，不满足条件，故2a =． 考点：线性规划． 7．D 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=2322311k k k ----=+,整理：21225120k k ++=，解得：43k =-，或34k =-,故选D ．考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 8．A 【解析】试题分析：令322()log (1)g x ax b x x =++，其定义域为R ，又322()()log (()1)g x a x b x x -=-+--+322[log (1)]()ax b x x g x =-++=-，∴函数()g x 是奇函数，根据题意，2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，∴函数()g x 在)0,(-∞上有最小值-7，由函数()g x 在(0,)+∞上有最大值7，∴()()2f x g x =+在(0,)+∞上有最大值9．考点：函数的奇偶性、函数的最值．9．B 【解析】试题分析：把(2,0)代入二次函数解析式中得：4230a b ++-=，即21a b +=-，解得：12b a =--，则22222221(12)5415()55a b a a a a a +=+--=++=++，∴当21,55a b =-=-时，22a b +的最小值为15．考点：配方法求函数的最值． 10．A 【分析】由题意可得 0a >，且0c <，122c a -<<-，1x =为()f x 的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为c a．可得{|1}cA x x a =<<，31x +>，有(3)0f x +>恒成立，从而得出结论． 【详解】 解：函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >，且0c <，02a a c a c ∴<++=+，即2ca>-，且02a c c a c >++=+， 即12c a <-，因此有122c a -<<-， 又(1)0f a b c =++=，故1x =为()f x 的一个零点， 由根与系数的关系可得，另一零点为0c a<，所以有：{|1}cA x x a =<<，所以，331cx a+>+>，所以有(3)0f x +>恒成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 11．D 【解析】 试题分析：∵函数()(sin cos )x f x e x x =-，∴'''()()(sin cos )(sin cos )2sin x x x f x e x x e x x e x =-+-=，∴(2,2)x k k πππ∈+时原函数递增，(2,22)x k k ππππ∈++时，函数递减，故当2x k ππ=+时，()f x 取极大值，其极大值为22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又02015x π≤≤，∴函数()f x 的各极大值之和为21008201635201522(1())(1)11e e e e S e e e ee eππππππππππ--=++++==--． 考点：利用导数研究函数的单调性、函数的极值、等比数列的前n 项和公式． 12．C 【解析】试题分析：当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a R ∈恒成立； 当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令23143()f x x x x=--，则'2344189(9)(1)()+=x x f x x x x x-+=-+-（*），当01x <≤时，'()0f x >，()f x 在(0,1]上单调递增，max ()(1)6f x f ==-，∴6a ≥-； 当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≤--，由（*）式可知，当21x -≤<-时，'()0f x <，()f x 单调递减，当10x -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增，min ()(1)2f x f =-=-， ∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-． 考点：函数恒成立问题、不等式的解法． 13．74【解析】试题分析：27log 422277(log 7)(log 72)(log )244f f f =-===．考点：分段函数的函数值．14．2．5 【解析】试题分析：∵1(2)()f x f x +=-，∴1(4)()(2)f x f x f x +=-=+，∴函数是周期为4的周期函数，∴(105.5)(426 1.5)(1.5)f f f =⨯+=，又(1.5)(1.54)( 2.5)f f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴( 2.5)(2.5)f f -=，∵当23x ≤≤时，()f x x =，∴(2.5) 2.5f =，则(105.5)(2.5) 2.5f f ==． 考点：函数的周期性、奇偶性．15．222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛ 【解析】试题分析:令x x y ln =，则2ln 1x xy -='；∵21<<x ，∴1ln 2ln ln 1ln 0=<<<=e x ，∴0ln 1>-x ，∴0>'y ，∴x x y ln =在()2,1上为增函数，∴12122ln ln 11ln 0<<<<=x x ，∴x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛，∵()2222ln 2ln ln 2ln ln x x x x x x x x x x x -=-=-，∵21<<x ，∴02>-x ，1ln 0<<x ，∴0ln ln 22>-x x x x ，即xxx x ln ln 22>，综上所述：答案为222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛. 考点：不等式比较大小. 16．1[,)e-+∞ 【解析】试题分析：12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，等价于min max ()()f x g x ≤，'()(1)x x x f x e xe x e =+=+，当1x <-时，'()0f x <，()f x 递减，当1x >-时，'()0f x >，()f x 递增，∴当1x =-时，()f x 取得最小值，min 1()(1)f x f e =-=-；当1x =-时，()g x 取得最大值为max ()(1)g x g a =-=，∴1a e -≤，即实数a 的取值范围是1a e≥-． 考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值．17．（1）2,2a b ==；（2）S =【解析】试题分析：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，代入题中的数据化简得224ab a b =+-，而ABC ∆的面积等于1sin 2ab C =4ab =，两式联立解方程组得出a 和b 的值；第二问，先利用两角和与差的正弦公式将已知表达式展开，合并同类项，得出cos (sin 2sin )0A B A -=，得到cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，分别解方程得出边长和角的值，再求三角形的面积．试题解析：（1）∵2222cos c a b ab C =+-，3,2π==C c ，∴224ab a b =+-，①∵ABC ∆的面积等于3,∴1sin 2S ab C ∆==，∴4ab =，②， ∴①②结合解得：2,2a b ==．（2）∵A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，∴cos (sin 2sin )0A B A -=，∴cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，∴090A =或2b a =，当090A =时，b =，S =当2b a =且224ab a b =+-时，243a =，∴S =∴3S =．考点：余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式．18．(,1]-∞-【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．先对关于x 的一元二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解分有一解和两解两种情况进行讨论，再对每一种情况分别求对应的m 的取值范围，最后综合即可．试题解析：解法一 设2()(1)1f x x m x =+-+，[0,2]x ∈，①若()0f x =在区间[0,2]上有一解，∵(0)10f =>，则应有(2)0f <，又∵2(2)2(1)21f m =+-⨯+，∴32m <-． ②若()0f x =在区间[0,2]上有两解，则 01022(2)0m f ∆≥⎧⎪-⎪<-<⎨⎪≥⎪⎩，∴2(1)40314(1)210m m m ⎧--≥⎪-<<⎨⎪+-⨯+≥⎩，∴313132m m m m ⎧⎪≥≤-⎪-<<⎨⎪⎪≥-⎩或，∴312m -≤≤-． 由①②可知m 的取值范围是(,1]-∞-．方法二 显然0x =不是方程2(1)10x m x +-+=的解， 02x <≤时，方程可变形为11m x x -=+，又∵1y x x =+在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴1y x x=+在(0,2]的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-， 故m 的取值范围是(,1]-∞-．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．19．（1）证明详见解析；（2． 【解析】试题分析：本题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，主要借助辅助线在1FCC 平面构造出与1EE 平行的直线，借助AD 构造对称的1C F 与1EE ，证明出线面平行；第二问，二面角的求解分为两步：首先通过已知的线线垂直，证明线面垂直，从而证明出BGH ∠为所求二面角的平面角，再在三角形中解出BGH ∠的余弦值．试题解析：（1）证：取11A B 的中点1F ，连接1FF ，11C F ，由于111////FF BB CC ，所以1F ∈平面1FCC ，因此平面1FCC ，即为平面11C CFF ， 连接1A D ，1F C ，由于1111////A F D C CD ，所以四边形11A DCF 为平行四边形，因此11//A D F C ．又11//EE A D ，得11//EE F C ，而1EE ⊄平面1FCC ，1F C ⊂平面1FCC ，故1//EE 平面1FCC ．（2）取FC 的中点H ，由于FC BC FB ==，所以BH FC ⊥．又1BH CC ⊥，所以BH ⊥平面1FCC ． 过H 作1HG C F ⊥于G ，连接BG ．由于1HG C F ⊥，BH ⊥平面1FCC ，所以1C F BHG ⊥面，因此1BG C F ⊥，所以BGH ∠为所求二面角的平面角，在Rt BHG ∆中，3BH =，又FH ＝1，且1FCC ∆为等腰直角三角形，所以22HG =，114322BG =+=，因此272cos 714GH BGH BG ∠===，即所求二面角的余弦值为77．考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法．20．（1）22±；（2）面积最小值是4．【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，得2440y my --=，由此能够求出直线AB 的斜率；第二问，由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆，由此能求出四边形OACB 的面积的最小值．试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得24m =±． 所以直线AB 的斜率是22±（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． 因为22121212122||||()4412AOB S OF y y y y y y m ∆=⨯⋅⋅-=+-=+，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率．21．（1）1,4a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）(],0-∞． 【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对()f x 求导，根据函数的单调性将函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，转化为'()0f x ≤在[)2,+∞上恒成立，转化为'()f x 的最大值小于等于0成立即可；第二问，当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，转化为构造()()1g x f x x =-+在[)1,+∞上恒有()0g x ≤，再利用分类讨论的方法，利用()g x 最大值问题求解即可．试题解析：（1）因为'()2ax 2a b f x x =-+，由题可知'(1)1f b ==2()(1)ln f x a x x =-+，2'1221(x)2ax 2a ax ax f x x -+=-+=，2min 1112,,24a a x x ⎛⎫⎛⎤≤-=-∈-∞- ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦ （2）令()()[)'2111()()1,()2ax 2a 1,1,ax x g x f x x g x x x x --=-+=-+-=∈+∞ 当20a ≤，即0a ≤，'()0g x ≤，()g x 在[)1,+∞上递减，则≤g(x)g(1)=0,符合． 当112a≤0<时，'()0,g(x)g x ≥在[)1,+∞递增，()(1)0g x g >=，矛盾， 当112a >时，111,a +>且11g(1)ln(1)0a a +=+>，矛盾， 综上a 的取值范围是(],0-∞．考点：利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性．22．（1）在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调递减；（2）(],1-∞．【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，()(1)a f x x x ax =--，构造函数()1a g x x ax =--，分类讨论，先利用导数判断确定函数()g x 的单调性，再确定函数()g x 的正负，从而求出函数()f x 的正负，即可得到a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， '()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。