pflqbAAA微分中值定理教案

p f l q b A A A微分中值定

理教案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

微分中值定理

【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】

1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；

2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。

3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】

1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用

2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。

3、利用导数证明不等式的技巧。 【教学过程】 一、背景及回顾

在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：

①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =

则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解

1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：

2.1拉格朗日定理

若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导

则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a

b a f b f

c f --=

)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

b 、若加上)()(b f a f =，则()()00

)('=-=--=

a

b a b a f b f

c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变

为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

c 、形象认识（几何意义），易知()()a

b a f b f --为过A 、

斜率，)('c f 为曲线)(x f 上过c 点的切线的斜率；若c f =)('切线的斜率。几何意义：若在闭区间[]b a ,则曲线上至少有一点))(,(c f c C ，使得过点C 的切线平行于割线AB 。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”

2.2 拉格朗日定理的证明

下面我们证明一下该定理。

分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ϕ，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的结果是0)('=c f ，对应拉格朗日定理的结果是

()()a b a f b f c f --=

)('，即()()0)('=---a

b a f b f

c f ，实际上就是0)('=c ϕ，即是说()()a b a f b f c f c ---=)()(''ϕ，两边积分得()()()C x a

b a f b f x f x +---=)(ϕ，注意)(x ϕ要满足罗尔定理的三个条件，故取()()()()()][)(a x a

b a f b f a f x f x ---+-=ϕ

证明：作辅助函数()()()()()][)(a x a b a f b f a f x f x ---+-=ϕ，易知)(x ϕ在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,可导，又)()(b a ϕϕ=，根据罗尔定理，)(x ϕ在()b a ,内至少存在一点c ，使得

0)('=c ϕ，而()()a b a f b f x f x ---

=)()(''ϕ，于是()()0)()(''=---=a

b a f b f

c f c ϕ，即 ()()a

b a f b f

c f --=

)('，命题得证。 注：a 、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数()()()()()][)(a x a

b a f b f a f x f x ---+

-=ϕ中的()()()()a x a

b a f b f a f ---+

其实就是过两点A 、B 两点的割线方程。 b 、拉格朗日中值定理的中值点c 是开区间（a,b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c 的存在性，而非”定量“地指明c 的具体数值。

c 、拉格朗日中值定理的其他表达形式： （1）.).)(()()(时也成立当b a a b f a f b f >-'=-ξ （2）x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ 之间和在x x x +∆ξ

2.3 拉格朗日定理的应用

例1: 验证函数()f x =3x -3x 在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的ξ的值.

解:因 3() =3f x x x -，在[]0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。 而2()=33f x x '-