pflqbAAA微分中值定理教案
教案微分中值定理
证明方程 必有一个小于 的正根。
证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个条件，故
上式表明 （ ）即为方程 的根。
4：设在点 处有一个增量 ，得到点 ，在以 和 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有
即 这准确地表达了 和 这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线 在除端点外的每一点都有不平行于 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。
由定理还可得到下列结论：
推论1：如果 在区间 上的导数恒为0，则 在 上是一个常数。
证明：在 中任取两点 ， 在 连续，在 可导，由拉格朗日中值定理，则在 内至少存在一点 ，使得
由假设可知在 上， ，从而在 上， ，
， 所以 ，
可见， 在 上的每一点都有： （常数）。
【例1】【例3】证明当 时 .
证：设 ，显然 在[0，x]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点 使
证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可能的情形：
（1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即
由此得 因此，任取 ，有
（2） ，由于 ，所以M和 至少与一个不等于 在区间 端点处的函数值.不妨设 (若 ,可类似证明),则必定在 有一点 使 .因此任取 有 ,从而由费马引理有 .证毕
1.罗尔定理
几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴。
C
A B
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
微分中值定理与导数的应用-教案
高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01显然，这3个函数在相应的开区间内没有水平切线，即不存在内点ξ，使得()=0f ξ'. （2）即使罗尔定理的3个条件不满足，但定理的结论仍可能成立.例如函数3()f x x =，显然其在闭区间[11],-上连续，在开区间(11),-内可导，在区间[11],-的两端点处函数值不相等[(1)1f -=-，(1)1f =]，但仍存在0(1,1)ξ=∈-，使得()=0f ξ'[见图3.1（d ）].(a) (b)(c) (d)图3.1罗尔定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于x 轴的切线（见图3.2）.罗尔定理的代数意义：当()f x 可导时，在方程()0f x =的两个实根之间至少存在方程()0f x '=的一个实根．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理） 如果函数()y f x =满足条件 (1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导；授课序号02.可以使用等价无穷小替换等方法进行化简，但该方法在有些极限计算中不一定是最授课序号03授课序号04小值）为函数)(x f 在开区间),(b a 内的最大值（或最小值），如图3.14和3.15所示.3.5.2 最值在实际问题中的应用1．在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立一个目标函数，求得实际定义域，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，根据实际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最大值点（或最小值点），0()f x 即为相应的最大值（或最小值）．2．在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为产量（销量）q 的函数，分别记为()R q 和()C q ，则总利润函数()L q 表示为()()()L q R q C q =-．为使总利润最大，需满足最大利润原则，即满足下面两个条件： ①()()()0L q R q C q '''=-=，解得驻点0q q =； ②000()()()0L q R q C q ''''''=-<. 例题讲解例3.28 求函数796)(23++-=x x x x f 在]5,1[-上的最大值和最小值例3.29 求函数123()(1)1f x x =-+的最值．例3.30 一块边长为24cm 的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，以做成无盖的铁盒．问：截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？例3.31 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问：怎样设计才能使所用材料最省？例3.32 某工厂每月生产某种商品的个数x 与需要的总费用的函数关系为21024x x ++（费用单位：万元）.若将这些商品以每个9万元售出，问：每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?授课序号05授课序号06。
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
微分中值定理教案
微分中值定理教案教案章节：一、微分中值定理的引入教学目标：1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握微分中值定理的证明方法。
教学内容：1. 引入微分中值定理的背景和动机。
2. 介绍微分中值定理的表述和符号表示。
3. 解释微分中值定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入微分中值定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解微分中值定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示微分中值定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对微分中值定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释微分中值定理的含义和作用。
二、罗尔定理教学目标：1. 理解罗尔定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理的证明方法。
教学内容：1. 引入罗尔定理的背景和动机。
2. 介绍罗尔定理的表述和符号表示。
3. 解释罗尔定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入罗尔定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解罗尔定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示罗尔定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对罗尔定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释罗尔定理的含义和作用。
三、拉格朗日中值定理教学目标：1. 理解拉格朗日中值定理的概念和意义。
2. 掌握拉格朗日中值定理的证明方法。
教学内容：1. 引入拉格朗日中值定理的背景和动机。
2. 介绍拉格朗日中值定理的表述和符号表示。
3. 解释拉格朗日中值定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入拉格朗日中值定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解拉格朗日中值定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示拉格朗日中值定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对拉格朗日中值定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释拉格朗日中值定理的含义和作用。
四、柯西中值定理教学目标：1. 理解柯西中值定理的概念和意义。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
理学高等数学微分中值定理PPT学习教案
即Lagrange定理是Rolle定理的推广 2. 作辅助函数的.方法不是唯一的.
思考 Lagrange中值定理证明中
:
还可以如何作辅助函数?
3. 定理中的条件只是充分 条件,而非必要条件.
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26
微分中值定理
例5 验证Lagrange中值定理对于函数
y arctan x在0,1 上的正确性.
罗尔定理
f (0) 0 f (1)
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0
即x 为所求实根.
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22
微分中值定理
拉 格 朗 日 Lagrange (法 ) 1736-1813
2. 拉 格 朗 日 中 值定 理
若函数f (x)满足:
(b) 若 Mf (x m) . 0. 那么
所 以 最 值 不 可能同 时在端 点取得 .
0
使
设 M f (a), 则在(a,b)内至少存在一点 ,
有
f ( ) M . [a,b], f ( x) f ( ),
由费马引理,
f ( ) 0.
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14
微分中值定理
罗 尔定理
若函数f (x)满足: (2) (1)
几何事实:
在 一 条 光 滑 的平面 曲线段 AB上,
一点处的切线 平行.
A
⌒ 至少有
与 连 接 此 曲 线两端 点的弦
B
AB
有水平的切线
y f (a) f (b)
C
f ( ) 0
y f (x)
A
B
O a 1
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微分中值定理教案
微分中值定理教案教案章节：第一章导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的定义及其几何意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 理解导数在函数研究中的重要性。
教学内容：1. 导数的定义；2. 导数的几何意义；3. 导数的计算方法；4. 导数在函数研究中的应用。
教学步骤：1. 引入导数的定义，解释导数的几何意义；2. 通过实例演示导数的计算方法；3. 引导学生思考导数在函数研究中的作用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
教学作业：1. 练习导数的计算；2. 思考导数在实际问题中的应用。
教案章节：第二章微分中值定理教学目标：1. 理解微分中值定理的内容及其意义；2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。
教学内容：1. 微分中值定理的定义；2. 微分中值定理的证明；3. 微分中值定理的应用。
教学步骤：1. 引入微分中值定理的定义，解释其意义；2. 通过PPT课件演示微分中值定理的证明过程；3. 引导学生思考微分中值定理在实际问题中的应用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
教学作业：1. 练习微分中值定理的应用；2. 思考微分中值定理在其他数学领域的应用。
教案章节：第三章罗尔定理教学目标：1. 理解罗尔定理的内容及其意义；2. 学会运用罗尔定理解决实际问题。
教学内容：1. 罗尔定理的定义；2. 罗尔定理的证明；3. 罗尔定理的应用。
教学步骤：1. 引入罗尔定理的定义，解释其意义；2. 通过PPT课件演示罗尔定理的证明过程；3. 引导学生思考罗尔定理在实际问题中的应用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
最新微分中值定理教案
微分中值定理教案第二章一元函数微分学§2.6 微分中值定理【课程名称】《高等数学》【授课题目】微分中值定理【授课时间】2011年11月18日【授课对象】2011级电子信息专业【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。
微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。
它是几个定理的统称。
微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。
【教学目标】1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。
【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。
【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。
【教学方法及手段】以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。
§2.6.2 拉格朗日中值定理一、内容回顾定理1（Rolle）若函数«Skip Record If...»满足条件（1）在闭区间«SkipRecord If...»上连续；（2）在开区间«SkipRecord If...»内可导；（3）«Skip Record If...»。
则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。
微分中值定理说课
《微分中值定理》一、教材分析我说课的内容是中国经济出版社《数学分析》教材中第四章第一节《微分中值定理》.《数学分析》课程是师范专科院校小学教育专业的必修课程.中值定理是微分学的基本定理，是一系列中值定理的总称，是应用导数研究函数在区间上整体性态的有力工具.本节课是在已经学习了导数运算的基础上，通过微分中值定理建立函数与其导数之间的联系，使学生对微分学有初步的理论认识，并为今后应用导数把握函数特征打下基础.二、教学目标本着师范专业对《数学分析》课程”必须够用”的原则，根据培养师范生“数学应用能力”的教学要求，我制定了本节课的教学目标如下：1.知识目标：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论，并深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义2.能力目标：会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明3.德育目标：通过定理的几何意义体会”形象思维”在数学分析学习中的应用，通过三个定理的联系体会数学中”将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题”的论证思想.三、教学重点、难点我所教授的学生是师范专业科学双语二年级的学生，由于学生的数学基础比较薄弱，对于数学分析中理论性的内容，本着”领会实质，掌握应用“的原则，我将本节课的教学重难点制定如下：1.教学重点：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的条件和结论；会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明2.教学难点：深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义四、教学方法由于数学分析课程自身的特点，本节课我采用以教师讲授为主，学生探究练习为辅的综合讲授法.并在教学中贯穿对学生形象思维能力的培养与训练，激发学生的学习兴趣与潜能，以到达较好的教学效果.五、说教学过程遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳”的原则，本节课的教学内容由以下四部分组成：对于教学过程我将分别从整体和细节两个角度进行说明.（一） 整体把握由于数学分析课程中的理论内容抽象难懂，为了更好的激发学生的学习兴趣，提高学生的理解能力，因此我采用形象思维的方法进行教学，即通过直观信息总结抽象的结论，通过函数图像的变化总结定理之间条件与结论的变化，进一步得到每一个定理的应用方式。
微分中值定理与导数的应用教案
5
f ( x )在[ , ]上满足罗尔定理的条件 6 6 5 至少存在一点 ( , )，使f ( ) 0. 由罗尔定理可知：
又 f ( x ) cos x , 令f ( ) 0, 得 ( , 5 ). sin x 2 6 6
一、罗尔( Rolle )定理
第三章
二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化
有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化 形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性 质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理 表达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系 着导数的许多应用。
证明方程f (x)=0有三个实根， 并指出它们所在的区间。
在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导， 且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3). 由罗尔定理，
证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续，
在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点1 , 2, 3 ，
练习4：P134 11(1)
| arctan b arctan a |
1 1
2
| b a || b a | .
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练习4：P134 11(2)
证 设f ( x ) e x ,则对任意的x 1, f ( x )在闭区间[1, x ]上 都满足拉格朗日中值定理的条件 : 且f ( x ) e x
【doc】《微分中值定理》教学设计
《微分中值定理》教学设计第9眷l999年第4期第4期兵团教育学院JOU'~ALOFBINGTUAN蹦玎DND糟Tm丌rEx~1.9N4Dee.1999《微分中值定理》教学设计王淑责微分学中值定理包括费马定理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理.用发现法讲授这组定理,可以使学生体验发现真理的乐趣,学习解决问题的策略.提高发现问题,分析同题,解决问题的能力.文…给出了用发现法讲授微分中值定理的一种教学设计.本文给出用发现法讲授微分中值定理的另一种教学设计.l费马定理1.1有关概念(1)设函数f在的某个邻域U()内有定义,若对U()内的一切x都有f(x)≤U(xo)(f(x)≥U())(1)则称函数f在取得极大(小)值,称xo为函数f的极大(小)值点.如图所示,连续函数y=f(x)的图象C是一条连续曲线,x1与是f的极大值点,是f的极小值点.对应地,点(x1,f())与(,f(x3))是曲线C上的局部最高点,(.f())是曲线C上的局部最低点.(2)设菌敬f在Xo可导,若f(x0)=0,则称为函数f的稳定点.1.2问题l:可导函数f的图象在其极值点处的切线有何特点?能否用f=()表示这一特点?(1)探索问题l的答案:囝1观察图1.容易得出l}(下结论:可导函数f的图象在其板值点处的切线平行于x轴. 这一特点可表示为f()=0(2)概括上述结论,提出猜想l:设函数f在可导,若为f的极值点,则f,()=O(2)(3)判断猜想l的正确性:设为f的极小值点.则存在的某个邻域U(xo.8).使得对一切xEU(,8),均有f(x)一f(xo)I>0于是.当<x<时,≤0.当<x<+由f在可导与极限的不等式性质得到一76—f((≤0,f()(/>o故有f(xo)=0同理可得.当xo为f的极大值点时.亦有r(xo)=0于是.我们得到下面的定理.定理l:设函数f在可导.若xo为f的极值点,则f()=02罗尔中值定理2.1问题2:两端点处等高的连续的光精曲线c'是否存在平行于x轴的切线?(1)探索问题2的答案:观察图2,窖易得出下结论:若函数f在【a,b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b),则f在(a,b)内至少有一个极值点毛在该点处,曲线c的切线平行于x轴,即f(})=0(2)概括上述结论,提出猜想2:若函数f在【a.b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点e,使得f(e)=0(3)判断猜想2的正确性:由于函数f在【a.b]上连续.所以函数f在【a,b]上存在最大值M与最小值rno若M=m,则f(x)~-c.~(x)------o.任取一点E∈(a,b).均有f(e)=0圉2若M≠m.则由f()=f(b)可知:M与m至少有一个在(a,b)内的某一点e处取得,于是.} 是f的投值点.由定理l,f(e)=0于是,我们得到以下定理.定理2:若函数f满足条件:r在【a,b]上连续;2'在(a,b)内可导;3.f()=fib)剜在(a,b)内至少存在一点∈'使得f(})=02.2思考题:定理2中的三个条件各起什么作用?取消或减弱其中一条,结论会发生什么变化?3拉格朗日中值定理3.1问题3:以A,B为端点的光精曲线c.是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题3的答案:图3作曲线c的割线1,使它平行于弦AB.移动剖线1.始终保持使I平行于AB.当相邻两个割点重合于点P时.就得到了曲线C 的平行于一77—弦AB的切线.这时切线的斜率f(e)等于弦AB的斜率鱼.(2)概括上述结论.提出猜想3:设函数f在【a'b]上连续.在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点e.使得f(e):(3)(3)判断猜想3的正确性:将f(e)=亡变塑为f(e)一幽毫=0.由此可见,若能找到一个可导函数g(x),使得g(e)=})一{{.则对g(x)应用定理2即可.为使g(x)符合上述要求,根据一求导公式,只要取g(x)=f(x)一x+c(c为任意常数)即可.特别地,当c=0时.g (x):f()一令g(x)=f(x)一x,x∈[a'b】,则g(x)在[a'b]上连续,在(a,b)内可导.并且g(a):=g(b)由定理2,在(a.)内至少存在一点e'使得g)=})一幽三:0.目㈣一于是.我们得到下面的定理:定理3:设函数f在【a'b]上连续,在(alb)内可导,则在(a,b)内至少存在一点使得f(e) :f—(.—b.)——-——f.(—a—)b—a3.2定理3与定理2的关亲:定理2是定理3的特殊情况,定理3是定理2的推广.4柯西中值定理4.1问题4:设C是以A,B为端点的光滑曲线.其参量方程为x=f(t).y=g(t).a≤t≤b,该曲线是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题4的答案:作曲线C的割线l,使l平行于弦AB,移动1.始终使l平行于弦AB.当相邻两割点莺合于P时.就得到曲线C的平行于弦AB的切线.这时,切线斜率为,割线斜率为撸{罄(2)归纳上述结论,提出猜想4:若函数f与g满足条件:1.,都在[a'b]上连续;2,都在(a.b)内可导;3',f与g在(a'b)内不同时为0;4'.g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得:(4)g(e)g(b)一g(a)——78一田4(3)判断猜想4的正确性:将=变形为[g(b)一g(a)】f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈):0(5)由此可见,若能找到一个函数F(x),它满足定理2的条件,并且(x)=【g(b)一g(a)]f(x)一【f(b)一f(a)]g(x)(6)则对函数F(x)应用定理2即可证得(5)式成立.易知,满足条件(6)的函数F(x)应具有以下形式F(x):[g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x)C(c为任意常数)这样的函数F(x)是否满足定理2的条件呢?验证可知.上述F(x)确实满足定理2的所有条件.故对上述F(x)(特别地.取c=0亦可)应用定理2即可.令F(x)=【g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x),xE【a,b】,则F(x)在【a.b]上连续.在(a.b)内可导.并且F(a)=f(a)g(b)一g(a)f(b)=F(b),故由定理2可知,至少存在一点e∈(a,b),使得F(∈)=0,即【g(b)一g(a)]f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈)=0'(7)假如g(e)=0.则有[g(b)一g(a)】f(e):0,由于g(a)≠g(b),所以f(∈):0,这与"f,在(a.b)内不同时为0矛盾!所以g(e)≠0.故由(7)式即可证得(4)式成立.于是,我们得到下述定理.定理4:若函数f与g满足条件:1',在[a'b】上连续;2',在(a.b)内可导;3.,f与g在(a.b)不同时为0;4',g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得￡一l=ff)g(e)g(b)一g(a)4.2定理4与定理3的关系:在定理4中.取g(t):t.即得定理3.因此,定理4是定理3的推广.5拉格朔日中值定理的应用5.1问题5:设函数f在区间I上可导.并且f一O.是否必有f(x)一c(常数)?(1)探索问题5的答案:在区问I上取定一点,对于区间I上的任意点x(≠),由定理4可知,在与x之间至少存在一点e.使得f(x)一f(xo)=f(∈)?(x一)=0?(x—xo)=0即f(x)~l(xo)于是.我们得到以下推论.推论l:若函数f在区间I上可导,并且r(x)一0,则在I上f(x)一c(2)推论2:若函数f,g在区间I上可导,并且f一.则在I上f(x)一g(x)+C注:令h(x):f(x)一g(x).由推论1即此推论.5.2证明恒等式例1证明:对任何实数x'恒有一79—啡+号,分析:令f(x)=啡+ar.c啦.xE(一∞,+∞),由推论1,只要证明"f'(x)-~--O,并且存在xo使f(xo)号"即可.证明:令f(x)=arc啦+arcctgx,xE(一∞,+..).由于"x)=1+;o,x∈(一...+),并且f(1)删1+ea~tgl号+专号所以arclgx+a号5.3证明不等式例2:证明不等式丽h<a蛐<h,(h>0)分析:由于arctgharctgh—a如,(h>0)所以,要证的不等式等价于:<趔旨<?故应对函数f(x)=眦啦在[0,h]上应用拉格朗日中值定理,将塑}转化为.然后再比较,1,1的大小即可.证明:令f(x)arc啦,x∈[0.h]因为f(x)在[0,hi上连续,在(O,h)内可导故由拉格朗日中值定理.在(O,h)内至少存在一点∈.得因为o<e<h-所以<<于是,有<墅<1又因为h>O,所以,<aret~<:h参考文献l,周祖逵:发现法讲授中值定理的一种尝试,数学通报.1991,3(作者:副教授兵团载院/石大师院)一日O一。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理的重要性
微分中值定理是导数应用的基础，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
微分中值定理也是解决一些实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学等领域中，微分中值定理的应用非常广泛。
微分中值定理的证明方法有多种，其中最常用的是利用拉格朗日中值定理进行证明。
利用导数求切线方程
总结词
通过导数，我们可以找到函数在某一点的切线斜率，从而确定切线方程。
详细描述
给定一个函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，它表示函数在$x_0$处的切线斜率。切线方程可以由点斜式得出，即$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$，其中$y_0 = f(x_0)$。
利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理也可以用于证明不等式。
总结词
通过构造适当的辅助函数，我们可以利用微分中值定理来证明一些不等式。例如，如果我们想证明一个函数在某个区间上的最大值或最小值不超过某个常数，我们可以构造一个辅助函数，使其在区间端点的函数值为零，然后在区间内部取正值或负值，这样就可以利用微分中值定理来证明不等式。
导数大于零表示函数在该区间内单调递增，导数小于零表示函数在该区间内单调递减。
总结词
如果函数$f(x)$在区间$(a, b)$内的任一点都可导，并且$f'(x) > 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增；如果$f'(x) < 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减。
详细描述
利用导数研究函数的单调性
VS
函数的极值点满足导数为零或不可导的条件，通过这些点可以找到函数的极值。
教案微分中值定理
几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴。
C
A B
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理
费马引理设函数 在点 的某邻域 内有定义并且在 处可导如果对任意 有 (或 )那么
【例6】 【例5】若方程 有一个正根 ，
证明方程 必有一个小于 的正根。
证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个条件，故
上式表明 （ ）即为方程 的根。
证明：不妨设 时， （若 ，可以类似地
此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页
证明）.于是对于 ,有 ,从而当 时,
;而当 时, ;
根据函数 在 处可导及极限的保号性的得
，所以 ,证毕.
定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).
罗尔定理如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续（2）在开区间 内可导（3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在 内至少在一点 使得函数 在该点的导数等于零，即
所以 满足罗尔定理的条件，故在 内至少存在一点 ，使得 ，
又 因为 ，
注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令 ，就得到拉格朗日中值定理；
2：几何意义：若用 （ ）表示曲线 ，则其几何意义同前一个。
【例4】 【例4】 证明 （ ）。
证：令 ， ，
由推论知f(x)=常数！再由 ，故 。
证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可能的情形：
（1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即
由此得 因此，任取 ，有
数学分析教案 (华东师大版)第六章 微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时§ 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点：系统讲解法。
一、引入新课：通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。
在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。
因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。
我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )2.可微极值点的必要条件:Th ( Fermat ) ( 证 )函数的稳定点, 稳定点的求法.（二）微分中值定理:1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)不存在. 例如对函数但是, 不存在时, 却未必有虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.在闭区间上可导, 且推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数( 证 )在区间上可导且. 若Th ( Darboux ) 设函数为介于与设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:和在闭区间上连续, 在开区间内可导,Th 3 设函数和使.在证分析引出辅助函数. 验证, 因为否则就有.这与条件“和在内不必有同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（三）中值定理的简单应用:1. 证明中值点的存在性例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则,.使得证在Cauchy中值定理中取设函数在区间上连续,在内可导,且有.2.证明恒等式:原理.证明: 对, 有.例3设函数和可导且又则例4.证明.设对, 有, 其中是正常例5数. 则函数3.证明不等式:例6证明不等式: 时, .证明不等式: 对，有.例74. 证明方程根的存在性:内有实根.证明方程在证明方程在内有实根.例8教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
《微分中值定理》教学设计
《微分中值定理》教学设计教学目标：1. 理解微分中值定理的概念和意义；2. 掌握微分中值定理的证明过程；3. 能够应用微分中值定理解决实际问题。
教学内容：1. 微分中值定理的概念和意义；2. 微分中值定理的证明过程；3. 微分中值定理的应用。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过提问和引入实际问题，引导学生思考微分中值定理的概念和意义。
例如：当一个物体沿着一条曲线运动时，如何求出物体在某个时刻的速度？Step 2：讲解微分中值定理的概念和意义通过示意图和实例，讲解微分中值定理的概念和意义。
强调微分中值定理在解决实际问题中的应用。
Step 3：讲解微分中值定理的证明过程讲解微分中值定理的证明过程，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理的证明。
通过详细的推理和逻辑，让学生理解证明过程。
Step 4：练习与讨论提供一些练习题，让学生运用微分中值定理解决问题。
鼓励学生在小组内讨论解题思路和方法，并展示解题过程。
Step 5：拓展应用引导学生思考微分中值定理在实际问题中的更广泛应用，例如经济学、物理学等领域。
让学生尝试解决一些拓展问题，提高他们的应用能力。
Step 6：总结与归纳总结微分中值定理的概念、意义、证明过程和应用。
让学生回答一些问题，检查他们对知识点的掌握情况。
Step 7：作业布置布置相关的作业，巩固学生对微分中值定理的理解和应用能力。
可以包括练习题、实际问题等。
Step 8：课堂小结对本节课的内容进行小结，强调重点和难点，激发学生对微分中值定理的兴趣和学习动力。
教学资源：1. 教材：包含微分中值定理相关内容的数学教材；2. 示意图和实例：用于讲解微分中值定理的概念和意义；3. 练习题：用于巩固学生对微分中值定理的理解和应用能力；4. 实际问题：用于引导学生思考微分中值定理在实际问题中的应用。
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p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
c 、形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过A 、斜率，)('c f 为曲线)(x f 上过c 点的切线的斜率；若c f =)('切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,则曲线上至少有一点))(,(c f c C ，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。
”2.2 拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理。
分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ϕ，使他满足罗尔定理的条件。
注意罗尔定理的结果是0)('=c f ，对应拉格朗日定理的结果是()()a b a f b f c f --=)('，即()()0)('=---ab a f b fc f ，实际上就是0)('=c ϕ，即是说()()a b a f b f c f c ---=)()(''ϕ，两边积分得()()()C x ab a f b f x f x +---=)(ϕ，注意)(x ϕ要满足罗尔定理的三个条件，故取()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ证明：作辅助函数()()()()()][)(a x a b a f b f a f x f x ---+-=ϕ，易知)(x ϕ在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,可导，又)()(b a ϕϕ=，根据罗尔定理，)(x ϕ在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c ϕ，而()()a b a f b f x f x ---=)()(''ϕ，于是()()0)()(''=---=ab a f b fc f c ϕ，即 ()()ab a f b fc f --=)('，命题得证。
注：a 、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ中的()()()()a x ab a f b f a f ---+其实就是过两点A 、B 两点的割线方程。
b 、拉格朗日中值定理的中值点c 是开区间（a,b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。
换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c 的存在性，而非”定量“地指明c 的具体数值。
c 、拉格朗日中值定理的其他表达形式： （1）.).)(()()(时也成立当b a a b f a f b f >-'=-ξ （2）x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ 之间和在x x x +∆ξ2.3 拉格朗日定理的应用例1: 验证函数()f x =3x -3x 在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的ξ的值.解:因 3() =3f x x x -，在[]0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。
而2()=33f x x '-由()()()02)(02'-=-ξf f f 得231ξ-=3，3ξ=注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意： （1）该函数是否满足定理的两个条件。
（2）是否存在一点ξ∈（a,b ）,使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立. 例2 .)1ln(1,0x x xxx <+<+>时证明当 分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。
证明：设()()x x f +=1ln易知()x f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件 故，()()()()()x x f f x f <<-=-ξξ0,00' 又，()()xx f f +==11,00'，有上式得： ()ξ+=+11ln x x 又，111111110<+<+⇒+<+<⇒<<ξξξx x x 则，x x x x <+<+ξ11 ，即 x x xx <+<+)1ln(1，命题得证。
小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。
便得到)( ))(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ，再根据b a <<ξ放大或缩小)(ξf '，证出不等式。
推论1 如果()f x 在区间(,)a b 内的导数恒等于零，那么()f x 在(,)a b 内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)a b 内任意取两点1x ，2x （设12x x <），则()f x 在[]12,x x 上满足拉格朗日中值定理条件.故有()2121()()()f x f x x x f c '-=-⋅ 12()x c x <<，由于()0f c '=，所以21()()0f x f x -=，即21()()f x f x =.由于1x ，2x 是在(,)a b 内任意取的两点，因此()f x 在区间(,)a b 内函数值总是相等的，这表明()f x 在区间(,)a b 内恒为一个常数.推论2 若(,)x a b ∀∈有()()f x g x ''=，则(,)x a b ∀∈有()()f x g x c =+.（证明作为课外作业）证：(,)x a b ∀∈，[]()()()()0f x g x f x g x '''-=-=，根据推论1知()()f x g x c -=，即()()f x g x c =+.三、小结1、拉格朗日定理的内容2、拉格朗日定理的几何意义3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义。
若I x ∈0，且存在0x 的某邻域,)(0I x U ⊂)(0x U x ∈∀，有()()0x f x f ≤ （()()0x f x f ≥）则称0x 是函数)(x f 的极大点（极小点），()0x f 是函数)(x f 的极大值（极小值）。
2、费马定理设函数)(x f 在区间I 上有定义。
若函数)(x f 在0x 点可导，且0x 是函数)(x f 的极值点，则 0)(0'=x f3、罗尔定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f4、拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 5、柯西中值定理若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续②在开区间()b a ,可导，且),(b a x ∈∀，有0)('≠x g ，则在()b a ,内至少存在一点c ，使得()()()()()()a g b g a f b f c g c f --=''。