电磁场理论课件——电流和磁场

微分形式： 微分形式：
u v u v ∇× B = µ0 J
积分形式： 积分形式：
∫
L
r r B⋅ dl = µ0I
u v ∇⋅ B = 0
∫
S
u u v v B⋅ dS = 0
反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。 的激发源仍然是运动的电荷。 的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能 注意： 静电场可单独存在， 单独存在（永磁体磁场可以单独存在， 单独存在 （永磁体磁场可以单独存在 ，且没有 宏观静电场） 宏观静电场）。
由高斯定理
r ∂ρ ∇• J + =0 ∂t
电荷守恒定律的微分表达式
如果整个区域内电流分布不变， 如果整个区域内电流分布不变，则各点的电荷密度不变
r ∇• J = 0
2. 毕奥 萨伐尔定律 毕奥—萨伐尔定律 一个电流元Idl在磁场中受到力的作用 在磁场中受到力的作用， 一个电流元 在磁场中受到力的作用，如果磁感应 强度为B， 强度为 ，则力表示为
∫
S
u u v v B⋅ dS = 0
毕奥--毕奥 萨伐尔 定律
(
)
( )
( )
2、磁场的散度方程
u v ∇⋅ B = 0
( )
1）静磁场为无源场（相对通量而言） 静磁场为无源场（相对通量而言） 2）它不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。 它不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。
五．静磁场的基本方程
第二节 电流与磁场
电荷守恒定律 1、电流强度和电流密度（矢量） 电流强度和电流密度（矢量）
v 大小： J大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向 方向：
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培） 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
r dS
两者关系： 两者关系：
r r I = ∫ dI = ∫ J ⋅ dS
S S
θ
v J
dI J = dS cosθ
r r r dI = J cosθdS = J ⋅ dS
很多时候，我们不仅要知道一个回路中电流的大小， 很多时候，我们不仅要知道一个回路中电流的大小， 而且希望能知道电流的分布。 而且希望能知道电流的分布。 某时刻，某处的电流方向是一定的， 电流密度 某时刻，某处的电流方向是一定的，取一个垂 直于电流方向的小面元， 直于电流方向的小面元，面元内单位面积上通过的电流 称为此时该处的电流密度J。其方向为电流的方向。 称为此时该处的电流密度 。其方向为电流的方向。因 电流密度是一个矢量场。 此，电流密度是一个矢量场。 在该处的任意一个面元dS， 在该处的任意一个面元 ， 的夹角为θ，则流过dS的 与J的夹角为 ，则流过 的 的夹角为 电流强度为
l2 l1 = r2 r1 r r ∫ B • dl = 0
L
上例说明，安培环路定律的正确性。即磁感应强度的环 上例说明，安培环路定律的正确性。 量与环内电流强度和成正比。环内总电流强度为零时， 量与环内电流强度和成正比。环内总电流强度为零时， 环量为零。 环量为零。
对于连续分布电流密度的情况，由电流强度与电流密 对于连续分布电流密度的情况， 度的关系， 度的关系，我们有
一根无限长的直导线，载有电流I， 例2. 一根无限长的直导线，载有电流 ， 验证安培环路定律 由毕奥—萨伐尔定律可得 萨伐尔定律可得， 解：由毕奥 萨伐尔定律可得，无限长 直线电流激发的磁场是以直导线为轴的 圆环， 圆环，磁感应强度的大小为
B=
µ0 I 2πr
选半径为r的圆周作为回路L， 选半径为r的圆周作为回路L，则有 的圆周作为回路 r r µ0 I ∫L B • dl = ∫LBdl = B ∫Ldl = 2πr ⋅ 2πr = µ0 I 如果选择PQRSP作为回路 ，在SP和QR段，由于磁场与 作为回路L， 如果选择 作为回路 和 段 dl相互垂直，因此这两段的积分为 ，设PQ弧的半径为 相互垂直， 弧的半径为r2, 相互垂直 因此这两段的积分为0， 弧的半径为 弧长为l2， 弧的半径为 弧的半径为r1，弧长为l1， 弧长为 ，RS弧的半径为 ，弧长为 ，
四、磁场的通量和散度方程
1、磁场的通量
u u' v v v J x ×r u u v v u v µ0 dV 'dV B⋅ dS = ∫ ∇⋅ B dV = ∇⋅ ∫S V 4π ∫V ∫V' r3 v v u v u ' v v v µ0 r r u u' ' = ∇× J x ⋅ 3 − ∇× 3 ⋅ J x dV dV = 0 r r 4π ∫V ∫V' r r J = ∑ ρi Nhomakorabeaii
考虑空间某区域V，由闭合曲面 包围 包围， 考虑空间某区域 ，由闭合曲面S包围，设向外的法线 为正方向。 为正方向。则单位时间内向外流出的总电荷为
r ∂ I = ∫∫ J • dS = − S ∂t
∂ρ ∫∫∫V ρ dV = − ∫∫∫V ∂t dV
电荷守恒定律的积分表达式
r r r dF = Idl × B
电流可以激发磁场，恒定电流激发的磁场的磁感应强 电流可以激发磁场， 度可以表示为：（毕奥—萨伐尔定律 ：（毕奥 萨伐尔定律） 度可以表示为：（毕奥 萨伐尔定律）
r µ0 B ( x) = 4π
∫∫∫
V
r r J ( x′) × r dV ′ 3 r
µ0 = 4π × 10 −7 H ⋅ m −1 称为真空磁导率
∫
L
r r r r B • dl = µ0 ∫∫ J • dS
S
不断缩小， 使L不断缩小，由旋度的定义可得 不断缩小
r r 旋度方程 ∇ × B = µ0 J
1）稳恒磁场为有旋场。 稳恒磁场为有旋场。 应用该公式必须在电流连续分布区域， 2）应用该公式必须在电流连续分布区域， 不连续区只有用环路定理； 不连续区只有用环路定理； 该方程可直接由毕萨定律推出（ 3）该方程可直接由毕萨定律推出（见教 P16－18）； 材P16－18）； 4）它只对稳恒电流磁场成立。 它只对稳恒电流磁场成立。
r r r r r r ∫ B • dl = ∫ B • dl + ∫ B • dl
L PQ RS
= ∫ Bdl − ∫ Bdl =
PQ RS
µ0 I µI µI µI dl − 0 ∫ dl = 0 l2 − 0 l1 2πr2 ∫PQ 2πr1 RS 2πr2 2πr1
PQ和RS是同心圆弧，且所对的圆心角 和 是同心圆弧 是同心圆弧， 相等， 相等，所以有
如果电流集中于细导线组成的回路上， 如果电流集中于细导线组成的回路上，上式可为
r r r µ0 Idl × r B( x) = 4π ∫ l r 3
磁场的环量和旋度 安培环路定律 r r ∫ B • dl = µ 0 I
L
其中L是空间中的一个闭合曲线， 是 所围曲面的总电流 其中 是空间中的一个闭合曲线，I是L所围曲面的总电流 是空间中的一个闭合曲线
r r dI = Jds cos θ = J • dS
某个曲面S， 某个曲面 ，通过它的总电流强度为
I = ∫∫
S
r r J • dS
在一个小的体积元内，如果只有一种载流子， 在一个小的体积元内，如果只有一种载流子，其密 度为ρ，平均速度为V, 度为 ，平均速度为 则该处的电流密度为
r r J = ρv