热力学与统计物理练习题1答案

热力学与统计物理 练习题1答案

一、简答题

1． 热力学第二定律的克氏表述；

不能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

2． 能量均分定理。

对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的 平均值等于

kT 2

1

。 3． 单元复相系的平衡条件；（5分） 设有两相 βα,

则两相平衡条件为

β

αβαβαμμ===p p T T

分别为热平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。

4． 熵增原理。（5分） 孤立系统的熵永不减少。 二、计算机题

1、试证明，在某一过程中理想气体的热容量n C 如果为常数，这个过程一定是多方过程，多方过程指数V

n P

n C C C C n --=

，假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。

解：根据热力学第一定律

pdV dT C dT C V n +=

由RT pV =，有RdT Vdp pdV =+，将dT 代入上式，得

01=-+⎪⎭

⎫

⎝⎛--Vdp R C C pdV R C C V n V n

两边除以pV ，再经整理，得到0=

+p

dp

V dV n

，经积分即得C pV n =。 2、图1.16所示的循环称狄塞尔（Diesel ）循环。试证明，理想气体在狄塞尔循环中的效率

为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=1

2

131

2

1311V V V V V V V V γ

γ

γη ， 假设P

C 和V C 是常数。

解：狄塞尔循环为等压加热循环，在等压过程32→中，吸收热量(),231T T C Q p -=，在等容过程14→中，放出热量()142T T C Q V -=，所以该循环的效率

()()()2

31

423142312111T T T T T T C T T C T T C Q Q Q p V p ---

=----=-=

γη （1） 因32→为等压过程，所以

2

3

23V V T T =

（2） 因21→和43→为绝热过程，所以

1

2

21

1

1--=γγV T V T 和1

3

31

1

4--=γγV T V T （其中41V V =）

由上两式，得到，1

1221

13314--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=-γγV

V T V V T T T （3）

将（3）式代入（1）式，并考虑到（2）式，经化简之后，则得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

=1

2

13121311V V V V V V V V γ

γ

γη。 3、试证明，一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。 解：这可以由压力不变下，熵对体积的偏导数P

V S ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂的符号证明之。 就定压膨胀系数P

T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=

1α而论，选P T ,为独立变量是方便的；于是问题就归结于把 P

V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂中的独立变量()p V ,变换到独立变量(,)T p 。这可采用下面两种方法来做。 (i) P V S ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=P P V T T S ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=αV T C T V T S P P

P //=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 因对均匀物体，0>P C ；而0≥T 及0≥V ，所以 P

V S ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂的符号与α的符号相同。即在准静态等压过程中熵S 随体积V 的增减取决于温度随体积的增减。 4、由热力学公式

V

C S dT T

=⎰

及低温下电子气体的热容量，求电子气体的熵。

解：已知在低温下电子气体的热容量为

202V kT C Nk πμ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

∴220000

22T

T V C k kT

S dT Nk dT Nk

T ππμμ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰ 按上面的结果，在0T →时，我们有0S →，这与热力学第三定律的要求相符合。

5、在C 0

25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为：

3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-⨯+⨯⋅,

如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 解：写出 2

cp bp a V ++=，则

()(

)

dp p dp cp b dV 63

10046.0210

715.02--⨯⨯+⨯-=+=

所要求的功 ()1000

1

321000

1

322122

1

⎪

⎭⎫

⎝⎛+-=+-=-=⎰

⎰

cp bp dp cp b p pdV W V V

()()

()

3362

331010046.03

2

1010715.02

1

⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯=

-- 11

3

1.3383.326--⋅=⋅⋅=mol J mol

cm atm ()J cm atm 101324.013=⋅

6、试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。

解：已知平衡辐射场的熵为

V aT S 33

4

=

在可逆绝热过程中辐射场的熵不变，故有 T 3V = 恒量 （25.5）

由于u p 31

=，4aT u =，

∴ 43

1

31aT u p == （1）

上式说明平衡辐射场的压力与体积无关，可逆等压过程也就是可逆等温过程。

图23.3

从（25.5）和（1）式，可得在可逆绝热过程中，有 =3

4

pV 恒量 （2）

下面计算此卡诺循环的效率。

从等温膨胀过程1→2中，系统吸收热量

)(3

4

1241111V V aT S T Q -==∆

在等温压缩过程3→4中，系统放出热量

)(3

4

4342222V V aT S T Q -==∆，

在绝热过程2→3和4→1中，没有热量交换。 所以，循环效率为

)

()()(124143421241121V V T V V T V V T Q Q Q ----=-=η

（3）

又因为状态2和3在同一条绝热线上；状态4和1也在同一条绝热线上，故分别得到

332231V T V T =；432131V T V T =

将上两式代入（3）式即得

1

21T T T -=η

（4）

这与以理想气体为工作物质的卡诺循环效率的公式相同。 7、在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754

ln 18.70p T

=-

（1）