第9章 连续时间信号的复频域分析
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的复频域分析)
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
第 5 章 连续时间系统的复频域分析
5.1 标出下列信号对应于 s 平面中的复频率。
（1） e2t ；（2） te-t ；（3）cos2t；（4） e-t sin（－5t）
答：（1） e2t (t)
s
1
2
，所以
s1＝2
收敛域：
5.4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。
3 / 43
圣才电子书
答：（1）部分分式展开
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
拉氏逆变换，有
（2）部分分式展开
拉氏逆变换，有
（3）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（4）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（5）部分分式展开
15 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
所以
（3）因为 令 T＝1，则 所以
(1)n (t nT )
（1）设 而
，则
由时间平移特性，可得
图 5-1
（2）
（3）因为 由时间平移特性，可得
（4）设
，因
由复频域微分特性，有
再由时间平移特性，可得
9 / 43
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
5.9 用拉普拉斯变换的性质求图 5-2 各波形函数的拉普拉斯变换。
答：（a）由图 5-2（a）可知
图 5-2
而 由拉式变换的时间平移与线性特性，可得
（b）由图 5-2（b）可知
而 所以
（c）由图 5-2（c）可知
10 / 43
圣才电子书
实验四连续时间系统的复频域分析
根据实验原理和系统设计，计算出理论上的关键数据，并与实验数据进行对比，以验证实验结果的正确性。
结果对比分析பைடு நூலகம்
1 2
波形图对比
将实验波形图与理论波形图进行对比，观察两者 在幅度、频率和相位等方面的差异，并分析产生 差异的原因。
数据对比
将实验数据与理论数据进行对比，计算误差并分 析误差来源，以评估实验结果的准确性和可靠性。
系统函数与传递函数
系统函数
描述系统动态特性的数学表达式，通 常表示为微分方程或差分方程的形式。 系统函数反映了系统对输入信号的响 应特性。
传递函数
在复频域中，传递函数表示系统输入 与输出之间的关系。它是系统函数在 复频域的表示形式，便于分析系统的 频率响应和稳定性。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指系统在受到扰动后，能够恢复到原来平衡状态的 能力。对于连续时间系统，稳定性通常指系统的输出在有限 时间内有界。
稳定性判据
根据实验结果，可以总结出连续时间系统稳定的充分必要条件是系统函数H(s)的极点全部 位于s平面的左半平面。
收获与体会
理论与实践结合
通过实验操作，加深了对连续时间系统复频 域分析理论的理解，实现了理论与实践的有 机结合。
实验技能提升
在实验过程中，熟练掌握了信号发生器、示波器、 频谱分析仪等实验仪器的使用，提高了实验技能。
系统函数
连续时间系统的系统函数是复频域中 的传递函数，描述了系统的频率响应 特性。
03 复频域分析方法
CHAPTER
傅里叶变换与拉普拉斯变换
傅里叶变换
将时间域信号转换为频域信号，便于 分析信号的频率特性。通过正弦和余 弦函数的叠加来表示信号，实现信号 的时频转换。
实验5--连续时间系统的复频域分析
实验5–连续时间系统的复频域分析实验背景在连续时间系统的频域分析中，复频域分析是非常重要的一个方法。
其可以帮助我们更直观地了解系统的频率响应，包括幅频响应和相频响应，对于系统的设计和优化都有非常实际的应用价值。
因此，在本次实验中，我们将通过对一个特定系统的复频域分析来学习这一方法的基本原理和操作流程。
实验目的1.了解连续时间系统的幅频响应和相频响应2.掌握利用MATLAB对系统进行复频域分析的方法3.学会根据复频域图像对系统进行分析和优化实验原理连续时间系统幅频响应和相频响应在连续时间系统的频域分析中，使用的是拉普拉斯变换。
通过对系统的输入信号和输出信号进行拉普拉斯变换，可以得到它们在复平面上的函数，进而求得系统的传递函数H(s):H(s)=Y(s)/X(s)其中，s为复变量。
系统的幅频响应和相频响应分别定义为:H(s)的模和相位:|H(jw)|=sqrt(H(s)H(s)*) (模) arg(H(jw))=tan^-1[Im{H(jw)}]/Re{H(jw)} (相位) 其中，w为实数，j为虚数单位。
利用MATLAB进行系统复频域分析MATLAB提供了众多用于连续时间系统复频域分析的工具。
其中，最基本的是bode命令。
它可以计算和绘制给定系统的幅频响应和相频响应曲线。
常用命令格式如下：[bode(H,w)]其中，H为系统的传递函数，w为频率范围除此之外，MATLAB还提供了很多其他的命令，如nyquist、margin、freqresp 等。
它们可以帮助我们更全面地分析系统的性能和特点。
实验步骤实验环境1.一台已安装MATLAB的计算机实验流程1.根据给定的系统传递函数H(s)，利用MATLAB计算和绘制其幅频响应和相频响应曲线。
%定义系统传递函数H=tf([5+j*10 0.6+0.2*j],[1 2+j 3 4-j 5+j]);%绘制幅频响应和相频响应曲线figure(1)subplot(2,1,1)bode(H);subplot(2,1,2)nyquist(H);2.根据绘制的幅频响应和相频响应曲线，对系统进行分析和优化。
信号分析与处理(修订版) 课件 吴京ch03、4 连续时间信号的频域分析、 连续时间信号及系统的复频
02 周期信号的傅里叶级数
二、指数函数形式的傅里叶级数
即周期为T的信号x(t)，可以在任意(t0 ，t0+T)区间，在虚指数信号集 上分解为一系列不同频率的虚指数信号
里叶反变换，可简记为
二者的关系也可记作x(t)→X(jω) ，双箭头 x(t)与频域频谱X(jω)是一对傅里叶变换对。
表示对应关系，说明时域信号来自03 非周期信号的傅里叶变换
二、常用信号的傅里叶变换 1 .单边指数信号的频谱 单边指数信号的表达式为 由于所得频谱是复函数，故有
其时域波形图及频谱图 如图所示。
；
(2) x(t)的极大值和极小值的数目应有限；
(3) x(t)如有间断点，间断点的数目应有限。
02 周期信号的傅里叶级数
一、三角函数形式的傅里叶级数
周期为T的信号x(t) ，可以在任意(t0，t0 十T)区间，用三角函数信号集{ sinkω0t，cosk ω0t，1；k= 1，2，…；ω0 = 2π/T}精确分解为下面的三角形式的傅里叶级数，即
高等院校公共课系列精品教材
高等院校公共课系列精品教材
第四章
连续时间信号及系 统的复频域分析
电子信息科学与工程类
高等院校公共课系列精品教材
01 拉普拉斯 变换
01 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
式(4.6)和式(4. 7)称为拉普拉斯变换对，简称拉氏变换对，记为x(t)→X(s)。
X(s)称为x(t)的拉氏变换，又称为象函数，记为
连续信号与系统的复频域分析
https://
2023 WORK SUMMARY
THANKS
感谢观看
REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
信号的复频域分析
← ⎯→
L ← ⎯→
L
n
← ⎯→ ← ⎯→
L
L
1 s 1 s2 n! s n +1 1 (s + λ ) 2
Re( s ) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > −λ
u (t )
e e
−σ 0t
s +σ0 cos ω 0 t u (t ) ← ⎯→ 2 (s + σ 0 ) 2 + ω 0
f (t ) | e−σt dt = C
对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足
lim f (t )e −σt = 0
t →∞
(σ>σ0)
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件 单边拉普拉斯变换
jω 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
σ0
区
σ
σ>σ0称收敛条件
σ0称绝对收敛坐标
n −1
n −1
(0 − )
= s n F ( s) −
∑
r =0
s n − r −1 f r ( 0 − )
若 f(t) = 0, t<0, 则有f r(0 −) = 0，r=0,1,2,...
d n f (t ) L n ← ⎯→ s F (s) n dt
例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解：
cos ω 0 t u (t ) ← ⎯→
L
s 2 s 2 + ω0
Re( s ) > 0
sin ω 0 t u (t )
← ⎯→ ← ⎯→ ← ⎯→
L L
L
ω0 2 2 s + ω0
拉普拉斯变换和连续时间系统的复频域分析
Vc (S) 29
5.6 系统函数—系统的复频域特征
dt
已知初始条件为y(0-)=2, f(t)=u(t). 求方程的解。
解：设LT[y(t)]=Y(S), LT[f(t)]=F(S), 方程两边LT
SY (S) y(0 ) aY (S) F (S)
Y (S ) 1 y(0 ) 1 F (S )
sa
sa
Y (S ) 2 1 1 2 1 (1 1 ) sa sa s sa a s sa
例2
f (t)
12
包络函数 et
频移
1 (1 e(S1) ) (s 1) (1 e(S1) )
乘衰减指数 周期对称方波
1 s
(1
es
)2
1
1 e2s
(1 es ) s(1 es )
单对称方波
u(t) 2u(t 1) u(t 2)
1 (1 2es e2s )
)
利用无穷级数求和
… 2T
19
例1： 求周期信号的拉氏变换
f (t)
1
0 TT
f0 (t) 2
1
t
0T
2
(1
eS
T 2
)
1
t
S2 2
S T
1 e 2
sin 2 t[u(t) u(t T )]
T
2
LT
信号加窗 第一周期
2
T
(1
eS
T 2
)
S2 2
20
n0
n0
F1 ( s ) 1 eST
利用无穷级数求和
16
例：周期单位冲激序列的拉氏变换
Matlab课程设计连续时间系统的复频域分析与仿真
郑州航空工业管理学院《电子信息系统仿真》课程设计 2013 级电子信息工程专业 131308143 班级题目连续时间系统的复频域分析与仿真姓名学号131308143指导教师二О一五年十二月十日连续时间系统的复频域分析与仿真 一．实验目的1.掌握研究连续时间信号和系统频域分析的理论知识进行。
2.绘出典型单边信号的时域波形。
3.绘出拉普拉斯变换的曲面图及连续时间系统极零点图。
4.能够分析系统的稳定性。
二．实验原理1.连续时间系统的复频域描述[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→=系统函数)(s H 的实质就是系统单位冲激响应)(t h 的拉普拉斯变换。
因此，系统函数也可以定义为： ⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 所以，系统函数)(s H 的一些特点是和系统的时域响应)(t h 的特点相对应的。
假设描述一个连续时间系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k kk k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 1 对式1两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===Mk kkN k k ks X sb s Y s a 0)()(即 ∑∑====Nk k kMk kks asb s X s Y s H 00)()()( 2式2告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。
在MATLAB 中，表达系统函数)(s H 的方法是给出系统函数的分子多项式和分母多项式的系数向量。
由于系统函数的分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，因此，用MATLAB 表示系统函数，就是用系统函数的两个系统向量表示。
信号与系统的实验报告（2）
信号与系统实验报告——连续时间系统的复频域分析班级：05911101学号：**********姓名：***实验五连续时间系统的复频域分析——1120111487 信息工程（实验班）蒋志科一、实验目的①掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MA TLAB 实现方法 ②学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及其复频域分析方法③掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1、拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为：X s =x (t )e −st dt +∞−∞拉普拉斯反变换为：x t =12πj X (s )e st ds σ+j ∞σ−j ∞在MA TLAB 中可以采用符号数学工具箱中的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和拉氏反变换。
L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。
L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。
F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量t 的结果表达式。
F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换H s =ℎ(t )e −st dt +∞−∞此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的拉氏变换之比得到H s =Y(s)/X(s) 单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。
对于H(s)描述的连续时间系统，其系统函数s 的有理函数H s =b M s M +b M−1s M−1+⋯+b 0a n s n +a n −1s M−1+⋯+a 03、连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式H s 的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统函数的值无穷大。
连续时间系统的复频域分析
信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。
为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。
根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。
源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。
源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。
连续信号与系统的复频域分析1
二.拉普拉斯变换的复频域分析 ［1］三大域分析 信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号 信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号 信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。 可见各个域的分析不同只是信号分解的基本单元函数不同。
当 s j 则傅复频域分析 拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方 程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统 的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而 不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用 来分析信号和系统的频率特性的主要手段。 ［3］系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础
［2］尺度变换性
开始
上一页 下一页
结束
［3］延时特性
［4］复频移特性
［5］时域微分特性
［6］时域积分特性
开始
上一页 下一页
结束
［7］时域卷积特性
［8］初值定理
［9］终值定理
［10］周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) fT (t ) F1 ( s) 1 e sT
开始
冲激响应应绝对可也应该有限开始上一页下一页结束2系统稳定性的充分必要条件稳定系统s域系统函数的全部极点位于s左半平面不包括虚轴时域临界稳定系统s域系统函数的极点位于s平面的虚轴上且只有一阶极点时域不稳定系统s域系统函数的全部极点位于s右半平面或者在原点和虚轴有二阶或二阶以上的重极点时域3系统稳定性判定罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的开始上一页下一页结束罗斯准则
实例：
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
实验二连续时间信号的频域分析
实验⼆连续时间信号的频域分析实验⼆连续时间信号的频域分析⼀、实验⽬的1、掌握连续时间周期信号的傅⾥叶级数的物理意义和分析⽅法；2、观察截短傅⾥叶级数⽽产⽣的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产⽣的原因；3、掌握连续时间傅⾥叶变换的分析⽅法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间⾮周期信号的频谱特征以及傅⾥叶变换的主要性质；5、学习掌握利⽤Matlab 语⾔编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利⽤这些程序对⼀些典型信号进⾏频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若⼲重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅⾥叶变换的物理意义，掌握信号的傅⾥叶变换的计算⽅法，掌握利⽤Matlab 编程完成相关的傅⾥叶变换的计算。
⼆、原理说明1、连续时间周期信号的傅⾥叶级数CTFS 分析任何⼀个周期为T 1的正弦周期信号，只要满⾜狄利克利条件，就可以展开成傅⾥叶级数。
三⾓傅⾥叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或：∑∞=++=100)cos()(k k k t k ca t x ?ω 2.2 其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。
三⾓形式傅⾥叶级数表明，如果⼀个周期信号x(t)，满⾜狄⾥克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每⼀个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量(Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.9 时域卷积定理 9.2.10 复频域微分性 9.2.11 复频域积分性
f (t) 1
j
F
(
s)estds
2j j
s j
单边拉氏变换
F (s) f (t)estdt 0
本书后续内容主要讨论单边拉普拉斯变换， 简称为拉氏变换。
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F [ f (t)et ]
s j
f (t)ete jtdt
解： f (t) (t) F(s)
f (t t0 ) (t t0 ) F (s)est0
f
(at
t0 )
(at
t0 )
1 a
F(
s a
s
)e a
t0
9.2.4 频移性
若 f (t) F(s) ，则
f (t)es0t F (s s0 )
例9-2-7 （1）eat sin0t (t) ?
（2）eat cos0t (t) ?
解：（1） sin 0t
(t)
s2
0 02
eat
sin 0t
(t)
(s
0
a)2
02
9.2.4 频移性
（2）cos 0t
(t)
s2
s
02
eat
cos
0t
(t)
(s
sa a)2
02
9.2.5 时域微分性
若 f (t) F(s) ，则
df (t) dt sF(s) f (0 )
对于f (t) eat (t)（a 0） j
收敛域 a
0
a
图9-1-1 拉普拉斯变换收敛域示意图
9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
(t) 1
(t) 1
s Aeat (t) A
sa
t (t) 1
s2
sin 0t
(t)
s2
02
cos 0t
(t)
s2
s
02
9.2 拉普拉斯变换的性质
F(s)
F1(s)
F1(s)eTs
F1(s)e2Ts
F1(s) 1 eTs
9.2.3 时移性
例9-2-5
1 f (t) ?
1 e2s
解：令F1(s)=1，其原函数f1(t)=(t)，则有
f (t) (t) (t 2) (t 4)
例9-2-6 已知 f (t) (t) F(s) ，则 f (at t0 ) (at t0 ) ? (a 0,t0 0)
解：（1）e2t (t 1) e e 2 2(t1) (t 1)
e2 1 es e(s2)
s2
s2
9.2.3 时移性
（2）不能利用时移性，(t-1)与(t-1)(t)的单边
拉氏变换相同，从而有： t 1 1 1 s2 s
（3）不能利用时移性，(t+1)(t+1)与(t+1)(t)
的单边拉氏变换相同，于是有：
(t 1) (t 1) 1 1
s2 s
（4）可直接利用时移性，得： (t 1) (t 1) 1 es s2
9.2.3 时移性
例9-2-4 求周期为T的周期信号f (t)的单边拉普 拉斯变换。
解：令f1(t)为在0<t<T的波形，F1(s)为其像函 数，则
f (t) (t) f1(t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
9.2.1 线性性
若 f1(t) F1(s) ，f2(t) F2(s) ，则
af1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
例9-2-1 （1）2e 2t (t) e3t (t) ? （2） 5 e3(t 1) (t 1) ?
解：根据拉氏变换的线性性质，有 （1）2e2t (t) e3t (t) 2 1 s 4
e0.5t (t) 1
s 0.5 et (2t) 1 1 1
2 s / 2 0.5 s 1
9.2.3 时移性
若 f (t) (t) F(s) ，则 f (t t0 ) (t t0 ) F(s)est0 (t0 0)
例9-2-3 （1）e2t (t 1) ? （2）t 1? （3）(t 1)(t 1) ? （4）(t 1)(t 1) ?
第9章 连续时间信号的复频 域分析
提纲
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯反变换
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换 9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
定义
双边拉氏变换
F(s) f (t)estdt
d 2 f (t)
d
dt2 n f (t
)
dtn
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f
(0 )
f
(n1) (0 )
9.2.5 时域微分性
例9-2-8 如图9-2-1所示信号f1(t)和f2(t)，求F1(s) 和F2(s)。
f1(t) A
0 1 2t (a)
f2(t) A
0 1 2t (b)
f1'(t) A
2
01
t
-A (c)
f1"(t)
(A)
(A)
0 1 2t (-2A)
(d)
图9-2-1 例9-2-8用图
9.2.5 时域微分性
解：（1）如图9-2-1（d）所示，
f1(t) A (t) 2A (t 1) A (t 2)
s 2 s 3 (s 2)(s 3)
（2）5 e 3(t1) (t 1) 5 e3 (5 e3 )s 15
s s 3 s(s 3)
9.2.2 比例性（尺度变换）
若 f (t) F(s)，则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例9-2-2 et (2t) ? 解：根据拉氏变换的比例性，有
f (t)estdt
F(s) F [ f (t)et ] f (t)estdt
f (t)et F -1[F(s)] 1 F(s)e jtd
2
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
拉普拉斯变换的收敛域
拉普拉斯变换的收敛域是指为使 f (t)et 满足 无限区间绝对可积条件的 的取值范围。