第9章 连续时间信号的复频域分析
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9.2.1 线性性 9.2.2 比例性（尺度变换） 9.2.3 时移性 9.2.4 频移性 9.2.5 时域微分性 9.2.6 时域积分性 9.2.7 初值定理 9.2.8 终值定理
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.9 时域卷积定理 9.2.10 复频域微分性 9.2.11 复频域积分性
f (t)estdt
F(s) F [ f (t)et ] f (t)estdt
f (t)et F -1[F(s)] 1 F(s)e jtd
2
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
拉普拉斯变换的收敛域
拉普拉斯变换的收敛域是指为使 f (t)et 满足 无限区间绝对可积条件的 的取值范围。
的单边拉氏变换相同，于是有：
(t 1) (t 1) 1 1
s2 s
（4）可直接利用时移性，得： (t 1) (t 1) 1 es s2
9.2.3 时移性
例9-2-4 求周期为T的周期信号f (t)的单边拉普 拉斯变换。
解：令f1(t)为在0<t<T的波形，F1(s)为其像函 数，则
f (t) (t) f1(t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
（2）eat cos0t (t) ?
解：（1） sin 0t
(t)
s2
0 02
eat
sin 0t
(t)
(s
0
a)2
02
9.2.4 频移性
Leabharlann Baidu
（2）cos 0t
(t)
s2
s
02
eat
cos
0t
(t)
(s
sa a)2
02
9.2.5 时域微分性
若 f (t) F(s) ，则
df (t) dt sF(s) f (0 )
e0.5t (t) 1
s 0.5 et (2t) 1 1 1
2 s / 2 0.5 s 1
9.2.3 时移性
若 f (t) (t) F(s) ，则 f (t t0 ) (t t0 ) F(s)est0 (t0 0)
例9-2-3 （1）e2t (t 1) ? （2）t 1? （3）(t 1)(t 1) ? （4）(t 1)(t 1) ?
解：（1）e2t (t 1) e e 2 2(t1) (t 1)
e2 1 es e(s2)
s2
s2
9.2.3 时移性
（2）不能利用时移性，(t-1)与(t-1)(t)的单边
拉氏变换相同，从而有： t 1 1 1 s2 s
（3）不能利用时移性，(t+1)(t+1)与(t+1)(t)
f1(t) A
0 1 2t (a)
f2(t) A
0 1 2t (b)
f1'(t) A
2
01
t
-A (c)
f1"(t)
(A)
(A)
0 1 2t (-2A)
(d)
图9-2-1 例9-2-8用图
9.2.5 时域微分性
解：（1）如图9-2-1（d）所示，
f1(t) A (t) 2A (t 1) A (t 2)
解： f (t) (t) F(s)
f (t t0 ) (t t0 ) F (s)est0
f
(at
t0 )
(at
t0 )
1 a
F(
s a
s
)e a
t0
9.2.4 频移性
若 f (t) F(s) ，则
f (t)es0t F (s s0 )
例9-2-7 （1）eat sin0t (t) ?
f (t) 1
j
F
(
s)estds
2j j
s j
单边拉氏变换
F (s) f (t)estdt 0
本书后续内容主要讨论单边拉普拉斯变换， 简称为拉氏变换。
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F [ f (t)et ]
s j
f (t)ete jtdt
s 2 s 3 (s 2)(s 3)
（2）5 e 3(t1) (t 1) 5 e3 (5 e3 )s 15
s s 3 s(s 3)
9.2.2 比例性（尺度变换）
若 f (t) F(s)，则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例9-2-2 et (2t) ? 解：根据拉氏变换的比例性，有
d 2 f (t)
d
dt2 n f (t
)
dtn
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f
(0 )
f
(n1) (0 )
9.2.5 时域微分性
例9-2-8 如图9-2-1所示信号f1(t)和f2(t)，求F1(s) 和F2(s)。
第9章 连续时间信号的复频 域分析
提纲
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯反变换
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换 9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
定义
双边拉氏变换
F(s) f (t)estdt
F(s)
F1(s)
F1(s)eTs
F1(s)e2Ts
F1(s) 1 eTs
9.2.3 时移性
例9-2-5
1 f (t) ?
1 e2s
解：令F1(s)=1，其原函数f1(t)=(t)，则有
f (t) (t) (t 2) (t 4)
例9-2-6 已知 f (t) (t) F(s) ，则 f (at t0 ) (at t0 ) ? (a 0,t0 0)
对于f (t) eat (t)（a 0） j
收敛域 a
0
a
图9-1-1 拉普拉斯变换收敛域示意图
9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
(t) 1
(t) 1
s Aeat (t) A
sa
t (t) 1
s2
sin 0t
(t)
s2
02
cos 0t
(t)
s2
s
02
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.1 线性性
若 f1(t) F1(s) ，f2(t) F2(s) ，则
af1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
例9-2-1 （1）2e 2t (t) e3t (t) ? （2） 5 e3(t 1) (t 1) ?
解：根据拉氏变换的线性性质，有 （1）2e2t (t) e3t (t) 2 1 s 4
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.9 时域卷积定理 9.2.10 复频域微分性 9.2.11 复频域积分性
f (t)estdt
F(s) F [ f (t)et ] f (t)estdt
f (t)et F -1[F(s)] 1 F(s)e jtd
2
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
拉普拉斯变换的收敛域
拉普拉斯变换的收敛域是指为使 f (t)et 满足 无限区间绝对可积条件的 的取值范围。
的单边拉氏变换相同，于是有：
(t 1) (t 1) 1 1
s2 s
（4）可直接利用时移性，得： (t 1) (t 1) 1 es s2
9.2.3 时移性
例9-2-4 求周期为T的周期信号f (t)的单边拉普 拉斯变换。
解：令f1(t)为在0<t<T的波形，F1(s)为其像函 数，则
f (t) (t) f1(t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T )
（2）eat cos0t (t) ?
解：（1） sin 0t
(t)
s2
0 02
eat
sin 0t
(t)
(s
0
a)2
02
9.2.4 频移性
Leabharlann Baidu
（2）cos 0t
(t)
s2
s
02
eat
cos
0t
(t)
(s
sa a)2
02
9.2.5 时域微分性
若 f (t) F(s) ，则
df (t) dt sF(s) f (0 )
e0.5t (t) 1
s 0.5 et (2t) 1 1 1
2 s / 2 0.5 s 1
9.2.3 时移性
若 f (t) (t) F(s) ，则 f (t t0 ) (t t0 ) F(s)est0 (t0 0)
例9-2-3 （1）e2t (t 1) ? （2）t 1? （3）(t 1)(t 1) ? （4）(t 1)(t 1) ?
解：（1）e2t (t 1) e e 2 2(t1) (t 1)
e2 1 es e(s2)
s2
s2
9.2.3 时移性
（2）不能利用时移性，(t-1)与(t-1)(t)的单边
拉氏变换相同，从而有： t 1 1 1 s2 s
（3）不能利用时移性，(t+1)(t+1)与(t+1)(t)
f1(t) A
0 1 2t (a)
f2(t) A
0 1 2t (b)
f1'(t) A
2
01
t
-A (c)
f1"(t)
(A)
(A)
0 1 2t (-2A)
(d)
图9-2-1 例9-2-8用图
9.2.5 时域微分性
解：（1）如图9-2-1（d）所示，
f1(t) A (t) 2A (t 1) A (t 2)
解： f (t) (t) F(s)
f (t t0 ) (t t0 ) F (s)est0
f
(at
t0 )
(at
t0 )
1 a
F(
s a
s
)e a
t0
9.2.4 频移性
若 f (t) F(s) ，则
f (t)es0t F (s s0 )
例9-2-7 （1）eat sin0t (t) ?
f (t) 1
j
F
(
s)estds
2j j
s j
单边拉氏变换
F (s) f (t)estdt 0
本书后续内容主要讨论单边拉普拉斯变换， 简称为拉氏变换。
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F [ f (t)et ]
s j
f (t)ete jtdt
s 2 s 3 (s 2)(s 3)
（2）5 e 3(t1) (t 1) 5 e3 (5 e3 )s 15
s s 3 s(s 3)
9.2.2 比例性（尺度变换）
若 f (t) F(s)，则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例9-2-2 et (2t) ? 解：根据拉氏变换的比例性，有
d 2 f (t)
d
dt2 n f (t
)
dtn
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f
(0 )
f
(n1) (0 )
9.2.5 时域微分性
例9-2-8 如图9-2-1所示信号f1(t)和f2(t)，求F1(s) 和F2(s)。
第9章 连续时间信号的复频 域分析
提纲
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯反变换
9.1 连续时间信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换 9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
9.1.1 拉普拉斯正变换与反变换
定义
双边拉氏变换
F(s) f (t)estdt
F(s)
F1(s)
F1(s)eTs
F1(s)e2Ts
F1(s) 1 eTs
9.2.3 时移性
例9-2-5
1 f (t) ?
1 e2s
解：令F1(s)=1，其原函数f1(t)=(t)，则有
f (t) (t) (t 2) (t 4)
例9-2-6 已知 f (t) (t) F(s) ，则 f (at t0 ) (at t0 ) ? (a 0,t0 0)
对于f (t) eat (t)（a 0） j
收敛域 a
0
a
图9-1-1 拉普拉斯变换收敛域示意图
9.1.2 常见信号的拉普拉斯变换
(t) 1
(t) 1
s Aeat (t) A
sa
t (t) 1
s2
sin 0t
(t)
s2
02
cos 0t
(t)
s2
s
02
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.1 线性性
若 f1(t) F1(s) ，f2(t) F2(s) ，则
af1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
例9-2-1 （1）2e 2t (t) e3t (t) ? （2） 5 e3(t 1) (t 1) ?
解：根据拉氏变换的线性性质，有 （1）2e2t (t) e3t (t) 2 1 s 4