互相关函数的应用

苏州大学《机械工程测试技术基础》课程作业

题目：互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置

姓名：王臻

学号：1442404033

年级：_14 级

专业：车辆工程

2017年04月03日

互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置

一、实验目的

1、理解相关性原理，掌握信号的互相关函数的求法以及互相关函数的特性。

2、利用互相关函数知识，探索测量钢带速度、确定输油管裂损位置的方法。

二、实验原理

1、相关的概念

相关是指客观事物变化量之间的相依关系，当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某个变量数值的确定，另一变量却可能去许多值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。在统计学中是用相关系数来描述两个变量x ，y 之间的相关性，相关系数的公式为:

y

x y x y x E σσμμρ)]

)([(xy --=

注：

E 为数学期望；

x μ为随机变量x 的均值，x μ=E[x]；

y μ为随机变量y 的均值，y μ=E[y]；

x σ，y σ为随机变量x ，y 的标准差；

2x

σ

=E[(x-

x μ)2]

2y

σ=E[(y-y

μ)2

]

利用柯西—许瓦兹不等式:

E[(x-x μ)(y-y μ)]2≦E[(x-x μ)2]E[(y-y μ)2] 式中

xy

ρ是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，

表征了x 、y 之间的关联程度；x σ、y σ

分别为随机变量x 、y 的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。

故知|

xy

ρ|≤1，当

xy

ρ的绝对值越接近1，x 和y 的线性相关程度越好，当

xy

ρ

接近于零，则可以认为x,y 两变量无关。

2、信号的互相关函数

两个各态经过程的随机信号x(t)和y(t)的相互关系函数

)

τ(R xy 定义为:

dt

t y t x T R T

T xy )()(1lim )(0

ττ⎰+=∞→

当时移τ足够大或∞→τ时，x(t)和y(t)互相不相关，xy ρ∞→，而)

τ(R xy

→x μy μ。)τ(R xy 的最大变动范围在x μy μ -x σy σ之间,即:

)()()(y x y x xy y x y x R σσμμτσσμμ+≤≤-

式中

x μ、y μ——分别为x(t)、y(t)的均值；

x σ、y σ——分别为x(t)、y(t)的标准差。

3、互相关的特性

a.互相关函数不是偶函数，其图形不对称，但与其共轭函数对称。即

()()

xy xy R R ττ≠-

b.最大值不是出现在0τ=处，而是在某时移量0ττ=处 。时移量0τ反

映两信号()x t 、()y t 之间主传输通道的滞后时间(图1），也表明两信号在时差0τ处

相关程度最大。最大值为:

0()xy x y x y

R τσσμμ=+

c.若随机信号()x t 和()y t 中没有同频率的周期分量，则当τ很大时彼此之

间互不相关，即 :

()0,()xy xy x y

R ρττμμ→∞→→∞→

d.两个具有相同频率的周期信号的互相关函数仍是周期信号，且互相关函数中保留了原信号的频率、幅值以及相位差的信息。而两个不同频率的周期信号是不相关的。 。

图1

三、互相关函数的应用

1、钢带运动的非接触测量

互相关技术广泛应用于各种测试中。工程中还经常用两个间隔一定距离的传感器来不接触地测量运动物体的速度。如图2所示，测量热轧钢钢带速度的示意图。钢带表面的反射光经透镜聚焦在相距为d 的两个光电池上。反射光强度的波动，经过光电池转换为电信号，再进行相关处理。当可调延时τ等于钢带上某点在两个测试点之间经过所需的时间τd 时，互相关函数为最大值。钢带的运动速度d d v τ/=。

图2

设两传感器接收到的信号分别为：)1.0(2sin 2sin -==t y t x π、π,则，两信号

函数互相关。

)2.02cos(2

1

)]1.0-(2[sin )2sin(1lim )()(1lim )(0

ππππ+=-=+=⎰⎰∞→∞→ττττT

T T

T xy dt t t T dt

t y t x T R

当N n ∈=，1.0-n τ时，取最大值，考虑到被测量为时间，所以当9.0=τ时取最大值。

MATLAB 程序代码如下：

clc;clear; dt=0.001; t=-1:dt:1; x=sin(2*pi*t); y=sin(2*pi*(t-0.1)); subplot(2,1,1); plot(t,x); hold on plot(t,y); axis([-1 1 -1 1]);

[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');

subplot(2,1,2); plot(b*dt,a); axis([-1 1 -1 1]);

图像如下（图3）：

图3

2、确定输油管裂损位置

图4是确定深埋在地下的输油管裂损位置的例子。漏损处K 视为向两侧传播声响的声源，在两侧官道上分别放置传感器1和2，因为放传感器的两点距漏损处

不等远，则漏油的声响传至传感器就有时差，在互相关图上m ττ=处)(R 21τx x 有最大值，这个m τ就是时差，由m τ就可确定漏损的位置：

m v τ2

1

s =

式中，s 为两传感器的中点至漏损处的距离；

v 为音响通过管道的传播时间。

图4

现设传感器1和传感器2接收到的声音的电信号分别为x1=90sin(π(n-0.1Fs))、x2=50sin(pi*(n-0.3*Fs)。

MATLAB 代码如下：

clear;

N=1000;n=0:N-1; Fs=500;t=n/Fs; Lag=200;

x1=90*sinc(pi*(n-0.1*Fs)); x2=50*sinc(pi*(n-0.3*Fs));

[c,lags]=xcorr(x1,x2,Lag,'unbiased');

subplot(2,1,1),plot(t,x1,'r');

hold on; plot(t,x2,'b:');

legend('信号x1','信号x2');

xlabel('时间/s');ylabel('x1(t) x2(t)');

title('信号x1和x2');

hold off;

subplot(2,1,2),plot(lags/Fs,c,'r'); xlabel('时间/s');ylabel('Rxy(t)');

title('信号x1和x2的相关');