第三章 方位投影

三、透视方位投影
(一).透视方位投影 一 透视方位投影 利用透视法把地球表 面投影到平面上的方法 称为透视投影。 称为透视投影。 透视方位投影的点光 源或视点位于垂直于投 影面的地球直径及其延 长线上， 长线上，由于视点位置 不同， 不同，因而有不同的透 视方位投影。
• 透视方位投影的一般公 式推导 由相似三角形Q’A’O及qAO 有(图3-12，46)
在方位投影投影中，极点（或天顶）均投 影为点（投影中心点），投影中心点至任 意点的方位角无变形。 1.等变形线——与等高圈一致为同心圆 •
切方位
割方位
图04-14
2.等高圈长度比μ2 的变化规律 3.方位投影的应用 （1）等角方位投影， （2）各大洲图常采用斜轴等面积方位投影。其投影中心常 取以下位置：
五、双重方位投影
Z KR ( D + KR ) Sin K ρ= Z D + KRCos K
Z (1 + β )1 + βCos K µ1 = Z ( β + Cos ) SinZ K
Z (1 + β ) Sin K µ2 = z ( β + Cos ) SinZ k
六、方位投影变形分析及其应用
第三章
方位投影
学习目标与要求 1.掌握方位投影的一般公式及其分类 2.掌握等角、等面积、等距离方位投影的坐标与 变形公式 3.掌握透视方位投影的特点 4.掌握方位投影的变形规律及应用 • 学习重点 1.掌握方位投影的基本概念以及公式 2.掌握方位投影的变形分析 3.掌握方位投影的应用 • 学习难点 1. 方位投影概念及公式意义 2. 方位投影的变形规律 •
非透视方位投影是借 助于透视投影的方式， 助于透视投影的方式， 而附加上一定的条件， 而附加上一定的条件， 如加上等角、等积、 如加上等角、等积、等 距等条件所构成的投影。 距等条件所构成的投影。 在这类投影中有等角方 位投影、 位投影、等距方位投影 和等积方位投影。 和等积方位投影。
四、方位投影的概括公式
3.等距正轴方位投影 3.等距正轴方位投影 ①投影条件：投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=90º 投影条件：投影面---平面 --投影公式： ②投影公式：μ1=1 μ2= z/sinz 经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆， ③经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外不变即相 圆的半径。 等。 变形分布规律： ④变形分布规律： 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅱ μ1 = 1 μ2 >1 μ2 1→1.57 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅲ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 面积变形、角度变形都不大。 ⅳ面积变形、角度变形都不大。
2.等积正轴方位投影 2.等积正轴方位投影 投影条件：投影面-----平面 ①投影条件：投影面---平面 p=1 Ψ0=90º 投影公式： =cos（ sec（ ②投影公式：μ1=cos（z/2 ） μ2= sec（z/2 ） ③经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心 经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆， 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 变形分布规律： ④变形分布规律： 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。 p=1 ⅱ p=1 ⅲ μ1 < 1 μ1 1→0.707 μ2 >1 μ2 1→1.414 没有面积变形，但角度变形较大。 ⅳ没有面积变形，但角度变形较大。 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅴ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。
（a）切方位
（b）割方位
图04-14 方位投影等变形线
二、等角、等积和等距方位投影 等角、
（一）等角方位投影 ρ = 2RCos2
ZK Z tan 2 2
ρ
等角方位投影，就是使它符合等角条件， 等角方位投影，就是使它符合等角条件，并由此决定
=f(z)的函数形式 的函数形式
的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似， 的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似，即微分圆投影后仍为一 个圆，也就是一点上的长度比与方位无关，没有角度变形。 个圆，也就是一点上的长度比与方位无关，没有角度变形。 由此可写出投影条件 µ1=µ2 或 ω=0 dρ ρ 有
一、方位投影的投影表象及其一般公式
• 1.投影表象 在正轴方位投影中 a、纬线投影后成为同心圆， b b、经线投影后成为交于一点的直线束(同心圆的 ( 半径)， ) c、两经线间的夹角与实地经度差相等。 对于横轴或斜轴方位投影，则等高圈投影后为同 心圆，垂直圈投影后为同心圆的半径，两垂直 圈之间的交角与实地方位角相等。 根据这个关系，我们来确定方位投影的一般公式。
Z 2
• 在等面积方位投影中，保持面积没有变形，所以在决定 ρ=f(z)的函数形式时，必须使其适合等面积条件，即面积 比P=1，为此有 dρ ρ P = µ1 ⋅ µ 2 = ⋅ =1
Rdz R sin z
ρ d ρ = R 2 sin zdz • 由此有 ρ2 • 将上式积分后得
2
= C − R 2 cos z
本章结束
（一）正轴方位投影 投影中心为极点， 投影中心为极点，纬线为同 心圆，经线为同心圆的半径， 心圆，经线为同心圆的半径，两 条经线间的夹角与实地相等。 条经线间的夹角与实地相等。等 变形线都是以投影中心为圆心的 同心圆。 包括等角、等积、 同心圆。 包括等角、等积、等 距三种变形性质， 距三种变形性质，主要用于制作 两极地区图。 两极地区图。
3.方位投影的计算步骤
（1） 确定球面极坐标原点Q的经纬度φ0,λ0； （2） 由地理坐标φ和λ推算球面极坐标z和α； （3） 计算投影极坐标ρ,δ和平面直角坐标x,y； （4） 计算长度比、面积比和角度变形。 • 关于z和α，可由地理坐标变换为球面极坐标的方 法来求定。 cos z = sin ϕ sin ϕ 0 + cos ϕ cos ϕ 0 cos(λ − λ0 ) sin z cos a = sin ϕ cos ϕ 0 − cos ϕ sin ϕ 0 cos(λ − λ0 ) sin z sin a = cos ϕ sin ϕ 0 sin(λ − λ0 )
• 方位投影可以划分为： A、透视投影：正射、外心、球面（平射）、球心 （日晷）等投影（视点位置不同） B、非透视投影：等角、等面积、任意（包括等距 离）投影（投影性质） • 按投影面与地球相对位置的不同，可分为： 正轴方位投影，此时Q与P重合，又称为极方位投影 ( ϕ 0 = 90o)； 横轴方位投影，此时Q点在赤道上，又称赤道方位 投影(ϕ = 0o )； 斜轴方位投影，此时Q点位于上述两种情况以外的 任何位置，又称水平方位投影( 0o < ϕ < 90o)。 • 根据投影面与地球相切或相割的关系又可分为切 方位投影与割方位投影。
1. 等角正轴方位投影 Ψ0=90º ①投影条件：投影面---平面 投影条件：投影面---平面 --w=0 投影公式： z/2） ②投影公式：μ1=sec2（z/2） μ2= sec2（z/2 ） 经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆， ③经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆 的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 经线夹角等于相应的经差. 经线夹角等于相应的经差. 变形分布规律： ④变形分布规律： 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅱ w=0 w=0 ⅲ μ1=μ2 μ1 1→2 μ2 1→2 p 1→4 没有角度变形，但面积变形较大。 ⅳ没有角度变形，但面积变形较大。 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅴ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。
方位投影: 以平面作投影面， 方位投影 以平面作投影面，使平面与球
面相切或相割， 面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平 面上而成。 面上而成。
根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投 影，横轴投影，斜轴投影: 正轴方位投影，投影面与地轴相垂直； 横轴方位投影，投影面与地轴相平行； 斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。
Q ' A' Q 'O = qA qO
1.正射投影 正射投影
2.球面投影（平射投影或等角方位投影） 球面投影（平射投影或等角方位投影） 球面投影
3.球心投影（日晷投影） 球心投影（日晷投影） 球心投影
4.内心投影 内心投影
5.外心投影 5.外心投影
(二).非透视方位投影 二 非透视方位投影
对于正轴等距离方位投影，把(90°－φ)=z，λ=δ代入以上公式即得：
本投影又称为波斯托投影
与等面积方位投影一样，广义上等距方位 投影开始条件也可以设µ1=K，K为小于1的 常数(决定方法与等面积方位投影一样)，从 而可缩小等高圈长度变形的绝对值，但在 此情况下，并不能改善角度变形，而且沿 垂直圈也不能保持真正等距离而是缩小了 一个常数。所以实践中也应用得不多。
（二）横轴方位投影 平面与球面相切，其切点位于赤道上。 平面与球面相切，其切点位于赤道上。 特点：通过投影中心的中央经线和赤道为直线， 特点：通过投影中心的中央经线和赤道为直线，其他经 纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。 纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。
1. 等角横轴方位投影 投影条件：投影面-----平面 ①投影条件：投影面---平面 w=0 Ψ0=0º 投影公式： z/2） z/2） ②投影公式：μ1=sec2（z/2） μ2= sec2（z/2） 经纬线形式：中央经线为直线， ③经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于中央经 线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲 线的曲线。中央纬线为直线， 在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。 变形分布规律： ④变形分布规律： 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。 w=0 ⅱ w=0 ⅲ μ1=μ2 μ1 1→2 μ2 1→2 p 1→4 没有角度变形，但面积变形较大。 ⅳ没有角度变形，但面积变形较大。 面积等变形线与纬圈一致。 ⅴ面积等变形线与纬圈一致。