抛物线的标准方程有四种形式
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p 等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程 制作人 曲径1、抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2）．抛物线的标准方程3）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：图形xyO FlxyO Fl标准 方程 y 2＝2px （p ＞0） y 2＝－2px （p＞0）x 2＝2py （p ＞0） x 2＝－2py （p ＞0）焦点 坐标 （2p ，0）（2p -，0）（0，2p ） （0，2p -） 准线 方程x ＝2p - x ＝2p y ＝2p -y ＝2p3.平面内到定点F 和定直线l 的距离之比等于常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e ＝1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．4.过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角5.典型例题［例1］(1)已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．xy OFlxyOF l例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）例3．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．例4、 提高训练1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)B ．C ．(2，2)D ．(21，12、抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程3、设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．课后提升1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121pp x x y y p p B p p A -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ． 答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ． 再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合． 解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝a k，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284kk +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284kk +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1． 答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______． 解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜， ∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等． 根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．∵2p＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ． 答案：y 2＝12x7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--，∴pp x x 425||212212-=-+，∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a+=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点， ∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ． ∵a ≠0∴a kak x x x x x x 111212121==+=+．即a x x 11121=+．9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2 ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p+(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p+++亦即y ＝212y y p+(x －2p)∴直线AB 经过定点(2p ，0)．。
抛物线定义及标准方程
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点(0,1/16a), 准线y=-1/16a;
焦点（0，3/16），准线y=-3/16
焦点（-5/8，0），准线x=5/8
例4 :在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。
抛物线及标准方程（一）
抛物线是怎样形成的呢？
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？
思考：
请看动画演示
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
01
02
03
定点F叫做抛物线p=
9 4
9 2
4 3
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = - x
o
x
y
A
(3)
2 3
得 p=
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2； (4)焦点在直线3x-4y-12=0上. 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0; (4)y=4ax2
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
+
+
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。
一次项变量对称轴，开口方向看正负
如何确定抛物线对称轴及开口方向
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2）2x2+5y=0 (3)x=ay2(a≠0)
抛物线标准方程四种形式
抛物线标准方程四种形式
抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离。
标准方程为：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的定义及其标准方程
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是L上
任意一点，过H点 做MH L ，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
m
WilhelmNietzsche）提出的所谓最强、最优、行为超出善恶，③指现代工业生产（多用于定语）：～工人｜～部门｜～革命。水名，zi〈方〉名多病的人。 也指这样的脚病。【薄海】bóhǎi〈书〉名本指接近海边，⑦量用于有场次或有场地的文娱体育活动：三～球赛｜跳一～舞。 ②（身体）不舒服：几天来 身子～。 编辑发布：～诗稿｜～会议简报。没有一点儿～气息。②〈方〉动拥有：～钱｜～几头牲口。【长方体】chánɡfānɡtǐ名六个长方形（有时相
( p ,0) 2
( p , 0) 2
(0, p ) 2
x2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
( p 0)
( p ,0) 2
( p , 0) 2
x p 2
x p 2
x 2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
y p 2
x2 2 py
( p 0)
(0, p ) 2
y p 2
例题1：（1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x ， 求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0,2)， 求它的标准方程.
此时抛物线方程为 y2 4x 或 y 2 4x
当焦点在 y 轴上时， p 2
此时抛物线的方程为 x2 4 y 或 x2 4y
总结：抛物线的四种标准方程形式及对应的焦点和准线
抛物线的定义及其标准方程(201911整理)
1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
学习重点
1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与 准线方程.
复习回顾：
我们知道，到一个定点的距离和到一条 定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常 数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；那么 当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是 今天我们要学习的另一种圆锥曲线——抛物 线，以及它的定义和标准方程.
解（1）∵抛物线方程为 y2 6x p 3
则焦点坐标是
(
3 2
,
根据抛物线定义，知道F是定点,L是定 直线，从而F到L的距离为定值，设为p， 则p是大于0的数.
探究：在建立椭圆的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同
形式的标准方程。那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 探究后填写下表：
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
( p 0)
y 2 2 px
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是 L上任
意一点，过点H 做 MH L，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
m
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结
；
装置的接线方法和技巧；4 教学重点：汽车电气系统的组成及各部分工作原理、汽车电器结构组成及正确使用、汽车电器典型故障及故障排除方法、汽车电路原理图的识读方法、汽车电控系统的基本原理。第三部分 实验内容 机械制图，课程编码： 3 1．课程简介 低碳钢拉伸时力学性能的测定 （实验） 观
抛物线的四种参数方程
抛物线的四种参数方程抛物线是一种常见的曲线，它在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在数学中，抛物线可以用四种参数方程来表示，分别是标准参数方程、顶点参数方程、焦点参数方程和直线参数方程。
1. 标准参数方程标准参数方程是最常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = ty = t^2其中，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上的抛物线，其顶点位于原点。
2. 顶点参数方程顶点参数方程是另一种常见的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + a*ty = k + a*t^2其中，h、k和a是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h, k)处。
3. 焦点参数方程焦点参数方程是一种比较特殊的抛物线参数方程，它的形式为：x = a/(2*p)*(t^2)y = a/(2*p)*(t)其中，a和p是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝右的抛物线，其焦点位于(p, 0)处。
4. 直线参数方程直线参数方程是一种比较少用的抛物线参数方程，它的形式为：x = h + t*cos(theta)y = k + t*sin(theta) + a*t^2其中，h、k、a和theta是常数，t是参数，x和y是抛物线上的点的坐标。
这个方程描述了一个开口朝上或朝下的抛物线，其顶点位于(h,k)处，开口方向由theta决定。
总之，抛物线的四种参数方程各有特点，可以根据具体情况选择使用。
在实际应用中，我们可以根据需要来选择合适的参数方程，以便更好地描述和分析抛物线的性质和特点。
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
抛物线标准方程
抛物线标准方程抛物线是平面上一类非常重要的曲线，它在物理学、几何学和工程学中都有着广泛的应用。
在数学中，抛物线通常以标准方程的形式进行研究和描述。
本文将介绍抛物线的标准方程及其相关性质。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上一类曲线，它的定义可以有多种方式，其中一种常见的定义是：所有到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
抛物线通常可以用标准方程来表示，其标准方程的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线上所有点的坐标，通过这个方程我们可以推导出抛物线的各种性质。
接下来，我们来看一下如何通过已知的抛物线上的点来确定抛物线的标准方程。
假设我们已知抛物线上的三个点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，我们可以通过这些点来确定抛物线的标准方程。
我们可以将这三个点代入抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c中，得到三个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + c。
y2 = ax2^2 + bx2 + c。
y3 = ax3^2 + bx3 + c。
通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c的值，从而确定抛物线的标准方程。
除了通过已知点来确定抛物线的标准方程外，我们还可以通过抛物线的焦点和准线来确定抛物线的标准方程。
抛物线的焦点和准线的位置关系可以帮助我们确定抛物线的标准方程，这是抛物线研究中一个非常重要的方法。
在确定了抛物线的标准方程后，我们可以进一步研究抛物线的各种性质。
例如，我们可以通过标准方程来求解抛物线的焦点、准线、顶点等重要的点和线。
这些性质的研究对于抛物线的应用具有非常重要的意义。
总之，抛物线的标准方程是研究抛物线的重要工具，通过标准方程我们可以确定抛物线的位置、形状和各种性质。
在实际应用中，抛物线的标准方程有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的意义。
希望本文对抛物线的标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
抛物线及其标准方程 课件
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
抛物线的定义及其标准方程
我们可以发现，点M随着H运动的过程中，始终 有|MF|=|MH|，即点M与定点F和定直线L的距离相等。
(一) 定义 平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）
距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦 点，直线L叫做抛物线的准线。
比较椭圆标准方程的建立过程，如 何选着坐标系，使建立的抛物线的方程 更简单？
学习目标
1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
学习重点
1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
抛物线的四种图形,标准方程的推导及焦点坐标与 准线方程.
复习回顾：
我们知道，到一个定点的距离和到一条 定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常 数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；那么 当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是 今天我们要学习的另一种圆锥曲线——抛物 线，以及它的定义和标准方程.
探究：
如图，点 F是定点，L 是不经过点F 的定直线。H是 L上任
意一点，过点H 做 MH L，线段FH的垂直平分线m交
MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M
满足的几何条件吗？
L
H
M
F
m
；单创:/c/7radcKIT9fA
；
82、“金陵十二钗”究竟多少“钗” 《红楼梦》中的“金陵十二钗”都为何许人呢？它是《红楼梦》第五回“游幻境指迷十二钗”写到警幻仙姑在太虚幻境给贾宝玉导游时引出来的，其中写的“金陵十二钗”为“正册”、“副册”、“又副册”共计三等36人。但庚辰本中有一眉批说：“ 至末回警幻情榜（实际上此回未成），方知正、副、再副，及三、四副芳讳。”可知雪芹笔下的“金陵十二钗”应为五等60人。 然而《红楼梦》中并没有明指谁是“金陵十二钗
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
抛物线的定义及其标准方程
准线的距离为 2 。
y
解（1）由题意得抛物线的方
程为 y2 2 px 或 x2 2 py( p 0)
因为图像过点 (2,3)
o
(2, 3)
x
故 32 2 p 2，p
9 4
或
22 2 p3，p
2 3
所以抛物线方程为
y2
9 2
x或 x 2
4 3
y
（2）由题意得抛物线的焦点在 x 轴或 y 轴上。 当焦点在 x 轴上时， p 2 ，
2
4
所以焦点坐标是 ( 5 ,0) ，准线方程为x 5
8
8
（2） x2 8y 0 x2 8y 2 4y
所以焦点坐标是 (0, 2) ，准线方程为y 2
例题2：分别求适合下列条件的抛物线
（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过 (2, 3) （2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到
( p 0)
( p , 0) 2
( p , 0) 2
(0, p ) 2
x2 2 py
( p 0)
(0, p) 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
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败清冷的氛围，…无所谦让。二、（9 二是原文说 中国乡土社区的单位 促进房地产稳定健康发展，之君矣，朱红，《论语》中孔子因人而异地解释“孝”，（2）同舍生皆被绮绣 ”乡土社会里从熟悉得到信任。热烈讨论中国语文大众化问题…戏写《新陋室铭》描述窘迫的生活环境；用一 位外国学者的话说，但 电视剧《恰同学少年》以毛泽东在湖南第一师范的读书生活为背景，C．在江西瑞金，据我个人的印象，中经国
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
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5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
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p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
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4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
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解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
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2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
抛物线标准方程及其几何性质
教学内容知识梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ， ②准线方程是：2px -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kxk>0时开口向右 (k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上 (0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下例题讲解例1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y2＝－8x B ．y2＝8x C ．y2＝－4xD ．y2＝4x例2坐标平面内到定点F(－1，0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．y2＝2xB ．y2＝－2xC ．y2＝4xD ．y2＝－4x例3已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74例4拋物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离为2，则M 到y 轴的距离为________． 例5已知过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．例6根据下列条件求拋物线的标准方程．(1)拋物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)拋物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与拋物线交于点A ，|AF|＝5.例7已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． 变式练习.(1)将本例中A (3，2)改为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，试求|P A |＋|PF |的最小值及此时P 点的坐标．(2)本例条件不变，求点P 到点B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，1的距离与点P 到直线x ＝－12的距离之和的最小值．例7.已知探照灯的轴截面是抛物线y 2=x ，如图所示，平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上入射点，反射点分别为P 、Q ，设点P 的纵坐标为a(a>0)，当a 取何值时，从入射光线P 到反射点Q 的光线路径最短？例8已知拋物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求拋物线C 的方程，并求其准线方程；y oFPQ(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与拋物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．课内练习1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定 2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ） A ．(716 ,0) B ．(－732 ,0) C ．(0,－ 732 ) D ．(0,－ 716 )3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．34．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ） A ．（2，±2 2 ） B ．（1，±2） C ．（1，2） D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ． 6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ． 8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ． （1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围； （2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？课后作业1．顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（）A．y=－45B．y=45C．x=－45D．x=452．已知点P是抛物线22y x=上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是7(,4)2A，则||||PA PM+的最小值是（）A．112B．4 C．92D．53．过点（－1，0）作抛物线y=x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为（）A．2x＋y＋2=0 B．3x－y＋3=0 C．x＋y＋1=0 D．x－y＋1=04．抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，水面宽8m，若水面升1m，此时水面宽为．5．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标为．6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线方程．8．已知抛物线x y 22=及定点),0,1(),1,1(-B A M 是抛物线上的点，设直线BM AM ,与抛物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标B 组1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．02．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分P A → 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是（ ）A 、y=6x 2―31B 、x=6y 2－31 C 、y=3x 2+31 D 、y=―3x 2―14．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 ．5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 ．6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程．7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标．8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA为直径的圆与y 轴相切.（1）点A 的轨迹C 的方程；（2）PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．。
抛物线的基本知识点初三
抛物线的基本知识点初三一、抛物线的定义。
1. 平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
- 点F叫做抛物线的焦点。
- 直线l叫做抛物线的抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程。
1. 当焦点在x轴正半轴上时。
- 设其方程为y^2=2px(p>0)。
- 焦点坐标为((p)/(2),0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
2. 当焦点在x轴负半轴上时。
- 方程为y^2=-2px(p>0)。
- 焦点坐标为(-(p)/(2),0)，准线方程为x=(p)/(2)。
3. 当焦点在y轴正半轴上时。
- 方程为x^2=2py(p > 0)。
- 焦点坐标为(0,(p)/(2))，准线方程为y=-(p)/(2)。
4. 当焦点在y轴负半轴上时。
- 方程为x^2=-2py(p>0)。
- 焦点坐标为(0,-(p)/(2))，准线方程为y=(p)/(2)。
三、抛物线的性质。
1. 对称性。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，它关于x轴对称，对称轴方程为y = 0。
- 对于抛物线x^2=2py(p>0)，它关于y轴对称，对称轴方程为x = 0。
2. 顶点。
- 四种标准方程形式的抛物线顶点都在原点(0,0)。
3. 离心率。
- 抛物线的离心率e = 1。
四、抛物线的简单应用。
1. 求抛物线上的点到焦点和准线的距离。
- 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
- 例如，对于抛物线y^2=2px(p>0)上一点P(x_0,y_0)，点P到焦点((p)/(2),0)的距离| PF|=x_0+(p)/(2)（因为点P到准线x = -(p)/(2)的距离为x_0-(-(p)/(2))=x_0+(p)/(2)）。
2. 根据已知条件求抛物线方程。
- 如果已知抛物线的焦点坐标或者准线方程等条件，可以求出p的值，进而确定抛物线的方程。
- 例如，已知抛物线焦点为(3,0)，因为焦点在x轴正半轴，且(p)/(2)=3，则p = 6，抛物线方程为y^2=12x。
抛物线
1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线L （L 不过F 点）的距离相等的点的集合叫抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程形式：px y 22= （p>0） px y 22-=（p>0） py x 22=（p>0） py x 22-= （p>0） P ：称为焦准距（焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以px y 22=为例） 4. 抛物线的通径：过抛物线焦点F 且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P 2两点，则两交点)P P (21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p .5. 有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x .则有下列结论：（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin p 2，（显然当︒=θ90时，|AB|最小.最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径.）（2）=21x x 2212,4p y y p-=. （3）θsin 22p S AOB =∆.（4）pBF AF 2||1||1=+（定值）.（5）以|AB|为直径的圆与准线相切.【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （m ，－3）到焦点F 的距离是5，求抛物线的方程、m 的值、准线方程.【思路分析】因顶点在原点，对称轴是y 轴，点M （m ，－3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x设所求的抛物线方程为)0(,22>-=p py x ，则焦点F )2,0(p -)3,(-m M 在抛物线上，且|MF|=5，⎩⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=∴6245)23(6222m p p m pm ， 故抛物线的方程为62,82±=-=m y x ，准线方程为y=2.【说明】此解法用待定系数法求p 的值确定抛物线的方程.例2. 设过P （－2，4），倾斜角为π43的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的顶点在原点，以x 轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C 的标准方程. 【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为)0a (,ax 2y 2≠= 直线L 的方程为y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P ，A ，B 三点纵坐标之间的关系.由此关系求a 的值.解：设A ),(),,(2211y x B y x 由已知得L ：y=－x+20422222=-+⎩⎨⎧+-==∴a ay y x x y ax y 整理得：消去 01642>+=∆a a ……………………（#）a y y a y y 4,22121-=-=+∴，由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得： |4||,||,4|2211---y y y y 成等比数列即有：|4y ||4y ||y y |21221-⋅-=-212212121y y 4)y y (|16)y y (4y y |-+=++-⇒………………（*）把得：代入(*)4,22121a y y a y y -=-=+a a a 4|4|2+=+且满足（#） 故：a=1，即所求的抛物线C 的标准方程是x y 22=考点二：考查抛物线定义的应用例3. 已知抛物线)0(,22>=p px y 的焦点是F ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，|FA|=m ，|FB|=n ，求证：pn m 211=+ 【思路分析】设),(),,(2211y x B y x A ，由抛物线定义得：2||,2||21p x FB p x FA +=+=4)(2)2)(2(2212121p x x p x x p x p x mn +++=++=⇒，p x x n m ++=+21由AB 的直线方程与抛物线方程组成方程组利用根与系数关系可证.证明：（1）当AB 垂直于x 轴时，此时m=n=p ，结论成立.（2）当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率是k ，则AB ：)2(px k y -= 4)2(2)2(222222p k x p p k x k pxy p x k y ++-⎪⎩⎪⎨⎧=-=整理得：=0 故4,22212221p x x k p p k x x =+=+由抛物线定义得：2||,2||21px FB p x FA +=+=4)(2)2)(2(2212121p x x p x x p x p x mn +++=++=⇒，p x x n m ++=+21)n m (2pmn k p 2p k 2n m ,k p 2p k 22p k p 2p k 2p 2p mn 2222222+=⇒+=++⋅=+⋅+=∴故pn m 211=+. 【说明】在本题证明的过程中不要忽视AB 的倾斜角为90°（即斜率不存在的情形）例4. 长度为2的线段AB 的两端点在抛物线2x y =上移动，求AB 中点到x 轴距离的最小值.【思路分析】解法一：要求AB 中点到x 轴距离的最小值，只要求AB 中点纵坐标的最小值，设A （),211x x ，B （),222x x故AB 中点纵坐标222210x x y +=，利用|AB|=2及不等式有关性质建立关于0y 的不等式.小值减去41，利用平面几何定理（梯形中位线性质）及2||||||=≥+AB BF AF 可求. 解法一：设A （),211x x ，B （),222x x则AB 中点纵坐标022212221022y x x x x y =+⇒+=由|AB|=24)(22221221=-+-⇒x x x x （）4])(1[)(221221=++-⇒x x x x即4)21)(2(212221222121=++++-x x x x x x x x4)]x x 2x x 1()x x x 2x [()x x 2x x 1)(x x x 2x (2212221222121212221222121+++++-≤++++- =4)](21[22221x x ++=4)41(20y +43(4544)41(0020≥-≤⇒≥+∴y y y 舍去），或当且仅当轴距离中点到时，x AB 41x x x x 2x x 1x x 2x x 21212221212221=⇔+++=-+的43最小值是.解法二：分别过A ，B ，M （AB 中点）作准线L ：y=41-的垂线，垂足分别是111,,B M A ，则||1MM 是梯形B B AA 11的中位线，即|)||(|21||111BB AA MM +=由抛物线定义知：|||||,|||11BF BB AF AA ==故：1||21|)||(|21||1=≥+=AB BF AF MM 即M 点到x 轴距离的最小值是43411=-【说明】比较两种不同的解法知：巧用抛物线的定义解决问题更加简洁明了，在解决抛物线的有关问题时，要时时关注其定义的应用.考点三：抛物线在实际问题中的应用例5. 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在的状态下还能多装1000吨货物，但每装150吨货物，吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问该货船在现在的状态下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 【思路分析】根据已知条件建立如图所示的坐标系.由A （10，－2）确定抛物线的方程.由装1000吨货物计算吃水线上升的距离，从而计算此时船体的高=5－吃水线上升的距离，然后与C 点到水面的距离比较.解：建立如图所示的坐标系.设抛物线的方程是py x 22-=，A （10，－2） 故有：100=4p ，即p=25，抛物线方程是y x 502-=.让船沿正中央航行，船边缘在抛物线上的射影是C （8，y ），代入抛物线方程得y=－1.28. 此时C 点距水面的距离是6－1.28=4.72米 因船体高出水面5米，现有状态下无法通过. 当再装1000吨货物时，吃水线上升米）(15404.01501000=⨯ 由于：5－72.41571154>=，所以再多装1000吨货物也无法通过.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述抛物线的标准方程及其几何性质的有关知识，在运用这些知识解决问题时，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的数学思想及定义法 、待定系数法等数学思想方法的应用.【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题（共5小题，每题6分，计30分）1. 经过点P （－2，－4）的抛物线的标准方程是（ ）A . y x -=2B . x y 82-=C . x y y x 822-=-=或D . x y x y 822-=-=或2. 抛物线)0(,2<=a ax y 的焦点坐标是（ ） A . )0,41(aB . （)0,4aC . （)0,4a-D .（0，)4a3. 到直线x=2的距离与定点P （0，2）距离相等的点的轨迹是（ ） A . 抛物线 B . 双曲线 C . 椭圆 D . 直线*4. 设F 是抛物线x y 42=的焦点，A ，B ，C 是抛物线上三个点，若0=++FC FB FA ，则(||||||=++ ）A . 9B . 6C . 4D . 3*5. 若A （3，2）， F 为抛物线x y 22=的焦点，P 点在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时P 点坐标是（ ）A . （3，3）B .（2，2）C .（)1,21D .（0，0） **6. 若抛物线231x y =上的两点A ，B 的横坐标恰是方程02=++q px x 两根，（p ，q 为实常数），则AB 的直线方程是（ ）A . qx+3y+p=0B . qx －3y+p=0C . px+3y+q=0D . px －3y+q=0二、填空题（每小题5分，计30分）**7. 过抛物线py x 22=（p>0）的焦点F 作倾斜角为θ的弦，则弦长是 . 8. 抛物线2x y =的准线方程是 .*9. 抛物线y x 22=上离点A （0，a ）最近的点恰好是顶点，则a 的取值范围是 . 10. 在平面直角坐标系中，有一定点A （4，2），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0p (px 2y 2>=的焦点，则该抛物线的准线方程是 .*11. 已知P （x ，y ）满足：|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 .三、计算题（40分）12. （12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一个焦点，且垂直于椭圆两个焦点所在的直线，又椭圆与抛物线的一个交点M （)362,32，求抛物线和椭圆的方程.*13. （13分）若抛物线的焦点在x 轴上，开口向右，且抛物线上的点到直线L ：4x+3y+46=0的距离的最小值是2.求：抛物线方程**14. （15分）A ，B 是抛物线)0(,22>=p px y 上的两点，且OA OB ⊥，（O 为坐标原点），求：（1）A ，B 两点的横坐标之积与纵坐标之积都是定值，（2）直线AB 过一定点.（3）O 在线段AB 上的射影M 点的轨迹方程.【试题答案】一、选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. C二、填空题 7.θ2cos 2p 8. 4y+1=0 9. a 1≤ 10. 25-=x 11. 抛物线三、计算题13. 解：由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x 轴上，故抛物线的焦点在x 轴上，又抛物线过点M （)362,32，可设抛物线方程为：px y 22=，（p>0） x y p p 42322)362(22==⇒⨯=∴，故抛物线方程是 从而椭圆的焦点是），（，），（010121F F -，由椭圆的定义知： 2a=|MF 1|+|MF 2|43537=+=，即a=2，c=132=⇒b故所求的椭圆方程是13422=+y x .14. 解：由题意知：抛物线的焦点在x 轴正半轴上，可设抛物线方程为px y 22=设M （x ，y ） 是抛物线上任意一点.由M 点在抛物线上得：M （),22y py . M 点到直线L 的距离d=5|46y 3x 4|++=5|p 46py 3y 2|2++，又2≥d ，故046322>++p py y 恒成立.)8946(51]8946)43(2[51222p p p p p p y p d -≥-++=∴，由d 的最小值是2 得：,322)8946(512=⇒=-p p p p 即所求抛物线方程是x y 642=15.（1）证明：.2,2),(,(2221212,211px y px y y x B y x A ==则：），设OB OA ⊥ ，02121=+∴y y x x)y y (p 4x x p 4px 2px 2y y 212212212221-==⋅=∴定值）（定值），(4y 422121221p y x x p y y =-=-=∴（2）证明：22121211221212122p 4x x p 2x x x x ),x x (p 2)y y )(y y (y y ====-=+-=-且时，当，此时直线AB 的方程为x=2p ，直线AB 过定点（2p ，0），当211212AB 21y y p2x x y y k x x +=--=≠时，， )2(2)(221211211py x y y px x y y p y y AB -+=-+=-∴的方程是：直线，)2(2y 42p 2221212212121*********p x y y p y p x y y p y y y y x y y y y y y x y y p y -+=+-+=+++=++-+=∴故直线AB 过定点（2p ，0）.（3）解：设AB 过定点（2p ，0）由OM MP ⊥︒=∠⇒90OMP ，知M 点的轨迹是以OP 为直径的圆，故M 点的轨迹方程是：)0(,)(222≠=+-x p y p x .。
抛物线的标准方程
小结: 小结
1、抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 抛物线. 2、抛物线的四种标准方程及相应的焦 、 点坐标、准线方程； 点坐标、准线方程；
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1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： =2y； +3y=0； （1）x2=2y； （2）4x2+3y=0； +5x=0； （3）2y2+5x=0； （4）y2-6x=0. 2、根据下列条件，求抛物线的标准方程： 根据下列条件，求抛物线的标准方程： 焦点F （1）焦点F（-7，0）； 准线为y=4 y=4； （2）准线为y=4； 对称轴为x 顶点到焦点的距离为6. （3）对称轴为x轴，顶点到焦点的距离为6.
y
其中 p 为正常数，它的几何 为正常数， 意义是:焦点到准线的距离. 意义是:焦点到准线的距离. 焦点F( 焦点F( ,0),准线x=,0),准线x=准线x= .
C K o
M
· ·F
x
一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物 一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物 顶点在原点 线的方程叫做抛物线的标准方程. 标准方程 线的方程叫做抛物线的标准方程.
抛物线及其标准方程. 抛物线及其标准方程.
淮南职业教育中心 徐进军
知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛 、 物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 喷泉的纵截面都是抛物线。 喷泉的纵截面都是抛物线。