极坐标误差分析

关于2秒级全站仪极坐标法用于变形观测的精度分析

一、极坐标法测量原理

如图所示，A 、B 为已知点，A 点坐标为（x A ，y A ）、B 点坐标为(x B ，y B )，p 为待定

极坐标测量法示意图

点。通过测定AB 边与Ap 边的夹角β，Ap 边垂直角ν以及Ap 边的斜距S ，可通过计算出AB 边坐标方位角αAB 和Ap 边平距D ，求得p 点的坐标y x 、。计算式如下：

A

B A B x x y y arctg --=AB α………………………………………………① βαα+=AB …………………………………….…….…………. ②

νcon S D ⋅= ………………………….………………….……… ③

αα

sin D D Ap A Ap A y y con x x +=+=}………………………………………………...④

二、极坐标法测量精度分析

由于S 、、νβ是独立观测值，D 、α也是相互独立的。对以上②、③微分得 βαd =d ……………………………………………………………⑤

ρν

ννd S dS con dD ⋅⋅-⋅=sin ……………………………………...⑥

再对④微分得

ρ

αααρα

ααd o d dy d d con dx ⋅⋅+⋅=⋅⋅-⋅=n c D D sin sin D D }……………………………………⑦ 上式可写为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ααρααραd dD con D D

con dy dx sin sin ………………………………….⑧

因此，p 点的协方差阵为

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡αραραασσσσαρααρασσσσαααcon D D con con D D con D D D y yx xy x sin sin sin sin 2222

其显式形式为

222

222

2222222

2222222sin )s co (sin sin 2s sin sin 2co α

ααααασααρσααρσαασσαρσααρ

σασσαρσααρσασ⋅⋅⋅-⋅-+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-

⋅=con D in n D con con D con D in D con D n D D xy D D y D D x 由以上显式，可推出P 点的方差

2222222ασρσσσσ⋅+

=+=D D y x p 写成中误差形式即为

2222

αρm D m m D p ⋅+±=……………………………………………………..⑨

三、极坐标法测量误差估算

按照仪器的标称精度，测角精度为±2″、测距精度为2+2ppm ，当已知点至待定点之间间距为100m 时，取

510222⨯≈±=''±==ρφα，，mm m m m S

将⑥式按照误差传播定律写成

2222222sin ρνννm S m con m S D ⋅

⋅+⋅=

取 2100m S 3''±==︒=ννm ，，

估算Ap 边平距测量误差：

mm con m D 00.22052.02)102(23sin 1023222252

2

2522±=±≈+±≈⨯⨯︒⨯+⨯︒±=⨯ 当点间高差较小时，垂直角测量误差对平距的影响可忽略不计；取ν为15°时，平距测量误差为±2.06mm 。可见垂直角大小对平距测量精度影响不大，只取决于测距本身精度，

距离越长，精度越低。

由⑨式计算p 点坐标中误差为

)(24.2544

142)21(2222mm m p =±=⨯+±=⨯+±≈ 四、提高极坐标法测量精度的方法与途径

从以上误差估算可以看出，在测站与待定点间距较小的情况下，提高测角精度对于提高待定点精度的意义不大，而距离测量精度直接制约着待定点的测量精度。要提高近距离极坐标法的测量精度，除视线（测距光路）离开周边物体距离应大于0.3m 以上（降低大气旁折光影响）不穿越水沟、河面（防止水面对测距电磁波的影响）以外，重点应在以下两个方面：

1、增加距离测量测回数，提高测距精度。如测4各测回，可使mm p 5.1m ≤。

2、在仪站和镜站同时使用强制对中装置，将对中误差控制在总误差的30%以内，即点位（含仪站、镜站）对中误差应小于±0.5mm 。

当测段视线较长时，测角误差对点位精度的影响增大，需要增加角度测回数，以提高极坐标法的测量精度。

总之，可根据上述中误差计算公式⑨和应满足的测量精度，可反过来设计测量时距离和角度测回数。