概率论与数理统计_正交试验设计

第12章 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。

从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。

例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。

正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。

正交表1944年起源于美国。

第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。

实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。

§12.1 正交试验设计一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。

下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。

)3(49L )2(78L其中符号含义如下： L —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。

从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。

如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。

（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。

如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。

以上性质说明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大减少试验次数。

二、无交互作用的正交设计及其结果的直观分析 1、如何用正交表安排试验 下面用一个实例来说明。

例1 某化工厂进行合成氨试验，需要设计寻找最优生产条件的试验方案。

我们分如下几个步骤设计试验方案，以便寻找最优工艺条件。

第一步：明确试验的目的，确定试验指标。

本试验的目的是寻找合成氨的最优生产条件，试验指标是氨的产量，高者为优。

第二步：挑因素，选水平。

选择正交表时，首先要求正交表中的水平数r 与每个因素水平数一致，其次要求正交表中因素个数m 大于或等于实际因素个数，然后适当选用试验次数n 较小的正交表。

本例是一个三水平试验，因此要从)3(mn L 型中选择正交表。

若不考虑交互作用，本例共有三个因素，所以应选一张3 m 的最小的表，因此选用)3(49L 是合适的。

将A ，B ，C 随机地放到)3(49L 的表头各列中，叫做表头设计。

第四步：列出试验方案表，按其做试验。

确定表中各列水平号码的具体内容。

如对因素A 列的数字“1”、“2”、“3”分别填上460，490，520；类似地确定因素B ，C 列中水平号码的具体内容，就得到如下表所示的试验方案。

正交表的每一行就代表一个试验方案。

严格按照表中所规定的9个试验条件做试验，并把试验结果921,,,y y y 的数据填写在表中的最后一列。

2、单指标试验的直观分析试验指标只有一个的试验叫做单指标试验。

直观分析法也叫做极差分析法。

下面以例1说明它的步骤如下：（1）计算第j 列上第i 个水平的试验结果总和ij K 。

34.580.182.172.132111=++=++=y y y K 73.598.183.192.165421=++=++=y y y K 00.581.160.159.198731=++=++=y y y K 类似地可以计算出36.5,30.5,23.5141312===K K K 39.5,55.5,25.5242322===K K K 32.5,22.5,59.5343332===K K K （2）计算ij K 的平均值ij ij K tK 1=，其中t 为第j 列上第i 个水平出现的次数。

780.1334.5311111===K K 910.1337.5312121===K K 667.1300.5313131===K K 类似地可以计算出787.1,767.1,743.1141312===K K K 797.1,850.1,750.1242322===K K K773.1,740.1,863.1343332===K K K （3）计算第j 列的极差}{min }{max ij iij ij K K R -=。

243.0667.1910.1}{min }{max 111=-=-=i ii iK K R类似地可以计算出024.0,110.0,120.0432===R R R 。

（4）选择最优生产条件。

极差的意义是：j R 越大，说明该因素的水平变化对试验指标的影响越大，即该因素越重要；反之，j R 越小，该因素越不重要。

由此可以根据j R 的大小顺序排出因素的主次。

例如在例1中，由于321R R R >>，因此A ，B ，C 的主次顺序为C B A →→。

因为312111,,K K K 之间的差别仅仅是由321,,A A A 引起的，而与B ，C 取什么水平无关，因此一般地可以通过比较12111,,,r K K K 的大小来确定A 的最佳水平。

在例1中，由于910.121=K 最大，说明A 取2A 水平最好。

类似地，可以确定B 的最佳水平为3B ，C 的最佳水平为2C ，由此得最优配方为232C B A 。

但是在上述9个试验方案中，并没有232C B A 。

这说明，用正交表安排试验不仅可以从表上看到9次试验中的最好配方132C B A ，而且还可以推断出全面试验中的最优配方条件是232C B A 。

关于空白列，也需要分析它的极差，若它的极差很小，则可以认为因素之间的交互作用很小，可以忽略不计。

否则若它的极差比所有因素的极差都大，则说明因素之间可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了对试验结果有重要影响的其它因素。

3、多指标试验的直观分析试验指标多于一个的试验称为多指标试验。

在多指标试验设计中，各指标的最优方案之间可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标，找出使每个指标都尽可能好的生产方案呢？也就是说，应如何分析多指标试验的结果呢？下面介绍两种常用方法。

（1）综合评分法综合评分法是由专业人员根据实际生产的要求，对每号试验评出其各项指标的综合得分，作为这号试验的总指标，从而把多项试验指标转化为单项试验指标，再应用单项指标试验的直观分析法进行分析。

下面以例2说明它的步骤。

例2 某工厂5吨冷风炼铁炉在现有的设备条件和原料供应的情况下，探索好的生产条件，以达到在铁水温度平均为1400℃以上且熔化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比的目的。

为此确定铁水温度、熔化速度、总焦铁比为试验指标，并这是一个4因素3水平试验，选正交表)3(49L ，并将因素A ，B ，C ，D 分别放到1，2，3，4列上即可得试验方案，把方案和试验结果列于下表。

化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比，因此可以规定一个评分办法：铁水温度i T 以1400℃为标准，每高1℃就加1分，每低1℃就扣1分；熔化速度i V 以每小时5吨为标准，每多0.1吨或少0.1吨都扣1分，总焦铁比i F 以1：12为标准，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后对各号试验结果把三者合并起来就是该号试验综合评分的分数i M 。

第i 号试验的综合评分可以写成)9,,2,1(),12(10510)1400( =-⨯+-⨯--=i F V T M i i i i 按上式计算出的综合评分见上表中最后一列。

再用类似于例1的单指标试验的直观分析法进行分析，分别计算出 44,37,32,1514131211====K K K K 52,46,29,3624232221====K K K K 26,39,60,7134333231====K K K K67.14,33.12,67.10,514131211====K K K K33.17,33.15,67.9,1224232221====K K K K 67.8,13,20,67.2334333231====K K K K26,9,31,564321====R R R R由此可以看出四个因素的主次顺序是C D B A →→→。

直接从表上看出9个试验方案中的好条件是1233D C B A ，即第9号试验。

而由表中数据经计算的好条件是2233D C B A ，该结果不在这9个试验中。

（2）综合平衡法综合平衡法就是先分别对各个指标进行与单指标一样的计算分析，然后把各个指标的分析结果进行综合平衡，得出结论。

下面仍以例2说明它的步骤。

从表中可以看出：①4个因素的主次顺序为 平均铁水温度：ABCD 平均熔化速度：ADBC 总焦铁比：DBAC②各指标的最优试验条件为对铁水温度：1133D C B A （数值大者为优）对熔化速度：1222D C B A （数值小者为优） 对焦铁比：2233D C B A （数值大者为优）三个指标分析出的条件互不一致，因此需要视因素的主次关系进行综合平衡。

因素A 对铁水温度和熔化速度是首要因素，对总焦铁比是次要因素。

因此，在确定A 的最佳水平时，应重点考虑对铁水温度和熔化速度为最优的水平。

故因素A 取最佳水平为3A ；同理，因素B 取最佳水平为3B ；因素C 在三个指标中都不占主要地位，综合考虑C 取2C 较好些；因素D 在主次因素中排在末位，从上表可以看出，因素D 对焦铁比影响最大，取2D 最好，但对另两个指标取1D 为好，综合以上分析可以得出两个最优生产条件2233D C B A 与1233D C B A ，其中2233D C B A 与综合评分得出的结论一致，而1233D C B A 是正交设计表中的第9号试验条件，该试验条件不仅是综合平衡法得到的最好方案，也是综合评分法得到的最好方案。

三、有交互作用的正交设计及其结果的直观分析为了能够用正交表安排具有交互作用的正交试验，在许多正交表的后面都附有相应的交互作用表专供表头设计时使用。

下表就是正交表)2(78L 所对应的交互作用表。

上表中所有的数字都是列号。

正交表中任何两列的交互作用列都可以从交互作用表中查到。

只要在交互作用表中找到这两列的列号，这两个列号所在行、列的交叉点上的数字就是交互作用列的列号。