运筹学第三章线性规划的对偶原理

2x2 + x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
对偶：min w = 6y1 + 8y2
2y1
≥1
y1 + 2y2 ≥ 2
y2 ≥ 1
y1,y2 ≥ 0
6
2、含等式的情况
[例3]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0
9
例5 min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4
x1 + x2 - 3x3 + x4 ≥ 5
2x1
+ 2x3 - x4 ≤ 4
x2 + x3 + x4 = 6
x1 ≤ 0,x2,x3 ≥ 0,x4自由变量
对偶：max w = 5y1 + 4y2 + 6y3
y1 + 2y2
≥2
y1
+ y3 ≤ 3
3y1 + 5y2 ≥ 4 y1 ≤ 0,y2 ≥ 0
8
一般:
① max问题第i个约束取“≥”，则min问题第i个变量 ≤ ② 0m；in问题第i个约束取“≤”，则max问题第i个变量 ≤ 0③；原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量 自由变量； ④ max问题第j个变量 ≤ 0 ,则min问题第j个约束取“≤” ； ⑤ min问题第j个变量 ≤ 0 ，则max问题第j个约束取“≥” ； ⑥ 原问题第j个变量自由变量，对偶问题第j个约束取等式。
2x1 + x2 + 3x3 ≤ 3 -2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = 3y1’-3y1”+4y2 2y1’-2y1”+ y2 ≥ 1 y1’- y1”+2y2 ≥ 2 3y1’-3y1”+5y2 ≥ 4
y1’,y1”,y2 ≥ 0
令y1=y1’-y1”,则：
min w = 3y1+4y2
∴x3*
有由④2x3*3+y13*x4+* =2y220* = 4 =右边∴ ∴x3*y=s4*4 = 0
3x3* + 2x4* = 20
x4* = 4
∴x4*待定
∴最优解：x1* = 0 x2* = 0 x3* = 4 xs1* = 0 xs2* = 0
最大值：z* = 28 = w*
x4* = 4
22
8、对偶问题的经济含义——影子价格
最优情况：z* = w* = b1y1* + ··· + biyi* + ··· +
bmym*
z* bi
yi*
[例7]max z = 2x1 + 3x2
称y*i 为bi的影子价格
x2
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
Q2’
Q2
Q2（4，2） z =14
原 max z CX 0X S AX X S b X, XS 0
当且仅当X*，Y*分别为最优解。
min w Yb YS 0
证： 将b，C代入目标函数，
YA YS C Y ,YS 0
z CX (YA YS )X YAX YS X
w Yb Y ( AX X S ) YAX YX S
-3y1 + 2y2 + y3 ≤ -5
y1 - y2 + y3 = 1
y1 ≥ 0,y2 ≤ 0,y3自由变量
10
§2 对偶问题的基本性质和基本定理
1、对称性定理 对偶问题的对偶为原问题.
证： 原问题：max z = CX AX ≤ b X ≥ 0
对偶(1问) 题：min w = Yb YA ≥ C Y ≥ 0
2y1
+ 4y3 ≥ 3
y1,y2,y3 ≥ 0
Ⅰ
设备台时 1
材料A
4
材料B
0
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
则M2为M1的对偶问题，
反之亦然。
M1 max z 2 x1 3 x2
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 12
x1 , x2 0
4
一般的，原问题：max z = CX AX ≤ b X ≥ 0 对偶问题：min w = Yb YA ≥ C Y ≥ 0
5、对偶定理
AX b X 0
YA C Y自由变量
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标
值相等。
证：设X 为原问题的最优解，相应的基矩阵为B,
全部检验数可表示为：C CB B1 A 0, 则CB B1 A C 令Y CB B1 , 有Y A C Y 为对偶问题的可行解, w =Y b CB B1b,
-2x1 - x2 - 3x3 ≤-3
对偶：min w = -3y1’ + 4y2
-2y1’ + y2 ≥ 1 -y1’ + 2y2 ≥ 2
-3y1’ + 5y2 ≥ 4 y1’,y2 ≥ 0
令y1 = -y1’，则： min w = 3y1 + 4y2 2y1 + y2 ≥ 1 y1 + 2y2 ≥ 2
1
• 求解步骤：
1.取 可 行 基B,求B1
2.若 N CN CB B1N 0,则 得 最 优 解,否 则 转 下 一 步.
3.基 变 换
若 m in{ ( j
N
)j
0}
(
N
)k ,则xk入基
若
min
i
( B 1b)i (B1Pk )i
(B1Pk )i
0
( B 1b)l (B1Pk )l
ys3*x3* = 0
ys4*x4* = 0
21
y1*=1.2, y2*=0.2 ys1*x1* =0 ys2*x2* =0 ys3*x3* =0 ys4*x4* =0 y1*xs1* =0 y2*xs2* =0
y1 + 2y2 - ys1* = 1 ① 2y1 + y2 - ys2* = 2 ② 2y1 + 3y2 - ys3* =3 ③ 3y1 + 2y2 - ys4* = 4 ④ x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 +xs1 = 20 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 +xs2 = 20
材料A
4
材料B
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
3
现在不再生产，将设备材料出租出让，确定租费及转让费？
设y1为设备单位台时的租金，y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1)
目标函数，约束条件？
M2: min w = 8y1 + 16y2 + 12y3
y1 + 4y2
≥2
2y1 + y2 ≥ 1 y1 +2y2 ≥ 2
3y1 +5y2 ≥ 4 y2 ≥ 0，y1自由变量
一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量自由变量。
7
3、含“≥”的max问题
[例4]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0
第三章 线性规划的对偶原理
单纯形法的矩阵描述
A为m×n阶矩阵 RankA=m,取B为可行基,N为非基，
X
X X
B N
,
A
B
N , C CB
CN
min z CB X B CN X N
BX B NX N b
X
B
,
XN
0
X B B1b, z CB B1b,
N CN CB B1N
原问题最优解为X =B1b,
目标值为z CX CB B1b Y b w 由最优性可知，Y 为对偶问题的最优解， 且原问题和对偶问题的最优值相等。
15
5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标 值相等。
推论（单纯形乘子Y的定理）： 原问题有一个对应于基B的最优解，则此时
,
则l行 对 应 的xl出 基.
4.得 到 新 的B,求 出 此B的B1.
重 复2 ~ 4步 直 到 求出 结 果.
2
§1 线性规划的对偶问题
一、问题提出 [例1]制定生产计划 M1: max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1，x2 ≥ 0
Ⅰ
设备台时 1
比较： max z 决策变量为n个 约束条件为m个
“≤” 约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
min w 约束条件为n个 决策变量为m个
“≥” 目标函数的价值向量 约束条件的限定向量
5
二、 对偶问题的化法
1、典型情况（对称形式）
[例2]max z = x1 + 2x2 + x3
2x1 + x2
≤6
(2)
(2)作变换： max(w) min w Yb
YA C YA C
(2)等价于：max w Yb YA C
对偶
min w CX AX b
Y 0
X 0
令z=w',即为(1)
∴ (2)的对偶问题为(1)。
11
2.弱对偶性
原 max z CX min w Yb
AX b
19
• 求对偶问题的最优解: • 1.单纯形乘子Y的定理 • 2.松弛性 • 3.检验数与解的关系
20
[例6]已知：min w = 20y1 + 20y2
y1*=1.2,y2*=0.2
-ys1
y1 + 2y2 ≥ 1
偶
的最优解为 ① 试用松弛性求对
-ys2 -ys3 -ys4解：对偶问题
2y1 + y2 ≥ 2 ② 问题的最优解。
YA C
X 0
Y 0
设X 为原问题的可行解, Y 为对偶问题的可行解,
则存在
CX Yb
证： AX b
AX b
YAX Yb
YA C
YA C
YAX CX
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
∵y1*=1.2,y2*＝0.2 > 0
∴xs1* = xs2* = 0
由① y1* + 2y2* = 1.6 > 1 ∴ys1* > 0 ∴x1* = 0
由② 2y1* + y2* = 2.6 > 2 ∴ys2* > 0 ∴x2* = 0
由③ 2y1* + 3y2* = 3 =右边 待定
∴ys3* = 0
4、最优性
X 0
设X*，Y*分别为原问题和对偶问题可行解，
当CX*=Y*b时， X*，Y*分别为最优解。
min w Yb YA C Y 0
证：设X ,Y 分别为原问题和对偶问题的任一可行解,
由弱对偶性,
CX Y b CX ∴X*为最优解 Yb CX Y b ∴Y*为最优解
14
原 min z CX max w Yb
条件3未满足，再增加b，不会带来z的增加，
故该资源价值为0. 23
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b
2y1 + 3y2 ≥ 3 ③
3myya11x,y+zx2=12≥+yx212x+0≥22+x422x+33+x④33x+44≤x4 20
+xs1
2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 20 +xs2
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
y1*xs1* = 0 ys1*x1* = 0
y2*xs2* = 0 ys2*x2* = 0
Q2”
x1,x2 ≥ 0
x1
b1： 8 b2：16 b3：12
9 Q2’(4，2.5)
z*’ = 15.5
Δz* = z*’- z* = 3/2 = y1*
17 Q2”(4.25，1.875) z*” = 14.125
Δz* = z*”- z* = 1/8 = y2*
13 Δz* = 0 = y3*
max w = Yb + YS0 YA + Ys = C Y,Ys ≥ 0
检验数：σ = (C 0)- CBB-1(A -I)
= (C- CBB-1A CBB-1)
= (σc σs)
σc = C - CBB-1A X对应的检验数
σs = CBB-1
Xs对应的检验数
例：书P25 σ4 =2，σ5 =3
12
原 max z CX min w Yb
AX b
YA C
X 0
Y 0
3、无界性（性质2的推论） 若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题(原问题)为
无可行解。
注：该性质的逆不存在。若原(对偶)问题为无可行解， 对偶(原问题)问题或为无界解，或为无可行解。
13
原 max z CX
AX b
X ,Y 为可行解，当YS X
0,
Y
X
S
0时，w
z
由最优性可知，X ,Y 为最优解
另一方面，若X ,Y 分别为最优解，
由对偶定理可知，w z
YS X
0,Y
X
S
0
18
7、检验数与解的关系 原问题附加变量最优检验数的值为对偶问题的最优解。
分析：min z = CX + 0Xs = (C 0)(X Xs)T AX - Xs = b X,Xs ≥ 0
的Y是对偶问题的一个最优解。
例：书P25
CB 8,
3
B1
1 2
0
1
Y CBB1 2, 3
16
• 对偶问题中，解的情况有： • 1.都有有限最优解 • 2.都无可行解 • 3.一个有无界解，另一个无可行解
17
6、松弛性
若X*，Y*分别为原问题及对偶问题的可行解， 那么Ys*X*=0，Y*Xs*=0，