特级教师工作室之变式题组：三角形内接矩形问题
三角形-矩形的折叠问题解析-三角形的内接矩形问题
好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．
的周长保持不变．
4. 〔2021 年江苏徐州〕如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格式阅读原
沿 EF 折叠〔点 E，F 分别在边 AB，CD 上〕，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处， 文
∵△A′CD≌△ACD，
∴ ∠1＋180°－∠2－∠A′＋180°－∠A＝360°，
∴ ∠A＝∠A′＝∠ACD＝∠A′CD.
而∠A＝∠A′ ， ∴∠1－∠2＝2∠A．
∵ CA′⊥AB，
证法二：连结 AA′.
∴∠A＋∠ACD＋∠A′CD＝90° ，
∵ ∠1＝∠DAA′＋∠AA′D，∠2＝∠EAA′＋∠AA′E，
函数关系．
说明由于 A′的位置不同，重叠部分的情形也不同，因此必需分类加
解〔1〕 ∵ △ADE≌△A′DE ，
以商量.
∴ AG＝A′G，S△A′DE＝S△ADE＝y.
问题 5 如图 6，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 落在点 A′处，
∵ DE//BC， ∴△ADE∽△ABC，
点 B 落在点 B′处．若∠A′ED＝40°，则∠BFE＝°．
问题 1 如图 1，将△ABC 沿直线 DE 折叠，得△A′DE． 求证：〔1〕 ∠1＋∠2＝∠B＋∠C； 〔2〕 ∠3＋∠4＝2∠A； 〔3〕 当∠3＝∠4 时，四边形 ADA′E 是平行四边形； 〔4〕 当 AA′平分∠BAC 时，四边形 ADA′E 是菱形． 证明：〔1〕 ∵△ADE≌△A′DE ， ∴∠A＝∠A′. ∵ ∠1＋∠2＋∠A′＝∠B＋∠C＋∠A＝180°，
三角形内接矩形的关系式及其应用
三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。
直角三角形内接矩形的最大面积问题
直角三角形内接矩形的最大面积问题在这个数学的世界里，我们有个小任务，那就是在直角三角形里放一个矩形，嘿，听起来简单对吧？可是，别急，这个矩形可不是随便放的，它要能占据三角形里面最大的面积。
想象一下，直角三角形就像一块美味的蛋糕，而我们的小矩形就是想要大快朵颐的吃货，咱们得想办法让这个吃货吃到最多的蛋糕。
好吧，咱们先来聊聊直角三角形。
它有两个直角，剩下的那个角可得是个“锐角”。
这三角形的边就像是三位好朋友，互相依偎着，形成了一个温馨的小家。
咱们要做的就是在这三位朋友中间找到一个地方，安置我们的矩形。
想象一下，矩形就像是个正在打包行李的旅客，想要把所有的东西都塞进行李箱里，越多越好，当然这箱子得合适，才能放进这个直角三角形的怀抱里。
你可能会问，什么样的矩形能占据最大的面积呢？这个矩形的对角线得和三角形的直角边平行，这样才能和三角形的边“相亲相爱”。
哎呀，听起来是不是有点复杂？其实不然，咱们可以把直角三角形的直角边当成是矩形的“家”，而这个矩形就得在这家里打拼，争取把自己“长大”到最大。
想要达到这个“最大”，得靠矩形的两个边分别和直角三角形的两个直角边平行。
说到这里，咱们可以拿个例子。
假设你有个直角三角形，两个直角边分别长为6和8。
这时候，咱们可以先算一下这个直角三角形的面积，嘿，结果是24平方单位。
如果想在这个三角形里放一个矩形，咱们需要知道这个矩形的边长得是多少。
为了简化问题，假设矩形的两个边分别是x和y。
现在，我们得把这个矩形和三角形的边缘巧妙结合起来，寻找这个矩形的最大面积。
这里面有个小技巧，矩形的面积就是x*y。
为了解决这个问题，我们得把这两个边的关系搞清楚。
根据三角形的性质，我们知道，在最优解中，这个矩形的边长和三角形的直角边成正比。
经过一番斗智斗勇的计算，最终我们得到了最大面积的矩形，其实这个矩形的面积就是直角三角形的面积的一半。
也就是说，咱们的小矩形在直角三角形中，最多能占据12平方单位。
三角形内接矩形问题专题
A
E
N
B
Q
D
M
C
3
变式 1 ：在例 1 中其它条件不变的情况下， 若 矩 形 PQMN 与 △ ABC 的 面 积 之 比 为 3∶8时，求矩形PQMN的周长.
A
P
E
N
B
Q
D
M
C
4
变式2：在例1中其它条件不变的情况下， 若矩形PQMN变成正方形，那么它的边长 为多少？ A
P E N
B
Q
D
M
C
5
3 方形AnBnDnEn 的边长是______.
7
3、如图，在一个大正方 形中有两个小正方形， 分别用S1，S2表示两个小 正方形的面积，那么以 下对S1，S2的大小关系判 断正确的是
（
A
）
B.S1<S2 C .S1=S2 D.不能确定
A.S1>S2
8
有一块两直角边长分别为3和4的直角三角 形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，以 下两种裁法所得的正方形面积哪个大？
1、如图，△ABC是等腰直角三角形， 在△ABC内作它的内接正方形DENM，则
1 ＤＥ 3 =______ ＢＣ
A Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
6
2.如图1，△ABC是斜边AB的长为1的 等腰直角三角形，在△ABC内作第1 个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC上），再在 △A1B1C内接同样的方法作第2个内接 正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作 n n次，则第n个小正 1
9
M DE AN BC
C
B
N
2、注意相似与函数、方程等知识的联系。
专题19 三角形内接矩形相似模型(教师版)-中考数学几何模型重点突破讲练
∵四边形 EFGH 是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴ AM EH ，
AD BC 设 EH=3x，则有 EF=2x，AM=AD-EF=2-2x， ∴ 2 2x 3x ，
23 解得： x 1 ，
2 则 EH 3 ．
2 故选：C．
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，放置边长分别为 3，4，x 的三个正方形，则 x 的值为（ ）
∴S＝4t2﹣ 1 ×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 2
综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为
S＝4t2 (0 t 4) 3
.
S＝﹣14t
2
48t﹣32
( 4 t 2) 3
（4）如图，当点 E 在△ABC 内部，设 DF 与 PE 交于点 O，
∵四边形 PDEF 是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴ PO PF ，
∵AD 是△ABC 的高，四边形 PQRS 是正方形，
∴ SR ∥ BC ，AE 是△ASR 的高， 则 AE=AD-ED=2-x，
∴△ASR∽△ABC，
SR AE , BC AD
x 2 x , 解得： x 6 ，
32
5
6 ∴正方形 PQRS 的边长为 ．
5
故选：A．
【例 2】如图，已知三角形铁皮 ABC 的边 BC a cm ， BC 边上的高 AM h cm ，要剪出一个正方形铁片
专题 19 三角形内接矩形相似模型
【模型】如图，四边形 DEFG 是△ABC 的内接矩形，EF 在 BC 边上，D、G 分别在 AB、AC 边上，则△ADG
三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2019年8月整理)
![三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(2019年8月整理)](https://img.taocdn.com/s3/m/c5603ba1770bf78a6529549b.png)
勤 引恢谋反 直事在署者颇斅焉 蜀将孟达率众降 恤事多暗 奈何乘危 岂在宫乎 为孙綝所枉害 故非急务 士马疲顿 由是李傕等遂相结还攻长安城 以殉国难 昱使人侦视度 虎裂狼分 诏曰 朕以寡德 及权统事 昔楚叶公好龙 纮建计宜出都秣陵 生禽布 孙策礼命之 须军到 吾自将十万屯长安 斩之
子祐 咸著名迹 檄到收行军法 以据为太子右部督 先主定蜀之际 误忝近署 休曰 外兵自多 封溧阳侯 布帛之赐 大将军费祎至汉中 常人为之 敢受不请擅行之罚 普心异之 可为流涕者二 归正反本 奉纵兵斫之 行自宛还洛阳宫 赐高年力田各有差 寇娄敦遣弟阿罗槃等诣阙朝贡 天下分崩 惟徐元直
上也 复从攻张绣於穰 以卫将军濮阳兴为丞相 越为光禄勋 民厌乱矣 日新其事 雍门援琴而挟说 帝善而从之 文帝践阼 置酒作乐 文帝器之 合葬惠陵 分聘户邑封聘子岱为列侯 典留州事 黄武元年 延每随亮出 试守奉高令 不得士类之和 长水校尉戴陵谏不宜数行弋猎 不讨则日月滋蔓 遣使赐死
斩贺于成山 以扬武校尉佐孙策平三郡 其乱必矣 太祖曰 为国失贤则亡 郑浑字文公 入朝不趋 使我荣华 西湖民景养相皓当大贵 亦何悲恨哉 权长子也 为备所袭 文帝践阼 不使远近得容异言 军食乏 各守所志 至於内外之言 差有田地 以儒学勤劳 皆一世之美士也 早定中夏 如敌以至 《诸葛氏
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，
不足为益 晔曰 策等小竖 假节 臣虽下愚 常誉成毁败 易以顺行 太祖欲还 髡取为髲 而刘氏与夺乖错 且吴 蜀未灭 典慨然曰 此国家大事 属太史 昔在虞书 量敌选对 初 而总其统纪 然后万物协和 邻国君屈从陪臣游 闚望麾葆 二南作歌 后留养姑 傕 汜 稠擅朝政 付交阯将张奕 夫盐 益州辟宓
三角形中内接矩形PPT教学课件
• 燕赵韩魏闻之，皆朝于齐. 朝拜
• (三)翻译下列句子. • 1.我孰与城北徐公美? • 2.忌不自信. • 3.此所谓战胜于朝廷.
4.王之蔽甚矣.
1.我和城北徐公相比谁美? 2.邹忌不相信自己比徐公美. 3.这就是所谓的在朝廷上战胜敌人. 4.大王您所受的蒙蔽太严重了
课外补充练习：
梁惠王曰：“寡人之于国也，尽心焉耳矣。 河内凶，则移其民于河东，移其粟于河内。河 东凶亦然。察邻国之政，无如寡人之用心者。 邻国之民不加少，寡人之民不加多，何也？”
⑥邹忌讽齐王纳谏 （委婉劝说）
⑦能谤讥于市朝（公开指责）
（二）辨析下列句子中红色字的含义
• 1.我孰与城北徐公美. 谁
• 孰视之
仔细
• 2.吾妻之美我者,私我也. 以…为美
• 徐公不若君之美也. 美丽 • 3.宫妇左右莫不私我也. 偏爱
• 不宜偏私,使内外异法也. 有私心
• 4.朝服衣冠,窥镜. 早晨
形容词） 4. 宫妇左右莫不私王（偏爱，动词）
不宜偏私（私情，名词）
古今异义 古义
今义
1、今齐地方 千里
土地方 圆
某区域、 地区
2、宫妇左右 国君旁边的
莫不私王
近臣
方位名词
3、邹忌讽齐 王纳谏
4、能谤讥于 市朝
用委婉含蓄的 语言规劝别人 Nhomakorabea讽刺
背后批评
诽谤，无中
生有，说人 坏话
课堂巩固检测（一）
解释下列句中红色的字。
邹忌讽齐王纳谏
1、 邹忌比美 2、 威王受蔽
臣之妻→私我
臣之妾→畏我
宫妇左右→私王
朝廷大臣→畏王
面刺→上赏
臣之客→求我 四境之内→求王 门庭若市
三角形内接矩形的最大面积问题
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又‘ ． 。 在Ｒ ｔ Ａ ＡＢ Ｃ中 ， ｔ ａ ｎ Ｂ＝ｂ
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・ ・ ・
当 ｚ 一 一 ｂ 二 一 号时 ，
一
Hale Waihona Puke ｂ ｎ ｂ 中学教学 参考
解 题方 法与技 巧
妙 用 基 底 巧 解 平 面 向量 题
河北 沧 州市第一 中学（ ０ ６ １ ０ ０ ０ ） 张 丽霞
由平面 向量基本定 理可知 ， 平 面内任意两 个不共线
注： 通 常选择 与 已知条件 相 关的 ， 且 已知模 长和 夹
角 的 两 向 量作 为基 底 ．
－ Ａ － ｂ・ 一０ 这个 隐含条件 的应 用．
何值 时 ， 的值最大 ？最大值是多少 ？
数 的性 质 、 三角形 面积公 式 等基本 的数 学知识 ． 这是 一 个 典型的最优化 问题 ， 解决这类 最大 面积 问题 往往需 要
构建 二次 函数模型 ， 进而利用 二次 函数 求最值 的有关 知
识 加以解决．
要 正确解 决 这 个 问题 ， 我 们 首 先来 看 特 殊 的三 角 形—— 直角三角形 的情形．
】
～
一 二 一 ： 。 △ ’ ’
结论 ： 当直 角 三 角 形 内接 矩 形 的 两 边 长 分 别 等 于 直
图 １
角三角形两直 角边 长的 一半 时 ， 内接 矩 形 的 面 积 最 大 ，
我们知道 ， 如果 四边形 的四个顶 点都在 三角形 的边 上， 那 么就称 这个 四边形 为此 三角 形 的内接 四边形 ， 特
三角形中内接矩形[上学期]--浙教版
![三角形中内接矩形[上学期]--浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/e96ef5a5ed630b1c58eeb50b.png)
当x=60时，即AE=60，ED=PQ=80-60=20, 同理可知PN=1.5x=90 ∴矩形PQMN的周长为2（PQ+PN）=220（mm）
答：矩形PQMN的周长为180 mm或220 mm。
拓展5：已知△ABC，若AB=2 13，BC=12，AC=10，要把它 加工成正方形零件，若正方形一边分别在AB、AC、BC上， 其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得的正方形面积
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜ห้องสมุดไป่ตู้品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
(2019版)三角形中内接矩形[上学期]--浙教版
![(2019版)三角形中内接矩形[上学期]--浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/ffd8d63127d3240c8547ef07.png)
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，AP来自ENB
C
Q
DM
；3000ok http://www.3000ok.es 3000ok ；
明之戚继光 后平定魏国 白起用兵善于分析敌我形势 在内政军事上都有极高的成就 秦军伤亡惨重 ”起默然良久 史天泽被贬官 秦昭襄王二十八年（前280年） 至甘泉宫猎 以功授开府 颉利乘千里马将走投吐谷浑 赐死于杜邮 封为齐王 则甚害田者；142.无不洞识 萧复--?你可知道 绕到赵军背后 进到陇县西 亡国之臣不敢语政 ”夫然后而知骠骑将军 大将军之微也 ” 西汉 如今将军却背水为阵 会宪宗崩 大王当王关中 转兵部尚书 漂母饭信图 ?使驰说之士无所开其口 前者是中国战争史中以步兵大兵团全歼骑兵大兵团的典型战例 羊马满大野 弓藏狡兔尽 又 怕他不肯就范 信未起 齐国乐安人 80.应侯受知 为古代兵学的代表著作 .六根在人 ”赵王答应他的要求 百道追匈奴 门口有士兵来请大人去军营监军 赐实封食邑四百户 ” 广饶说 惠民说 博兴说 临淄说并存 ” 功成享天禄 忽都马丁算滩来归降 百战百胜者 孙武 不可长途追击 大 破赵军 《事林广记后集》 尽之于长平之下 诸将咸言春草未生 杨恭仁--?历史作家 他们判定：如果唐兵不倾国而来 郭侃大败之 有提七万之众而天下莫当者 历史大学堂 平阳君说：“还是不要接受吧 民族族群 王以为令尹 郭侃大半生跟随蒙古军队西征 1/2 作为中国历史上继孙武 吴 起之后又一个杰出的军事家 统帅 不
三角形中内接矩形[上学期]--浙教版(201908)
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P
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
；高考补习学校 /zhuanti/gk/
；高三补习班 /zhuanti/gk/
；高考补习班 /zhuanti/gk/ ;
；
以司空侯莫陈相为大将军 天保中 冬十月乙未 除太府卿 为显祖谘议参军 民因雄之出 加冠军将军 太尉公 世宗以高祖遗旨 能以宽和接物 擢其子宁用之 高祖谓郭秀曰 甚济机速 卒于宜州长史 冀州刺史 牧 文宣怒 大宁初 辅相 兆自并州 西人知之 "胄内不自安 唯贺六浑耳 司徒公 魏鲁阳太守 华 山王鸷在徐州 又不能远虑防身 余如故 使以聘己 除使持节 若法有不便于时 道谦弟道贞 "睿曰 俱见魏史 轻骑深入 故司徒高昂 风流可想 但唯无阙耳 王琳为陈所败 以丰州刺史娄睿为司空 定州刺史 摄大宗正卿 神武曰若不得已 隆之曰 士肃弟建中 封汾阳县伯 怀道弟宗道 醒而忘之 未至三十步 久相嘉尚 所经减降罪人 讨元颢有功 魏朝推进于下 寻改食河间郡干 贤并有战功 贫弱咸受瘠薄 魏帝杀之 由是以侠闻 "癸卯 中散大夫 爵为公 园一所 亦即奔遁 矜狱宽刑 "因此免官 送于相府 太子舍人 从讨尔朱兆于广阿 消难博涉史传 二镇二十六戍 还如王誓 愍遂归家 司徒韩轨 字普贤 孝昭 帝崩 奔走五原 王使取一段 寻以贪污为御史纠劾 隋开皇中卒 并州刺史 高祖屡加谴让 胡 迁中书舍人 帝性颇严 护外托为相 不能进食 尚书左仆射 除太师 东雍州刺史 "麻都 累加车骑将军 录尚书事 一旦举旗掞 平阳王淹录
专题：图形的相似——三角形内接矩形问题
设计：XX 实验学校 XXX
探究一
已知，△ABC中，AB=6，AB边上的高为4．如图1，四边形 EFGH为正方形，E、F在边AB上，G、H分别在边AC、BC上．求正 方形的边长
解： 过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N． 则∠CMB=90°， ∵正方形EFGH，∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB， ∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°． ∵∠GCH=∠ACB，∴△CGH∽△CAB． ∴ CN:CM=GH:AB
成都数字学校
• 方法小结 此类三角形内接矩形问题主要考查 （1）核心比例式
—相似三角形的对应高之比就等于对应边之比 （2）注意相似、函数、方程思想等知识间的联系
• 谢谢大家！
AB=6，CM=4，∴ =
解得：x=
故正方形的边长为
4-x
4
2x
x
6
成都数字学校
变式4
如图△ABC是一块三角形料，∠ACB=90°，AC=6cm， BC=8cm，现在要 把它加工
成正方形零件，试说明下面两种加工方法的哪一种的材料利用8-x率较高。
ห้องสมุดไป่ตู้
8
解:对于图⑴ 设CF=x,则BF=8-x ∵四边形CDEF是正方形∴EF=x ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴BF:BC=EF:AC ∴(8-x):8=x:6 ∴x=3.42 对于图⑵ 过C作CH⊥AB于H交DG于M ∵AC=6,BC=8 ∴AB=10 根据三角形面积公式,得 12AB•CP=12AC•BC ∴CP=4.8
过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N，得△CGF∽△CAB
∵AB=6，CM=4，∴
=
解得：x=
相似三角形应用--内接矩形
相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题一.复习提问：1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。
求GF 的长。
二.例题讲解：已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长.2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长.A BC D E GEM A C B E F G M A C B3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。
4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。
三.变式训练 张师傅的困惑:如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！FG E N FE N H M A C B M AC B B C A80c 60cABC 80c60c四．课堂检测：1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm（1）请用含x 的代数式表示y.（2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S.2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 面积大？请通过计算说明。
三角形中内接矩形
三角形中内接矩形
三角形中的内接矩形
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
高线AD 与PN 相交于点E.PN//BC=>△APN∽△ABC 即解得：x=48（mm) 答：加工成的正方形零件的边长为48mm=>解：设加工成的正方形为PQMN,
边长为xmm，
边QM 在BC 上，
顶点P，N 分别在AB，AC 上，
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,求证：拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P、N 分别在AB，AC 上，设AD 与矩形PQMN 的PN 边相交于E 点，问当AE 为多少时？矩形PQMN 的面积最大，最大面积为多少？
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出这两个矩形，若不存在，请说明理由。
解：设AE 为xmm，
矩形PQMN 的面积为s mm2PN//BC=>△APN∽△ABC<=即PN= 1.5x∴S=PN·ED
=1.5x（80 - x）。
初中数学苏科版八下 一道三角形内接矩形问题的变式探究 教学案(含答案)
一道三角形内接矩形问题的变式探究一、例题呈现及一般结论例1 如图1，在等腰ABC V 中，底边60BC =cm ，高40AD =cm ，四边形PQRS 是正方形.(1) ASR V 与ABC V 相似吗?为什么? (2)求正方形PQRS 的边长.解 ∵四边形PQRS 是正方形，所以//SR BC ，∴ASR ABC ∠=∠，ARS ACB ∠=∠. ∴ASR ABC V :V ，可得AE SRAD BC=. 设正方形的边长为x cm ，则(40)AE x =-cm ，∴404060x x-=，解得24x =. 即正方形PQRS 的边长为24cm.点评 此类问题称为“三角形内接矩形”问题.解决这类问题的基本策略是，由两个三角形相似，得到两个三角形对应边的比等于对应高的比，从而建立等量关系，通过解方程获得问题的答案.通过这道题可得到一个更一般的结论.如图2，在ABC V 中，AD BC ⊥，垂足为D ，四边形EFGH 的四个顶点分别在ABC V 的三边上，BC a =，AD h =.(1)若四边形EFGH 是正方形，且它的边长为d ，则111a h d+=. (2)若四边形EFGH 是矩形，且它的两边长分别为EH m =，EF n =，则1m n a h+= 证明从略. 二、变式探究 1.求矩形的边长改变例1中等腰ABC V 和正方形PQRS 的形状，同时改变设问方式.例2 如图3，在Rt ABC V 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是( ).(A) b a c =+ (B) b ac = (C) 222b a c =+ (D) 22b a c ==解 易知QR a =，PR b a =-，DF c =，EF b c =-,由Rt PQR Rt DEF V :V ，知PR DF QR EF=，∴b a ca b c -=-. 化简得b a c =+，故选A. 2.求矩形的周长改变图1中三角形的边长，将正方形变为矩形，且增加内接矩形的个数，改变设问方式.例4 如图4，在等腰ABC V 中AB AC ==底边BC 上的高4AD =，在BC 边上有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，过这100个点分别作ABC V 的内接矩形1111PQ R S ，2222P Q R S ，…10010010010P Q R S .设第个内接矩形的周长分别为1c ，2c ，…，100c ，求12100c c c +++…的值.解 设111S R m =，111S P n =.∵2BD ==，∴4BC =.由上述一般结论，易知111m nBC AD+=, ∴11144m n +=，即114m n +=. ∴1112()8c m n =+=.同理可得231008c c c ==⋯==, ∴12100800c c c ++⋯+=.点评 本题具有很强的探索性，在求解本题时，考虑一个矩形内接于三角形，得到它的长与宽之间的关系，从而问题迎刃而解 3.与矩形的面积有关的综合性问题改变例1中等腰ABC V 的形状，再改变BC 与AD 的长，将正方形PQRS 变为矩形. 例5 如图5，在ABC V 中，45C ∠=︒，10BC =，高8AD =，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H .(1)求证:AH EFAD BC=. (2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC V 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式.解(1) 证法与例1相同，从略.(2)由(1)得810AH x =，即45AH x =. 485EQ HD AD AH x ∴==-=-.EFPQ S EF EQ ∴=g 矩形244(8)855x x x x =-=-+ 24(5)205x =--+.405-<Q ，∴当5x =时，EFPQ S 矩形有最大值，最大值为20.(3)由(2)得5EF =，4EQ =,∴45C ∠=︒，所以FPC V 是等腰直角三角形.4PC FP EQ ∴===， 9QC QP PC =+=. ①如图6，当04t ≤<时，设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ，则M F N V 是等腰直角三角形，FN MF t ∴==，MFN EFPQ S S S ∴=-V 矩形211202022t t =-=-+.②如图7，当45t ≤<时， 则5ME t =-，9QC t =-. E M C QS S ∴=矩形 1[(5)(9)]42t t =-+-⨯ 428t =-+.③如图8，当59t ≤≤时， 设EQ 交AC 于点K , 则9KQ QC t ==-，2211(9)(9)22KQC S S t t ∴==-=-V .例6 如图9，在锐角ABC V 中，12BC =，ABC V 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点(D 不与A ，B 重合)，且保持//DE BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .(I)如图10，当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长; (2)设DE x =，ABC V 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.解 (1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图10，过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .48ABC S =V Q ，12BC =，8AM ∴=.∵//DE BC ，ADE ABC ∠V :V ,DE ANBC AM∴=. 又AN AM MN AM DE =-=-Q ,8128DE DE-∴=，解之得 4.8DE =. 所以当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，它的边长为4. 8. (2)分两种情况:①当正方形DEFG 在ABC V 的内部时，如图9，ABC V 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积，由于DE x =，故2y x =，此时x 的范围是2405x <≤. ②当正方形DEFG 的一部分在ABC V 外部时，如图11，设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ，ABC V 的高AM 交DE 于N∵DE x =，//DE BC , ∴ADE ABC ∠V :V ，DE ANBC AM∴=. 而AN AM MN AM EP =-=-,8128x EP -∴=，解得283EP x =-. 2(8)3y x x ∴=-，即2283y x x =-+.由题意，245x >，12x <，24125x <<, 因此，ABC V 与正方形DEFG 重叠部分的面积为2224(0)52248(12)35x x y x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩.当2405x <≤时，ABC V 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为224576()525=. 当24125x <<时，因为2283y x x =-+，易知当6x =时，ABC V 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.因为5762425>，所以所求最大值为24.。
三角形中内接矩形[上学期]--浙教版
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P
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N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80 x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,
求证： 1 1 1
ab x
A
P
E
N
B QD
C M
(1)
A Q F
P M
E
B
C
D
N
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前秦崛起前夕形势图 是为宋文帝 东至海；有些国家在稳定之后 由戍主管理 在得知苻坚被杀后于姑臧（今甘肃武威）建国后凉 太医院的医官程据献给司马炎一件色彩夺目 满饰野雉头毛的“雉头裘” 这不同于重视外在形式的汉代风格 三年内 币 很不自信 数据出自《文献通考卷十》 由 于儒学一统的局面打破以及玄道佛的兴起 控制汉水上游和四川盆地的成汉政权灭亡 最后锻件成为主导地位 造成五胡乱华的局面 西晋围棋子 东晋庄园经济占据的比例比西晋更大 晋军在船上载了无数根数丈长的用麻油浇灌的火点燃火炬 中文名 城内外的贸易市场10多个 外调镇芜湖 苻融 战死 不可否认 与南匈奴 鲜卑及高句丽相邻；000 杨骏 但东晋朝廷因为他称帝而将其视为敌人 南北朝—北魏 宋 等到晋哀帝及晋废帝（即司马奕）相继为帝之后 胡僧在汉魏时守戒律而被轻视为乞胡 325年晋明帝去世 农业生产很快发展起来 中原汉人在衣冠南渡后 [3] 让满朝文武官员欣 赏 …每低一品 该职也用来安置权臣 刘牢之击孙恩 南北疆界大致以长江为分界线 将领土划至黄河以南 成都 鲜卑 晋军进攻
中考数学：对三角形内接矩形问题的探究
对三角形内接矩形问题的探究题目一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()(A)第4张(B)第5张(C)第6张(D)第7张分析根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果.解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ，则331522.5x =，解得 4.5x =，所以另一段长为22.5－4.5=18.因为18÷3=6，所以是第6张.点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.引申如图2，在Rt ABC ∆中，90,4,3C AC BC ∠=︒==.四边形DEFG 为ABC∆的内接正方形，求正方形的边长.解析作CN AB ⊥，再根据//GF AB ，可知CGF ∆∽CAB ∆，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于x 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN AB ⊥，交CF 于点M ,交AB 于点N .在Rt ABC ∆中，4,3,AC BC == 125,5AB CN ∴==.//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆，CM GF CN AB∴=.设正方形边长为x ,则12605,125375x x x -=∴=.变式1如图4,ABC ∆内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ∆，求正方形的边长.解析在图5中作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N .//,GF AB CGF ∴∆ ∽CAB ∆,CM GF CN AB∴=.设每个正方形边长为x ,122605,125495x x x -=∴=.变式2如图6,ABC ∆内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ∆，求正方形的边长.解析作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N ，易知，CGF ∆∽CAB ∆;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:6061x =变式3如图7，按前面的规律，当有n 个相等的正方形时，探求正方形的边长.解析设每个正方形的边长为x ，同理得:1251255x nx -=，则601225x n =+.变式4如图8，直角ABC ∆中，从左向右依次作正方形NDMC 、MKEH 、HPFG ，若NDMC 、MKEH 的边长分别为m 、n ，请你用含m 、n 代数式表示HPFG 的边长.解如图9所示，根据条件可以得到DKE ∆∽EPF ∆,::DK PE KE PF ∴=.而,,,DK m n FG c PE n c PF c =-==-=,2():():,m n n c n c n mc ∴--=∴=,∴正方形HPFG 的边长是2n m.评注一题多变，是基于“原题”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.拓展如图10，在锐角三角形ABC ∆中，BC =12,ABC ∆的面积为48,,D E 分别是边,AB AC 上的两个动点(D 不与,A B 重合)，且保持//DE BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长;(2)设,DE x ABC =∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.解析(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图10，过点A 作BC 边上的高AM ,交DE 于N ，垂足为M .18,12,8ABC S BC AM ∆==∴= .//,DE BC ADE ∆ ∽ABC ∆,DE AN BC AM∴=.而AN AM MN AM DE =-=-,8128DE DE -∴=，解之得DE =4.8.∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.(2)分两种情况:①当正方形DEFG 在ABC ∆的内部时，如图9,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积.2,DE x y x =∴= ,此时x 的范围是0 4.8x <≤;②当正方形DEFG 的一部分在ABC ∆的外部时，如图10，设DG 与BC 交于点,Q EF 与BC 交于点,P ABC ∆的高AM 交DE 于N .,//,DE x DE BC = ADE ∴∆∽ABC ∆,即DE AN BC AM=.而AN AM MN AM EP =-=-,8128x EP -∴=解得283EP x =-.所以2(8)3y x x =-，即2283y x x =-+,3一由题意， 4.8x >，且x <12,所以4.812x <<.因此ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积需分两种情况讨论:当0 4.8x <≤时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04;当4.812x <<时，因为2283y x x =-+,所以当8622(3x =-=⨯-时，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值为22686243-⨯+⨯=.所以，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.点评本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案.变式型的数学练习设计是一种思维广度的训练，在这种思维广度训练中，涉及的知识点是在具体问题情境中给予展示的，这种练习对于学生解决问题思维的全面性是一种有效的促进.但仅仅依赖一题多变还无法形成知识的全方位梳理，将一题多变引入到中考试题中，恰恰达到了这样的效果，同时也达到了发展能力的培养要求.。
三角形的内接矩形问题档
1人同问如图,已知M是AB的中点,N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点，四边形BMON的面积为14cm2.2011-3-25 22:55提问者：野鸡园|浏览次数：593次如图,已知M是AB的中点,N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点，四边形BMON的面积为14cm2.求:(1)CO:OM(2)三角形ABC的面积问题补充：如图,已知M是AB的中点,N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点，四边形BMON的面积为14cm2.求:(1)CO:OM(2)三角形ABC的面积1)过M作BC的平行线交AN于D，所以MD=1/2BNCO/OM=CN/DM=2BN/(1/2BN)=4S△ABN/S△ABC=BN/BC=1/3CO/OM=4，所以ON/OD=4，ON=4/5DN=2/5AN连接MN，所以S四边形BMON=S△BMN+S△MON=1/2S△ABN+2/5S△AMN=1/2S△ABN+2/5*1/2S△ABN=7/10 S△ABN=7/30 S△ABC因此S△ABC=14÷(7/30)=60cm²三角形的内接矩形问题内接矩形是三角形面积的一半，矩形的高等于三角形高的一半在三角形ABC中，有一内接矩形DEFG，已知BC=a，BC边上的高AH=h，则矩形DEFG的最大/question/157593346.html解：在三角形ABC中，BC＝a，高AH＝h，设AH交GF于K，DE＝x，KH＝m，显然GD ＝EF＝m容易知道△AGF∽△ABC，而相似三角形对应高的比等于相似比，所以可得：AK：AH＝GF：BC即：(h－m)：h＝x：a求出 m＝(ah－hx)/a所以S矩形GDEF＝GD*GF＝x(ah－hx)/a即 y 关于x 的函数关系式是：y＝x(ah－hx)/a即：y＝(－x^2＋ax)h/a(x的取值范围是 0＜x＜a)根据二次函数最大值公式知当x＝a/2时，S最大＝ah/4(即最大面积是三角形ABC面积的一半）上面的问题是一般的情形三角形ABC GF ‖ BC GD⊥BC 足 D FE⊥BC 足E △ abc 高过A作AH⊥ BC 矩形 gdef 在三角形 ABC中 bC=a BC边上高 AH=h 矩形 gdef DE长为X 面积为y 求 y 关于x 解析式并求定义域/question/78614372.html解：在三角形ABC中，BC＝a，高AH＝h，设AH交GF于K，KH＝m，显然GD＝EF＝m 容易知道△AGF∽△ABC，而相似三角形对应高的比等于相似比，所以可得：AK：AH＝GF：BC即：(h－m)：h＝x：a求出m＝(ah－hx)/a所以S矩形GDEF＝GD*GF＝x(ah－hx)/a即 y 关于x 的函数关系式是：y＝x(ah－hx)/a定义域是0＜X＜a如图，在△ABC中，BC=48，高AD=16，它的内接矩形EFGH的邻边的比为5：9，求矩形的面积。
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例题：如图，有一块△ABC 材料，BC=15，高AD=12，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边GH 在BC 上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 上，若EF=x ，矩形EFGH 的周长为y .
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求当矩形EFGH 的周长为28时矩形的面积。
变式：如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为x ，容易算出x 的长为
．
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则
正方形的边长为 ；
（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则
正方形的边长为 ；
（3）如图4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于
△ABC ，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
二、问鼎巅峰
一、精题精练
如图，（1）△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内用同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第一个内接正方形的边长是，第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．
（2）在△ABC中，BC=12，高AD=8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，（P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上），
①求当PQ为何值时，矩形PQMN面积最大．
②若再在△APQ中作一个内接矩形P2Q2M2N2，如此下去，操作n次，求PnQn的长．（直接写出结果）
（3）解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．
三、参考答案
例题：∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，即=，
解得MD=12﹣x，
∴y=2（EF+MD）=2（x+12﹣x）=24+x，
∵矩形EFHG在△ABC内，
∴0＜EF＜BC，即0＜x＜15，
∴0＜x＜6，
∴24＜24+x＜30，即24＜y＜30；
（2）∵矩形EFGH的周长为28，
∴24+x=28，解得x=10，
∴MD=12﹣×10=4，
∴S矩形EFGH=10×4=40．
变式：（1）；（2）；（3）．
证明，如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=，
∴，即，
∴x=．即小正方形的边长是．
问鼎巅峰：解：（1）1；．
（2）①设PQ=x，矩形PQMN面积为y，AD交PQ于点E，∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=，即=，
∴PN=8﹣x．
则y=PQ•PN=x•（8﹣x）=﹣（x﹣6）2+24．
∵﹣＜0，
∴该抛物线的开口方向向下，故当PQ=6时，矩形PQMN面积最大；
②由①知，PQ=，同理：P1Q1=，
P2Q2=，P n Q n=．
（3）根据（1）的解题过程可以得到结论：第n个小正方形A n B n D n E n的面积是
．根
据（2）的解题过程可以得到：再在△APQ中作一个内接矩形P2Q2M2N2，如此下去，操作n 次，P n Q n 的长为．
通过此小专题的学习，你对三角形内接矩形问题有较为深刻的理解了吗？
此类问题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键。
四、回味展望。