高一数学必修一讲义之1.3函数的基本性质

1.3函数的基本性质

一、一周知识概述

函数的单调性、奇偶性是函数的两个基本性质，也是本周学习的重点内容，通过学习，同学们要掌握这些概念的形成过程，同时还要学会判断一些函数的单调性、奇偶性，用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。另外，同学们还要学会对函数图象的分析，通过观察，可以解决有关函数的单调性，奇偶性和最值等问题。信息技术的使用也是一个重点，那样可以使书与形的结合表现得更加自然。

二、重难点知识归纳

1、函数的单调性

（1）定义: 设函数y=f(x)的定义域为 A ：区间，

如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说f(x)在区间I上是增函数（increasing function）. 区间I称为y=f(x)的单调增区间;

如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有____________，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function). 区间I称为y=f(x)的单调减区间.

函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质.

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是_________，减函数的图象从左到右是___________.

（3）判定方法

①定义法：

1)取值：对任意，且；

2)作差：；

3)变形:把差化为乘积或平方和的形式

4)判定差的正负；

5)根据判定的结果作出相应的结论.

如果>0,那么___________________________

如果<0,那么___________________________

②图象法

2、函数的最值

（1）定义：一般地，设,如果存在实数M满足：

①对于任意的，都有

②存在，使得

那么，我们称M是函数的__________(maximum value).

同理，设,若存在实数M满足:

①对于任意的，都有

②存在，使得

我们称M是函数的__________(minimum value).

（2）注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有

．

（3）求函数最值的常用方法有：

①配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

②换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．

③数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值

3、函数奇偶性

（1）定义:

如果对于函数f(x)定义域内任意一个，都有____________，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.

奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.

（2）图象特点：

偶函数关于________对称

奇函数关于________对称

（3）判定方法

函数定义域关于_________对称是函数具有奇偶性的必要条件

首先看函数的定义域是否关于原点对称，

若不对称则函数是非奇非偶函数.

若对称，

①再根据定义判定;

②有时判定比较困难，可考虑根据是否有或

来判定;

③利用定理或借助函数图象判定.

三、典型例题解析

例1、若函数f(x)=ax2＋2(a－1)x＋b在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（）

A．[0，＋∞）B．{}

C．（0，] D．[0，]

例2、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a， -f(a)) B．(-a， -f(a))

C．(-a， -f(-a)) D．(a， f(-a ))

例3、某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t（单位：天）的函数关系是f(t)=t＋10（0

例4、已知函数.

（1）用定义证明该函数在上是减函数；

（2）判断该函数的奇偶性.

例5、已知函数是奇函数，且. （1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在（0，1]上的单调性，并加以证明.