小波分析及其应用(精)
小 波 分 析 及 应 用
小 波 分 析 及 应 用第一部分 引 言小波分析及应用傅立叶分析的有效性19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。
这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。
这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。
问题及大胆设想直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。
在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。
从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。
他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。
问题的解决小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。
原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。
但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。
本课程的内容安排理论部分第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；应用部分第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍；第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
西南交通大学 电气工程学院
何正友 （zheng_u@)
1
0.1信号的时－频联合分析
2
参考：
0”W.1av信elets号aM3nd..VS的1eutbt多ebr时alni,d分C－od辨in频g分“, 联析合原分理析
机器将要
锋利钻头
1.2 出现故障 时频分析的必要性
要 点 1.2机.2器例已经子 出现故障
钻头有点 钝
钻头很钝
机械故障诊断
15
小波分析概述
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理 论深刻和应用十分广泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实 际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。幸 运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空 间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上 的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小 波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波 基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一的方法。－多分辨 分析
9
10
11
1.2 时频分析的必要性
要 点 1.2.2例子
(a)线性调频信号 (b)正弦调制信号 ©三次方相位 (d)双曲型信号
小波分析及其在地球物理学中的应用
f x L2 0,2 ， f x
其中
k
c e
k
ikx
ck
1 2
2
0
f x e ikx dx
然而， 被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划， 这里有一个例子来说明[3]： 从任一个平方可和的函数 f ( x ) 出发，为了得到一个连续函数 g ( x) ，只需或者增大 f(x)的傅 里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数 大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。 傅里叶变换的定义：
小波基——Daubechies 基,，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，Daubechies I.在美国主 办的小波专题讨论会上进行了次演讲, 引起了广大数学家、 物理学家甚至某些企业家的重视, 由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。 2 、小波分析原理 “小波” 就是小的波形，所谓 “小”是指它具有衰减性, 如局部非零的; 而称之为 “波” 则是指它的波动性, 即振幅呈正负相间的城荡形式。小波分析（Wavelet Analysis）是一种具 有自适应性窗口函数可对信号进行时频两域局部化分析的方法。 小波分析是 Fourier 分析划时代发展的结果， 1822 年法国数学家傅里叶 (J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正 [1] 弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础 。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函 数系下的展开， 使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。 傅里叶级数与傅 里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。 傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布， 理 论分析时经常假定周期是 2 ， 定义下式
小波分析及其应用
小波分析及其应用论文仿真文献为《小波包在图像边缘检测中的应用》流程图：开始调入图像图像分解边缘检测水平检测垂直检测平面卷积输出结果算法说明：所谓正交小波包，粗略地说，是一函数族，由他们可构成L2(R)的标准正交基库。
所谓正交基库，也就是说，从此库中可以选择出L2(R)的许多组标准正交基，通常的小波正交基只是其中的一组，而小波函数正是这函数族中的一个，所以小波包是小波函数的推广和延伸。
设令),()(),()(10x x u x x u φϕ==)2(2)2(2122k x u g u k x u h u zk n k n zk n k n -=-=∑∑∈+∈其中{}{}k k g h 和为式中的共轭滤波器。
我们称函数族{)(x u n |}+∈Z n 为相对于止交尺度函数)(x ϕ的正交小波包。
小波包对图像分解作多分辨率分解是在小波函数对图像的分解基础上发展起来的，通过水平和垂直滤波，小波包变换将原始图像分为4个子带：水平和垂直方向上的低频子带，水平和垂直方向上的高频子带。
继续对图像的低频子带和高频子带进行分解就可以得到图像的小波包分解结构，如图所示：S1A 1D 2AA 2DA 2AD 2DD 3AAA 3DAA 3ADA 3DDA 3AAD 3DAD 3ADD 3DDD 图像的小波包分解结构示意图由图可见，分解级数越大，也就是选择的小波包尺度越大，小波包系数对应的空间分辨率就越低，利用这一点，可以在不同的空间分辨率上进行分析，实现图像的降噪、图像压缩以及图像增强和图像边缘检测等各种处理工作。
在边缘检测中，常用的一种模板是Sobel 算子。
Sobel 算子有两个，一个是检测水平边缘的；另一个是检测垂直边缘的，与其它算子相比。
Sobel 算子对于像素的位置的影响做了加权，因此效果更好。
由于Sobel 算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。
Sobel 算子是一组方向算子，从不同的方向检测边缘。
最新小波分析及其应用PPT课件
4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
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4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
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❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
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❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
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❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
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2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
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k
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j
f
(t
小波分析及其在地震工程中的应用
小波分析及其在地震工程中的应用摘要小波分析方法是一种较为先进的科学理论，已经在数学、工程、军事以及机械等领域中得到普遍运用，且获得一定的效果。
然而在地震工程中小波分析的使用还不是很成熟。
本文将对小波分析进行简单概述，介绍其涵义，并对地震工程中小波分析的具体应用进行分析。
关键词地震工程；小波分析；应用0引言近年来，在科学技术解出现了一种理论与手段，在科学界引起了较大的振动，即小波数学理论，随着科学技术的不断进步，人们对该理论的认识越来成熟。
学者认为小波理论是数学、工程以及物理等方面的综合。
目前。
在众多学科中小波理论得到广泛的使用，例如在土木工程中，小波分析能够进行信号奇异性的检查、对信号进行消噪处理，并且对含噪的信号内的有用信息进行有效识别等作用。
然而在地震工程中的使用还不够成熟，因此应该加强对小理论在地震工程中的运用。
1小波分析概述小波指的就是小的波形，而其中的“小”就是其具备衰减性，“波”则代表其具备波动性，它振幅正负向之间的一种震荡方式。
和Fourier变换相比较，小波变换主要是在空间或时间上局部频率的分析与研究，其利用伸缩平移运算对信号逐渐实行多尺度上的细化处理，从而实现高频处与低频处时间上的细化，可以自动满足时频信号分析的需要，进而能够将其集中在信号的任何一个部分上，有效处理好Fourier变换上的难题。
小波分析已经成为科学方法上的一个重要突破。
小波分析的明确涵义为：ψ（t）表示平方可积函数，也就是ψ（t）∈L2（R），如果ψ（t）能够达到允许的条件：那么ψ（t）就代表的是一个小波母函数或者是一个小波函数。
在母函数ψ（t）相同的情况下，通过平移与伸缩之后能够获得函数组，即ψa，b（t），被叫做一族小波。
就某种意义而言，小波交换是利用一族小波函数来代表函数或者是信号。
2 地震工程中小波分析的应用在地震工程中，小波分析的运用才刚刚起步，还不够成熟。
而目前在地震工程中已经运用到小波分析的主要有地震波的去噪与滤波等方面。
小波分析及应用
姓名：彭超学号：200710702012小波分析及应用1介绍Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。
此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。
20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1](waveletAnalysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。
因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。
小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。
目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。
小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。
2 小波分析的形成及发展小波分析[1,2,3〕是一调和分析方法，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显微镜”。
小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。
小波理论形成经历了三个阶段:(1)Fourier变换(FT)阶段在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。
时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。
(2)短时Fourier变换(SFT)阶段1946年Gabor提出SFT。
SFT能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限的。
由于频率与周期成反比，高频信号需要窄的时间窗，低频信号需要宽的时间窗，即变换的窗口大小应随频率而变。
SFT解决不了这个问题。
(3)小波分析阶段在继承SFT的基础上，Morlct提出了小波变换法(WT)。
wT可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。
小波分析在图像处理中的应用实践
小波分析在图像处理中的应用实践一、引言图像处理技术在工业、医学、军事等诸多领域都有广泛的应用。
而小波分析是一种能够在时频域中分析和处理信号的重要技术，逐渐在图像处理中得到了广泛的应用。
二、小波分析基础小波分析是一种广泛应用于信号分析和处理的数学工具。
它是由Laurent Cohen于1984年首次提出，是一种不仅可以分析信号的频率特征，同时也可以分析信号的时域特征的分析方法。
小波分析与傅里叶分析不同，可以在时间和频率空间中分析信号的特征。
三、小波分析在图像压缩中的应用小波分析可以将原始的图像分解成不同的尺度和方向上的子图像，每个子图像都有不同的贡献。
通过舍弃以后的系数，可以实现图像的压缩。
小波变换是一种无损压缩方法，处理后的图像保留了较高的细节和清晰度，对于高分辨率图像的压缩是很有效的。
四、小波分析在图像增强中的应用小波分析可以将图像分为较低频和高频的分量，较低频的部分表示图像的整体特征，较高频的部分表示图像的高频细节。
可根据需求选择保留较高或较低频部分，从而实现图像的增强和去噪。
较低频信号的滤波可以使得图像的边缘信息得到更加明显的突出，同时保持图像的平滑度。
五、小波分析在图像识别中的应用小波变换可以将2D图像变换到小波域，并提取有用的特征。
在图像识别中，可以使用小波分析对图像特征进行提取和分类。
小波分析还可以将图像信息进行二维压缩，减少了图像信息点的数量，从而实现更加快速的识别。
六、小波分析在图像去噪中的应用图像中存在着噪声，噪声会影响图像质量和可视化效果。
小波分析是一种可以用来解决图像噪声的技术。
可以在小波域中对图像进行去噪，舍弃高频分量，达到去噪的效果，保留图像的细节和清晰度。
七、小波分析在图像特征提取中的应用小波分析可以提取不同尺度和方向的图像特征，获取不同层次的图像特征信息，因此在图像特征提取方面具备一定的优势。
可以对图像的边缘、轮廓等特征进行提取，从而用于目标检测和识别。
八、小波分析在图像拼接中的应用在图像拼接中，大小、亮度、角度等因素都会造成无缝连接的困难。
小波分析及其应用研究
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析及其应用
采取的教学方法和教学手段包括：
1、课堂讲授在强化基本概念、基本方法的基础上，注重将实际问题引入数学的学习中，强调数学概念的几何感知、抽象方法的几何意义，同时辅以其他学科中的实际问题凸显数学概念、数学思想和方法的作用；
2、分组研讨班则以数学问题中总结和提升为主，强调从不同角度看待同一问题，从不同方式延伸和推广数学的思想和方法；
1)小波级数
2)离散小波变换和小波系数
3) (*)Mallat算法
4)(*)Mallat算法的数值实现(矩阵实现和卷积实现方法)
4小波算法的应用（18学时）
介绍小波分析方法在信号和图像处理以及其它领域中的应用，让学生具备用小波分析的方法解决某些实际问题的能力。
1)(*)小波阈值去噪
2)(*)基于小波的图像去噪方法
前修课程、能力和知识结构要求：
明确学生学习本门课程的先修课程，主要能力和知识结构。
前修课程包括数值分析、实变函数、复变函数、泛函分析；在学习本课程前，学生应该具备良好的数学分析功底，尤其是函数项级数的各种性质有很好的的掌握，同时对于实变函数中的测度理论有一定的了解，并对于泛函分析中的基本概念（稠密、完备性、紧性）等概念有很好的掌握，并对其中重要且相对容易的基本空间（p平方可以函数空间等）的性质有一定的掌握。
4)(*)Fourier级数与Fourier变换
2．多分辨分析（10学时）
引入多分辨分析的概念，从多分辨分析的角度理解小波分析的思想。
1)(*)多分辨分析
2) 从多分辨分析构造小波
3．小波级数、Mallat算法、小波变换（14学时）
引入小波级数的定义，给出离散小波变换和连续小波变换的概念，以及Mallat算法，并介绍Mallat算法的两种数值实现方法：矩阵实现和卷积实现方法，为后面的小波在工程中的应用奠定基础。
小波分析及其应用(精品教程)
f x e jx dx
(8.1-3)
1 F e jx d (8.1-4) 2 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的 存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性 质。由式(8.1-3)可知，为了得到 F ，必须有关于 f(x)的过去和未来的所有知识，而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是 F 的任意有限区域的信息都不足 以确定任意小区域的 f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正 交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两 个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与 频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为： “在通讯理论中，人们对于在 完全给定的时间内， 把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一 个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与 信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表 现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 f x
那么使用 W 作为窗函数，在式(8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”
(STFT)：
~ f e jt f t W t b dt g b
(8.1-5)
当窗函数选择为高斯(Gaussian)函数时，则为 Gabor 变换[2]。 STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映 信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法 满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。 小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以 来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多 的领域得到应用。 小波分析方法的出现可以追溯到 1910 年 Haar 提出 Haar 规范正交基，以及 1938 年 Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的 L-P 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十 年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是 1984 年法国 地球物理学家 Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。 在数学 “原子” 和 “分子” 学说， 这些 “原 方面所做的探索主要是 R. Coifman 和 G. Weiss 创立的 子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron 使用了非常象“小波” 的函数构造了 Stein 和 Weiss 的空间 H 1 的无条件基。直到 1986 年，法国数学家 Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数 ，它的二进伸缩与平移 j ,k t 2 j / 2 2 j t k : j, k Z 构成 L2 R 的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不 j/2 j 可能的，如 Daubechies,Grossman 和 Meyer 都退而研究函数系 a 0 a0 t kb0 构成 2 L R 的框架的条件去了。 Lemarie 和 Battle 继 Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。 1987 年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现 今广泛应用的 Mallat 快速小波分解和重构算法。1988 年 Daubechies 构造了具有紧支集 的正交小波基。Coifman, Meyer 等人在 1989 年引入了小波包的概念。基于样条函数的 单正交小波基由崔锦泰和王建忠在 1990 年构造出来。1992 年 A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也 得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。 近年来， 一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发 [4,5] 展和重视 。 利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤[6]， 另外， 它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为
小波分析理论与应用(清晰版)
ψ
1 2
+∞
−∞
x −b f (x )ψ dx =< f ,ψ a ,b > a
− 1 2
ψ a ,b ( x ) = a
x−b ψ a
1 f (x) = Cψ
da ∫−∞ ∫−∞ (Wψ f )(a, b)ψ a,b (x) a 2 db
+∞ +∞
基本概念：基小波与参数
• • • • • • 固有频率 振型 振型曲率 柔度矩阵 刚度矩阵 等……
敏感指标—小波包分量能
Ef = ∫
+∞ −∞
f
2
(t )dt = ∑ E ( f
i =1
+∞ −∞
2j
i j
)
E f
( )= ∫
i j
f (t ) dt
i j 2
f ji (t ) 是第j层第i个小波包分量
敏感指标—小波包分量能
小波分析理论与应用
•基本概念 •基于Matlab的使用 •健康监测等工程应用
发展历程
• 基础：现代调和分析理论 • 背景：泛函、傅里叶理论、数字信号等 • 历程：FT或FFT—STFT—WT与WPT
FT的优缺点——由其定义决定
• 优点：频域的分辩率最高 • 缺点：
– 频域丢失了时间信息，时域丢失了频率信息 – 仅适用于平稳信号
• 频带3，4
– 是由于一阶波浪效应引起
• 频带6，7
– 与结构共振有关，由风及二阶海浪效应引起
• 较大漂移由作用于结构的静水压力引起
对非平稳信号的把握
• 局部小波系数对瞬态事件的反映 • 从下例可看到能量在频带间的转移
频率调制信号的量图
小波分析及其应用
t 在 v 点为 Lipschitz
，当且仅当存在
常数 A 0 ，使得方程(3)中的模极大点 s , u 满足
Wf
s, u
As
1 2
(4)
即
Eagle Wolf Valentine (KSniper)
v
点的 Lipschitz 指数就是 lo g 2 W f s , u 作为 lo g 2 s 的函数沿着收敛于 v 的极大曲线的最大
斜率减去 1 2 ，这给我们提供了一种比较实用的计算 Lipschitz 指数的方法。 尺 度 - 空 间平 面 上 满 足 u v C s 的 所 有 点 s, u 的 集 合 称 为
t
Lipschitz 指数还可以扩展到 1 0 的范围。 如果 f t 的原函数 F t 在 v 点为 Lipschitz
1 ，则称 f t 在 v 点为 Lipschitz 。负的 Lipschitz 指数意味着函数具有比不连续
（ 0 ）更大的奇异性。对 Dirac 函数 t 而言，它的原函数为一个有界但不连续的函数 （称为阶跃信号） ，上面已经指出，阶跃信号的 Lipschitz 指数为零，故 t 的 Lipschitz 指 数为-1。 【白噪声】
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小波分析及其应用[1]
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1. 第 8 章 小波在信号奇异性检测及图像边 缘提取中的应用
称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或者某阶导数不连续， 则称该函数在此处有奇异性。信号的奇异性或非正则结构通常包含了信号的本质信息。 信号奇异点奇异性的强弱（在数学上，通常用 Lipschitz 指数刻画信号的奇异性大小）可以 由其小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。
第6章小波分析及应用
信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度
分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
第六章 小波分析的基本原理及其应用
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师
J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还 构 造了历史上非常类似于 现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后，
第六章 小波分析的基本原理及其应用
频 率
时间
图 6.2.2 小波变换的分辨率特性的图解
第六章 小波分析的基本原理及其应用
3. 连续小波变换的频率域表达式
在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 可以得到
a * jΩ WTx (a, ) X (Ω) (aΩ)e dΩ 2π
度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的
高频部分。
第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和 带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心 频率／带宽”为常数。
仍以Morlet小波为例：当a=1 时，ψ(t)的傅里叶变换的中心
其中X(Ω )和Ψ (Ω )分别对应于信号x(t)与母小波函数ψ (t)的
傅里叶变换。 (6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明：
小波分析与实例
小波分析的基本知识—二进小波变换
2、小波分析的基本知识—二进小波变换
定义：设yj，k(t)∈L2(R)，且满足 (1.64) 由此得到的小波yj，k(t)称为二进正交小波。
3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨分析
为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处理相关的细节，1983年，与在计算机视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像，同时根据需要进一步提高图像分辨率的多分辨率Laplace塔式算法。1986年Mallat和Meyer构造了多分辨分析公式。随着多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。为了对信号进行较高分辨率的处理，需要一种所谓的“增量信息”。为此，Mallat选用正交小波基作为对“增量信息”进行数学描述，并最终发展成为了多分辨分析。
load noissin c = cwt(noissin,1:48,'db4'); c = cwt(noissin,1:48,'db4','plot'); c = cwt(noissin,2:2:128,'db4','plot');
3、多尺度分析与Mallat算法
3、多尺度分析与Mallat算法
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
小波变换的系数如图所示的灰度值图表征，横坐标表示变换系数的系号，纵坐标表示尺度，灰度颜色越深，表示系数的值越大。
小波分析的基本知识—离散小波变换
离散小波变换：
在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波ya，b(t)和连续小波变换Wf(a，b)的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。 在连续小波中，考虑函数 这里，b∈R，a∈R＋，且a≠0，y是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为
小波分析及其应用
N −1
i
2πk n N
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。
1.2 短时傅里叶变换 由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分 析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力， 因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶 变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里 叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的 时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔， 以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为
之后，在地质学家、物理学家和数学家的共同 努力下，由实践经验上升为科学方法。 小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率) 分析方法，它具有多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域 都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频 率窗都可以改变的时频局部化分析方法。所以 被誉为分析信号的显微镜。
(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(ωt)、 cos(ωt)、exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用 到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一 个工程问题用不同的小波函数进行分析有时 结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析 应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析 研究的一个热点问题)，目前，往往是通过经 验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择 小波函数。
1 ϖ f (at ) ↔ F ( ) a a
4 能量积分 设F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，则有
2 1 +∞ ∫−∞ [ f (t )] d t = 2 π ∫−∞ F (ω ) d ω +∞ 2
该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。
1.3 小波分析
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参考：
M. Vetterli,
”Wavelets and Subband Coding “,
Prentice Hall PTR, 1995
p.11
小波的3 个特点
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象 。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
Haar小波基母函数
（a）Haar “近似”基函数
函数 低频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q
其中： q=[ q2 q0] .70源自1（b）Haar “细节”基
高频滤波系数 H1= [ 1 -1] ×q =[ q -q]
Haar小波的基函数
H0= [ 1 1] ×q
尺度函数 近似基函数
H1= [ 1 -1] ×q
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
小波分析及其应用
1、小波变换简介 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用
图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印
小波变换简介
1.1小波变换的理论基础
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立 叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息 却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小 波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过 平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移 操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部 信号之间的相关程度。
• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是对称的，有的是非对称的。
• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波 系数直接导出，而不需要确切知道小波基 函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现， 使计算简化，是快速小波分解和重建的基 础。
小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)
(1.1)
式（1.1）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函
数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果
是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）
的函数。
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：
(1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩 放系数越小， 则小波越窄，如图1.2所示。
于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波
基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA）
，统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码 ，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领 域。
小波基可以通过给定滤波系数生成
• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过 给定滤波系数生成。
• 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频 率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。
多分辨度分析（MRA）
• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
• 当在某一个分辨度检测不到的现象， 在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如：
… (a)
… (b)
（a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不 规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描 述信号的局部特征。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用
下式表示：
C (sc,p ao les ) itif(o t)( n sc,p ao les ,t)d itti
• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级 。信号长度为M时， Fourier变换（左）和小波 变换（右）计算复杂性分别如下公式：
O f M lo 2M g, O wM
小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中 ） 和时间采样基（下）的比较
Haar小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
S
滤波 器组
低通
高通
A
D
图1.7 小波分解示意图
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
图1.12 多层小波重构示意图
小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频 率”的变化。
• 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的 变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
q 2 0.7071
小波函数 细节基函数
第 1 行基函数是取平均（近似）， 第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热 传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用
f (t) O
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
t
f (t) O
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5
t
f (t) O
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.25
t
图1.2 小波的缩放操作
(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学 上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图1.3所示。
(t)
O
(t－k)
t
O
t
(a)
(b)
图1.3 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
原始 信号 小波 信号
C＝ 0.0102
图1.4 计算系数值C
原始 信号 小波 信号
图1.5 计算平移后系数值C
原始信 号 小波信 号
C＝ 0.2247
图1.6 计算尺度后系数值C