小波分析及其应用(精)

… (a)
… (b)
（a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不 规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描 述信号的局部特征。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用
下式表示：
C (sc,p ao les ) itif(o t)( n sc,p ao les ,t)d itti
f (t) O
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
t
f (t) O
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5
t
f (t) O
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.25
t
图1.2 小波的缩放操作
(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学 上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图1.3所示。
• 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频 率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。
多分辨度分析（MRA）
• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
• 当在某一个分辨度检测不到的现象， 在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如：
S
滤波 器组
低通
高通
A
D
图1.7 小波分解示意图
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
图1.12 多层小波重构示意图
小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频 率”的变化。
• 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的 变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级 。信号长度为M时， Fourier变换（左）和小波 变换（右）计算复杂性分别如下公式：
O f M lo 2M g, O wM
小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中 ） 和时间采样基（下）的比较
q 2 0.7071
小波函数 细节基函数
第 1 行基函数是取平均（近似）， 第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热 传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 MoBaidu Nhomakorabealet 首先提出平移伸缩的小波公式，用
Haar小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波
基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA）
，统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码 ，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领 域。
小波基可以通过给定滤波系数生成
• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过 给定滤波系数生成。
Haar小波基母函数
（a）Haar “近似”基函数
函数 低频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q
其中： q=[ q2 q0] .7071
（b）Haar “细节”基
高频滤波系数 H1= [ 1 -1] ×q =[ q -q]
Haar小波的基函数
H0= [ 1 1] ×q
尺度函数 近似基函数
H1= [ 1 -1] ×q
(t)
O
(t－k)
t
O
t
(a)
(b)
图1.3 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
原始 信号 小波 信号
C＝ 0.0102
图1.4 计算系数值C
原始 信号 小波 信号
图1.5 计算平移后系数值C
原始信 号 小波信 号
C＝ 0.2247
图1.6 计算尺度后系数值C
• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是对称的，有的是非对称的。
• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波 系数直接导出，而不需要确切知道小波基 函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现， 使计算简化，是快速小波分解和重建的基 础。
小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)
(1.1)
式（1.1）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函
数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果
是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）
的函数。
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：
(1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩 放系数越小， 则小波越窄，如图1.2所示。
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
小波分析及其应用
1、小波变换简介 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用
图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印
小波变换简介
1.1小波变换的理论基础
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立 叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息 却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小 波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过 平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移 操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部 信号之间的相关程度。
参考：
M. Vetterli,
”Wavelets and Subband Coding “,
Prentice Hall PTR, 1995
p.11
小波的3 个特点
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象 。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）