综合除法
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
一、定义：
综合除法是指将被除数已知的分数的乘除法运算，按照某种方法拆分成除法和减法运算，然后分步计算，求出商的一种算法。
二、步骤：
1. 确定被除数和除数：
首先，必须确定被除数和除数，即确定被除数为a/b，除数为c/d，
a、b、c、d为整数。
2. 将被除数转换成分数：
接着，我们要将被除数转换成分数的形式，即将a/b转换成ad/bd，其中，d表示乘以d后的分母，ad表示乘以d后的分子，比如：被除数a/b = 2/3，d = 4，除数c/d = 1/2，
则a/b = 8/12，c/d = 4/8。
3. 使用乘除法：
接着，我们可以将被除数乘以除以数的分母d，把被除数转换成另一个与除数相同的分子分母的分数，即ad/bd = cd/d；
然后，我们可以将乘以d后的分子ad除以除数的分母d，即ad/d，得到商c。
4. 使用减法：
最后，我们可以利用减法求出余数，即用被除数的分子ad减去
除数的分子cd，得到ad - cd，这就是余数。
三、总结：
综合除法是一种计算已知分数的乘除法运算的算法，其步骤为：
1、确定被除数和除数；
2、将被除数转换成分数的形式；
3、使用乘除法；
4、使用减法求出余数。
综合除法文档
综合除法1. 引言综合除法是数学中的一种基本运算方式，用于求解一个数除以另一个数的结果。
在数学和计算机科学中，除法是一种常见的运算操作，常用于解决各种实际问题。
本文将介绍综合除法的定义、性质和使用方法，并通过一些示例来说明如何进行综合除法运算。
2. 定义综合除法是指将一个数除以另一个数，并求出商和余数的过程。
在综合除法中，被除数、除数、商和余数是四个相关的概念。
•被除数：要进行除法运算的数，即需要被除的数。
•除数：用于除法运算的数，即用来除的数。
•商：在除法运算中，被除数除以除数得到的商，表示被除数中包含了多少个除数。
•余数：在除法运算中，被除数除以除数得到的余数，表示被除数在进行除法运算后剩下的部分。
综合除法的运算过程可以用以下公式表示：被除数 = 商 × 除数 + 余数3. 性质综合除法具有以下几个性质：1.商和余数的取值范围：–商的取值范围是整数集合，可以为正整数、负整数或零。
–余数的取值范围是非负整数，即大于等于零的整数。
2.商和余数的关系：–商等于被除数除以除数向下取整，即商是不超过真实商的最大整数。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数是除法运算的剩余部分。
3.综合除法的唯一性：–给定被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
4. 使用方法综合除法的使用方法主要包括以下几个步骤：1.确定被除数和除数。
2.进行除法运算，计算商和余数。
3.检查运算结果的正确性。
下面通过一个例子来说明如何进行综合除法运算：例子：求解 15 ÷ 41.确定被除数为 15，除数为 4。
2.进行除法运算，计算商和余数：–商等于被除数除以除数向下取整，即商为15 ÷ 4 = 3。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数为15 % 4 = 3。
3.检查运算结果的正确性：–根据综合除法的性质，15 应等于商乘以除数加上余数，即15 = 3 × 4 + 3，计算结果与原始被除数相符，说明运算结果正确。
综合除法的推广及应用
综合除法的推广及应用综合除法是一种重要的数学技术，在数学计算中有重要的应用。
首先，让我们来了解什么是综合除法。
综合除法是一种重要的数学概念，是求解多项式的操作，它是由一系列“除法”步骤组成的，比如做余数计算，除以同一个值并对结果求余数。
在结果的求解中，我们要熟悉各种关于除法的数目，以及各种数学表达式的表示方法。
综合除法在实际的应用中有着重要的作用。
在任何的数学运算中，综合除法都可以被用来帮助求解一些棘手的多项式。
一般来说，综合除法可以用来求解一些复杂的方程和不等式，比如求解联立方程和不等式，也可以用来求解一些复杂的数列、统计学方面的问题，甚至机器人控制学方面的推理问题。
综合除法的推广应用在很多领域都有着重要的作用。
在科学计算和电子计算机技术领域，综合除法也是常用的一种技术，此技术不仅可以求解一些棘手的问题，而且可以帮助计算机和机器人快速准确地求解问题。
另外，综合除法在社会统计学领域也有重要的应用，这种技术可以用来计算各种概率分布，比如指数分布、均匀分布、正态分布等，以及求解各种复杂的统计学问题。
最后，综合除法的推广及应用也可以在金融、经济和管理领域得到有效的应用。
金融学相关的计算，比如求解折旧、利率、债务分析等问题，都可以用综合除法来求解。
在经济学方面，如需要计算消费支出、供求矩阵、生产函数等，也可以用综合除去解答。
最后，综合除法也可以用于管理学领域，如求解决策问题、成本分析等。
总之，综合除法是一种重要的数学技术，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于求解一些棘手的多项式，也可以用于数据的分析和处理，以及金融、经济和管理领域的求解问题。
希望能够通过本文的介绍，使读者能够正确理解和应用综合除法，以及对综合除法有更深一步的认识。
综合除法怎么算
综合除法怎么算综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只通过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。
符号Q 商式R 余式例题( 2x^3 - 6x²+ 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以1来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x²- 4x + 7余式R = 1注意：验算时，须谨记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
因式分解综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x²+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x －b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手 [1] ．(2)因式可能重复．方法介绍另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替，将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃-3 3 -1 做除数（+ ) ┃3 -3 1┗━━━━━┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷(x+1)-1┃4 -3 -4 -1┃-4 7 -3┃4 -7 3┃-4┗━━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。
高等代数综合除法具体步骤讲解 -回复
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数综合除法是代数学中的一种基本运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。
本文将详细介绍高等代数综合除法的具体步骤，并逐步讲解每个步骤的原理和运算方法。
假设我们需要对一个多项式N(x)进行除法运算，N(x)的表达式为：N(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，x是未知数。
除数多项式D(x)的表达式为：D(x) = d_m*x^m + d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0其中，d_m, d_{m-1}, ..., d_1, d_0是常数系数，m是除数的次数。
综合除法的目标是找到商多项式Q(x)和余项多项式R(x)，使得：N(x) = Q(x) * D(x) + R(x)其中，Q(x)是商多项式，R(x)是余项多项式。
具体的综合除法步骤如下：步骤一：将N(x)和D(x)按照次数从高到低排列。
确保N(x)和D(x)都是按照从高次到低次的顺序写出。
步骤二：找到商多项式的首项，即Q(x)的次数最高项。
假设Q(x)的首项为q_k*x^k。
步骤三：将q_k*x^k与D(x)相乘，并记为T_k(x)。
T_k(x)的表达式为：T_k(x) = q_k*x^k * D(x) = q_k*x^k * (d_m*x^m +d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0)步骤四：于N(x)中找到与T_k(x)次数最高项相同的项加减消去。
假设N(x)的次数最高项为n_l*x^l。
步骤五：计算q_k，并将q_k*x^k - n_l*x^l相减得到新的多项式。
步骤六：将新的多项式作为新的被除多项式，并重新回到步骤二。
重复这个过程，直到被除多项式的次数小于除数的次数。
步骤七：得到最终的商多项式Q(x)和余项多项式R(x)。
多项式的除法原理(综合除法)与练习
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x)q(x)g(x)r (＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋[1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1餘式為0[2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0[5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[7])4()431273234567-÷+-+x x x 的商式與餘式。
综合除法
綜合除法：當除式g (x )=x -a 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。
【範例】：設f (x )=2x 4+x 2 -5x ，g (x )= x -2，求f (x )除以g (x )的商式、餘式。
解 ：2 x 4 + x 2 -5x = ( 2x 3+ 4x 2+ 9x +23 ) ( x – 2) +46綜合除法的原理：設f (x )=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，g (x )=x -b ，若存在商式q (x )=c 2x 2+c 1x +c 0，餘式r (x )=d 。
由除法的定義：(a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0)=( c 2x 2+c 1x +c 0)( x -b )+d經比較係數可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-==d b c a c b c a c b c a c a 0001112223⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==b c a d b c a c bc a c a c 0011022132上面的關係可寫成以下的形式：當f (x )除以g (x )=ax +b 時，我們也可利用綜合除法求餘式r (x )、商式q (x )。
由除法的定義：f (x )=(ax +b )⋅q (x )+r (x )=(x +b a)⋅[aq (x )]+r (x )可先利用綜合除法求出f (x )除以(x +b a)的商式q /(x )=aq (x )與餘式r (x )， 而所要求的商式q (x )=1aq /(x )，餘式r (x )不變。
餘式定理、因式定理)(,)(,)()(01200112230120123x r dc c c x q bc a b c a bc a a bb c b c b c a a a a x f ==⇓⇓⇓⇓++++↓+=式餘式商,46,23942461884)(205102+除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。
综合除法资料
综合除法在数学中，我们经常会遇到各种不同形式的除法运算。
综合除法是一种将多种类型的除法问题综合在一起进行处理的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决涉及到不同形式的除法计算的问题，提高我们对除法运算的理解和应用能力。
1. 整数除法整数除法是最基本的一种除法形式。
在整数除法中，除数和被除数都是整数，商也是整数，余数可以是整数也可以是零。
整数除法中有一些特殊的规则和性质，例如当被除数能够整除除数时，商为整数，余数为零；当被除数不能整除除数时，商为整数，余数为小于除数的正整数。
在整数除法中，除数、被除数、商和余数之间的关系是非常重要的。
2. 带余除法带余除法是一种在整数除法基础上扩展而来的除法形式。
带余除法要求除数为整数，被除数可以是整数、分数或者其他形式，商和余数都可以是整数、分数或者小数。
带余除法在实际应用中有着重要的作用，例如在计算机编程中，我们经常会用到带余除法来实现除法运算并得到余数值。
3. 除法的性质除法是数学中一个非常重要的基本运算。
在学习和应用除法时，我们需要了解除法运算的一些基本性质和规则。
例如，除数不能为零，除法的交换律和结合律，除法与乘法的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解除法运算的本质，避免在实际计算中出现错误。
4. 小结综合除法是一个涉及到多种不同形式的除法运算的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决各种除法问题，提高我们对除法运算的理解和掌握能力。
在学习和应用除法时，我们需要重点关注除数、被除数、商和余数之间的关系，同时要了解除法的基本性质和规则。
通过不断练习和实践，我们可以提升自己的除法运算水平，更好地应用除法在实际问题中。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
综合除法
综合除法40本词条百科名片缺少名片信息, 正文无图片, 百科名片缺少图片, 无基本信息模块, 欢迎各位编辑词条，额外获取40个积分。
目录1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号编辑本段Q 商式R 余式2 例题编辑本段( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以 - 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = 1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
3 因式分解编辑本段综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x^2+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．4 方法介绍编辑本段另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^3-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替，将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃ -3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1┗━━━━━ ┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。
七年级超素班第七讲 综合除法 余式定理
七年级超素班第七讲综合除法余式定理7 综合除法综合除法与余式定理代数式3 1.掌握一元多项式的除法2.理解并掌握余氏定理并会应用★★☆综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例1.求多项式f(x)=7-5x 3x 2+除以（x+2）所得的商式和余数。
练习：用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
例2.用综合除法计算()）（12x 8x -7x -6x 234+÷+练习：求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
例3.（1）求x-1除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数 （2）求2x-2除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数例4.多项式f （x ）除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5，求f （x ）除以（x-1）（x-2）所得的余式。
例5. 一个关于x 的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
例6.a ，b 是不相等的常数，若关于x 的整式f （x ）被x-a 和x-b 整除，求证：f （x ）也被（x-a ）（x-b ）整除。
综合除法与馀式定理讲义
若奇次項的係數的和等於偶次項係數的和，則 f（x）有一次因式（x+1） ，記住這個結 論很有用． （2）本題用分組分解也較簡單，請同學們自己求解．
二、餘式定理 餘式定理又稱裴蜀定理。它是法國數學家裴蜀（1730~1783）發現的。餘式定理在研究 多項式、討論方程方面有著重要的作用。 餘式定理：多項式 f ( x ) 除以 x a 所得的餘式等於 f ( a ) 。 略證：設 f ( x ) Q ( x ) ( x a ) R 將 x=a 代入得 f ( a ) R 。 例 4、確定 m 的值使多項式 f ( x) x 5 3x 4 8 x 3 11x m 能夠被 x-1 整除。 解：依題意 f ( x ) 含有因式 x-1，故 f (1) 0 。 ∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。 求一個關於 x 的二次多項式，它的二次項係數為 1，它被 x-3 除餘 1，且它被 x-1 除和 被 x-2 除所得的餘式相同。 解：設 f ( x) x 2 ax b ∵ f ( x ) 被 x 3 除餘 1，∴ f (3) 9 3a b 1 ①
33 10 2 33 1 12 5 23 8 15 16 2 3 10 6
2 3
去除被除式，
4
∴Q= x 2 4 x 5 ，
R=6。
例 3、分解因式 x4+2x3-9x2-2x+8． 分析：原式可能有 x±1，x±2，x±4，x±8 因式，由於 f（1）=0，f（-1）=0， 所以由因 式定理，原多項式含有（x-1） （x+1）這兩個因式，然後用綜合除法即可求解． 解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）這兩個因式． 由綜合除 法得： 原式＝（x-1） （x+1） （x-2） （x+4）
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
综合除法在多项式理论中的应用
诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日综合除法在多项式理论中的应用[摘要]在多项式理论中，经常要用到多项式的恒等变换，从这些变换得到想要的结果，证明一些经典的结论，或者应用到数值求解，或者应用到多项式的分解。
多项式除法是一种经典的多项式恒等变换，而综合除法则是多项式除法的简化模型。
通过多项式除法可以建立被除式、除式、商式与余式之间的关系式，解决多项式求值、多项式的方幂展开、多项式的洛朗展开、辗转相除法、多项式的因式分解、多项式函数的最简分式这一系列的问题。
对综合除法可以进行多方面的研究，是多项式除法的深化。
可以做到从已知被除式与除式的情况下得到商式和余式，把得到的商式当成被除式再求另外一组商式和余式，从已知被除式与余式为零倒推出除式和商式，还有在待定系数的情况下进行多项式除法。
可能以后还有更好的综合除法推广，还有更好的多项式除法，还有更好的多项式理论。
[关键词]综合除法；多项式理论；因式分解；最简分式The application of Synthetic division in Polynomial theoryAbstract：In Polynomial theory, we usually apply polynomial transformation to get what we want. Proving classical theorem, finding the required value or decomposing polynomial. Polynomial division is one kind of traditional polynomial identical transformation. Synthetic division is the simplified model of polynomial division. With polynomial division, we can set up the relationship between dividend, divisor, quotient and remainder. Solving the value of a polynomial, the sum of power expansion of a polynomial, the Laurent expansion of a polynomial, Euclidean algorithm, polynomial factorization and polynomial fraction in lowest terms. Researching Synthetic division in many ways can deepen polynomial division. We can get the quotient and remainder by the given dividend and divisor. We can let the quotient be the new dividend and find one more pair of quotient and remainder. We can obtain the divisor backwards by the given dividend and zero remainder. We can carry on polynomial division with unknowns. Maybe we have a better usage with Synthetic division, a better polynomial division model, a better Polynomial theory in the future.Keywords：Synthetic division；Polynomial theory；Factorization；fraction in lowest terms目录1绪论 (5)1.1文献综述 (5)1.1.1 一般的综合除法 (5)1.1.2 用在矩阵多项式的综合除法 (5)1.1.3 多项式的方幂展开 (6)1.1.4 高次除式的综合除法 (6)1.1.5多项式根的k 次方之和 (7)1.2研究框架 (8)1.3术语说明 (8)2 活用多项式除法 (9)2.1多项式的展开 (9)2.1.1 展开原理 (9)2.1.2 自然数方幂和 (9)2.2辗转相除法 (10)3 在多项式分解上的应用 (11)3.1因式分解 (11)3.1.1 四次多项式 (11)3.1.2 五次多项式 (13)3.2最简分式 (14)3.2.1 多项式展开法 (14)3.2.2 多项式同余法 (15)3.2.3 构造多项式除法 (16)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)附录 (21)1绪论1.1 文献综述1.1.1 一般的综合除法综合除法是为了简化多项式的带余除法而设的，可以用来求一个多项式 除以一次多项式的商式和余式，也可以用在多项式求值，又可以测试某 个数是不是一个高次方程的根。
2-2综合除法、大除法.讲义教师版
综合除法和余数定理；「 i歯例题精讲板块一综合除法、多项式除法记号f x关于x的代数式常用记号f x或g x等表示，例如，用f x表示代数式2X2• x—3，则可记为2f x =2x x-3 .・x-3的值，即f 1 =2 12 -1-3=0，同样地，有这时f 1就表示x=1时，代数式2x2f 0 ]=2 0 0 _3 - $ ; f -1 ]=2 -1 j 亠i 1 -3 - -2 等等.用f x可以代表关于x的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，女口f x , g x , q x , r x 等.综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：f (x)=g(x)q(x)卄(x) (1)其中f x表示被除式，g x表示除式，q x表示商式，r x表示余式，且余式r x的次数小于除式g x 的次数.如果g x是一次式x -a，则r x的次数小于1，因此，r x只能为常数(0或非零常数).这时，余式也叫余数，记为r，即有f (x )=(x—a ) q(x )+r (2)当一个多项式除以一个形如x-a的一次式时，有一种简便的运算方法一一综合除法，我们用一个例子来说明，如求f x[=3x2・5x-7除以x 2所得的商式和余式.解析：先用一般的竖式除法计算3x —1x 2 3x2 5x -73x26x—x—7x 25所以，商式为3x -1，余数为乃.从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示.3 +5 -7-2—6 23 -1 |-5商式为3x _1,余数为-5 .这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按x的降幕排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足.⑵把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开.⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，，，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数.【例1】⑴求2x4—3x2— x2 5x 6除以x 1所得的商式和余数.⑵求多项式f x =3x3・5x2—2X4-5除以x - 2所得的商式和余数. 【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴用综合除法计算如下：2 —3 —1 +5 +6-1-2 5 -4 -12 -5 4 1 [5所以，商式为2x3 _5x2■ 4x 1，余数为5 .⑵先将f x按降幕排列，f x =3x3 5x2-2x4-5 - -2x4 3x3 5x2 0 x —5用综合除法，计算如下：-2 +3 +5 0 -52-4 -2 6 12-2 -1 3 6 [7所以，商式为-2x^x2 3x 6，余数为7 .【答案】⑴商式为2x3 -5x2 4x 1，余数为5⑵商式为-2x3 -x2 3x 6，余数为7【巩固】求多项式2x4 3x3 -2x2 -48除以x -2的商式和余数. 【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】商式q x =2x3亠7x2亠12x^24，余数r =0 .用余数定理可知余数为f 2[=0 .【答案】商式q x =2x3 7x212x 24，余数r =0【例2】用综合除法计算6x4-7x3-x22x 1 .【考点】综合大除法【难度】3星【题型】计算【关键词】【解析】2x ^2 x 1，先用6x^7x3 -x2 8除以x -. I 2丿 21 6 一7 -1 0 +82 -3 5 -2 16 -10 4 - 2〔9所以，我们有6x4 -7x3 - x2 8 (1 Y 3 2 =r X 6x -10x 4x -2 9\2x2 ；6x3T0x2 *23 2=2x 1 3x 一5x 2x _1 ?：：；9因此，所求的商式为 3x -5x 2x -1，余数为9 . 【答案】商式为3x 3 -5x 2 2x -1，余数为9用综合除法计算: 综合大除法4星计算 【关键词】f x -f b=ax -b q x ,f x -f a 故 I bx 4-5x 3-3x 2-x 4 -19 - x -I4八2丿数相同，这就是该解法的来历. 商式 qx =3x -4x1x - 3，余数 r =19724 4【例 3】计算：x 4 - 2x 3 -9x 2 -2x • 9 - x 2 -1 . 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】看看此题，我们发现除式的次数不是1,我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为 1，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正， 余数是一定的,那么我 们可以先求 x 4 2x 3 -3x 2-2x • 9 ] >[x • 1的商式，然后再求x 4 - 2x 3 -9x 2 -2x • 9「ix • 1 ] ： j 「x T 的商式，不管可行不可行，先试试再说！综合除法求 x 4 2x 3 -9x 2 -2x 9 i ： ix 1的同式如下： 商式为x x 2 -10x 8，余数为1 再求 x 3 x 2 -10xFix-1的商式如下： 从而可知，x 4 2x 3 -9x^2xix 2-1的商式为x 2，2x-8，余数为1.此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式 除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为 1的情况下，若除式的最高次不为 1，则多项式除法更【巩固】 【考点】【难度】 【题型】 6x 4「5x 3【解析】 先将原式变形，原式=6x 4 —5x 3 -3x 2 —x 4 +<■ 2，用综合除_x • 4 - x •1 的商式和余式，然后再求原式的商式和余式./ I 2丿 -X 4^ !x -如下：‘ V 2丿再把商式6x 3 -8x 2 *-|除以2得，商式q x =3x 6x 4 _5x 3 _3x 26x 4 — 5x 3 —3x 23_4X 2冷x#，余数点评：本例介绍的是除式的系数不为综合除法计算19 r41的综合除法，其1令x 1与2x 121的值为0 ,均有X 二--,由余数定理可知，2余数均为f 一11的商式为6x 4快，更准确！如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！下面我们看看多项式除法解本题，如下：2x 2x -8「X 22x 3 _8x 2 -2x 2x 3-2x-8x 2 9 2$x8 1x 4 2x 3 — 9x 2 — 2x - 9 -■ x 2 -1 的商式为 x 2 • 2x _8，余数为 1 .点评：本题介绍的是除式为非1次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡.【答案】商式为x 22^—8，余数为1【例 4】计算：x 4 -x 3y -7x 2y 2 13xy 3 - 6y 4 1 ] ： i x - y . 【考点】综合大除法 【难度】5星 【题型】计算 【关键词】x 3-7y 2x +6y 343厂2 3 4【解析】 x —y x —yx -7y x 13yx-6y 1 ‘X 4 — yx 32 23-7y x 13y x -7y 2x 2 7y 3x6y 3x —6y 4 6y 3x -by 41故商式为x 3 -7xy 2亠6y 3，余数为1 .【答案】商式为x 3 -7xy 2亠6y 3，余数为1板块二余数定理和因式定理余数定理和因式定理由 f (x ) = (x _a )，q (x )+r 式，当 x=a 时，有 f (a )=(a _a ) q (x )+r =r , 因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式 f x 除以x-a 所得的余数等于f a ，有些时候余数定理作余式定理. 如求f x =3x 2 5x -7除以x 2的余数.2解析：由于x 2=*仝卫,f -2 =3 -2 5 -2 -7 = -5.所以，所求的余数为-5 .这与我们前面用综合除法求得的余数相同.再由(2)式知，如果f x 能被x-a 整除，那么必有r =0 ；反之，如果r =0，那么f x 能被x-a 整 除，由此，我们有：因式定理：若多项式f x 能被x -a 整除，亦即f x 有一个因式x -a ，则f a =0 ;反之，如果f a =0, 那么x-a 必为多项式f x 的一个因式.【例5】 求f x =3x 4「8x 3 ' 5x 5 —x ■ 8除以2x -4所得的余数. 【考点】综合大除法x 2 -1 x 4_2x^9x 2_2x 9x 4【难度】4星【题型】计算 【关键词】【解析】根据余数定理：多项式 f x 除以x_a 所得的余数等于f a ，也就是说令除式为零求出的x ，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数.从而可知，原式除以 2x 「4所得的余数为：f 2 =3x24 _823 5 25 _2 • 8 =150 .【答案】150【例6】 多项式f x 除以x_1, x_2所得的余数分别为3和5，求f x 除以x_1 x_2所得的余式. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】根据题意，由余数定理，知f 1 =3 , f 2 =5 .设f x 除以x -1 x_2后所得商式为q x ，余式为ax b ,（因为除式是二次的，所以余式至多 是一次的），贝U f -1 x 一2 qx ］亠［ax • b ,所以，有由⑴，⑵解得a =2 , b =1 . 因此，所求的余式为 2x 1 . 说明：余数定理讨论的是f x 除以一次式x -a 的余数问题，当除式超过一次时，余式的形式就变得复杂了，本题的方法具有普遍性，可看作是余数定理的一种推广.【答案】2x 1【例7】 多项式f x 除以x_1, x_2 , x -3所得的余数分别为1 , 2 , 3，试求f x 除以x _1 x_2 x_3 所得的余式. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】设f x = x -1 x -2 x -3 q x ax 2 bx c ，则有f 1 =a b c =1 , f 2 =4a 2b c =2 , f 3 =9a 3b c = 3解之得，a=0 , b=1 , c = 0 ,故 fx=x_1 x_2 x_3qx!、x , 从而可知f x 除以x-1 x-2 x-3所得的余式为x .【答案】x【例8】已知f x =x 3 2x 2 3x 2除以整数系数多项式 g x 所得的商式及余式均为 h x ，试求g x 和 h x ，其中h x 不是常数. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】设f x =g x h x i 亠h x ，则有f x = g xi 亠1 h x又 f x =x 3 2x 2 3x1 x2 • x • 2 = x 1i ［x 2 • x Ti 亠 1，根据余数定理可知， h x 的次数小于 g x ，故 g x = x 2 x 1 , h x =x 1 .【答案】g x =x 2 x 1 , h x =x1(1) (2)f 1 = a b =3,求一个关于x 的二次三项式f x ，它能被 综合大除法 4星 计算x_1除余2，被x_2除余8，并且它被x 1整除.【关键词】【解析】设f x =ax 2 bx c ，则由余数定理可知,f 1 =2 , f 2 =8 , f [ -1 = 0,故5 a 二一 3 a b c =2I 4a 2b c=8二 b =1 ，故a-b c =0 f x =5X 2 ‘ 3【答案】fx *2 —【解析】 因为f x 被x 1 x —2整除，所以f x 被x 1和x —2整除，根据因式定理，有 4 3 2 f -1 =2 -1 -^1-1 a -1 5 -1 b =a b =0,4 3 2f 2 ；=2 2 -3 2 a 2 5 2 b =4a b 18 =0 ,ra +b =o 即 4a +b +18 =0.解之得 a - ~6 , b =6 . 【答案】 a 二—6 , b 二 6 【例10】试确定a 和b 的值，使f x =2x 4 -3x 3 ax 2 5x b 被x 1 x - 2整除 【考点】因式定理 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】 【解析】 由题意知 f 七产0，亦即： 4 3 2 -3 3 -3 8 -3 - k -3 11 =0,即 3k • 83 - 0 ,从而 k =833【答案】 . 83 k = 3【例11】设f x ]=x 4，3x 3 8x 2 -kx 11被x 3整除，试求k 的值. 【考点】因式定理 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】【例12】已知关于x 的三次多项式f x 除以x 2-1时，余式是2x-5 ；除以x 2 -4时，余式是-3x • 4，求这个三次多项式. 【考点】综合大除法【难度】4星 【题型】计算 【关键词】 【解析】设f x =ax 3 bx 2 cx d ，则由余数定理可知【例9】 【考点】 【难度】 【题型】f |1 =2 -5 - -3,f _1 = 2 _5 - _7, f 2 = -6 4 = _2 ,f -2 =10 4 =14a b - c d - h 故有 8a +4b +2c +d =-2 -8a 4b -2c d =10d = —8故所求多项式为f x --5x 3 "3x 211x -8 .335 3211 c f x x 3x x —833【例13】若x 5 -5qx 4r 被x - 2 ?整除，求q 与r 的值. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】2【解析】（解法一）设 x 5 -5qx ■ 4r = x - 2 ] [x 3 ■ ax 2 ■ bx ■ r ，则有55432x -5qx 4r =x 亠i a -4 x 亠i b -4a 4 x 亠 i5 -4b 4a x 亠 i4b - 4r x 4r对比各项系数可知， a -4 =0， b -4a 4 = 0 , r -4b 4a = 0 , 4b - 4r - -5q 解之得，a=4， b =12， r= 32， q=16故 q=16， r = 32 .（解法二）也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题，如下：x 3 +4x 2 +12x+322—5432x 4x 亠4 x 亠0x 亠0x 亠 0x 5qx 亠 4rx 5 -4x 4 亠4x 34x 4 -4x 3 0x 2 4x 4 -16x 316x 212x 3 -16x 2 -5qx 12x 3 -48x 248x232x —（5q 48）x 4r 32x 2 -128x 128故 5q 48 =128 , 4r =128= q =16 , r =32 .【答案】q =16,r =32【例14】证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于 x 的整式f x 被x-a 和x-b 整除，则f x 也被x -a x -b 整除.【考点】因式定理=3 11 -3 【答案】 —b【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】设fx被x -a x-b除时，商式为q x，余式为mx • n，其中m , n为待定常数，则f x = x -a x —b q x mx n .因为f x能被x -a和x _b整除，由因式定理得：fa = a_a a -b qa『：；ma n = 0 ,f b = b —a b -b q b ：.-mb n = 0,卄ma n =0 (1)即、mb n =0 (2)由(1) - (2)得a「b m =0 ,又因为a丰b，所以m =0 .把n =0代入(1),得n =0 .所以mx + n =0,因此，f x除以x-a x _b的余式为0,即f x被x-a x-b整除. 点评：本题的结论也非常有用.【答案】见解析【例15】整系数三次多项式f x，有三个不同的整数a1, a2, a3，使f印=f a2= f a3=1，又设b为不同于a1, a2, a3的任意整数，试证明： f b丰1 .【考点】因式定理【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】解法一：由 f a1 =fa2 =fa3 =1 可知，f a1 -1=fa2 -1 = fa3 -1=0 .由因式定理可知x-印,x-a?, x-a3是多项式f x：；-1的三个因式，故f x _1 -a x - a1 x - a2 I x - a3 ( a 为非零常数)故f b ]；—1 二a b「a t b —a2 -^3又b为不同于a1, a2, a3的任意整数，故f b工1 .解法二：由题意可知f(x)二a x-印x -a2 x-a3 1 ,其中，a为整数且a丰0 ,则f b = a b 1 a b 2][a 战 d(因为b不同于a1, a?, a3).点评：本题是经过变形的因式定理的应用，关键在于对 f x -1运用因式定理.【答案】见解析课后练习1. 计算：x6-5x45x3-5x 7 亠x31 .【考点】综合大除法【难度】5星【题型】计算【关键词】【解析】显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下:3 2x +0x -5x+4 x 3 亠Ox 2 亠Ox 1 x 6 亠 Ox 5 5x 4 亠5x 3 亠 Ox 2 3 5x 亠 76 小 5 小 4 3 x Ox Ox x43 2 -5x 4x Ox -5x4 3 2 -5x —Ox —Ox -5x,32 4x Ox ,3 2 4x Ox故商式为x 3 -5x 4，余数为3 .【答案】商式为x 3 -5x 4，余数为3 5 4 3 22. 设 f x ]=3x 1Ox -15x -9x 8x 7 , 【考点】综合大除法【难度】4星【题型】计算【关键词】【解析】先用综合除法，计算 f x “ x .“ I 3丿求得f x x -的余数4,根据余数定理，' U 3丿V 3丿【答案】42 4 23. 设fx =x ・mx ・n ( m , n 都是整数)既是多项式x 6x 25的因子，又是多项式4 23x 4x 28x 5的因子，求f x .【考点】因式定理【难度】5星【题型】计算【关键词】【解析】经观察发现， x 4 6x 2 25 O ，故不可能根据因式定理找出一个一次式是它的因式，这样，我们就无法根据因式定理直接来求f(x)，但是根据因式定理可知， 若 fx 二qxgx , hx=px gx ，则有 f x ]-nh x ： — ||q x ：-np x ：| g x 我们可以利用这一点消去高次项，然后求出f x . 设 3x 4 4x 2 28x 5 = f xg x , x 4 6x 225 = f x h x ，则有 3 x 4 bx 2 25 - 3x 4 4x 2 28x 5 =3f x h x - f x g x即 14x 2 -28x 7O =f x f||3h x -g x即 14 x 2 -2x 5 = f x i[3h x -g x又 f (x )=x 2 +mx + n ，故 f (x )=x 2 -2x +5 .点评：本题是间接利用因式定理的一个典型的例题，解题思想值得反复回来.【答案】f x x 2 2x 5 Ox 7 Ox 4 f 1) 求 f 'a .。
多项式综合除法具体步骤讲解
多项式综合除法具体步骤讲解好嘞，今天咱们聊聊多项式综合除法，这个名字听着有点高大上，其实操作起来并不复杂，咱们就像在做一道简单的菜，慢慢来，没事儿的。
多项式就像一堆混合的水果，有的甜，有的酸，有的还带点苦味，真是五味俱全。
综合除法呢，就像是把这些水果放进搅拌机里，搅拌得当，最后能喝上一杯美味的果汁。
哎，别看我开玩笑，这其中的奥妙可真不少呢！好，咱们开始吧。
想象一下，你手里有个多项式，比如说 (2x^3 + 3x^2 x + 5)，然后你还有一个除数，比如 (x 2)。
你就像在准备做饭，得先把材料准备好。
先写下被除式，下面留个空位，接着把除式放到旁边，这样做很方便，心里也有个谱。
然后，想象一下这个被除式就像是一条长长的街道，街道上车水马龙，而除式就像是开着小车的司机，准备上路了。
咱们要把最高次项的系数拿出来，咱们看看，最高次项是 (2x^3)，除以 (x)，哦，那就是 (2x^2)。
这时候你心里得想，司机已经开上路了，真是个老司机。
把 (2x^2) 乘以 (x 2)，咱们来点小计算，得到 (2x^3 4x^2)。
这时候，把它从被除式里减去，就好比在街道上把小车的行李卸下来，瞬间整洁多了。
减完之后，咱们看到，剩下的是(3x^2 + 4x + 5)，就像街道上又多了一些小商铺，热闹非凡。
这时候，你要重复这个过程，继续往下走。
拿着 (3x^2)，除以 (x)，得出 (3x)。
把它乘回去，得到 (3x^2 6x)，接着再减去，这就好比小商铺又关掉了一家，剩下的是(10x + 5)，简直就像有家新开张的小店，越开越热闹。
继续这一路走下去，咱们再来一次，10x 除以 x 得 10，乘上去是 (10x 20)，再减去，剩下的就是 (25)。
嘿，咱们终于来到了终点，街道的尽头有一座小房子，住着常数25。
咱们得出结论，原来的多项式 (2x^3 + 3x^2 x + 5) 除以 (x 2) 的结果就是 (2x^2 + 3x + 10)，余数是25。
综合除法的经典例题
综合除法的经典例题“综合除法的经典例题”是不少高等教育的必修内容，这种运算方法应用非常普遍。
综合除法的经典例题，可以让学生更加深入地理解综合除法的基本原理，也能让他们正确运用综合除法解决实际问题。
关于综合除法的经典例题，本文将讨论其历史背景、重要性、应用范围，再分析一些典型例题，详细阐述解答方法。
首先，让我们先来了解一下综合除法的历史背景。
综合除法，也被称为“补除法”，最初源于古印度的一种运算方法，被西方学者称作“Indigo-Arabic Numerals”，直到18世纪时才被使用广泛，随着现代计算机的出现，综合除法的应用更是越发普遍。
其次，综合除法的重要性不可忽视。
首先，它是解决复杂数学计算的一种技术，可以帮助学生更加快捷地解决数学问题，也可以帮助学生更好地理解数学原理。
其次，它也可以帮助学生更好地把握微积分、几何等基础知识，有利于学生深入思考数学特性、准确管理解决问题的步骤，也为学生今后的研究打下了一定的基础。
再者，综合除法的应用范围还非常广泛，不仅可以应用于数学问题的解决，也可以应用于实际问题的分析，比如用综合除法来计算产品成本、估算投资收益、比较不同金融产品的投资回报率等。
接下来，让我们来分析一些典型的综合除法例题，详细探讨解题方法。
例如，题目：已知4a-2b=6，若a:b=3:2，求a和b的值。
此题可以先用综合除法的方法求出相应的比例系数，即a:b=3:2。
因此，可以将该题转换为：4a-2b=6，求a和b的值。
此时，可以把原式进行简单的化简，4a-2b=6即可化为2a=3+b，由此可以求出a=3+2b/2，即a=3+b。
由此，可以已知b的值，由原式求出a的值，即a=3+b，因此，a=3+2b/2，b=2，a=5，故a=5，b=2。
这就是用综合除法来求解该例题的解决之道。
最后，文章举例具体分析了几道经典例题，从而推导出解答方法，进而深入理解了综合除法的基本原理，从而可以正确运用综合除法解决实际问题。
综合除法 (2)
综合除法与余数定理一、知识提要与典型例题综合除法与余数定理就是中学数学中十分重要的内容,它们就是研究多项式除法的有力工具。
综合除法与余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
(一)、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不就是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时,就有下列等式:)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数,或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时,就就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商与余式。
解: 余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商就是263223+--x x x ,余式就是8。
上述综合除法的步骤就是:(１)把被除式按降幂排好,缺项补零。
(2)把除式的第二项-２变成２,写在被除式的右边,中间用一条竖线隔开。
(3)把被除式的第一项的系数2移到横线的下面,得到商的第一项的系数。
(4)用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的下面,同-7相加,得到商的第二项系数-3。
(5)用2乘商的第二项的系数－3,得-6,写在被除式的第三项的系数0的下面,同0相加,得到商的第三项的系数－6。
(6)用２乘商的第三项的系数-6,得-１2,写在被除式的第四项的系数1４的下面,同1４相加,得到商的第三项系数2。
(7)用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面,同4相加,得到余式8。
前面讨论了除式都就是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式就是一次式,但一次项系数不就是1,能不能利用综合除法计算呢？例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 与余式R 。
综合除法求方幂和例题详解
综合除法求方幂和例题详解设f(x).g(x)是两个多项式，且g(x)≠0，则恰有两个多项式q(x),r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)=О或者degr(x)<degg(x)。
(1)，f(x)称为被除式，g(x)称为除式，q(x)称为商式，r(x)称为余式。
(2),被除式=除式×商式+余式。
(3)，简式:A=BQ+R综合除法中定义g(x)为一次多项式(x-a)，a为为任意数。
一、用综合除法写出f(x)按降幂排列的系数，设：f(x)=c,x"+cn,x'十…+C=olccn-cn-2…c,CCoaac。
a(cn;+ac)…bdeccn-;+acmcn-2+a(cn-;+ac,)…C+bc;+d\co+e则有:b=a(c+a(ca+a(…(a(cn-I+ac,))...));d=a(c,+a(c,+a(c,+a(…(a(c.-1+ac,))...)))e=a(c+a(c2,a(c,+a(c4+a(…(a(cn-;+acn))...))))则：q(x)=(cA-]+ac,)x"-l+(c;-2+a(cn-,+ac))x"-?...+(c,+b)x2+(c,+d)x,r(x)=co +e注意:缺项的系数为0。
例题:(1)f(x)=2x5-5x3-8x,g(x)=x＋3o-50-80解:-618-39117-3272-613-39109/-327所以q(x)=2x4-6x3+13x2-19x+109,r(x)=—327(2)f(x)=x3-x2-x,g(x)=x-1+2i1-2il.-1._-12i_008i解:1-2i一4-2l9Tot1-2i-5-2i|-9+8i所以q(x)=x2-2ix-5-2i,r(x)=—9+8i当除式为一次式时，用综合除法比余除法来得方便,特别是有些问题需要多次以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用，用综合除法进行运算时，被除式中所缺的项必须补上零，否则计算就错了。
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综合除法与余数定理
一、知识提要与典型例题
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除
以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能
被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解：
余式
商的各项的系数
8
26322412
6
4
414072
++--+--++-
∴)2()74142(3
4-÷-++x x x x 的商是263223
+--x x x ，余式是
8。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(2
3
-÷+-+x x x x 的商式
Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。
因此先用3
2-x 去
除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
54
1
615
12333
210
821623103
3-+++++-+++-+
∴Q=542-+x x ， R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例3、用综合除法求)23()4101173(22
3
4
-+÷-+-+x x x x x x 的商
Q 和余式R 。
解：23
1
2
3
2
323
46
69
410
1173
-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232
+-x x ， R=23-x 。
（二）、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。
余数
定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。
略证：设
R
a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式
m
x x x x x f +++-=1183)(3
45能够被x-1整除。
解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。
可得ｍ＝－17。
求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b
ax x x f +==2
)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f
①
∵
)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴b
a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b ∴
13)(2
+-=x x x f 。
注：本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即：1))(3())(2())(1(2
++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x
由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m
再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。
∴
13)(2
+-=x x x f 。