(完整word版)高三数学导数知识点归纳总结,推荐文档

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导数知识点总结

考试内容:

导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.

考试要求:

(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

知识要点:

1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆,则函数值y 也引起相应的增量

)

()(00x f x x f y -∆+=∆;比值x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00称为函数)(x f y =在点0x 到

x x ∆+0之间的平均变化率;如果极限x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0

|'x x y =,即)(0'x f =

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000. 注:

①x ∆是增量,我们也称为“改变量”,因为x ∆可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =

的定义域为B ,则A 与B 关系为

B A ⊇.

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系:

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.

可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ∆+=0,则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim

0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x

x x

y ∆∆=∆∆||,

当x ∆>0时,1=∆∆x

y ;当x ∆<0时,1-=∆∆x y ,故

x y

x ∆∆→∆0lim

不存在.

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义:

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则:

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=(c 为常数)

)0(2'''

≠-=

⎪⎭

⎝⎛v v u v vu v u 注:

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如:设x

x x f 2sin 2)(+=,x

x x g 2cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,

但它们和=+)()(x g x f

x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性:

⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果

)('x f >0,则)(x f y =为增函数;如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数.

⑵常数的判定方法;

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数.

注:①0)(φx f 是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在

),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ,有一个点例外即

x =0时f (x ) = 0,同

样0)(πx f 是f (x )递减的充分非必要条件.

②一般地,如果f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.

7. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时,

①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号,而不是

)('x f =0

. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极

值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).

注①: 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数3)(x x f y ==

,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点.

②例如:函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点.

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