第6章 随机变量及其分布
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更全面地把握您随的文机现象的统计规律。从推断统计 字
学的角度看，随机变量是刻画总体数据统计分布
规律主要的数学标题工具。
目
1
6.1 随机变量
录
2
6.2离散型随机变量
3
6.3随机变量的分布函数
4
6.4 连续型随机变量
6.5 随机变量的数字特征
6.6 Excel操作
6.1
随机变量
random variable
6.3.1经验分布函数
（1） 0 Fn (x) 1；（2） Fn (x) 是非减函数；（3） Fn () 0, Fn () 1 ； （4） Fn (x) 在每个观测值 x(i) 处是右连续的，点 x(i) 是 Fn (x) 的跳跃间断点， Fn (x) 在 该点的跃度就是频率 fi （ i 1, 2,L , k ）。
分布函数有如下的基本性质：
性质 1 单调性：F(x) 是定义在 (, ) 上的单调不减函数。即对任意实数 x1 ，x2, 如
果 x1 x2 ，则有 F(x1) F(x2) ；
性质 2 有界性：对任意实数 x ，有 0 F(x) 1，且
F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ；
1, 第i次试验中结果A出现 Xi 0，第i次试验中结果A不出现 则 Xi ~ b(1, p) ，根据 X 和 X1, X2,L , Xn 的定义，显然有
X X1 X2 L Xn 这个式子表明，一个服从二项分布的随机变量可以表示成 n 个相互独立且服从 0 1分
布的随机变量之和，这是一个重要的结果。
P{x1 X x2} P( X x2 ) P( X x1)
F (x2 ) F (x1)
x2 f (t)dt
x1
由此可知，当连续型随机变量 X 的密度函数 f (x) 已知时， X 在任意区间 (x1, x2 ] 上取值的
概率可以用牛顿-莱布尼兹公式计算，即
P{x1 X x2}
随机变量 X 的概率分布也可用表格形式表示
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
易知 X 的概率分布有如下性质：
性质 1 pi 0 (i 1, 2,L ) ；
性质 2 pi 1 。 i 1
pi
…
6.2.1离散型随机变量的概率分布
例 6-4 已知随机变量 X 只能取-1、0、1、2 四个值，相应概率依次为 1 、 3 、5 、 7 。 2c 4c 8c 16c
这里之所以称为二项分布，是因为 P{X k} Cnk pk (1 p)nk ，（k=0,1,2,…,n）恰好 是二项式(p+q)n 展开式的通项，其中 q 1 p 。
显然，二项分布的概率分布满足 P{X k} 0 ，并且
n
Cnk p k q nk ( p q)n 1
k 0
当 n 1时，二项分布 b(1, p) 就是参数为 p 的 0 1分布，即 0 1分布是二项分布的特例。
因此我们可以利用微积分的方法来全面研究随机变量。
粗略地说，随机变量的分布函数就是“累计概率”。对于任意实数 x ，随机变量（总体） X 的分布函数 F(x) P{X x}是事件{X x}的概率，即随机变量 X 的“累计概率”
6.3.2随机变量的分布函数
经验分布函数与 分布函数的关系
6.3.2随机变量的分布函数
值，按由小到大的顺序依次记为 x(1) , x(2) ,L , x(k) ，k n ，并假设各个 x(i) 出现的频数为 ni ，
则各个 x(i) 出现的频率为
显然有
fi
ni n
，i
1, 2,L
,k
，k
n
k
k
ni n ， fi 1
i 1
i 1
设函数
0,
Fn
(
x)
i
fj,
j1
1,
i 1, 2,L , k 1
(continuous random variables)
1. 随机变量 X 取无限不可列值
2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内或若干区间内的任意点
3. 连续型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查一批电子元件 使用寿命(小时)
X0
新建一座住宅楼
半年后工程完成的百分比 0 X 100
6.1随机变量
例 6-2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T 出现的情况，其样本空间
={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}
设 X 表示每次试验出现正面的总次数，则 X 是随机变量。X X () 作为样本空间 上
的函数，其取值列表如下：
HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
6.3.2随机变量的分布函数
定义 6.6 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 F(x) P{X x}
称为随机变量 X 的分布函数（distribution function）。
这个函数具有双重含义:一方面，它完整地描述了随机变量的统计规律性，根据分布函
数可以算得与随机变量 X 有关事件的概率。另一方面，这个分布函数就是普通的实函数，
例 6-8 已知某类产品的次品率为 0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查 20 件，问恰
好有 k 件（ k 1,2,,20 ）次品的概率是多少?
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
项分布 b(n, p) 和 0 1分布 b(1, p) 有着密切的关系。仍设随机试验只有两个可能结果： A 和 A ，且 P(A) p 。现将试验独立进行 n 次，记 X 为 n 次试验中结果 A 出现的次数， 则 X ~ b(n, p) 。若记 Xi 为第 i 次试验中结果 A 出现的次数，即
（1）确定变量 X 的具体分布； (2)计算概率 P{X 0}及 P{X 0}。
例 6-5 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台和第二台机器发生故障的概率分
别为 0.1，0.2。以 X 表示系统中发生故障的机器数，求 X 的分布律。
6.2.1离散型随机变量的概率分布
图6-2 概率与频率对比图
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
2. 概率密度函数
定义 6.7 设 X 为连续型随机变量，如果存在非负可积函数 f (x)，使得对于任意的实
数 x1, x2 (x1 x2 ) ,都有
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
成立，则称 f (x) 称为 X 的概率密度函数（density function），简称为 X 的概率密度。
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
1. 两点分布
定义 6.3 若随机变量 X 只有两个可能取值，且其概率分布为 P{X x1} p, P{X x2} 1 p (0 p 1)
称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（two-point distribution）。
特别地，当 x1 1, x2 0 时，该两点分布也称为 0 1分布。其概率分布为
形）的面积，这个面积可视为形成密度曲线 y f (x) 的频率直方图在区间 (x, x x] 上取
值的频率。
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由微积分学基本定理，在 f (x) 的连续点处，必有 F(x) f (x) ，即分布函数 F x 是
密度函数 f (x) 的一个原函数。进一步，还有
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
例 6-6 已知 100 个产品中有 5 个次品，现从中有放回地取 3 次，每次任取一个，求所取 的 3 个中恰有 2 个次品的概率。
例 6-7 某导弹发射塔发射导弹的成功率为 0.9，求在 10 次发射中， （1）至少成功 2 次的概率；（2）至多成功 8 次的概率。
6.3
随机变量的分布函数
distribution function
6.3.1经验分布函数
设从总体中抽取容量为 n 的样本，样本观测值为 x1, x2,L , xn ，如果样本容量 n 较大，
则相同的观测值可能重复出现若干次。假如在 n 个样本观测值 x1, x2,L , xn 中有 k 个不同的
特别地，用一个变量X来描述某个随机
试验的所有可能结果，这个变量就是随机 变量。
根据取值情况的不同，随机变量可以分为： 离散型随机变量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
1. 随机变量 X 取有限个值或无限可列值（可 以逐个列举出来 X1 , X2，…）
X
3
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
2
1
1
1
0
易见，使 X 取值为 2 的样本点构成的子集为
A {HHT，HTH，THH}，
故
P{X 2} P(A) 3 / 8
类似地， P{X 1} P{HTT，THT，TTH，TTT} 4 / 8
随机变量的概念
什么是随机变量 随机变量就是其取值带有随机性的变量。在给
定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能 由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。
概率密度函数具有如下性质：
（1）f (x)≥0，即概率密度曲线 y=f (x)位于 x 轴上方；
（2） f (x)dx 1，即概率密度曲线 y=f (x)与 x 轴围成的图形的面积等于 1（如图 6-8
所示）。
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由密度函数的定义， X 落在任意区间 (x1, x2] 上的概率 P{x1 X x2}等于区间 (x1, x2] 上
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1； 0 p 1
或者表示为如下表格形式:
X0
1
P
1 p
p
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
2. 二项分布
定义 6.4 若随机变量 X 的概率分布为 P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， 0<p<1， k=0,1,2,…,n
则称 X 服从参数为 n ， p 的二项分布（binomial distribution），记作 X ~ b(n, p) 。
测量一个产品的长度 测量误差(cm)
X0
6.2
离散型随机变量
Discrete random variable
6.2.1离散型随机变量的概率分布
定义 6.2 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 xi (i 1, 2,L ) ，相应的概率为
P{X xi} pi ， i 1, 2,L 称上述这组概率为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律（probability distribution）。
2. 以确定的概率取这些不同的值 3. 离散型随机变量的一些例子
试验
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
随机变量
可能的取值
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
0,1,2, …,100 0,1,2,3， … 0,1, 2,3，… 男性为0,女性为1
连续型随机变量
x2 f (x)dx F
x1
x
x2 x1
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
统计学原理
第6章 随机变量及其分布
随机变量
许多统计变量的取值依赖于随机试验或随机
抽样的结1果，这类变量的取值具有不确定性，通
常们被无称法请您为事输的字随先入文 机预变知量随机。请输3变与入量普的通确变2切量取所值不同，的但是可
，人 以研
您的文
究其取值的统计规律字性。引入随机变量之后，我
们就能够将随机4 事件进行定量分析 ，从而更系统
x
x
性质 3 右连续性： F(x) 在任何点 x 处右连续，即 F(x 0) F(x) ；
性质 4 对于任意实数 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， X 落在区间 (x1, x2 ] 的概率为 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2) F(x1)
6.4
连续型随机变量
Continuous random variable
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
1.频率直方图
直方图上方的曲线与直方图本身都能够反映样本数据的分布状态。随 着样本容量的持续增大以及分组的不断加细（组距越来越小），这条 曲线线就能够更准确的刻画总体数据的分布形态，这就是引入概率密 度函数（曲线）的统计意义。
曲线 f (x) 之下的曲边梯形的面积,即 P(x1 X x2)
x2 f (x)dx ，
x1
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由 微 积 分 知 识 ， 当 x 充 分 小 时 ， 随 机 变 量 X 落 在 区 间 (x, x x] 上 的 概 率
P{x X x x} xx f (x)dx f (x)x 。而 f (x)x 恰好等于图 6-10 中阴影部分（矩 x
更全面地把握您随的文机现象的统计规律。从推断统计 字
学的角度看，随机变量是刻画总体数据统计分布
规律主要的数学标题工具。
目
1
6.1 随机变量
录
2
6.2离散型随机变量
3
6.3随机变量的分布函数
4
6.4 连续型随机变量
6.5 随机变量的数字特征
6.6 Excel操作
6.1
随机变量
random variable
6.3.1经验分布函数
（1） 0 Fn (x) 1；（2） Fn (x) 是非减函数；（3） Fn () 0, Fn () 1 ； （4） Fn (x) 在每个观测值 x(i) 处是右连续的，点 x(i) 是 Fn (x) 的跳跃间断点， Fn (x) 在 该点的跃度就是频率 fi （ i 1, 2,L , k ）。
分布函数有如下的基本性质：
性质 1 单调性：F(x) 是定义在 (, ) 上的单调不减函数。即对任意实数 x1 ，x2, 如
果 x1 x2 ，则有 F(x1) F(x2) ；
性质 2 有界性：对任意实数 x ，有 0 F(x) 1，且
F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ；
1, 第i次试验中结果A出现 Xi 0，第i次试验中结果A不出现 则 Xi ~ b(1, p) ，根据 X 和 X1, X2,L , Xn 的定义，显然有
X X1 X2 L Xn 这个式子表明，一个服从二项分布的随机变量可以表示成 n 个相互独立且服从 0 1分
布的随机变量之和，这是一个重要的结果。
P{x1 X x2} P( X x2 ) P( X x1)
F (x2 ) F (x1)
x2 f (t)dt
x1
由此可知，当连续型随机变量 X 的密度函数 f (x) 已知时， X 在任意区间 (x1, x2 ] 上取值的
概率可以用牛顿-莱布尼兹公式计算，即
P{x1 X x2}
随机变量 X 的概率分布也可用表格形式表示
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
易知 X 的概率分布有如下性质：
性质 1 pi 0 (i 1, 2,L ) ；
性质 2 pi 1 。 i 1
pi
…
6.2.1离散型随机变量的概率分布
例 6-4 已知随机变量 X 只能取-1、0、1、2 四个值，相应概率依次为 1 、 3 、5 、 7 。 2c 4c 8c 16c
这里之所以称为二项分布，是因为 P{X k} Cnk pk (1 p)nk ，（k=0,1,2,…,n）恰好 是二项式(p+q)n 展开式的通项，其中 q 1 p 。
显然，二项分布的概率分布满足 P{X k} 0 ，并且
n
Cnk p k q nk ( p q)n 1
k 0
当 n 1时，二项分布 b(1, p) 就是参数为 p 的 0 1分布，即 0 1分布是二项分布的特例。
因此我们可以利用微积分的方法来全面研究随机变量。
粗略地说，随机变量的分布函数就是“累计概率”。对于任意实数 x ，随机变量（总体） X 的分布函数 F(x) P{X x}是事件{X x}的概率，即随机变量 X 的“累计概率”
6.3.2随机变量的分布函数
经验分布函数与 分布函数的关系
6.3.2随机变量的分布函数
值，按由小到大的顺序依次记为 x(1) , x(2) ,L , x(k) ，k n ，并假设各个 x(i) 出现的频数为 ni ，
则各个 x(i) 出现的频率为
显然有
fi
ni n
，i
1, 2,L
,k
，k
n
k
k
ni n ， fi 1
i 1
i 1
设函数
0,
Fn
(
x)
i
fj,
j1
1,
i 1, 2,L , k 1
(continuous random variables)
1. 随机变量 X 取无限不可列值
2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内或若干区间内的任意点
3. 连续型随机变量的一些例子
试验
随机变量
可能的取值
抽查一批电子元件 使用寿命(小时)
X0
新建一座住宅楼
半年后工程完成的百分比 0 X 100
6.1随机变量
例 6-2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面 H、反面 T 出现的情况，其样本空间
={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}
设 X 表示每次试验出现正面的总次数，则 X 是随机变量。X X () 作为样本空间 上
的函数，其取值列表如下：
HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
6.3.2随机变量的分布函数
定义 6.6 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 F(x) P{X x}
称为随机变量 X 的分布函数（distribution function）。
这个函数具有双重含义:一方面，它完整地描述了随机变量的统计规律性，根据分布函
数可以算得与随机变量 X 有关事件的概率。另一方面，这个分布函数就是普通的实函数，
例 6-8 已知某类产品的次品率为 0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查 20 件，问恰
好有 k 件（ k 1,2,,20 ）次品的概率是多少?
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
项分布 b(n, p) 和 0 1分布 b(1, p) 有着密切的关系。仍设随机试验只有两个可能结果： A 和 A ，且 P(A) p 。现将试验独立进行 n 次，记 X 为 n 次试验中结果 A 出现的次数， 则 X ~ b(n, p) 。若记 Xi 为第 i 次试验中结果 A 出现的次数，即
（1）确定变量 X 的具体分布； (2)计算概率 P{X 0}及 P{X 0}。
例 6-5 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台和第二台机器发生故障的概率分
别为 0.1，0.2。以 X 表示系统中发生故障的机器数，求 X 的分布律。
6.2.1离散型随机变量的概率分布
图6-2 概率与频率对比图
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
2. 概率密度函数
定义 6.7 设 X 为连续型随机变量，如果存在非负可积函数 f (x)，使得对于任意的实
数 x1, x2 (x1 x2 ) ,都有
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
成立，则称 f (x) 称为 X 的概率密度函数（density function），简称为 X 的概率密度。
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
1. 两点分布
定义 6.3 若随机变量 X 只有两个可能取值，且其概率分布为 P{X x1} p, P{X x2} 1 p (0 p 1)
称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（two-point distribution）。
特别地，当 x1 1, x2 0 时，该两点分布也称为 0 1分布。其概率分布为
形）的面积，这个面积可视为形成密度曲线 y f (x) 的频率直方图在区间 (x, x x] 上取
值的频率。
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由微积分学基本定理，在 f (x) 的连续点处，必有 F(x) f (x) ，即分布函数 F x 是
密度函数 f (x) 的一个原函数。进一步，还有
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
例 6-6 已知 100 个产品中有 5 个次品，现从中有放回地取 3 次，每次任取一个，求所取 的 3 个中恰有 2 个次品的概率。
例 6-7 某导弹发射塔发射导弹的成功率为 0.9，求在 10 次发射中， （1）至少成功 2 次的概率；（2）至多成功 8 次的概率。
6.3
随机变量的分布函数
distribution function
6.3.1经验分布函数
设从总体中抽取容量为 n 的样本，样本观测值为 x1, x2,L , xn ，如果样本容量 n 较大，
则相同的观测值可能重复出现若干次。假如在 n 个样本观测值 x1, x2,L , xn 中有 k 个不同的
特别地，用一个变量X来描述某个随机
试验的所有可能结果，这个变量就是随机 变量。
根据取值情况的不同，随机变量可以分为： 离散型随机变量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
1. 随机变量 X 取有限个值或无限可列值（可 以逐个列举出来 X1 , X2，…）
X
3
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
2
1
1
1
0
易见，使 X 取值为 2 的样本点构成的子集为
A {HHT，HTH，THH}，
故
P{X 2} P(A) 3 / 8
类似地， P{X 1} P{HTT，THT，TTH，TTT} 4 / 8
随机变量的概念
什么是随机变量 随机变量就是其取值带有随机性的变量。在给
定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能 由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。
概率密度函数具有如下性质：
（1）f (x)≥0，即概率密度曲线 y=f (x)位于 x 轴上方；
（2） f (x)dx 1，即概率密度曲线 y=f (x)与 x 轴围成的图形的面积等于 1（如图 6-8
所示）。
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由密度函数的定义， X 落在任意区间 (x1, x2] 上的概率 P{x1 X x2}等于区间 (x1, x2] 上
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1； 0 p 1
或者表示为如下表格形式:
X0
1
P
1 p
p
6.2.2常用离散型随机变量的概率分布
2. 二项分布
定义 6.4 若随机变量 X 的概率分布为 P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， 0<p<1， k=0,1,2,…,n
则称 X 服从参数为 n ， p 的二项分布（binomial distribution），记作 X ~ b(n, p) 。
测量一个产品的长度 测量误差(cm)
X0
6.2
离散型随机变量
Discrete random variable
6.2.1离散型随机变量的概率分布
定义 6.2 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 xi (i 1, 2,L ) ，相应的概率为
P{X xi} pi ， i 1, 2,L 称上述这组概率为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律（probability distribution）。
2. 以确定的概率取这些不同的值 3. 离散型随机变量的一些例子
试验
抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车
随机变量
可能的取值
取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别
0,1,2, …,100 0,1,2,3， … 0,1, 2,3，… 男性为0,女性为1
连续型随机变量
x2 f (x)dx F
x1
x
x2 x1
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
统计学原理
第6章 随机变量及其分布
随机变量
许多统计变量的取值依赖于随机试验或随机
抽样的结1果，这类变量的取值具有不确定性，通
常们被无称法请您为事输的字随先入文 机预变知量随机。请输3变与入量普的通确变2切量取所值不同，的但是可
，人 以研
您的文
究其取值的统计规律字性。引入随机变量之后，我
们就能够将随机4 事件进行定量分析 ，从而更系统
x
x
性质 3 右连续性： F(x) 在任何点 x 处右连续，即 F(x 0) F(x) ；
性质 4 对于任意实数 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， X 落在区间 (x1, x2 ] 的概率为 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2) F(x1)
6.4
连续型随机变量
Continuous random variable
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
1.频率直方图
直方图上方的曲线与直方图本身都能够反映样本数据的分布状态。随 着样本容量的持续增大以及分组的不断加细（组距越来越小），这条 曲线线就能够更准确的刻画总体数据的分布形态，这就是引入概率密 度函数（曲线）的统计意义。
曲线 f (x) 之下的曲边梯形的面积,即 P(x1 X x2)
x2 f (x)dx ，
x1
6.4.1连续型随机变量及其概率密度
由 微 积 分 知 识 ， 当 x 充 分 小 时 ， 随 机 变 量 X 落 在 区 间 (x, x x] 上 的 概 率
P{x X x x} xx f (x)dx f (x)x 。而 f (x)x 恰好等于图 6-10 中阴影部分（矩 x