圆的有关性质
圆的有关概念及性质 课件
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
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中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
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考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
园的有关性质
在雕塑中：圆也是一种常见的形状元素，可以用于创造各种不同的纹理和效果。例如 ，古希腊雕塑家普拉克西特列斯的《赫尔墨斯像》中就运用了许多圆形来描绘赫尔墨 斯的头饰和身姿
在建筑中：圆形也是一种常见的形状元素，可以用于创造各种不同的建筑风格和 效果。例如，罗马斗兽场的建筑风格就运用了许多圆形来描绘观众席和表演场地
在日常生活中：圆形物品的制造和设计也十分常见，如餐具（碗、盘子）、家电（电 灯泡、风扇）、工艺品等。此外，圆形在自然界中也很常见，如星球、花朵、昆虫的 复眼等
在物理学中：许多自然现象可以用圆形来描述，例如行星运动轨迹、电磁波传播方向 等。同时，许多物理实验也涉及到圆形的设置和测量，例如测量重力加速度、磁场强 度等
园的有关性质
圆的特性
目录
圆的应用
圆的特性
1
1.1 圆的位置特性
圆是平面内与一个定点（通常为原点） 距离等于定长的所有点的集合：定长称 为半径
圆的位置由圆心决定：圆心是圆上任意 两点的中垂线的交点
圆心到圆上任意一点的距离都相等
1.2 圆的特性
圆是一个连续曲线：没有断裂，因此它 没有拐点
圆是一个封闭图形：没有开口或断裂的 地方
在地理学中：地球的形状是一个类球体，采用椭圆形来描述其形态。此外，河流和海 洋的形态也是采用圆形或类圆形来描述的
THANKS
圆的应用
2
2.1 几何学中的应用
圆是几何学中最基本和最重要的图形之 一
圆的位置和形状可以通过从不同角度截 取线段和图形得到
在解析几何中：圆可以用方程来表示， 从而可以方便地研究它的性质和与其它 图形的交点
圆的基本性质
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
圆的基本性质
圆的切线性质
定义
与圆只有一个公共点的直线叫圆的 切线
定理1
圆的切线垂直于经过切点的半径
定理2
圆的切线平分切点和圆心之间的线 段
定理3
圆的切线是曲线上圆在几何中的应用
确定弧长和角度
圆是一个基本的几何图形，在研究弧长、角度和面积等方面 有着广泛应用。
定义
圆的直径是圆内任意两点的最长距离
定理1
圆的直径平分圆周角
定理2
圆的直径是圆内接正多边形的边长
定理3
圆内任意一条直径所在的直线垂直于圆周
圆的中垂线性质
定义
垂直平分圆周的直线叫圆的中垂线
定理2
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆内接 正多边形的边心距
定理1
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆的半 径
定理3
圆在生活中的应用
工程设计
在工程设计中，经常需要使用圆形零件，如轴承、齿轮等，利用圆的性质可以更 好地设计出这些零件。
测量
圆的周长和面积的计算在生活中也有很多应用，例如测量圆形物体的周长和面积 等。
THANKS
感谢观看
证明定理
圆中的定理如帕斯卡定理、蝴蝶定理等，在证明其他几何结 论时有着重要作用。
圆在代数中的应用
求解方程
圆的一般方程为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过求解方程可以得出圆心坐 标和半径长度。
研究函数
圆在函数中也常出现，例如圆心在原点的圆的一般方程是 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过研究函数的性质可以得出更多的结论。
圆的直径是圆周上任意两点间的距离。 圆具有封闭性，即圆的边界是封闭曲线。
圆的定义及其性质
圆的定义及其性质圆是几何中重要的图形之一，被广泛应用于各个科学领域中。
本文将介绍圆的定义、圆的性质，以及圆相关的应用领域和实例。
一、圆的定义圆是一个平面内所有距离 equidistant（简称“等距”）于给定点的点的轨迹。
这个点被称作圆心，等距距离为圆的半径。
因此，圆的定义可表示为：圆是以圆心为中心，半径为 r 的所有点的集合。
二、圆的性质1.圆是所有直径相等的图形中，面积最大的。
2.在同一圆中，所有的弦都相等。
3.圆上每个点与圆心的距离相等。
4.一个圆的周长是2πr，其中 r 表示圆的半径。
5.较大的圆可被拆分为多个较小的圆组成，而小的圆则可以组合成较大的圆形。
6.圆内的所有角都是直角。
三、圆的应用1. 圆在建筑和工程中常用于计算圆形地基的尺寸和形状。
2. 圆形面积的计算可以在数学和物理中应用，例如，利用圆的面积计算管道的计算和城市建设中的土地分配。
3. 光学中有一个基本的圆形焦点概念，其中光源和接收器之间的距离被称为焦距。
4. 圆的范围也超出数学和物理学。
它常常在艺术中应用，被用于建立圆盘和圆弧的对称性，也是一些流行的图案和装置的构成元素。
四、圆的实例1. 直升机旋转的脸部估计(利用圆轨迹）。
2. 车辆编队目标跟踪(利用圆弧拟合）。
3. 地图中的航线和航空母舰轮廓。
4. 金属轮毂的制造和调整需要用到圆的概念。
结语：圆在我们日常生活中扮演着不可忽视的角色，并且在各种科学领域中广泛应用。
从上文介绍的内容中我们可以了解到圆的定义、性质和应用，以及了解到如何在实际应用中利用和应用圆形。
随着技术的不断创新和发展，圆的概念和应用也将变得更加重要和广泛。
圆的基本性质与定理
圆的基本性质与定理一有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段,以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆.圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧. ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角.90度的圆周角所对的弦是直径. 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍. ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆.外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等.③R=2S△÷L（R：内切圆半径,S：三角形面积,L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点. （4）如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦. （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半. （9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半.〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（3）圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角. 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) [编辑本段]【圆的解析几何性质和定理】〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. 圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）.其中和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2.该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F. 圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r. 经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0,b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 〖圆与直线的位置关系判断〗平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0,可得y=（-C-Ax）／B,（其中B不等于0）,代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
圆形的性质与应用
圆形的性质与应用圆形是几何学中最基本的形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
无论是数学、物理还是工程领域，圆形都扮演着至关重要的角色。
在本文中，我们将介绍圆形的几个性质，并探讨一些实际应用。
一、圆形的性质1. 圆周率（π）圆形的一个重要性质是它的周长与直径之间的关系。
在任何一个圆中，圆周长度都是直径长度的约3.14159倍，这个比例被称为圆周率π。
π是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。
2. 半径（r）和直径（d）圆形也有两个重要的长度特征，即半径和直径。
半径是从圆心到圆周上的任意一点的距离，而直径则是通过圆心的两个相对点之间的距离。
直径是半径的两倍。
3. 圆心和圆周圆形由一个中心点（圆心）和与圆心等距的所有点（圆周）组成。
圆心是圆形的对称中心，对于所有的点来说，到圆心的距离都是相等的。
4. 弧度制在讨论圆形时，经常使用弧度制来度量角度。
一圆周含有360度，但在弧度制中，一个完整的圆周被定义为2π弧度。
因此，一个角度等于π/180弧度。
二、圆形的应用1. 圆形的几何应用圆形在几何学中有广泛的应用。
它是许多数学证明和定理的基础，如圆的面积和周长的计算，切线与弧的关系等等。
圆形还被广泛应用于测量和绘图中，例如绘制圆弧、圆形曲线等。
2. 圆形的物理应用圆形在物理学中也发挥着重要作用。
物体的运动轨迹往往是圆形，如行星绕太阳的轨道、电子绕原子核的轨道等。
圆形的对称性也使得它在电磁学和光学中得到广泛应用，例如光学透镜。
3. 圆形的工程应用圆形在工程领域的应用是多种多样的。
圆形的结构具有坚固和稳定的特性，因此在建筑和桥梁设计中被广泛采用。
汽车零部件如轮胎、刹车盘等也常采用圆形设计，以提供更好的性能和安全性。
4. 圆形的计算机图形学应用在计算机图形学中，圆形是绘制和渲染二维和三维图形的基本形状之一。
通过数学算法和计算机技术，我们可以轻松绘制出精确的圆形，使图形更加逼真和真实。
总结：圆形的性质和应用在数学、物理和工程等领域都起着重要作用。
圆的概念及性质
一、圆的相关概念1. 圆的定义（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1. 旋转对称性（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，圆的概念及性质A注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2） 推论1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( )D（8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B =B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为____________．【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．图1图2ON MHGFE DCB A二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【巩固】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例6】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【巩固】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒OA【巩固】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．DCABCOA【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例9】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例10】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDCB A【例11】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（ ）B.4D.5CA【巩固】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径为______cm ．【巩固】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【例12】如图，ABC，重合)，△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与A B 设OABα∠=，Cβ∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；【巩固】如图，O⊙分成度数比为12⊙相交于B、C两点，BC是P⊙与P⊙的直径，且把O∶的两条弧，A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P⊙于D、E两点．（1）当ABC∆是钝角三角形时，判断PDE∆的形状．（2）当ABC∆是直角三角形时，判断PDE∆的形状．（3）当ABC∆是锐角三角形时，判断PDE∆的形状．这种情况加以证明．【例13】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D（如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABCD OS 1S 2【巩固】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CDPG FEDCBA【例14】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．B【巩固】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、．⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．B【例15】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．E DCBA【巩固】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例16】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例17】 已知AD 是O ⊙的直经，AB AC 、是弦，若2AD AB AC ===，求由A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD 的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．CA【例18】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例19】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BCD【巩固】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线AB，分别与CE、CF的延长线相交于A、B，求证：33BF BCAE AC=．A3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】在同圆中，CD的度数小于180︒，且2=，那么弦AB和弦CD的大小关系为（）AB CDA．AB CD< D．无法确定= C．AB CD> B．AB CD【巩固】如图所示在O=，那么（）AB CD⊙中，2<> B.2AB CDAB CDA.2AB CD= D.AB与2CD的大小关系不能确定C.2【例21】已知AB AC∥交AC于P，求证：OP⊙于D，弦DE AB、是O⊙的弦，AD平分BAC∠交O平分APD∠．C【巩固】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．A【例22】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．dN cb aN【巩固】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例23】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根． ⑴ 求证：AE BD =；⑵若ACBC ⊥，求证：AD BD +．使得BFC BAD∠=∠．若2BAD DFC∠=∠，求BEDE的值．图 4FEDCBA【例24】已知：如图，D是Rt ABC∆中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E，连结EC交此圆于点F，BF交AC于点G．求证：GF CA CF EA⋅=⋅．【巩固】AB是半圆的直径，C点在圆上，过点A、B分别作过C点的切线的垂线AD、BE，D、E为垂足，求证：24=⋅．DE AD DEA三、垂径定理【例25】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对【巩固】下列判断中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦A ．80︒B ．50︒C ．40︒D ．20︒D【巩固】如图，ABC △内接于O ，点D 是CA 延长线上一点，若120BOC ∠=︒，则BAD ∠等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【例27】 如图，AB O ⊙是的直径，弦CD AB ⊥于E ，30CDB ∠=°，O ，则弦CD的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cmC ABOE D半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD DB = B ．AE EB =C ．1OD = D．ABE【例28】 如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【巩固】如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9【例29】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．B 【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C D、两点，42AB CD==，，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．【例30】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．【巩固】O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【巩固】若O⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为，则O⊙的半径是_______．【例31】如图，已知O⊙的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．【巩固】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【例32】如图，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A BC．D．【巩固】如图所示，ABC∆中，10AB AC==，12BC=，求其外接圆的半径．CBA【例33】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米 B．8米 C．7米 D．DCBA【巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽16cmAB=，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【例34】如图所示，在Rt ABC∆中90C∠=︒，AC1BC=，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．PCBA【巩固】如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．DC B AO【例35】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、BAC ∠的度数为________．【巩固】如图所示，已知O ⊙的直径AB 和弦CD 相交于点E ，6cm AE =，2cm EB =，30BED ∠=︒，求CD 的长．BA【例36】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【巩固】已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．图(4)图(3)图(2)图(1)【例37】 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．（1）若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．【巩固】如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC ，，．（1）求证：ACO BCD ∠=∠．（2）若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．B【例38】 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．【巩固】如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．B【例39】 如图，AE CD ，是O 的两条直径，弦AB CD ⊥，BC DE ，交于点F ，求证：OF AB ∥．OF EDCBA【巩固】当AB CD ，是O 的直径，弦CF AP ∥，BF PD ，相交于点E ，求证：OE PA ∥．OPFEDCBA【例40】 如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B ，到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h -等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B【巩固】如图，O 的直径15AB cm =，有一条定长为9cm 的动弦CD 在AmB 上滑动（点C 与A ，点D与点B不重合），且CE CD⊥交AB于E，DF CD⊥交AB于F．（1）求证：AE BF=．（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【例41】如图，半径为O⊙内有互相垂直的两条弦AB CD、相交于P点．（1）求证：PA PB PC PD⋅=⋅；（2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF AD⊥；（3）若86AB CD==，，求OP的长．B【巩固】如图，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上的任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H连接AC CF BD OD，，，．（1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S =△△？并加以说明．FB【例42】 （1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是ABC △的面积的13．A【例43】 如图，AM 是O ⊙的直径，过O ⊙上一点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，其延长线交O ⊙于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑴ 如果CD AB ⊥，求证：EN NM =；⑵ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD AB =，求证：2CE EF ED =⋅ ．M【例44】 如图，Rt ABC ∆内接于O ⊙，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD 与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． ⑴判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；⑵求证：AE BF =；⑶若(32OG DE ⋅=，求O ⊙的面积．B1.如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．A2.如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3.如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P4.如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒B ．40︒C ．30︒D ．50︒E 5.如图，已知AB为⊙O的直径，20∠=______．∠=︒，则CBEDBC∠=︒，50E6.如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，若C D E∠∠∠，求A B==+∠∠．AB 7.如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若CD E∠∠∠，求A B==∠∠．+BA8.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．9.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．B10.已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．11.已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．12.如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．PEC B A13.如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =求PC 的长．P DCBA14.如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．15.已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A16.如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于 ．A ． 60° B． 90° C． 120° D． 150°mOBA17.如图所示，AB 是O 的直径，AD DE =，AE 与BD 交于点C ，则图中与BCE ∠相等的角有（ ）OEDCBAA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18.O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度数为_____________．19.若O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为123，则O ⊙的半径是_______．20.如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD BD =B ．ACB AOE ∠=∠C ．AE BE =D ．OD DE =OED CB A21.O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是__________．22.如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．OGFE B23.如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC 的中点，MN AB ⊥于N ，则MN 与AC 的关系是___________．ONMCA24.已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．25.把正ABC ∆的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点'A 上，若5BC =，则折痕在ABC ∆内的部分长为（ ）A ．B ．103C D ．5226.如图，O 的半径为5，BC OA OD AB ⊥⊥，，求22OD CD +的值．27.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD AB∥，且24mCD=，OE CD⊥于点E．已测得12 sin13DOE∠=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？BA28.如图，P为O⊙外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M N，分别是AB CD，的中点，连结MN交AB，CD与E F，．求证：PEF∆为等腰三角形．MD 29.如图，AD是O⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3BB C 230.已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝．（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．AMNA31.如图，在O 中，60ACB BDC ∠=∠=︒，AC =．（1）求BAC ∠的度数；（2）求O的周长．D32.如图，AB是O⊙的直径，BC是弦，OD BC⊥于E，交BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若8⊙的半径．BC=，2ED=，求OD33.圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．A34.如图，在O的内接ABCAD=，设O的半径⊥于D，且3AB AC△中，12+=，AD BC为y，AB的长为x．（1）求y与x的函数关系式．（2）当AB的长为多少时，O的面积最大？并求出O最大面积．。
圆的概念及性质
圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
圆的基本性质
圆的基本性质
1 圆的概念
圆是这样一种几何形状，它的特点是沿着一个完美的圆弧，所有距离它中心点的距离都是相等的。
圆的英文名字是circle，它的半径是圆的一个重要的基本概念，由它构成。
2 圆的基本性质
（1）圆的中心点。
圆的中心点是指圆的左右两侧的点的位置，也就是圆的基本位置。
（2）圆的外切矩形。
圆的外切矩形是圆的外围定义出的矩形，即圆的正视图形：它是一个有两条边的矩形，与圆弧围成了一个空间图形。
（3）圆形面积。
圆形面积是指一个圆内部的面积，它是与半径相关的定量特性，它可以用“角度”来近似描述，但可以实际测量圆弧和圆心之间的距离求出准确的圆形面积。
（4）圆的周长。
圆的周长是指圆的围成的周长，它是等于圆弧形长度乘以半径的积，公式为：2πr=2πR（R为圆的半径）。
（5）圆的曲率。
圆的曲率是指圆的弧线的曲率，也就是圆弧形上一点处的曲率，其定义为：曲率=∆l÷∆s（∆l为圆弧的余弦值；∆s为弧的长度）。
通过以上描述，我们可以了解到圆的基本性质。
圆是一种十分美丽且有规律性的几何形状，可以用于制作各种精美的艺术品和实用仪器，从而在各类领域中发挥多种k作用。
圆的有关概念及性质
圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。
2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。
【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是初等几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和重要的应用价值。
本文将介绍圆的概念和性质，并探讨它在现实生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面上的一点到另一点距离不变的点集合。
其中，确定圆的两个点是圆心和圆上的任意一点，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。
用数学符号表示，圆可以写为O(A,r)，其中O表示圆心，A 表示圆上的一点，r表示圆的半径。
二、圆的性质1. 圆周与圆心之间的关系：圆周上的点与圆心的距离都相等，即圆周上的任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径和半径：圆的直径是通过圆心，并且两端点同时在圆周上的线段，直径的长度是半径的两倍。
即d = 2r。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆周的长度，记为C，可以通过公式C = 2πr计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159，它代表圆周率。
圆的面积是指圆内部的所有点的集合，记为S，可以通过公式S = πr²计算得到。
4. 弧、弦和扇形：圆周上的弧是由两个点确定的圆上的一段弧线，弧的长度与圆的周长成比例。
圆上两点间的线段称为弦，弦的长度小于或等于直径。
圆周上通过圆心的两条弦将圆分成了两个部分，每个部分叫做扇形。
扇形的面积由圆心角的大小决定。
5. 切线和切点：圆周上的一条直线称为圆的切线，切线与半径的夹角为90度，也就是说切线垂直于半径。
切点是切线与圆的交点，一个圆可能有多个切点。
三、圆的应用圆作为一种基本的几何形状，在现实生活中有许多应用，以下介绍几个常见的例子：1. 圆形建筑和雕塑：圆形的建筑和雕塑在城市的景观中非常常见，如圆形剧场、罗马竞技场等。
圆形的外形能够给人以稳定和和谐的感觉。
2. 车轮和飞盘：车轮和飞盘都是圆形的，这是因为圆形对于旋转和滚动更加稳定和效果好。
车轮的直径也决定了车辆的速度和行驶稳定性。
3. 钟表和指南针：许多钟表面和指南针刻度都是圆形的，便于阅读时间和方向。
钟表的指针也是围绕圆盘转动。
圆的特点与性质
圆的特点与性质
圆是几何中的基本图形之一，具有以下特点与性质:
1. 定义: 圆是平面上所有离一个固定点相等距离的点所组成的
集合。
这个固定点被称为圆心，固定距离被称为半径。
2. 对称性: 圆具有无限个对称轴，其中任何一条通过圆心的直
线都是圆的对称轴。
这意味着圆上的任何点关于圆心都具有对称性。
3. 直径: 圆上任意两点之间的线段称为直径，直径的长度等于
半径的两倍。
4. 弧长: 圆上两点之间的弧长是连接这两点的圆弧所对应的弧长，弧长的长度取决于弧所对应的圆心角的大小。
5. 弧度制: 弧可以用弧度来度量，弧度是一个角度制单位，等
于圆的半径上的弧长与半径的比值。
一个完整的圆对应的弧度为
2π。
6. 面积: 圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算，其中A表示面积，π是一个无理数，约等于3.，r为半径。
7. 周长: 圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，r为半径。
8. 圆与直线的交点关系: 圆与直线最多有两个交点。
如果直线经过圆心，则有无限个交点；如果直线不经过圆，则没有交点。
9. 圆与圆的位置关系: 两个圆之间有三种可能的位置关系。
它们可以相交于两个交点、内切于一个交点，或者外切于一个交点。
以上是关于圆的一些特点与性质的简要介绍。
圆在几何学中具有广泛的应用，在日常生活和工程领域中也有很多实际应用。
圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。
一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。
以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。
二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。
圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。
2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。
对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。
3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。
一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。
4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159。
5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。
三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。
1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。
2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。
此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。
3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。
此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。
总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。
了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。
无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。
同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。
关于圆的知识点
关于圆的知识点圆是平面几何中的一种基本图形，具有很多独特的性质和特征。
本文将介绍圆的定义、性质和应用，帮助读者更全面地了解圆的知识。
一、圆的定义圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点所构成的图形。
这个定点叫做圆心，距离叫做半径。
圆的符号常用字母"O"来表示圆心，半径常用字母"r"来表示。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界的长度，我们可以利用周长公式来计算圆的周长：周长 = 2πr，其中π近似取值为3.14或22/7。
圆的面积是指圆所覆盖的平面区域的大小，我们可以用面积公式来计算圆的面积：面积 = πr²。
2. 圆的直径圆的直径是指圆的两个边界点之间的直线段的长度，直径是圆的最长的线段，其长度等于圆的半径的两倍，即直径 = 2r。
3. 圆的弧圆的边界上的一段称为圆弧，圆弧的长度叫做弧长。
如果圆弧的长度正好是圆的周长的一部分，我们称它为圆周角度，它的弧长等于圆周长的1/360，即弧长= 2πr/360。
4. 圆的切线圆上的一条直线，与圆只有一个公共点，这个点叫做切点，这条直线叫做切线。
切线与半径垂直。
三、圆的应用1. 圆的几何应用圆的几何应用非常广泛，可以应用在建筑设计、道路规划、地球表面分割等方面。
例如，建筑设计中常使用圆柱体、圆锥体、圆形拱门等结构，这些结构具有稳定性和美观性。
2. 圆的数学应用圆的数学应用涉及到数学运算和数据处理。
例如，在计算机图形学中，圆经常用于绘制和处理图形，通过计算机的算法可以准确地绘制出圆的形状。
另外，圆的数学模型还广泛应用于物理学和工程学的研究和实践中。
3. 圆的日常应用圆在日常生活中也有很多应用。
例如，轮胎、圆形饼干、碗、杯子等都是圆形的，圆形的物品在制造和使用上更加方便和美观。
总之，圆是平面几何中的重要图形，具有独特的性质和广泛的应用。
通过深入了解圆的定义、性质和应用，我们能够更好地理解圆的概念，提高对几何学的理解和运用能力。
圆的特征和性质
圆的特征和性质圆是几何中常见的形状之一，具有独特的特征和性质。
本文将介绍圆的几何特征、数学性质和应用领域。
一、圆的几何特征圆是一个由无数个等距离于中心点的点所构成的闭合曲线。
以下是圆的几何特征的详细介绍：1. 半径：圆的半径是指从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的每个点都和圆心的距离相等。
2. 直径：圆的直径是指通过圆心、且两边交于圆上两点的线段。
直径是圆的最长线段，且它的长度是半径长度的两倍。
3. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
弦的长度可以小于等于直径，但永远不会大于直径。
4. 弧：圆上两点之间的一段曲线称为弧。
弧长度小于或等于圆周长，但永远不会大于圆周长。
5. 圆心角：圆心角是指圆心的两条射线所夹的角。
圆心角的度数等于它所对应的弧度数。
二、圆的数学性质除了几何特征外，圆还具有一些数学性质。
以下是一些常见的数学性质：1. 圆周率π（pi）：圆的周长与直径之比是一个恒定值，即π。
π是一个无理数，近似值约为3.14159。
2. 面积：圆的面积可以用公式A = πr²表示，其中r是半径。
圆的面积与半径的平方成正比。
3. 切线与半径的关系：切线与半径的交点处与圆相切。
切线与半径的夹角是一个直角。
4. 切线与弦的关系：切线与弦相交处的夹角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用领域圆在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些圆的应用领域的例子：1. 建筑设计：圆形的建筑物，如圆形剧院和圆形体育馆，被广泛用于建筑设计中。
2. 机械工程：轮胎、齿轮和滚动元件等机械设备常常采用圆形设计，以提供平滑的运动和减少摩擦。
3. 圆形通道和管道：圆形通道和管道在交通和供水系统中非常常见。
4. 测量和绘图：圆形仪器，如量角器和圆规，用于测量和绘图中的角度和弧。
总结：圆具有独特的几何特征和数学性质，以及广泛的应用领域。
圆的特征包括半径、直径、弦、弧和圆心角。
圆的数学性质包括π、面积和与切线、弦的关系。
圆在建筑设计、机械工程、供水系统等领域有着广泛的应用。
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圆的有关性质38．（2010 云南玉溪） 如图6，在半径为10的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ， AB ＝16，则CD的长是 ．【答案】439．（2010 天津）如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（A ）30︒ （B ）35︒ （C ）40︒ （D ）50︒【答案】C40．（2010 广西钦州市）如图，点C 在⊙O 上，∠ACB ＝50°，则∠AOB ＝_▲_°．【答案】100° 41．（2010吉林长春）如图，⊙P 与x 轴切与点O ，点P 的坐标为（0,1），点A 在⊙P 上，且在第一象限，∠APO =120°，⊙P 沿x 轴正方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点A 的横坐标为 （结果保留π）。
BC •AO 第（7）题BCADP O【答案】23x42．（2010新疆乌鲁木齐）如图4，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，若35=∠CDB°，则ABC∠的度数为。
【答案】55°43．（2010广西南宁）如图6,AB为半圆O的直径，ABOC⊥,OD平分BOC∠，交半圆于点D,AD交OC于点E，则AEO∠的度数是0【答案】67.544．（2010云南昭通）如图5，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM为3，则⊙O的半径为________．图5M BAO【答案】545．（2010贵州遵义）如图，⊿ABC内接于⊙O，∠C=40 ，则∠ABO=度.【答案】5046．（2010广西柳州）如图8，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当t值为________s时，△BEF是直角三角形．【答案】1或1.75或2.2547．（2010辽宁本溪）如图所示，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC的度数是.【答案】50°48．（2010福建南平）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，则∠BOC=_______°.答案:12049．（2010年福建省泉州）如图，点A、B、C在⊙O上，︒=∠45A，则=∠BOC .FE OACBA CBO第14题ABCO·【答案】90°50．（2010广东肇庆）如图2，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数是______度．全品中考网【答案】70°51．（2010四川广安）如右图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度．【答案】40°52．（2010吉林）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=500，动点P在弦BC上，则∠PAB可能为________度（写出一个．．符合条件的度数即可）。
【答案】53．（2010四川达州）如图6，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是cm.【答案】1054．（2010湖南娄底）如图7在半径为R 的⊙O 中，弦AB 的长与半径R 相等，C 是优弧AB ⌒上一点，则∠ACB 的度数是_______.【答案】30° 55．（2010内蒙赤峰）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于一点D ，点E 在⊙O 上，∠AED =25°，则∠OBA 的度数是___________．【答案】40o 56．（2010湖北黄石）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ,∠AOB ＝60°,则sin ∠ADC ＝.【答案】三、解答题图6图7AB CO·1．（2010甘肃兰州）（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC 中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．【答案】(1)（本小题满分4分）用尺规作出两边的垂直平分线作出圆 ⊙O 即为所求做的花园的位置.（图略） （2）（本小题满分2分） 解：∵∠BAC=90,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米∴ △ABC 外接圆的半径为5米 ∴小明家圆形花坛的面积为25 平方米 . 2．（2010江苏南通）（本小题满分8分）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足P 是OB 的中点， CD ＝6 cm ，求直径AB 的长．【答案】方法一：连结OC ，BC ，则OC =OB∵PC 垂直平分OB ，∴OC =BC .∴OC =OB =BC .∴△BOC 为等边三角形. ∴∠BOC =60° 由垂径定理，CP =12CD =3cm 在Rt △BOC 中，CPOP=tan ∠COP 3 ∴OP 3∴AB =2OB =4OP 3方法二：OBADC· P （第20题）解：连OC ，设OP 为x ，则OC 为2x ，直径AB 为4x ， 在Rt △COP 中，222PC OP OC +=即()22232+=x x ，解得3=x所以直径AB 为34cm.3．（2010山东济宁）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.【答案】（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =. ························································ 3分（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ························ 4分理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =. ·························································· 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ··························· 7分4．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶ABCEFD(第20题)点n B 、n C 在圆上．（1）如图1，当1=n 时，求正三角形的边长1a ； （2）如图2，当2=n 时，求正三角形的边长2a ；（3）如题图，求正三角形的边长n a （用含n 的代数式表示）． 【答案】（1）设PQ 与11C B 交于点D ，连结1OB ，则123111-=-=a OA D A OD ， 在D OB 1Rt △中，22121OD D B OB +=，即21212)123()21(1-+=a a ，解得31=a ． …4分（2）设PQ 与22C B 交于点E ，连结2OB ，则1322121-=-=a OA A A OE ， 在E OB 2Rt △中22222OE E B OB +=，1（第23题 图1）1（第23题 图1）（第23题 图2）Q n n（第23题）Q（第23题 图2）即22222)13()21(1-+=a a，解得13382=a ． …4分 （3）设PQ 与n n C B 交于点F ，连结n OB ，则123-=n na OF ， 在F OB n △Rt 中222OF F B OB n n +=，即222)123()21(1-+=n n na a ，解得13342+=n n a n ． …4分5．（2010 嵊州市）（10分）（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个点P ，并说明理由。
（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有的点P ，并说明理由。