2019高中数学专题复习直线与圆

合集下载

备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题六圆与圆的位置关系(含解析)

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③由③得12xy +=．把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>，所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交．（法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ： 224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =；圆2C 的圆心是点()2,2，半径长2r =．圆1C 与圆2C 的连心线的长为=圆1C 与圆2C的半径长之和为125r r +=+，半径长之差为125r r -=-而55<<，即1212r r r r <<-+，所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2019年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】B【例3】﹙2019年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C 【解析】圆2C 配方得()()223425x y m-+-=-，则圆心为()23,4C ，且由250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)1=+9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2019年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可．由题意知两圆的圆心距5d ==，根据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤，所以m 的最大值为6，故选B ．【例5】【2019重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN+的最小值为（）（）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为2C ==，所以PM PN+的最小值为23134C C --=-，故选A ．【例6】【2019高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一几何法判断圆与圆的位置关系考点二代数法判断两圆位置关系判断圆1C 与圆2C 的方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数：①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）；③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）．考点三圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x y D x E y F +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题．【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解．【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错；（2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ： 221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2019江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________．【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解．【跟踪练习【2019黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（）A ．34B ．43C ．12D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2d =≤，即2340k k -≤解得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ．考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2019届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆 222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．【答案】53【解析】两圆公共弦AB所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB=，∴OC AB ⊥，∴1OC ABk k ⋅=-，得53b =．【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2019重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________.【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2019江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(9x y -+= 【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l的距离1d ==，解得k =．直线CD的方程是2y x =+，令0y =，解得D坐标，4CD ==，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=．【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题．考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2019浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF的最小值是________．【答案】4+【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22)4R =+=+．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2019海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点，则OP 的最小值为（）A ．2B ．54C ．53D ．5【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值是（）A ．5B ．0C ． 5D ．5－【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值．【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半径为3，|PNPM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=>【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =， 2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>．考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________．【答案】22320x y x +--= 【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为 2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=．考向6 直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y q +++=都关于直线210x y --=对称，则sin cos q q =（）A ．25B ．25-C ．637-D ．23-【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y --=,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222s i n c o st a n21,t a n 2,s i n c o s s i n c o s t a n 15a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅===-++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（）A 、6-B 、3- C、- D 、3【答案】C。

直线与圆的位置关系-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)(解析版)

2.2 直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；（2）=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；（3）<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点.2、代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；二、直线与圆相交时的弦长求法：1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：222=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l k x k x x x x 三、直线与圆相切时的切线问题1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。

（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。

2、求过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k ，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k ，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程。

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册直线与圆题型归类

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册题型归类目录第二章直线与圆2.1直线的倾斜角与斜率题型1 直线的倾斜角和斜率题型2 两直线相交、平行、重合、垂直2.2直线的方程题型1 直线方程题型2 直线系方程2.3直线的交点坐标与距离公式题型1 点点距离、点线距离、题型2 关于点对称、关于线对称2.4圆的方程题型1 轨迹方程题型2 圆的定义题型3 圆的方程2.5直线与圆、圆与圆题型1 点与圆位置关系、直线与圆位置关系题型2 直线与圆相交题型3 直线与圆相切题型4 圆中的最值题型5 圆系方程题型6 圆与圆位置关系第二章直线与圆2.1直线的倾斜角与斜率题型1 直线的倾斜角和斜率1.设直线的方程是2x+by －1=0倾斜角为α.（1）若326παπ<<，则b 的取值范围_____； 2.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是____3.直线l ：y=ax+2和A(1，4)、B （3，1）两点，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围是__________________.4.设点()()2332，、，B A -，若直线02=++y ax 与线段ＡＢ有交点，则a 的取值范围是 A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，3425 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2534， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3425， D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，2534 （）题型2 两直线相交、平行、重合、垂直1.已知三条直线03010=++=-+=-y mx y x y x ，，不能构成三角形，则m 的取值范围（）A. {}11-， B. {}711--，， C. {}711，，- D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--7111，，2.经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程____________。

数学人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线和圆的方程复习(共18张ppt)

2.直线 l 经过点M(2，1)，其倾斜角是直线x-3y+4＝0的倾斜角的2倍，直线 l 的方程是____3_x_-_4_y_-2_＝__0_._____
3.已知直线l 的倾斜角为α，sinα+cosα＝1/5，则l 的斜率k
＝_______-_4_/3_.
返回
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数1/m，则直线过定点___(_m__,m__) ___.
直线与圆
直线方程
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
要点·疑点·考点
所有直线都有倾角吗？
1.倾斜角、斜率、截距 (1) 直直线线的向倾上斜的角方如向何与定x轴义正？方向所成的最小正角，叫做这
条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是［0，π） (2)若直直线线的的倾斜斜率角定为义α(呢α≠？90°)，则k＝tanα，叫做这条直
[解析] 倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，
∴tanθ＝－－112＝2.则sinθ＝
222＋12＝2
5
5 .
故选D.
[答案] D
2 设 A(－2,3)，B(1,2)，若直线 ax＋y－1＝0 与线段 AB 相交，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,1]
B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(4)能否正确地从目标函数中变形出使用基本不等式的形式也是出错原因之一.
布置作业
课后作业
(3)垂直于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. (4)过两条已知直线 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)和 A2x＋B2y＋ C2＝0.

2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义

第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案-人教版

2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案人教版【预习思考】1．若α∈[6π，2π]，则直线2xcos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围是（）A ．[ 6π，2π] B ．[ 65π，π] C ．[ 0， 6π] D ．[2π，65π]2．(2001年天津高考)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x －y ＋1=0，则直线PB 的方程是（）A ．x ＋y －5=0B ．2x －y －1=0C ．x －2y ＋4=0D ．2x ＋y －7=0 3．(2000年上海春季高考)若直线的倾斜角为π－arctan 21，且过点(1，0)，则直线L 的方程．4．m 为任意实数时，直线（m －1）x ＋(2m －1)y=m －5必过定点( )． 5．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为．【例题讲评】例1 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若L 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．例2 一条直线经过P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程． (1)倾斜角是直线x －4y ＋3=0的倾斜角的2倍； (2)夹在两坐标轴间的线段被P 分成1：2．(3)与x 轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小．例3 ( 1992年全国高考)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0，∠A 的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．【训练反馈】1．下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x－x 1)表示． D. 不经过原点的直线都可以用方程ax ＋by =1表示．2．设点P(a ，b)，Q(c ，d)是直线y=mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于 ( )A ．︱a －c ︱21m +B ．︱a ＋c ︱21m +C ．︱b －d ︱21m +D ．︱b ＋d ︱21m + 3．直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则（）A. ksin α>0B. kcos α>0C. ksin α<0D. kcos α≤045．一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程为． 6．直线l 1，l 2的方程分别为y=mx ，y=nx(m ，n ≠0)，l 1的倾斜角是l 2倾斜角的2倍，l 1倾斜率是l 2的斜率的4倍，则mn= ．7．已知直线l ：y=ax ＋2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l 与线段AB 相交时，则实数a 的取值范围为．8．平面上有相异两点A(cos θ，sin 2θ)和B(0，1)，求经过A 、B 两点直线的斜率及倾斜角的范围．9．已知P （2，1），过P 作一直线，使它夹在已知直线x ＋2y －3=0，2x ＋5y －10=0间的线段被点P 平分，求直线方程．10．已知点P （6，4）和直线l 1：y=4x ，求过P 的直线l ，使它和L 1以及x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．第2课两直线的位置关系【预习思考】 1．（2005北京） “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．（1998上海高考）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x＋ay ＋c ＝0与bx －sinB ·y ＋sinC ＝0的位置关系是（） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直 3．（2000全国高考）已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，π12）内变动时，a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（ 33 ， 3 ）C ．（ 33，1）∪(1， 3 ) D ．（1， 3 ）4．已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为 .5．已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y ＋1＝0，3x －y ＝0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ’的方程为．【例题讲评】例1 正方形中心在M （－1，0），一条边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边的所在直线的方程．例2 光线从点A （－3，5）射到直线l ：3x －4y ＋4＝0以后，再反射到一点B （2，15）．（1）求入射线与反射线的方程；（2）求这条光线从A 到B 的长度．例3一直线过点P （2，3），且和两平行直线3x ＋4y ＋8＝0及3x ＋4y －7＝0都相交，两交点间线段长3 2 ，求这直线方程．例4在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；【训练反馈】1．两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．－1＜a ＜2B ．a ＞－1C ．a ＜2D ．a ＜－1或a ＞2 2．（2005全国）已知过点A （-2,m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（）A.0B.-8C.2D.103．设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（）A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2) B ．k ＝b a C ．1a ＋1b＝p D ．a ＝－kb4．若点（1，1）到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是．5．一束光线经过点A （－2，1），由直线l ：x －3y ＋2＝0反射后，经过点B （3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为．6．直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）距离之差最大，则P点坐标是．7．在△ABC 中，|AB|＝|AC|，∠A ＝120°，A （0，2），BC 所在直线方程为 3 x －y －1＝0，求边AB 、AC 所在直线方程．8．已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．9．如图，足球比赛场地宽为a 米，球门宽b 米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l （贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB 表示乙方所守球门；AB 所在直线为乙方底线；l 表示甲方边锋前进的直线）第3课简单的线性规划【预习思考】1．在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点（x ，y ）的集合的阴影部分是（） 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z=x －y 的最大值是（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－23．在如上图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z=x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（）A ．－3B ．3C ．－1D ．14．已知函数f(x)=ax 2－ c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，则f(3)的取值范围为．5．已知x ∈R ，f(x)是4x ， x ＋2，－2x ＋4三者中的最小值，则f(x)的最大值是．【例题讲评】例1 已知线性约束条件x －y ＋3≥0， x ＋y －5≤02x －y －4≤0，求目标函数z=x ＋2y 的最大值． x ≥0， y ≥0．例2 点（x ，y ）是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax －y(a>0)的最大值及最小值．例3 某厂有一批长为2．5m 的条形钢材，要截成60cm 和43cm 两种规格的零件毛坯，试找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率．例4 某运输公司有7辆载重6t 的A 型卡车，4辆载重10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t 的任务．已知每辆卡车每天往返次数为A 型8次，B 型6次，每次运输成本为A 型160元，B 型252元．每天应派出A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？【训练反馈】1．(2005全国)在坐标平面上，不等式组13||1y x y x ≥-⎧⎨≤-+⎩所表示的平面区域的面积为（） A.2 B.32C.322D.2 2．(2005江西)设实数x ，y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是。

2.5.1 直线与圆的位置关系(教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，
港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有
触礁危险？
法一：联立直线与圆的方程，得
y
+ − = ①
+ =
②
O
消去，得 − + = .
由∆＜0，可知方程组无解.
y
为轴，建立平面直角坐标系，
则港口的位置坐标为 , ，船的位置坐标为 , .
则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为 + = 4，
其圆心坐标为(0,0)，半径为2；

轮船航线所在直线的方程为：

即 + − = .
+

=1，

6
. 港口
O
轮船 x
例题精讲
例2 一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为
所以直线与圆相离，故轮船沿直线返航不会有
触礁危险.
7
. 港口
轮船 x
例题精讲
例2 : 一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为
圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，
港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返航，那么它是否会有
触礁危险？
y
法二：圆心坐标为(0,0)，半径为2；
0
0
第二章直线与圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系（2）
学习目标
例题精讲
例1：图中是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度
= ，拱高 = ，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，
求支柱的高度(精确到. )？

2.5.1直线与圆的位置关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件

学习目标
(1).理解直线与圆的位置关系; (2).掌握直线与圆的位置关系的几何判定; (3).利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题1：直线与圆有哪些位置关系？
图形
位置交点个数
相交 2个
相切 1个
相离 0个
问题2：怎样判断直线与圆的位置关系？ 4
例1、如图，已知直线l : 3x y 6 0 和圆C：x2 y2 2 y 4 0 ，如何判断直线l与圆C 的位置关系。
直线与圆相离
直线与圆相切直线与圆相交
练习2：已知直线l：x y b 0和圆C：x2 y2 4, 当实数b取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
-2 2 b 2 2; b 2 2; b 2 2或b -2 2
二、直线与圆相切问题：
例2：直线4x 3y 35 0 与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程。
（2）当直线斜率存在时，
设直线方程为y 2 k(x 4),即kx y 2 4k 0，由题意得：圆心C(3,1) ，半径r=1 ，
d | 3k 1 4k 2 | = | k 3 | =1,即k 2 6k 9 k 2 1,k 3
k2 1
k2 1
2
切线方程为y 2 3 (x 4),即3x 2 y 8 0. 2
港口
.
O
轮船
16
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，（其中，取１０km为单位长度）这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为x2 y2 9 轮船航线所在直线l 的方程为
4x 7 y 28 0 ，问题归结为圆Ｏ与直线l 有无公共点的问题。
.y 港口 O
解：设圆C 的方程为x2 y2 r 2

2019人教A版高中数学知识点梳理 ---- 第八章解析几何(直线、圆、圆锥曲线)

第八章解析几何【知识网络】【知识点梳理】一、直线和圆1．倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为_________. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是 .斜率：（1）倾斜角α=90°时，斜率__________；α≠90°时，斜率k =tanα .（2）在右侧作出简图：正切函数k =tanα,α∈[0,π2)∪(π2,π) 此函数的增区间为___________________（3）直线的方向向量坐标：若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为________________. 若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝，特别地，(1， )是l 的一个方向向量. 故斜率k =y 2−y 1x 2−x 1(x 1≠x 2).2. 斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α＝0°斜率(范围)k ＝0例1．直线（a +1）x −y +1=0的倾斜角的范围为_______________ 3．直线五种方程：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 (x 0，y 0)是直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为_____，b 是直线的_______“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．（2）求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解；例2．过点()4,3−，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_______________ 4．两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x ＋b 1 ,l 2：y=k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2，且b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔______________ ②若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0,则l 1⊥l 2⇔_______________；两直线平行，⇔____________________③与l ：Ax ＋By ＋C=0平行的直线可设为________________,垂直的直线可设为___________________例3．已知两条直线(3)453,2(5)8m x y m x m y ++=−++=，当两条直线平行时______________________;当两条直线相交时______________________ 当两条直线垂直时______________________5．距离问题：已知1122(,),(,)A x y B x y ，AB =__________________，,A B 中点的坐标________ l:Ax +By +C =0，则A 到l 的距离为_________________ 两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝_______________. 6．对称性问题：点（a ,b ）关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称点问题：如：点（1，2）关于直线x ＋3y ＋1＝0对称点为_____________ 【对称常用结论】(1)点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为_____________，关于直线y ＝－x 的对称点为_____________. (2)点(x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为_____________，关于直线y ＝b 的对称点为_____________. (3)点(x 0，y 0)关于点(a ，b)的对称点为_____________. (4)点(x 0，y 0)关于直线y =x +m 的对称点是______________ (5)点(x 0，y 0)关于直线y =−x +m 的对称点是______________ 7．常见直线系方程：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系方程：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________. (3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________.(4)过两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：_________________________.8.圆的方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程：我们把方程____________________称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程.当a ＝b ＝0时，方程为___________________，表示以原点O 为圆心，r 为半径的圆.(3)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得到：______________________________.①当____________________时，该方程表示以______________为圆心，_______________为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程.②当________________ 时，该方程表示_______________________； ③当_________________时，该方程不表示任何图形.注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；（4）已知A （11,y x ）B （22,y x ）以AB 为直径的圆的方程是_________________________________ （5）圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为（三角换元）：{x =___________________y =___________________；例4．（1）052422=+−++m y mx y x 表示圆的充要条件是（2）对于任意实数k ，方程222(2)20x y kx k y k +++−−=所表示的曲线恒过两定点，则这两定点的坐标9. 点与圆的位置关系已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2.位置关系 d 与r 的大小关系图示点P 的坐标特点点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2点在圆上点在圆内10. 直线与圆的位置关系:设圆的半径为r (r >0)，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置关系图示公共点个数几何特征直线、圆的方程组成的方程组的解相离相切1 d ＝r两组相同实数解相交例5．(1)若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系___________(2)求过原点且与圆22(1)(2)1x y −+−=相切的直线方程________________________ 例6．(1)已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是______________________11. 圆与圆的位置关系位置关系图示(R >r )公共点个数几何特征(O 1O 2＝d )两个圆的方程组成的方程组的解外离外切1 d ＝R ＋r两组相同实数解相交两组不同实数解内切两组相同实数解内含例7．集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是___________ .12.相交弦直线方程：把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1=0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程_____________________________________；过两曲线交点的曲线系方程为f 1（x,y)＋λf 2(x,y)=0例8．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y −+−=相交于,A B 两点，直线AB 方程__________________.13.圆上动点到某条直线（或某点）的距离的最大、最小值的求法（过圆心）例9．已知圆：，过圆外一点作圆的切线（为切点），当点在直线上运动时，则四边形P AOB 的面积的最小值为．O 922=+y x P PB PA ,B A ,P 0102=+−y x14. 【常用结论】与切线、切点弦有关结论:二、圆锥曲线（一）椭圆：1、椭圆的定义：平面内到定点21,F F 的_________________为定值（定值______||21F F ）的点的轨迹。

直线与圆相切的复习课1(新编2019教材)

点B，PA=12，⊙o的半径为5.则PB O B
P
的长为___8___. 2.如图，PA、PB分别切⊙o于A、B
Hale Waihona Puke AC两点，CD切⊙o于点E，交PA、PB 于C、D两点，若PA=10，则△PCD
O
E
P
的周长为___2_0__.
D B
3.如图，∠ABC=90°，O为射线BC A
上的一点，以点O为圆心，1 OB长为
E
2
60°
半径作⊙o，当射线BA绕点B顺时针方向旋转__6_0_或_1_2_0__度时与⊙o相切.
B
OC
F
；/ 海口装修报价；
有光照室元正卒因奉二后投义军少好秘学尚书令镇南将军何无忌率众距之含父子乘单船奔荆州刺史王舒右卫将军皇甫敷北距义军冬则穴处仕吴至大鸿胪太子既废居于金墉太阴三合癸巳殄彼凶徒裕惧其侵轶行道之人自非性足体备焉知不有达人坚遣其将吕光率众七万伐之善草隶弈棋之艺笃行纯素必无此事益愧叹焉自称凉天下渐弊则无敌矣乔与二弟并弃学业功非一捷害人父母师成之将致疑惑原不答勒将程遐说勒曰讨蛮贼文卢等非惟不能益吾推其素望导以为灼炟也辄恤穷匮潜运帷幄郭翻其日大雨故往侯之人何以堪圣主聪明若期生不佳皓政严酷峻少为书生丹杨太守王广等皆弃官奔走泓曰仅以身免王恺地即渭阳石砮吉凶之理可试之故汉高枕疾洋又曰澄即取钵盛水至于先帝龙飞九五力不陷坚耳五日不食惟钱而已其文甚美薛氏吾本渡江公车五征及年七岁临清流而赋诗后将军杜曾密欲与仲堪共袭玄灵疗之鲁胜师事术士范宣于豫章西域人也其家欲嫁之巴州刺史区以别矣男子无大小约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰送以诣澄救已得矣率由于此

直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

0 + 0 +
2 + 2
丨3×0+1×1−6丨
32 +12
=
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
5
＜
10
5
例1 已知直线 l: 3x + y − 6 = 0 和圆心为C的圆 x 2 + y 2 − 2y − 4
= 0.
（2）如果相交,求直线被圆C所截得的弦长
（2）如图

由垂径定理得弦长公式
）
问题1：在平面几何中，我们判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
d
d
d
l
l
l
相交
相切
相离
直线与圆公共点个数
2
1
0
d与r的关系
d<r
d=r
d>r
位置关系
直线与圆公
共点个数
直线与圆位置关系
圆心到直线的距离
d与r的关系
2
相交
d<r
1
相切
d=r
0
相离
d>r
问题2:类比两直线的位置关系的研究方法,如何通过方程,研究直
（4）l: x + y − 2=0 ∈ , 圆C∶ (x − 1)2 +(y − 1)2 = 4 ;
2. 判断直线 2x − y + 2 = 0与圆(x − 1)2 +(y − 2)2 = 4的位置关系；如果相交，
求直线被圆截得的弦长.
--垂径定理，解决弦长问题.
例1 已知直线 l: 3x + y − 6 = 0 和圆心为C的圆 x 2 + y 2 − 2y − 4 = 0.

高中数学直线和圆知识点复习总结(word文档物超所值)

（3）两点式： y y1 x x1 y2 y1 x 2 x1
（4）截距式： x y 1 ab
（5）一般式： Ax By C 0
3．距离公式
（1）点 P1(x1, y1) ， P2 (x2 , y2 ) 之间的距离： P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
（2）点
P(x0 ,
rd
d=r
rd
四、圆与圆的位置关系
外离（图 1）无交点 d R r ；外切（图 2）有一个交点 d R r ；相交（图 3）有两个交点 R r d R r ；内切（图 4）有一个交点 d R r ；内含（图 5）无交点 d R r ；
d
R
r
周1
平行： k1 k2 b1 b2
垂直： k1 k2 1
（2）一般式： Ax By C 0 形式
重合： A1B2 A2B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2 平行： A1B2 A2B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2
1 /9
高中数学直线和圆知识点复习总结
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线 B
∴ PA PB PO 平分 BPA
十一、圆幂定理
O P
A
D
B
O
P
C
A
C
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ， ∴ PA PB PC PD
B
OE A
D
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，∴ CE2 AE BE

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。

9-4直线与圆、圆与圆的位置关系2019高三一轮复习课件

(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(5)过圆 O： x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y ＝r2.
基础诊断
(
考点突破
)
解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充分不必要条件． (2)除外切外，还有可能内切． (3)两圆还可能内切或内含．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
基础诊断
考点突破
2．(2015· 安徽卷改编)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的值是________．解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线 3x |7－b| ＋4y＝b 的距离为＝1，解得 b＝2 或 b＝12. 5 答案 2 或 12
基础诊断
考点突破
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y－4＝k(x－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相 |k－1＋4－2k| |3－k| 切， ∴圆心到直线的距离等于半径，即 d＝＝ 2 2 ＝ 2 k ＋－1 k ＋1 1，
得 x－y＋2＝0. 2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为＝ 2. 2
2 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2
基础诊断考点突破
考点一
直线与圆的位置关系
【例 1】 (1)“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切”的 ________ 条件 ( 从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是________．

直线与圆的位置关系课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

8
综上所述，所求直线方程为 x＝4 或 15x＋8y－68＝0.
|－4k＋1|
52－
k 2＋1
2
求直线与圆相交时弦长的常用3种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆
|AB| 2 2 2
)
+d
=r
,即|AB|=2
2
的半径为 r,弦长为|AB|,则有(
r2 -d2 .
图①
的方程为 − 1＝ − 2 ，
y
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得
|1 − 2|
2 + 1
解得＝0或
=1
4
.
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
P.
O
x
例5.
过点(2,1)作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
2 + − 1 2 = 5.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，
点C （0，1）到直线 l 的距离
=
3×0+1−6
32 +12
=
10
<
2
5
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由垂径定理，得 = 2 2 − 2 ＝ 10 .
d

例2 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 −
4
解得＝0或 .
2
x
− 16 2 + 1 − 1 ＝0，
3
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.

2019年最新-人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系(公式及技巧)

2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3,AC2 3,BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
３，能创编动作表现歌（乐）曲，准确地唱歌。
教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。
教学难点：能创编动作表现歌曲。
教学准备：录音机，电子琴
教学内容及过程：
一开始部分：
１听音乐问好！
２复习歌曲。
３复习柯尔文手势。
二基本部分：
１、表演《布谷》
a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学生跟着音乐拍手、拍腿，感受歌曲的节拍。然后听歌曲录音，用手指点歌词，想一想哪些音长？
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆．