矢量分析

矢量代数

赵黎晨

第一节 矢量分析与场论基础

在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.

一、矢量代数

1.两个矢量的点乘、叉乘

若 123(,,)a a a a = 123(,,)b b b b = 则 a , b 的点乘(也称标量积)

112233a b a b a b a b ⋅=++ (cos a b b a a b α⋅=⋅=)

a ,

b 的叉乘(也称矢量积)

)()()(1221331132233213

2

1

321

3

21b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==⨯

的大小

b a

⨯sin a b α，α

为a , b 的夹角

方向：既垂直于a

，又垂直于b ,与b a ,满足右手螺旋关系。 叉乘的不可交换性 a b b a

⨯-=⨯

2.三个矢量的混合积

112233()()()()c a b c a b c a b c a b ⋅⨯=⨯+⨯+⨯

=)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+-

几何解释:以c b a

,,为棱的平行六面体的体积

性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.

()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯

(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。

()()()()a b c a c b b a c c b a ⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯

(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。

()()a b c a b c ⋅⨯=⨯⋅

3.三个矢量的叉乘

令 ()c a b f ⨯⨯=

则1

231232332

3113

1221

e e e

f c c c a b a b a b a b a b a b =

---

1212213311312233122331112233111223311()()()()

()()()()

f c a b a b c a b a b a c b c b b c a c a a c b c b c b b c a c a c a a c b b c a =---=+-+=++-++=⋅-⋅

同理 222()()f a c b b c a =⋅-⋅

333()()f a c b b c a =⋅-⋅

故 ()()()c a b f c b a c a b ⨯⨯==⋅-⋅ 而 ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅

二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。(“远正近负，再取和”)

二、场的概念

在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点．．．，都对应着某个物理量的一个确定的值．．．．．．，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。

1.数学上，场是空间时间的函数 时间坐标 t

空间坐标 (,,)x x y z ix jy kz =++，,,i j k 构成右手系。 标量场 空间的每一个点对应一个标量 矢量场 空间的每一个点对应一个矢量 张量场 空间的每一个点对应一个张量

2.物理上， 描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量

3.记号 标量场 ()x φφ= 矢量场 ()F F x =

张量场 T T x →→→→

=（）

4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。

三、场分析及其微分特征量（矢量微分） 整体上来看 分析场的奇异性，敛散性

局域上来看 函数某点附近的性质，微分特征量。 1.梯度

在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。 而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。为此，引入方向导数，梯度的概念。 (1)方向导数

方向导数给出了函数()x φ在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。

函数()x φ在M 点l 方向上的方向导数为（场的空间坐标为()x x l =）

()()(),(),()d x d

x l y l z l dl dl

φφ=

x y z

x l y l z l

φφφ∂∂∂∂∂∂=

++∂∂∂∂∂∂ l 方向上的单位矢量0x y z l i

j k l l l ∂∂∂=++∂∂∂。cos x l α∂=∂，cos y l β∂=∂，cos z

l

γ∂=∂在M 点l 方向上的方向余弦。其余三个数

x φ∂∂，y φ∂∂，z

φ

∂∂也可视为某一矢量的坐标x y z G e e e x y z

ϕϕϕ

∂∂∂=

++∂∂∂。 (2)梯度

在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：x y z grad e e e x y z

ϕϕϕ

ϕϕ∂∂∂=∇=

++∂∂∂。 这样上式可以表示为

()0d l dl

φ

φ=∇⋅。 从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数()x φ上升最快的方向，大小为其改变率数值。 (3)梯度的性质

（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布； （2）方向导数是梯度在该方向上的投影； （3）梯度的方向为指向()x φ增加最快的方向。 2.散度： (1)通量

通量的定义，设有矢量场F ，沿某一有向曲面S 的某一侧面的曲面积分

s

F dS Φ=⋅⎰

叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面S 的通量。

说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;

2.通量可以叠加;

3.若为闭合面，s

F dS Φ=

⋅⎰，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿

出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。

根据通量的正负可以得知S 内有产生通量Φ的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。但仅此还不能了解源在S 内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了描