高中数学选修22测试题二

高中数学选修2-2测试题二

一、选择题（共8题，每题5分）

1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2.定积分

11

01dx x +⎰的值为（ ）

A ．1 B.ln2

C.

122- D.11ln 222

- 3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的

种数为 （ ） A.24 B.22 C.20 D.12 4.

已知14a b c ===则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>c

B ．c>a>b

C ．c>b>a

D ．b>c>a

5.

曲线3

2y x =+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A

．,)3+∞

B. ()3

+∞

C. ()+∞

D. [)+∞ 6. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2009a ＝（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0 7. 函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）

8. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）

A

B ．1

C ．0 D

二、填空题（共6题，30分）

C

D

A 1

9.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝_____________ 10.若复数1111i i

z i i

-+⋅

=

+-，则复数z= ___ 11.由曲线2

y x =与2

x y =所围成的曲边形的面积为________________

12.在平面几何里，有“Rt △ABC 的直角边分别为a 、b ，斜边上的高为h ，则222

111a b h +=”。类比这一结论，在三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，

则此三棱锥P －ABC 的高h 满足 ．

13. 为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.

14.若在区间[-1, 1]上，函数3

()10f x x ax =-+≥恒成立，则a 的取值范围是_________________ 三、解答题（共6题，80分）

15.（12分）已知复数2

2

(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，

（1）z 为实数？z 为纯虚数？ （2）A 位于第三象限？

16.（13分）已知,()2

k k Z π

αβπ≠

+∈且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，sin β是sin θ、cos θ的

等比中项。求证： 2222

1tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβ

αβ--=++

17.（14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是

BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （3）求点E 到平面ACD 的距离。

18.（13分）如图，设铁路AB 长为80，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费y 表示为x 的函数；

（2）如何选点M 才使总运费最小？

19. （14分）已知函数）（）（02

3≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，

函数取极值1．

（1）求c b a ，，的值；

（2）若对任意的[]1121，，-∈x x ，均有 12f x f x s -≤（）（）成立，求s 的最小值；

20.（14分）已知各项为正的数列{}n a 的首项为12sin a θ=（θ为锐角）

2

12n a +=，

A B C M

数列{}n b 满足1

2n n n b a +=.

（1）求证：当x (0,

)2

π

∈时，sin x x <

（2）求n a ，并证明：若4

π

θ=

，则12n a a a π+++<

（3）是否存在最大正整数m ，使得sin n b m θ≥对任意正整数n 恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.

高中数学选修2-2测试题二答案

一、

选择题（每题5分）

9. -2； 10. -1 ； 11. 13

； 12.22221111a b c h ++=； 13. 18； 14. [0,2 三、解答题

15.解：（1）当2

918m m -+＝0即m ＝3或m ＝6时，z 为实数； …………………………3分 当2

8150m m -+=，2

9180m m -+≠即m ＝5时，z 为纯虚数.…………………………6分

（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即35

36m m <<⎧⎨<<⎩

即3

16.证明：由题意，2

sin cos 2sin ,sin cos sin 2θθαθθβ+== 1 ……………2分

2

122-⨯得224sin 2sin 13αβ-= …………………5分 另一方面，要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++，即证22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβ

αβ

--=

+- ……………7分 即证2

2

2

21

cos sin

(cos sin )2

ααββ-=- ……………………………………9分 即证221

12sin (12sin )2

αβ-=

- ………………………………………………11分 亦即证22

4sin 2sin 1αβ-=

，而此式在3已证，故原等式成立.………………………13分

17. 解：（1）由题知△ABD 为等腰直角三角形，因此1

12

OA BD

=

=，又OC BD == OA2+OC 2=AC 2，所以OA ⊥OC ，又OA ⊥BD,OC ∩BD ＝O ，故OA ⊥面BCD ……………4分 （2）以O 为原点建立直角坐标系如图，则A （0，0，1），B （1，0，0），C （00），D （－1，0，0）

从而(1,0,1),(1,AB CD =-=-，因此直线AB 与CD 所成的角θ的余弦为