异面直线成角求法
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求异面直线所成的角
求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法
设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中
211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 2
2212
111221111=+=+==
++⋅====
()
552
325222325OE
OC 2E C OE OC OE C cos 2
2
2
12
122
11=⨯
⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⋅-+=
∠所以
55
arccos
OE C 1=∠所以
所以异面直线111BD C A 与所成的角为
55arccos
图1
解法2：补形法
在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，
5224E D 221=+=
()()
5
55
325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2
2
212
122
11-
=⨯⨯-+=⋅-+=
∠
所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为
55arccos
图2
解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=
设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，
55
BD BD BD D cos 11==
∠。
5
55335AOD cos BD D cos cos 532
5
25212525OA OD 2AD OA OD AOD cos 122
2
2
22=⋅=∠⋅∠==⋅
⨯-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=
∠θ
所以
55arccos
=θ
所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为
55arccos
图3
解法4：向量几何法：
|b ||a |b a cos ⋅=
θ
设→
→→1AA AD AB 、、为空间一组基向量 b
a C A a c
b D A AA BA BD 0
c b ,0c a ,0b a 2|c |,1|b |,2|a |c
AA ,b AD ,a AB 1111111+=→
-+=→
+→+→=→=⋅=⋅=⋅====→=→=→
3|c ||a ||b ||a c b ||BD |5
12|b a |C A 2
22212211=++=-+=→
=+=+=→
55533|C A ||BD |C A BD C A BD cos 3
41|a ||b |)b a )(a c b (C A BD 111111111
22111-
=-=→→→
⋅→>=→→<-=-=-=+-+=→
⋅→
所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为
55
arccos
图4
解法5：向量代数法：
2
32
22
12
32
22
13
32211b b b a a a b a b a b a cos ++⋅++++=
θ 以D 为坐标原点，DC 、DA 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，
1，0）、C （2，0，0），B （2，1，0）、D 1（0，0，2），)0,1,2(AC ),2,1,2(BD 1-=→
--=→
55535AC ,BD cos 1-
=->=→→< 所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为
55
arccos
图5
解法6：利用公式
BD AC 2DC AB BC AD cos 2
222⋅--+=
θ
定理：四面体A —BCD 两相对棱AC 、BD 间的夹角θ必满足
BD AC 2DC AB BC AD cos 2
222⋅--+=
θ
图6
解：连结BC 1、A 1B 在四面体111D C A B -中，异面直线A 1C 1与BD 1所成的角是θ，易求得3BD ,22B A ,5BC C A 11111====