03几何元素间的相对关系
几何元素的投影-[机械制图]
![几何元素的投影-[机械制图]](https://img.taocdn.com/s3/m/2c90aec0647d27284a735101.png)
图 $ % &# 投影面和投影轴上点的投影
!" !" !# 点在三投影面体系中的投影
’" 点的三面投影# 如图 $ % () 所示，如在两面体系上再加上一个与 .，* 均垂直的投影面， 它处于侧立位置，称为侧立投影面，以 3 表示，简称 3 面，这样三个互相垂直的面就组成一个三 投影面体系。*，3 面的交线称为 45 投影轴，简称 5 轴；.，3 面的交线称为 46 投影轴，简称 6 轴，三个投影轴的交点 4 称为原点。
图 ! " #!& 两点的相对位置的确定
!’ 重影点的投影& 当两点的某两个坐标值相同（ 坐标差为 (）时，该两点处于同一条投射线 上，因而对某一投影面具有重合的投影，这两点被称为对该投影面的重影点。如图 ! " #) 所示点 &，点 ’，其中 "& * "’，$& * $’，因此，它们的正面投影 ()和（ *)）重影为一点，由于 #& % #’，所以从前 向后看时，& 是可见的，’ 是不可见的。在投影图上，为了区别可见与不可见，通常把不可见的点 的投影加上括号，如（*)）以示区别。点 & 与点 + 水平投影重影为一点，点 & 与点 , 侧面投影重 影为一点，它们的可见性判断方法与上述相同。对 - 面、. 面、/ 面的重影点，它们的可见性，应 分别是前遮后、上遮下、左遮右。此外，一个点在一个投射方向上是可见的，在另一投射方向上去 看则不一定是可见，必须根据该点和其他点的相对位置而定。
图 # & $"’ 已知点的两投影求第三投影
例【! " #】’ 已知点 * 的三面投影画出其直观图（ 图 # & $$）。
第三章 基本几何元素的投影(3-2)
c
B
CD
A
ac
b d
H
济南大学图学中心
二、直线上的点 a
k● b
a k●
b
§3.2 直线的投影 a 判断点K是否在线段AB上。
●k b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法是
因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。
济南大学图学中心
二、直线上的点
§3.2 直线的投影
例:试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求 作C点。
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
X
c
a
c
bd
对于一般位置直线， 只要有两个同名投影互相 平行，空间两直线就平行。
结论：AB//CD
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
c
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
2、交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
四、直角投影定理
例： 过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。
a′
b′
X a
b
O
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
四、直角投影定理 题意分析： 有无穷多解，可任意做一解。
b′ a′
X a
b
O
水平线（实长）
济南大学图学中心
精品制图课件- - 几何元素间的相对位置关系
c'
l2' (k1k')'k2'
b'
a'
l1'
d'
X
O
k1
b
c a (l1)l2 l
k2
d
不相交，也不平行——交叉
《机械制图》
第1章 绪论
15
5.2.2 直线与平面、平面与平面相交
• 有一个几何元素垂直于投影面的情况
⑴．直线与平面相交
例: d'
b'
例:
相交的核
2' b' 1'
( 1)’ 2’
a'
k'
• △与 P 相交于直线 MN • MN与 EF共面于P,交于K
例:
b'
2‘≡ 3' ( ) m' k'
1'
e'
a'
f'
X
n' c'
O
b
f
m
3
k
c
• K既在EF上，又在△上， 交点K即为△与EF的交点。
B P
M
E
K
C
N
(n )
A
步骤： a 2
≡1 e PH
F
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
② 求 P与已知面的交线 MN ③ 求MN与EF的交点 K ，即所求 ④ 利用重影点判断可见性
作面面
多解， 水平面 垂直于面 垂直于面 垂直于面 多解，
水平线
的水平线 的水平线 的正平线 过垂直于面
结论:
的正平线的 所有面
①投影面垂直线的垂线 投影面垂直线的垂面
几何元素间的相对位置-平行、相交、垂直
m
f c
n
f
n
判断平面的可见性----利用重影点原理判别
(1 ′) 2′
1
2
例：求两平面的交线并求MN并判别可见性。
⑴ a b e ● m(n) f c
d a d
●
●
n
e c
空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正 垂面，其正面投影都积聚 成直线。交线为正垂线， 只要求得交线上的一个点 便可作出交线的投影。 作 图 ① 求交线 ② 判别可见性
线与该平面平行。
应用： (1)判别已知线面是否平行； (2) 作与已知平面平行的直线； (3) 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
c
●
n
Abc为平面内 a 的任一直线
a
b
m
●
●
n
●
c
m
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
示意图
n
两平面相交，判别可见性
3 4 2 3 4( ) 1 1
(2 ) 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
[例题6]
试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线
EF相交
。
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F H E
作图 PV m 1 2 n
第三章 几何元素间的相对位置关系
§3-1 平行问题---直线与平面平行 • 两平面平行
§3-2 相交问题---直线与平面的交点 • 两平面的交线
§3-3 垂直问题-----直线与平面垂直 • 两平面垂直
机械工程图学习题集加详细答案 第3章
第三章几何元素间相对位置
二、回答问题
1、属于平面的投影面平行线的投影特性？
答：具有投影面平行线的投影特性、满足直线从属于平面的几何特性、与相应的迹线平行。
2、空间两直线平行的投影特性是什么？
答：两直线空间平行同面投影也平行，空间长度之比等于各同面投影长度之比。
3、两直线垂直其投影特性是什么（即直角投影定理）？答：两直线互相垂直（相交垂直或交叉垂直），其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影仍互相垂直，即反映直角；反之，若两直线（相交或交叉）在同一投影面中的投影互相垂直（即反映直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线空间必互相垂直。
二、回答问题
4、直线与平面垂直及两平面垂直的几何定理、投影特性
是什么？解决哪些问题？
答：
1）如果一条直线和一平面内两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于该平面。
反之，如果一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。
3）投影特性：两种垂直关系最终都归结为两直线的垂直
问题，应用两直线垂直的投影特性解决此类问题。
4）可以解决各种位置线与线、线与面、面与面的垂直问题。
相对位置
O
c
①所做的辅助面为垂直面 ②辅助面所包含的直线是任选的 ③交线在两平面图形的公有区内 ④若所做的辅助面与交线平行， 交点在无穷远处，应重选辅助面
QHቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要点： •利用辅助面法求交线 •利用重影点判断可见 性
18
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
求△ABC 与DE∥FG的 交线。
4'
e' 1' 5' f' 2'
d’ a’
p’
c’
m’
n’
b
a m c f’ e’ a f e a’ g’
p
n b’ c’
d
b
g
c
7
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
例: 判断平面(KE ╳ KF) 与(AB ╳ CD)是否平行？
c' 1' a'
b' d'
e'
k'
f'
∵KE∥BA O KF∥IB ∴(KE ╳ KF) ∥(AB ╳ CD)
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
29
3
3.1 几何元素间的平行问题
直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行
3.1.1 直线与平面平行
定理（一般情况）： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
4
典型问题：过平面外一点作一直线与该平面平行。 例： ①过点K作一直线平行于面（AB
《机械制图》 第3讲 几何元素间的相对位置
13
3.2.2 直线与平面相交
如何求交点？ 直线为特殊位置时的情况，利用直线的积聚性。 平面为特殊位置时的情况，利用平面的积聚性。 平面和直线都处于一般位置时的情况，利用辅助 平面法。
几何元素间的相对位置
几何元素的性质
点：没有大小，只有位置
线：有长度，没有宽度和厚度
面：有面积，没有厚度
体：有体积，有长度、宽度和厚度
几何元素之间的关系：点与点、线与线、面与面、体与体之间的相对位置关系
5.
4.
3.
2.
1.
几何元素的分类
2018
点：没有大小和方向的几何元素
01
2019
线：具有长度和方向的几何元素
02
几何元素的组合
平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线
垂直线：在同一平面内，相交成直角的两条直线
相交线：在同一平面内，相交成任意角的两条直线
平行四边形：两组对边分别平行的四边形
矩形：两组对边分别平行且相等的四边形
正方形：两组对边分别平行且相等且四个角都是直角的四边形
梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形
平行、垂直、相交是几何元素间的基本相对位置关系，它们构成了几何图形的基本结构。
角度、距离、面积
01
角度：两个几何元素之间的夹角，可以用度数表示
03
面积：几何元素的表面积或体积，可以用面积或体积单位表示
02
距离：两个几何元素之间的直线距离，可以用长度单位表示
04
相对位置：几何元素之间的位置关系，可以用相对位置描述
2020
面：具有面积和边界的几何元素
03
2021
体：具有体积和边界的几何元素
04
2022
空间：具有长度、宽度、高度和方向的几何元素
05
2
几何元素的相对位置
平行、垂直、相交
平行：两条直线在同一平面内，没有交点，称为平行。
垂直：两条直线在同一平面内，相交成90度角，称为垂直。
《几何体的基本元素点、线、面、体之间的关系》学案6
第四章几何图形初步《第一单元课时4 几何体的基本元素点、线、面、体之间的关系》学案【学习主题】第一单元课时4 几何体的基本元素点、线、面、体之间的关系【学习课时】1课时【课标要求】了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，以及它们之间的联系.【学习目标】1.了解点、线、面、体的概念.2.了解点、线、面、体之间的关系.3.渗透集合观点.4.了解多面体的点、线（棱）、面之间的数量关系（欧拉公式）.5.了解旋转体（圆柱、圆锥、球）的生成过程.【评价任务】【资源与建议】1.我们通过实物和具体模型，能识别一些基本几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等），并初步了解了立体图形与平面图形的概念. 能画出从不同方向看一些基本几何体（直棱柱，圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合得到的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象相应的几何体在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养了空观念和几何直觉.如何从具体事物中抽象出各种具体几何图形？如何掌握各种几何图形的概念？如何区分一些相近的概念？这些素养仍然是需要持久培养的.本节课是对几何图形中最基本的元素之间关系的小结性学习. 了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，以及它们之间的联系.点、线、面、体及其组合构成了丰富多彩的图形世界，它们的概念是研究几何图形的基础，既是对现实世界进行数学抽象的产物，具有高度的抽象性，又是对图形类别的基本划分，具有高度的概括性. 点、线、面，体的概念剖析了图形的构成要素，使我们对身边世界的认识更加清晰，点、线、面、体的关系揭示了图形由简单到复杂，由一维到三维的演变过程，是认识图形本质，发展空间观念的知识基础.线索一：“包围着体的是面，面与面相交形成线，线与线相交形成点”是从整体到局部，逐步分解地认识体、面、线，点；线索二：“点动成线、线动成面、面动成体”是从微观到宏观，逐步合成地来认识点、线、面、体；线索三：“点是构成图形的基本元素”的集合观点，又使线、面、体概念的外延由多元回归到一元，揭示了图形世界多样性表象下的统一性. 这三条线索中，都含了“具体→抽象→具体”的认知方法. 先结合实例抽象出图形，再进一步抽象得到概念，最后在具体模型中概念得到解释应用，达到对概念意义的同化.学生虽然已经学习了立体图形和平面图形等几何概念，对于从具体事物实例中进行数学抽象也有了初步认识，但点、线、面、体等都是很抽象的概念，与直观感受往往存在一定差距（例如平面是无限延展的，点没有大小只代表位置等内容），现阶段是难以深刻理解、完整认识的，所以要让学生充分活动起来，多观察、多举例、多表达，避免将这些抽象的概念强加给学生，要让学生在积累了丰富的直观感受后自发地同化概念，接受概念的意义.对于点、线、面、体的关系，如“点动成线、线动成面、面动成体”等用文字描述的结论，学生易于掌握. 而结论形成的过程，需要学生观察分析、抽象概括并举例描述，对学生综合能力要求高，也是比较困难的学习任务，教师可以先引领示范，学生获得体验后再进行模仿式探究.2.本主题的学习流程：情景引入，结合几何模型或身边环境，探究体、面、线、点等→思考探究，从运动、集合的角度描述点、线、面、体的关系→运用直观感知（具体）到分析概括（抽象），到举例解释（具体）的认知方法→探究一些概念和结论.3.重点：点、线、面、体的概念.难点：点、线、面、体概念的抽象过程.一、学习准备1.几何体是怎么形成的呢，选取一个示例，说明分析！2.通过预习，你提出了哪些问题？二、学习新知活动一情景探究（指向目标1、2）观察下列几何体及思考问题，尝试解决：问题1.几何图形是由什么基本元素构成的呢？以长方体、三棱柱为例，分析一下.长方体和三棱柱分别有几个面？面与面相交的地方形成了几条线（棱）？线（棱）与线（棱）相交几个点（顶点）？问题2.你能说出构成几何图形的元素包含哪些吗？数学中的面可以分为平的面和__________的面，而在数学中平面一词具有特定含义，它是__________(有限或无限)延展的，围成体的面只是平面或曲面的一部分，例如圆柱和圆锥. 活动二思考探究（指向目标1、2、3）探究与感受—体观察下列几何体，探究发现：想一想：从它们的外形中分别可以抽象出什么立体图形？再举出一些你所熟悉的立体图形.几何体的概念：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是__________，几何体简称体.探究与感受—面观察这些几何体，再联想上一节课展开图的知识，想一想：包围着体的是什么？看一看：四棱锥、圆柱、圆锥分别有哪些面？这些面有区别吗？观察我们周围的环境，或者想一想，举出一些实际生活中面的例子，并指出哪些面是平面，哪些是曲面？探究与感受—线和点利用长方体、圆柱、棱柱、圆锥等的几何体模型，结合下列问题开展小组合作.（1）面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同？（2）线与线相交又得到了什么？它们有什么不同？（3）看一看，想一想，举出我们身边符合线、点形象的例子.思考归纳：我们知道物体运动时会留下运动轨迹，如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动会形成什么痕迹？汽车雨刷看成一条线，雨刷运动时，扫过的痕迹是什么？酒店的旋转门，旋转过的痕迹是什么？点动成________，线动成________，面动成________.想一想，说一说，下面的几何图形（1）~（4）分别围绕虚线所在直线旋转一周可以得到什么图形？活动三总结提升（指向目标1、2、3）（1）十字绣的图案是如何形成的？国庆街道路口摆花组成的图案是如何形成的？某数字电视屏幕的清晰度是1024×1024的含义是什么？（2）多面体中，顶点、棱、各表面的个数之间存在什么样的数量关系？（3）你如何理解点、线、面、体之间的联系？你是用什么方法得到这些知识的？【达标检测】1.（检测目标1）将下图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）2.（检测目标1）将上面的平面图形分别绕虚线所在直线l旋转一周，得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.3.（检测目标1）下面的立体图形是由下列平面图形中的一个绕虚线所在直线l旋转一周得到的，这个平面图形是（）4.（检测目标2）下图所示的立体图形是由某个平面图形绕某条直线l旋转一周得到的，请你分别画出这条直线以及平面图形.5.（检测目标3）观察以下锥体，记录它们的顶点个数p，棱的个数l、表面的个数g，完成填空和计算.点 ___________ __________ __________棱 ___________ __________ __________面 ___________ __________ __________+-= ___________ __________ __________p g l点 ___________ __________ __________ 棱 ___________ __________ __________ 面 ___________ __________ __________+-= ___________ __________ __________p g l【学后反思】1.本节课学习的知识要点是：2.我的达标情况：3.自己需要求助的困惑或分享自己如何学会的经验：。
大学机械制图 CAD 课件及其答案4几何元素间的相对关系
1、直线与特殊位置平面相交
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判 别直线的可见性。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析
平面ABC是一正垂面， 其V投影积聚成一条直线， 该直线与mn的交点即为K 点的V投影。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
例题6 例题7 例题8 例题9
P
D A C
S
E1
a
E
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
F A
B E
P AB平行于 H， EF垂直于 AB
（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
D B
A CP
AB平行于V， CD垂直于 AB
（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
N
M
P AB 平行于W， MN垂直于AB
[例题1] 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。
d' e' e
d b
[例题2] 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。
BE
be
[例题3] 过正平线作平面与水平投影面成 60°。
a'
AB
b'
60°
b ab
a
b
03几何元素间的相对关系
例子
（四）平面上的最大斜度线
• 平面上和某投影面倾角最大的直线，称 为该平面对某投影面的最大斜度线。 • 特性 1.平面对某投影面的最大斜度线与平 面内该投影面的平行线相垂直。 2.平面对某投影面的最大斜度线与该 投影面的夹角，就是平面与该投影面的 夹角。
• 证明
求平面倾角
（五）综合问题求解
有无数解
n
c m
●
b
n a
●
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
●
n
正平线
a a
c m
●
n
b
唯一解
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。 ② 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
投影法基础
第四章 几何元素间的相对关系
直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 （一）、平行问题
包 括
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平行 平面与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直 线，则该直线与此平面必相互平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
⑴
a b e ● m(n)
机械制图与CAD(含习题集)( (3)
助线的方法，作出交点K的水平投影k。由于正垂线EF在正面积 聚，可不必判断可见性。在水平投影上，直线EF有一部分被平
面ACD遮挡，交点K是直线可见部分和不可见部分的分界点。从 正面投影知，直线段FK在平面ACD的下方（也可用重影点法比 较交叉直线段FK与CD的上下位置来间接判断），因此直线段FK
水平线DⅢ平行，平面ABC上的正平线BⅠ和平面DEF上的正平线 DE平行，并且水平线和正平线相交，因此可判断平面ABC与平 面DEF平行。
第3章 几何元素间的相对位置 图3－6 两平面平行
第3章 几何元素间的相对位置
【例3－4】 如图3－7所示，已知平面ABCD和平面外一点 E的两面投影，试过点E作平面平行于平面ABCD。 分析 要保证所作平面平行于平面ABCD，必须作出一对相交直 线与已知平面ABCD平行。如图3－7（b）所示，为作图方便， 可过点E作相交直线分别与平面ABCD上的CD和AD平行。
第3章 几何元素间的相对位置 图3－1 直线平行于平面
第3章 几何元素间的相对位置 图3－2 直线平行于特殊平面
第3章 几何元素间的相对位置
【例3－1】 如图3－3（a）所示，试判断直线DE是否 平行于平面ABC。
解 欲判别直线与平面是否平行，就应判断是否在平面上 可否作一条与该直线平行的直线。如图3－3（b）所示，作图 步骤如下：
的水平投影不可见部分应用虚线画出。直线段KE的水平投影可 见，应用粗实线画出。
第3章 几何元素间的相对位置
解 如图3－9（b）所示，其作图步骤如下： （1）根据交点K的共有性，在直线的积聚性投影上直接找 到交点的正面投影k′；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
投影法基础
第四章几何元素间的相对关系
a b c
m n c 'n 'b '
a 'm '
⑴平面为特殊位置
例：求直线MN 与平面ABC 的交点K 并判别可见性。
空间及投影分析
平面ABC 是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn 的交点即为K 点的水平投影。
①求交点
②判别可见性
由水平投影可知，KN 段在平面前，故正面投
影上k 'n '为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k '
●
1'(2')作图
k ●
●
2●1
●
⒉两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
①求两平面的交线
方法：⑴确定两平面的两个共有点。
⑵确定一个共有点及交线的方向。
②判别两平面之间的相互遮挡关系，
即：判别可见性。
可通过正面投影
直观地进行判别。
a b c d
e
f
c '
f 'd X b 'e 'a '
m '(n ')
空间及投影分析
平面ABC 与DEF 都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。
交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
①求交线
②判别可见性
作图
从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
n ●m
●
●
能否不用重
影点判别？
能!如何判别？
例：求两平面的交线MN 并判别可见性。
⑴
b '
c '
f 'h '
a 'e 'a
b c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析
平面EFH 是一水平面，它的正面投影有积聚性。
a 'b '与e 'f '的交点m '、b 'c '与f 'h '的交点n '即为两个共有点的正面投影，故m 'n '即MN 的正面投影。
①求交线②判别可见性
点Ⅰ在FH 上，点Ⅱ在BC 上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
作图
m
●
●
n '●2'
●n
●
m '●
1'
●⑵
c '
d '
e '
f '
a '
b '
a
b
c
d
e
f
⑶
投影分析
N 点的水平投影n
位于Δdef 的外面，说明点N 位于ΔDEF 所确定的平面内，但不位于ΔDEF 这个图形内。
所以ΔABC 和
ΔDEF 的交线应为MK 。
n ●
n '●
m '●
k
●
m ●
k '
●互交
4.求两一般位置平面的交线
方法1：线面交点法方法2：三面共点法
方法1：线面交点法
方法2：三面共点法
（三）垂直问题
一、两直线垂直
直角投影定理
二、直线与平面相互垂直
三、两平面垂直
二、直线与平面垂直
如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此
直线垂直于该平面；如果一直线垂直于一平面，则此
直线垂直于该平面内的所有直线。
•定理
若一直线垂直于一平面，则该直线正面
投影垂直于该平面内正平线的正面投影；
该直线水平投影垂直于该平面内水平线
的水平投影；该直线侧面投影垂直于该
平面内侧平线的侧面投影。
推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线
作直线垂直于平面
作平面垂直于直线
判断直线与平面是否垂直
求点K到平面△ABC的距离
三、两平面垂直
•若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直
•作相互垂直平面的方法：
1、通过一平面的垂线作平面
2、垂直一平面内的一直线作平面
例子
（四）平面上的最大斜度线•平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最大斜度线。
•特性
1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。
2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。
•证明
求平面倾角
（五）综合问题求解
点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。
解题的一般步骤
•弄清题意
•空间分析
•投影分析
•拟定解题方法
举例
试过点K作直线KL，使其同时垂直于两相错直线AB、CD
•空间分析
•投影分析
•拟定解题方法。