03几何元素间的相对关系

投影法基础

第四章几何元素间的相对关系

a b c

m n c 'n 'b '

a 'm '

⑴平面为特殊位置

例：求直线MN 与平面ABC 的交点K 并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC 是一铅垂面，

其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn 的交点即为K 点的水平投影。①求交点

②判别可见性

由水平投影可知，KN 段在平面前，故正面投

影上k 'n '为可见。

还可通过重影点判别可见性。

k '

●

1'(2')作图

k ●

●

2●1

●

⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。

要讨论的问题：

①求两平面的交线

方法：⑴确定两平面的两个共有点。

⑵确定一个共有点及交线的方向。

②判别两平面之间的相互遮挡关系，

即：判别可见性。

可通过正面投影

直观地进行判别。

a b c d

e

f

c '

f 'd X b 'e 'a '

m '(n ')

空间及投影分析

平面ABC 与DEF 都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。

①求交线

②判别可见性

作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。

n ●m

●

●

能否不用重

影点判别？

能!如何判别？

例：求两平面的交线MN 并判别可见性。

⑴

b '

c '

f 'h '

a 'e 'a

b c

e

f

h

1(2)

空间及投影分析

平面EFH 是一水平面，它的正面投影有积聚性。a 'b '与e 'f '的交点m '、b 'c '与f 'h '的交点n '即为两个共有点的正面投影，故m 'n '即MN 的正面投影。

①求交线②判别可见性

点Ⅰ在FH 上，点Ⅱ在BC 上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。

作图

m

●

●

n '●2'

●n

●

m '●

1'

●⑵

c '

d '

e '

f '

a '

b '

a

b

c

d

e

f

⑶

投影分析

N 点的水平投影n

位于Δdef 的外面，说明点N 位于ΔDEF 所确定的平面内，但不位于ΔDEF 这个图形内。

所以ΔABC 和

ΔDEF 的交线应为MK 。n ●

n '●

m '●

k

●

m ●

k '

●互交

4.求两一般位置平面的交线

方法1：线面交点法方法2：三面共点法

方法1：线面交点法

方法2：三面共点法

（三）垂直问题

一、两直线垂直

直角投影定理

二、直线与平面相互垂直

三、两平面垂直

二、直线与平面垂直

如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此

直线垂直于该平面；如果一直线垂直于一平面，则此

直线垂直于该平面内的所有直线。

•定理

若一直线垂直于一平面，则该直线正面

投影垂直于该平面内正平线的正面投影；

该直线水平投影垂直于该平面内水平线

的水平投影；该直线侧面投影垂直于该

平面内侧平线的侧面投影。

推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线

作直线垂直于平面

作平面垂直于直线

判断直线与平面是否垂直

求点K到平面△ABC的距离

三、两平面垂直

•若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直

•作相互垂直平面的方法：

1、通过一平面的垂线作平面

2、垂直一平面内的一直线作平面

例子

（四）平面上的最大斜度线•平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最大斜度线。•特性

1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。

2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。

•证明

求平面倾角

（五）综合问题求解

点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。

解题的一般步骤

•弄清题意

•空间分析

•投影分析

•拟定解题方法