第三讲单自由度系统的振动(阻尼)

nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2

2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这 种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
2 r1 n n 2 0
2 r2 n n 2 0
微分方程的解为
x e
nt
(C1e
2 n 2 0 t
C2 e
2 n 2 0 t
2
d
设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：
0 2 x0 t (t ) x e sin d t1 0 d
01
t1 d

即经过半个周期后出现第一个振幅 x1

1 2
x1 x(t1 ) x0 e
0t1
x0 e
x1 x(t1 ) x0 e
当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数 用cc称为临界阻尼系数。 从式
c 0 2 m k n
cc 2 mk
2 2 r n n 0 为两个相等的实 在临界阻尼情况下，特征根 1, 2
根，即：
r1 n；r2 n
得到振动微分方程的解为
t
Td
义，所以不是周期振动。 d
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特 点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所
需的时间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
阻尼对周期的影响 2 2 2 2 n c Td 2 d 0 - n 2 1 ( n ) 2 0 1 2 其中： 0 2 m k 0 0
阶齐次常系数线性微分方程
2nx x 0 x
2 0
其解可设为：
（1）
xe
rt
代入（1）式，得到特征方程：r 2
2nr 0
2 0
2 2 0
两个特征根为：
r1, 2 n n
该方程通解为：
2 2 r n n 特征根 1, 2 0
2 2 ml ca kb 0 2
20 x 0 x 0 x cx kx 0 m x
2 kb b 无阻尼固有频率：0 2 ml l
a c
k m
m

ca 2 2 0 2 ml
ca2 ca2 m 2 2m l 0 2m lb k
k
c
m
2.振动微分方程
当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时 可以不再计入重力作用。
c c m
f (t )
k
m
xs
k
kx
cx
m
o x x
x
m x
o x
振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
dx （2）粘性阻尼力 Fc c cx ；方向与速度方向相反。 dt
特性的一个参数。
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰 减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的 两点P、R的幅值之比xP/xR=，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比。
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Ae
nt
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd xR
d n
2 0
2
称有阻尼自由振动的圆频率
x Ae
nt
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n
2 x0 n n2 arctan 0 nx0 x
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
由题知
0t1
x0 e


1 2
x1 e x0


1 2
10%
解得：
0.59
例：
小球质量 m 刚杆质量不计 a
c k b l
m
求： （1）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率
解： 广义坐标 ；受力分析；
c a b
2
m k l
a a kb b 0 力矩平衡：m l l c
cc 2nm 20m 2 km
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
x
＝1 >1
c 2nm n cc 20 m 0
ζ 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是ζ 称为阻尼比的原因。
t
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。
因此质量 m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动， 临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现 反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而 且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然， 只有临界阻尼器才能满足这种要求。
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
Ai 1 Ae
这两个相邻
n(ti Td )
Ai+1
Ai Ae nTd n (ti Td ) e Ai 1 Ae 振幅之比为:
η 称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振
动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
nt i
由
Ai Ae nTd n (ti Td ) e Ai 1 Ae
m
x
m
x
系统的临界阻尼系数为:
达朗贝尔原理
cc 2 mk 2 0.05 2000 20N s / m
阻尼系数:
c cc 0.0643 N s/m
*例：阻尼缓冲器 静载荷 P 去除后质量块越过平衡位 置的最大位移为初始位移的 10％ 求： 缓冲器的相对阻尼系数
P
xe
nt
(C1 C2t )
其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。 上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 因此运动已不具有振动的特点。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系 统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于ζ =n/ω0 =1，即
平衡位置
0
x0
m
k c
x

解： 设 x(0) x0 0 0 x0 x t x(t ) e ( x0 cos d t sin d t ) d
(0) 0 由题知 x
0
P m k
平衡位置
0
x0 x c
0 x0 0t 求导 ： x (t ) e sin d t
2 r1 n i 0 n2
2 r2 n i 0 n2
微分方程的解 x Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱer1t C2er2t 可以表示为：
2 x Ae nt sin( 0 n2 t ) 或
x Ae
nt
sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
x C1e C2e
r1t
r2t
为实数或复数时，运动规律有很大
不同，因此下面按 n<ω0， n>ω0和 n=ω0三种不同情形分别进行讨论。
3.小阻尼情形
c 当 n<ω0 时 ， ；其中 n 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
2 特征根 r1, 2 n n 2 0 为共轭复数，即：
ζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。 在小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率
ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98