2019年全国高考理科数学数学分类汇编---选考不等式

2019年全国高考理科数学分类汇编-----选考不等式

1.（2019全国1卷理科）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：

（1）222111a b c a b c

++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c

ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()

()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为

()()()333a b b c c a +++++≥.

【详解】（1）1abc = 111111a b c b c a c a b

a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ (

)()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++

当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭

，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）

()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号

又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）

()()()333

3a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

2.（2019全国2卷理科）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--

（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；

（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.

【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞

【解析】

【分析】

（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.

【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；

当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2

(10)x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；

当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式解集为(,1)-∞；

（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；

当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a

-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；

综上，a 的取值范围是[1,)+∞.

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

3.（2019全国3卷理科）设,,x y z R ∈，且1x y z ++=

.

（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；

（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥

成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1)

43；(2)见详解. 【解析】

【分析】

(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3

x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.

【详解】(1)

22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3

x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩

时等号成立 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为

43. (2) 因为2221(2)(1)()3

x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩

时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立. 所以2

(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-.

【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.