时间序列分解法和趋势外推法
第4章时间序列分解法和趋势外推法-精品文档
3
4 2019.1 2 3 4
3470
4525 5258 5189 3596 3881
4533
4590 4626 4562
4.2 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法的概念和假设条件 概 念 假 设 目 的 当预测对象无季节变化依时间呈现某种上升 或下降趋势，且能找到一个合适的函数来反 映这种趋势，就可用趋势外推法进行预测。 1.影响经济现象的因素不变； 2.预测对象的变化呈渐进趋势。
yt ka
bt
数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数 数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3 多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
T S C I ｂ）乘法模型：y t t t t t
y T S C I t t t t t y T S C I t t t t t
人口、技术、消费者偏好
1）长期趋势（Trend）:受决定性因素的影响 ； 在较长时间内；持续上升或下降。 2）季节因子（Seasonal）:由于自然条件或社会 因素造成；一年内稳定的周期波动。 3）循环变动（Cyclical）:由于政治或经济因素； 以数年为周期；涨落相间的周期变动 a.）概念不同; b.）影响因素不同; c.）周期变动的规律不同。 4）不规则变动(Irregular)：由于偶然因素引起的 无规律变动。
时 间 90 91 92 93 94 95 96 97 98
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时间序列分解法和趋势外推法
时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法是两种常用的时间序列分析方法。
时间序列分析是一种用来预测未来数据趋势和周期性的统计学方法。
时间序列分解法是一种将时间序列数据分解成趋势、周期性和随机成分的方法。
它的基本假设是时间序列数据是由多个不同的组成部分构成的，通过将这些组成部分分离出来，我们可以更好地理解数据的特征和行为。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的和。
趋势指的是数据的长期演变趋势，周期性表示数据在一段时间内出现的重复模式，而随机成分则代表了无法归因于趋势和周期性的随机波动。
加法模型的优点是适用于各种类型的时间序列数据，并且容易理解和解释。
乘法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的乘积。
乘法模型假设趋势和周期性分量与数据的幅度成比例，这意味着它适用于数据波动较大的情况。
与加法模型相比，乘法模型更适用于数据幅度随时间变化的情况。
趋势外推法是一种基于时间序列数据的趋势进行未来预测的方法。
它假设趋势是时间序列数据最主要的特征，通过拟合趋势线并对其进行外推，我们可以预测未来数据的变化趋势。
趋势外推法常用的方法包括线性趋势外推和指数趋势外推。
线性趋势外推假设趋势是线性的，即数据随时间的变化呈现线性增长或减少的趋势。
通过线性拟合找到数据的趋势线，然后根据趋势线的斜率和截距，预测未来数据的变化趋势。
线性趋势外推是最简单的趋势外推方法，但它假设趋势是恒定的，忽略了数据的非线性特征。
指数趋势外推假设趋势是指数增长或指数衰减的，即数据呈现幂函数的趋势。
通过拟合指数增长或衰减曲线找到数据的趋势线，然后根据趋势线进行未来数据的预测。
指数趋势外推较线性趋势外推更灵活，能够更好地适应不同的趋势模式。
总之，时间序列分解法和趋势外推法是时间序列分析的常用方法。
时间序列分解法可以将数据分解成趋势、周期性和随机成分，帮助我们更好地理解数据的特征和行为。
医学时间序列分解法和趋势外推法
时 90 91 92 93 94 95 96 97 98 7
间
6
5
4
人
3
4.6 4.9 5.14 5.33 5.48 5.6 5.7 5.78 5.84
口
2
1
0 123456789
３．数据变化规律（积差法）：
曲线名称 模型
判别标准
直线
yˆ ab一t 次增长量为常数
抛物线 yˆabtct二2 次增长量为常数
4.3 多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征
y ˆt a b tc2t d3 t
1.二次抛物线 yˆt abtct2
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度； c：趋势增长的加速度； ｄ：趋势增长加速度的增长率。
二、参数估计方法(三y ˆt次 抛a物b 线) tc2 td3t
3.剔除长期趋势影响，为继续分析创造条件。
二、趋势模型的类型
1.多项式曲线外推模型：y ˆt b 0 b 1 t b 2 t2 b ktk
2.非线性趋势
yˆt aebt
指
数
函
数
=-1
1
=1
幂
<-1
0< < 1
函
-1< <0
数
yˆt abct 修
正 指 数
<0
对
数
函
yˆt ablnt 0
数
S
yt型
1Hale Waihona Puke L aebt曲
yˆ t线 ka bt
>0 <0
三、趋势外推预测模型的选择
时间序列分解法和趋势外推法讲义(PPT46张)
y t na c t ty t b t t t
2 3 2
2
yt yt
a t c t b t d
d
2
t
4
4
4
t6
几点说明: 原点位置：时间数列的第一项或正中位置;
yt
n ty t
t
2
（2）选点法：
TR 每点选五项： b n 5 （n>10） R a 11 b
3
( 数列首 尾各 取 5 项加权平均
每点选三项 (6≤n<0)
TR b n 3 7 a R 3b
( 数列首 尾 各取 3 项加权平均
年＼季
实际销 售额
趋势循 环因子 （移动 平均） 3909 3982 4029 4111
3017 3043 2094 2809 2773 2820
2000.1 2 3 4
3849 3701 2642 3585
2004.1 2 3 4
4360 4360 3172 4223
1997.1
2 3 4 1998.1 2
yt ka
bt 数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数
数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3
多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义一、时间序列分解法时间序列分解法是将一个时间序列数据分解为几个不同的成分，从而更好地理解和预测时间序列的趋势和季节性。
时间序列可以包含趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclical）和随机性（Irregularity）等多个成分。
时间序列分解法的步骤如下：1. 平滑法：首先对原始数据进行平滑操作，以去除季节性和随机性的影响。
常用的平滑方法有简单平均法、加权平均法和指数平滑法等。
2. 趋势估计：通过对平滑后的序列进行趋势估计，得到时间序列的趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
3. 季节性调整：将平滑后的序列减去趋势线，得到季节性成分。
季节性成分可以用于对未来季节性的预测。
4. 周期性调整：将季节性成分减去周期性成分，得到去除季节性和周期性的序列。
5. 随机性分析：对去除季节性和周期性的序列进行随机性分析，以检查是否存在随机性波动。
时间序列分解法的优点是能够更好地理解时间序列的组成成分，并且能够提供对未来趋势和季节性的预测。
然而，该方法的缺点是对于包含较多周期性成分的序列，可能无法准确地分解出趋势和季节性等成分。
二、趋势外推法趋势外推法是利用时间序列数据中的趋势成分进行未来数值的预测。
该方法假设时间序列的趋势相对稳定，根据过去的趋势发展，推断未来的发展方向。
趋势外推法的步骤如下：1. 趋势估计：首先对时间序列进行趋势估计，得到趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
2. 趋势外推：根据趋势线的发展趋势，预测未来的数值。
可以利用历史数据的增长速率进行线性外推，也可以利用拟合的趋势函数进行非线性外推。
趋势外推法的优点是简单易用，速度快，适用于短期或趋势相对稳定的预测。
然而，该方法的缺点是对于趋势波动较大或突变的时间序列，预测结果可能存在较大的误差。
三、实施过程实施时间序列分解法和趋势外推法的具体步骤如下：1. 收集时间序列数据：收集需要分析和预测的时间序列数据，可以是销售数据、股票交易数据等。
第七章时间序列分解法和趋势外推法
（1）直观法—主观法 （2）模拟法---客观法
2019/11/30
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7.2 样本序列具有非水平趋势的外推预测
最优 的求取
（1）穷举法 步长（0，1） （2）优选法---0. 618法
第一步：取第一个 的值记为 1 ，
1 (1 0) 0.618 0.618
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趋势外推法的两个假定：
（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；
（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。
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二 、趋势模型的种类
多项式曲线外推模型：
一次（线性）预测模型：
yˆt b0 b1t
二次（二次抛物线）预测模型： yˆt b0 b1t b2t 2
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实际销售量 3个月的滑动平均预测值 4个月的滑动平均预测值
20
21
23
24
21.3
25
22.7
27
24.0
26
25.3
25
26.0
26
26.0
28
25.7
27
26.3
29
27.0
22.0 23.3 24.8 25.5 25.8 26.0 26.3 26.5
19
7.2 样本序列具有非水平趋势的外推预测
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（2） 季节变动因素（S） 是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。
（3） 周期变动因素（C） 周期变动因素也称循环变动因素，它是受各 种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。
时间序列分解法
信息分析
趋势外推法的两个假定： 1假设事物发展过程没有跳跃式变化；
2假定事物的发展因素也决定事物未来的发展; 其条件不变或变化不大
信息分析
二 趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：
一次线性预测模型：
二次二次抛物线预测模型：
三次三次抛物线预测模型：
yˆt b0 b1t yˆt b0b1tb2t2
yˆt b0b1tb2t2b3t3
皮尔曲线预测模型为：
yt
L 1 aebt
信息分析
曲线拟合优度分析
一 曲线的拟合优度分析
如前所述;实际的预测对象往往无法 通过图形直观确认某种模型;而是与几种 模型接近 这时;一般先初选几个模型;待对 模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪 一种模型
lgylgkbt lga
龚珀兹曲线对应于不同的lg a与b的不同取值 范围而具有间断点 曲线形式如下图所示
信息分析
k
(1) lga<0 0<b<1
k (3) lga>0 0<b<1
k
(2) lga<0 b>1
k (4) lga>0 b>1
信息分析
k
1 lga<0 0<b<1
渐进线k意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态
时序 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
总额 yt
276 8 348 0 381 1 392 2 461 0 474 2 548 0 638 0 696 9 607 7 604 0
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时间序列分解法和趋势外推法
二 时间序列分解和预测模型
ａ加法模型： ytTtStCtIt
ｂ乘法模型： yt TtStCtIt
yt T tS t C tIt yt T tS tC tIt
人口 技术 消费者偏好
1长期趋势Trend:受决定性因素的影响 ； 在较长 时间内；持续上升或下降
2季节因子Seasonal:由于自然条件或社会 因素造成；一年内稳定的周期波动
yˆt 4.03*1.34 t
作业： 1;古典时间序列分解法的基本思路是什么 此方法使用时应 该注意哪些问题
居民储蓄存款 5 67 7 89 9 56 13 87 16 75 21 62 28 34 39 86 54 16 74 84 94 38 129 94
解：1用最小平方法建立模型：
年份
t
1990 11 1991 9 1992 7 1993 5 1994 3 1995 1 1996 1 1997 3 1998 5 1999 7 2000 9 2001 11 ∑
(数列尾 首各 取5项加权平均 (数列尾 首 各取 3项加权平均
例：某地居民历年储蓄存款余额资料如下;试预测
2002年该地居民历年储蓄存款余额
资料来源：中国统计年鉴2002
单位：亿元
时间 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
1 指数曲线预测模型：
２ 参数的经济含义：
ａ：基期发展水平； ｂ：时间每变化一个单位环比发展速度； ｔ：时间变量
3 判别标准：时间数列的环比发展速度为常数
4 特点：在半对数坐标轴中为线性趋势
ly g ˆt la g tlb g
YABt
Yt lnyt,Alna， B lb g
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义时间序列分解方法是一种常用的时间序列分析方法，用于将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个组成部分。
时间序列分解方法可以帮助我们更好地理解和预测时间序列数据的变动规律，具有广泛的应用领域。
一、时间序列分解方法时间序列分解方法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个部分的方法。
这三个部分分别表示了数据的长期趋势、周期性变动和随机波动。
时间序列分解方法基于以下假设：1. 时间序列数据可以被分解为趋势、季节性和随机性三个部分；2. 趋势是数据的长期变动趋势，可以通过回归分析等方法来进行估计；3. 季节性是数据的周期性变动，可以通过季节分析等方法来进行估计；4. 随机性是数据的随机波动，无法预测。
时间序列分解方法通常包括以下步骤：1. 确定时间序列数据的周期性；2. 估计趋势；3. 估计季节性；4. 估计随机性。
在实际应用中，可以使用不同的方法来进行估计，如平均值法、移动平均法、指数平滑法等。
根据具体的问题和数据特点，选择合适的方法进行时间序列分解。
时间序列分解方法的优点是能够将时间序列数据分解为不同的组成部分，帮助我们更好地理解数据的变动规律。
同时，时间序列分解方法也可以用于数据的预测和分析，提供更准确的预测结果和决策支持。
二、趋势外推法趋势外推法是根据时间序列数据的趋势特点，通过拟合趋势方程来预测未来的数据值。
趋势外推法常用的方法有线性趋势外推法和非线性趋势外推法。
线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个线性函数，然后通过拟合线性方程，预测未来的数据值。
线性趋势外推法具有简单易行和计算方便的优点，适用于具有线性趋势的时间序列数据。
非线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个非线性函数，然后通过拟合非线性方程，预测未来的数据值。
非线性趋势外推法相对于线性趋势外推法更加灵活，能够适应更多样的趋势形态，但计算复杂度更高。
趋势外推法的关键是选择合适的趋势方程进行拟合。
第4章 时间序列分解法和趋势
1997 38.0
销售量 10.0 （万件）
试预测1998年的销售量，并要求在90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。
第一步，确定预测模型。
1.描散点图，初步确定预测模型。 从散点图的形状判断，该产品的销售量基本上符合抛物线模型。
同样可得1998年其他各季度的销售额预测值如下表,其中C值均是根 据历史数据采用主观判断法确定的.
季度
1998 1998 1998 1998 1 2 3 4
T
4644.865 4683.819 4722.773 4761.728
S
1.21397 1.093855 0.753595 1.031154
C
0.98 0.99 1 1
销售额 预测值
5104.561 5072.184 3559.057 4910.073
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4.2 趋势外推法概述
一、趋势外推法的概念和假定条件
1.趋势外推法的概念
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且无明显的季 节 波动，又能找到合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可用时间t为自变 量，时序数值y为因变量，建立趋势模型 y=f(t) 当有理由相信这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量t所需要的值，可以得 到相应时刻的时间序列未来值。 2.趋势外推法的假设条件 （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化。 （2）假设事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变 化不大。也就是说，假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来， 能 代表未来趋势变化的情况，即未来和过去的规律一样。
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二、趋势模型的种类
（一）多项式曲线预测模型
ˆ 1.一次（线性）预测模型： yt b0 b1t 2 ˆ y 2.二次（抛物线）预测模型： t b0 b1t b2t 2 3 ˆ 3.三次预测模型： yt b0 b1t b2t b3t 2 n ˆ 4.n次预测模型： yt b0 b1t b2t bnt
第四章：需求预测：时间序列分解法和趋势外推法(旅游地理学(PPT))综述
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差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到 平稳序列。 一阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1
二阶向后差分可以表示为：
yt yt yt 1 yt 2 yt 1 yt 2
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差分法识别标准：
差分特性 使用模型
一般形式：
ˆt b0 b1t b2t 2 bk t k y
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指数曲线预测模型： 一般形式 ：
ˆt ae y
bt
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆt a bc y
t
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对数曲线预测模型：
ˆt a b ln t y
生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线测模型 ：
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（2） 季节变动因素（S） 是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。 （3） 周期变动因素（C） 周期变动因素也称循环变动因素，它是受各 种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。 （4） 不规则变动因素（I） 不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然 因素影响所形成的不规则变动。
Y y I TSC
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4.2 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法概念和假定条件
趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降 趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适 的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势 外推法进行预测。
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趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；
4 时间序列分解法和趋势外推法
4.1 时间序列分解法
4.2 趋势外推法概述
第四章 时间序列分解法和趋势外推法
3
定性预测与定量预测的区别与联系
（1）定性预测注重于事物发展在性质方面的预测，具有较 大的灵活性，易于充分发挥人的主观能动作用，且简单、 迅速，省时省费用； 但易受主观因素的影响，比较注重于人的经验和主观 判断能力，从而易受人的知识、经验和能力的多少大小的 束缚和限制，尤其是缺乏对事物发展作出数量上的精确描 述。
使用模型
一次线性模型 二次抛物线模型 三次抛物线模型
一阶差比率(yt/yt-1)相等或大致相等
一阶差分的一阶比率(yt-yt-1)/(yt-1-yt-2) 相等或大致相等
指数曲线模型
修正指数曲线模型
27
作业 【1】以下为某公司1993-2002年历史销售数据,请运用 差分法,确定适用模型的类型.
年份
2741.333 2805.633 2773.483 2
【注意】 居中平均序列TC不含季节因素S和不规则因 素I，见（5）栏。
16
用Y除以TC，即得到只含季节因素S和不规则因素 I的序列SI(%)，见（6）栏。
季节指数就是由SI求得，方法如下： 先将序列SI重新排序，如P65表4-2；再求出各年的 同季平均数；最后作修正处理，使得四季平均数之和 为400，这时的平均数即为季节指数（%）。
本题中见表4-2，先在表下求得各季SI之和，再求 得其平均数，最后修正得到季节指数（%）。
17
1996
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
18
（2）求长期趋势T 利用上章线性回归预测法，建立销售额Y和时间t（季度 序列）的长期回归预测方程： T=2736.101+38.954t 如t=46（2007年第2季度）时，其长期趋势为 T=2736.101+38.954×46=4528.00156 其它类推，可求得长期趋势因素T序列，如表4-1（7）栏。 （3）求周期波动因素C 将序列TC除以T即可得到周期变动因素C， 时间序列分解法和趋势外推法
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总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
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（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。
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（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法
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(4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 ： 两边取对数：
产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：
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其中调整的
，
，则
方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差
为：175.37。
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用
二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用 方程：
直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。
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（2） 季节变动因素（S） 是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。
（3） 周期变动因素（C） 周期变动因素也称循环变动因素，它是受各 种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动
。
（4） 不规则变动因素（I） 不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然 因素影响所形成的不规则变动。
总额 （ yt ） 276.8 348.0 381.1 392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7 604.0
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （பைடு நூலகம்）
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
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二、时间序列分解模型 时间序列y可以表示为以上四个因素的函数 ，即：
时间序列分解的方法有很多，较常用的模型 有加法模型和乘法模型。
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加法模型为： 乘法模型为：
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三、时间序列的分解方法 （1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得
到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出 季节指数S。 （2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长 期趋势，得到长期趋势T。
进行预测将会取得较好的效果。
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二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：
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例题
•例1
下表是我国1952年到1983年社会商品 零售总额（按当年价格计算），分析预测 我国社会商品零售总额 。
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年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
时间序列分解法和趋势 外推法
2020年5月31日星期日
4.1 时间序列分解法
一、时间序列的分解
经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变 动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。 其中： （1） 长期趋势因素（T）
反映了经济现象在一个较长时间内的发展方 向，
它可以在一个相当长的时间内表现为一种近 似
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
时序 （t）
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
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（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到 周期变动因素C。
（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的
即为不规则变动，即：
•y
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4.2 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法概念和假定条件
趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降 趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适 的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势 外推法进行预测。
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差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到 平稳序列。 一阶向后差分可以表示为：
二阶向后差分可以表示为：
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差分法识别标准：
差分特性 一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等 三阶差分相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等 一阶差分的一阶比率相等或大致相等
确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们
将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
适用的指数曲线模型为：
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（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后 运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得 到估计模型为：
其中调整的
，
程
， 则方
通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7 。
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指数曲线预测模型： 一般形式 ： 修正的指数曲线预测模型 ：
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对数曲线预测模型： 生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
龚珀兹曲线预测模型 ：
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三、趋势模型的选择
图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。
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趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，
其条件是不变或变化不大。
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二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型： 二次（二次抛物线）预测模型： 三次（三次抛物线）预测模型： 一般形式：
使用模型 一次线性模型 二次线性模型 三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
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4.3 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法
一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为：
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设有一组统计数据 ， ，…， ，令 即：
解这个三元一次方程就可求得参数。