切线的性质及判定

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切线的性质与判定

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数．解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

切线的判定和性质

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

切线的定义和判定定理

切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。

以下是关于这个主题的详细解释。

一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。

这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。

在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。

切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。

切线与经过切点的半径垂直。

切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。

二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。

这是最直接的判定方法，也是最常用的。

判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。

这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。

判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。

这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。

在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。

同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。

在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。

在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。

通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。

此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。

因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。

圆的切线的性质和判定

A
B
F
O
E
DG
C
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的 ⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．
(1)求证：直线FG是⊙O的切线；CΒιβλιοθήκη G DEAO
B
F
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的 ⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．
B P
O
A
C
Q
中点
OQ∥AB
中位线
角平分线
OB=OP
B
中
线
AQ=PQ CQ=PQ
P
O
等角
A
C
Q
2.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中
点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，
连接CF．
(1)求证：CF与⊙O相切；
(2)点G在线段DC上,且EG=AB，试判断EG和
⊙O 的位置的关系，并说明理由。
1、切线的判定方法：
(1)直线和圆有唯一公共点； (2)圆心到直线的距离等于半径
（d=r)； (3)切线的判定定理.
2、题型：
(1)直线和圆的公共点确定；连半径，证垂直。
(2)直线和圆的公共点不确定；作垂线，证半径。
1、如图，在△ABC中，∠BCA =90°,以BC 为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)如图①若AC=10，cosA= 2 ，求CG长．
5
C
G D
E
A
O
B
F
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的

圆的切线性质与判定

圆的切线性质与判定圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。

其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。

本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。

一、圆的切线定义切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。

切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。

圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。

二、圆的切线性质1. 切线与半径的关系在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。

2. 切线长度圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。

3. 切线的唯一性一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。

4. 外切线与内切线若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。

5. 切线相交性质若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。

三、圆的切线判定方法1. 分析法根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。

2. 考察斜率法假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。

3. 使用代数方程法对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。

通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。

四、应用举例1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。

2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。

3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。

总结：圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。

通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。

掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。

切线的判定和性质

切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

切线的性质

判定直线与圆相切有哪些方法？
•①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 •经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 •证明方法： 1、连半径，证垂直。2、作垂直，证半径。
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆的切线和圆心的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
O B
（3）
B
D
（2）
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ 60 _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切于点A, 则⊙O的直径为。
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°, 点C是优弧上的一点,则∠ACB=___ 65 度.
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切，则BC的长为，以A为圆心，1为。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点 B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为。
A
A C
O
A B
B
D
C B
C
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
D C
A
O
B
8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。 D C
A
（8）
B
O
作业：
1、101页习题24.2第4、5、14题。

切线的性质

O l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理切线判定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

初中数学切线的性质和判定

图29－3
线的性质和判定
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．

切线的判定与性质

解：连接OC
∵ CB切⊙O于C ∴ OC ⊥ BC
O D
B
在Rt△BOC中∠B＝30°OB＝6
C
∴ OC=3
3 3 ∴ BC= OB2 OC2 = 注：在已知圆的切线时常连接过切点的半径
挑战自我
如图在直角梯形ABCD中∠B=90°AD∥BC ∠C= 30° AD=1AB=2. 试猜想在BC是否存在一点P使得⊙P与线段CD、AB都相切如存在请确定⊙P的半径;如不存在请说明理由
小结
例1与例2的证法有何不同
D
B
O
连接OC A
O 过O作OE⊥AC
交点C已给出
A
B
C
E
于E交点E未给出
C
1如果已知直线与圆有公共点则连接这点和圆心得
到辅助半径再证所作半径与这直线垂直简记为：有
交点连半径证垂直用判定定理证
2如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点则过圆心作直线的垂线段为辅助线再证垂线段长等于半径长简记为：无交点作垂直证半径用数量法d=r证
垂直于这条半径的的外直端线点是A 圆的切线
条件二：直线l 垂直于半径OA
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何符号表达：
∵ OA是半径 OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线
O l
A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线 × 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线 × 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ×
2、数量法d=r ：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
相切 d=r
切线具有什么性质
１、切线和圆只有一个公共点２、圆心到切线的距离等于半径

切线的性质和判定最新课件

段，再证明这条垂线段等于圆旳半径。（作垂直，证半径）
3. 圆旳切线性质定理：圆旳切线垂直于圆旳半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。
总结：
1.切线和圆只有一种公共点. 2.切线和圆心旳距离等于半径. 3.切线垂直于过切点旳半径. 4.经过圆心垂直于切线旳直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线旳直线必过圆心.
∴AC与⊙O相切
课堂小结
1. 鉴定切线旳措施有哪些？
与圆有唯一公共点
l是圆旳切线
直线l 与圆心旳距离等于圆旳半径经过半径外端且垂直这条半径
l是圆旳切线 l是圆旳切线
2. 常用旳添辅助线措施？
⑴直线与圆旳公共点已知时，作出过公共点旳半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆旳公共点不拟定时，过圆心作直线旳垂线
A
O
E C
小结
例1与例2旳证法有何不同?
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)假如已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)假如已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线旳垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
∵ AB为直径
A
∴ OB=OA， ∵BP=PC， ∴OP∥AC。
O
E B PC
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0旳切线。
例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。
D
B

切线的性质及运用

例1.在Rt△ABC中,∠B=90°,点D为BC上一点,以D 为圆心,DB长为半径作⊙D，AC恰好与⊙D相切. 求证: AD平分∠BAC.
独立作业
挑战自我
驶向胜利的彼岸
• P102:习题24.2 第12题 •祝你成功!
当要证明某直线是圆的切线时：（1）如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可；（2）如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径即可。
二、切线的性质：
O l A
性质1：切线与圆有且只有一个公共点。
性质2：圆心到切线的距离等于圆的半径。
切线的性质
数学组——谭友书
Hale Waihona Puke 一、复习1、切线的判定方法：
判定1：直线和圆有且只有一个公共点时，直线是圆的切线。判定2：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。判定3：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的判定的运用
提示：在运用切线的判定和性质时，往往需要
添加辅助线。
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。性质4: 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。性质5：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
三、切线的性质的运用
提示：在运用切线性质时，往往需要添加辅助
线。 1、当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线。

切线的判定与性质

B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数公共点名称
直线名称圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个交点
割线
Or d
l A
1个切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：

切线的判定和性质

切线的判定和性质1. 引言在数学中，切线是研究曲线的一个重要概念。

切线可以描述曲线在某一点上的局部行为，并有着独特的性质。

本文将介绍切线的判定方法，以及切线的一些重要性质。

2. 切线的判定方法2.1 直观判定法直观上，我们可以将切线理解为与曲线在某一点相切且只在该点上与曲线相交一次的直线。

从几何的角度来看，我们可以通过观察曲线在某一点的附近形状来判定该点是否存在切线。

2.2 解析判定法除了直观的方法，我们还可以通过解析的方法来判定切线的存在。

对于给定的曲线，我们可以求得其导数，并通过导数的性质来进行判定。

切线的斜率等于曲线在该点的导数值。

因此，如果曲线在某一点的导数存在且不为无穷大，那么该点存在切线。

具体而言，我们可以通过以下步骤来判定切线的存在：1.求得曲线的导数。

2.计算曲线在给定点处的导数值。

3.判断导数值是否为有限数值。

如果导数值存在且不为无穷大，则该点存在切线。

3. 切线的性质切线作为曲线的局部近似，具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

3.1 切线与曲线的关系切线与曲线相切于该点，因此，切线与曲线在该点处具有相同的斜率。

这意味着切线可以用来近似曲线在该点的局部变化趋势。

3.2 切线的方程对于给定曲线上的点P(x0, y0)，过该点的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)其中，m为曲线在点P处的斜率。

3.3 切线的唯一性切线与曲线相交于该点且只在该点上相交一次，因此切线是唯一的。

换句话说，通过给定点且与曲线相切的直线只有一条。

3.4 切线的性质总结综上所述，切线具有以下性质：•切线与曲线在相切点处具有相同的斜率。

•切线的方程可以表示为 y - y0 = m(x - x0)，其中m为曲线在相切点处的斜率。

•给定点且与曲线相切的切线是唯一的。

4. 总结本文介绍了切线的判定方法和一些重要性质。

我们可以通过直观判定法或解析判定法来判断切线的存在，切线具有与曲线在相切点处相同的斜率，可以用来近似描述曲线的局部行为。

24.2.2切线的判定、性质和切线长定理

例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD A ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
D O E
B
C
例1与例2的证法有何不同?
D O A E A C O B
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
3.切线长和切线长定理。 4.三角形的内切圆，三角形的内心
作业： 1.《书本》P101 第4、5、6题 2.《优化设计》P52~53
切线的判定和切线长定理
观察与思考
问题2：砂轮转动时，火花问题1：下雨天，转动的雨伞是沿着砂轮的什么方向上的水滴是顺着伞的什么方飞出去的? 向飞出去的?
想一想过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
A 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I。

切线的性质和判定

老师寄语
知识改变命运，努力成就未来
29.3切线的性质
O
A
TBΒιβλιοθήκη 问题：1、当你在下雨天快速转动雨伞时水珠飞出的方向是什么方向？
2、砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天当你快速转动雨伞飞出的水珠，在砂轮上打磨
工件飞出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
反证法的步骤：
第一步：假设结论不成立第二步：推导，一般情况是推
导过程中出现矛盾，或者和已知问题的条件矛盾第三步：下结论
反证法证明切线性质
证明：假设OT与AB不垂直, 过点O作OM⊥AB,垂足为M,
∴OM<OT,即d<r,因此,AB
与⊙O相交.这与已知条
件“直线AB与⊙O相切”
相矛盾.
A
∴OT与AB垂直.
O TM B
一、切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。 3、圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的判定与性质课件

学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．