向量共线与平面向量的基本定理教师版

§3从速度的倍数到数乘向量

课标解读 1.掌握数乘向量的运算及几何意义．(重点) 2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理．(难点) 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义.

数乘向量及其运算律

1．数乘向量

(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .

(2)长度：|λa |＝|λ||a |.

(3)方向：λa 的方向⎩

⎪⎨⎪⎧

当λ＞0时，与a 的方向相同；当λ＜0时，与a 的方向相反. (4)几何意义：将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．

2．运算律

向量的数乘运算满足下列运算律：

设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ；

(2)λ(μa )＝λμ a ；

(3)λ(a ＋b )＝λ a ＋λ b .

共线向量定理 1．判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λ a ，则向量b 与非零向量a 共线．

2．性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λ a .

向量的线性运算

计算：(1)3(6a ＋b )－9(a ＋13b )；(2)12[(3a ＋2b )－(a ＋12b )]－2(12a ＋38

b )； (3)2(5a －4b ＋

c )－3(a －3b ＋c )－7a .

【自主解答】 (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .

(2)原式＝12(2a ＋32b )－a －34b ＝a ＋34b －a －34

b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2

c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .

1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，

但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．

(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14

(6a －7b )]； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23

b )＋(2b －a )． 【解】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b ]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b ]

＝23(52a －1112b )＝53a －1118

b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝(13－1－1)a ＋(－1＋23

＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53

(2i －j ) ＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－53

i －5j .

共线向量定理及应用

已知两个非零向量a 、b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →

＝a ＋3b .

(1)证明：A 、B 、C 三点共线．

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．

【思路探究】 (1)AB →＝OB →－OA →→AC →＝OC →－OA →→找出AB →与AC →

的等量关系

(2)令k a ＋b ＝λ(a ＋k b )→利用a 与b 不共线，求λ、k

【自主解答】 (1)证明 由于OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →

＝a ＋3b ，

则AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －a －b ＝b ，而AC →＝OC →－OA →

＝a ＋3b －a －b ＝2b ，

于是AC →＝2AB →，即AC →与AB →共线， 又∵AC →与AB →

有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．

(2)解 由于a 、b 为非零向量且不共线，∴a ＋k b ≠0.

若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则必存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

整理得：(k －λ)a ＝(λk －1)b ，

因为非零向量a 、b 不共线，

因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0λk －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1λ＝1，或⎩

⎪⎨⎪⎧

k ＝－1λ＝－1， 即存在实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，

此时k ＝1.或存在实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，

此时k ＝－1，因此，k ＝±1都满足题意．

1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．

2．证明两个向量a 与b 共线时，只需证明a ＝λb (b ≠0)．若已知a 与b (b ≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a ＝λ2b .

利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A ，B ，C 三

点共线，只需证AB →＝λAC →或AB →＝kBC →(λ，k ∈R )等；要证AB ∥CD ，只需证AB →＝λCD →

(λ∈R )．也可解决相关求参问题．

已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1.若a 与b 共线，则( )

A ．λ＝0

B ．e 2＝0

C ．e 1∥e 2

D ．λ＝0或e 1∥e 2

【解析】 e 1∥e 2时，显然a 与b 共线；若e 1，e 2不共线，设a ＝k b ，则有(1－2k )e 1＋λe 2

＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2k ＝0，λ＝0，，即⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝12，λ＝0.【答案】 D 向量线性运算的综合应用