二项式定理训练题(含答案)
(完整版)二项式定理高考题(带答案)
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数.9.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =． 11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A23.（2016年天津高考）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。
二项式定理习题(带答案)
（A）－540
（B）－162
（C）162
（D）540
33、A 解析：令 x=1，得 2n=64，得 n=6.设常数项为 Tr+1= Cr6（3 ）6-r·（- ）r
=Cr636-r·（-1）r·x3-r 令 3-r=0 得 r=3.∴常数项 T4=-540.
36、在
的二项展开式中，若只有 的系数最大，则
6、C7、C8、A9、A
16、3.若
的展开式中 的系数是(
A.14 )A
B.－14
B
C
C.42 D
D.－42
17、在
的展开式中 的系数是 （ ）A.－14 B.14 C.－28 D.28
16、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B. 17、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B.
（3）二项式系数的和：
C
0 n
C1 nCຫໍສະໝຸດ 2 nCk n
C
n n
2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
C0n +C2n +
=C1n +C3n +
=2n-1
对称性 （2）二项式系数的三个性质 增减性和最值
二项式系数和
基本题型
(一)通项公式的应用
1、 (2x 1 )6 的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； x
（完整版）二项式定理（习题含答案）
（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。
C10B。
-C10C。
C10D。
-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。
6B。
12C。
24D。
483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。
-297B。
-252C。
297D。
2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。
必为偶数B。
必为奇数C。
奇偶数均可D。
不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。
第6项B。
第5、6项C。
第7项D。
第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。
1B。
-1C。
0D。
(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。
第四项和第五项B。
第五项C。
第五项和第六项D。
第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。
-540B。
-162C。
162D。
540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。
11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。
2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。
高中数学二项式定理综合测试题(有答案)
高中数学二项式定理综合测试题（有答案）选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a＋b)2n 的睁开式的项数是()A ．2n B． 2n＋ 1C．2n－ 1D． 2(n＋ 1)[答案]B2． (x－y)n 的二项睁开式中，第r 项的系数是 ()A ．CrnB ．Cr＋ 1nC．Cr－ 1n D ． (－ 1)r－ 1Cr－1n[答案] D3．在 (x－ 3)10 的睁开式中， x6 的系数是 ()A ．－ 27C610B ． 27C410C．－ 9C610 D ． 9C410[答案] D[ 分析 ]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得 r＝ 4.系数为 ( －3)4C410 ＝9C410.4． (2019 全国Ⅰ理， 5)(1＋ 2x)3(1 －3x)5 的睁开式中x 的系数是 ()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[ 分析 ](1＋ 2x)3(1 －3x)5 ＝(1＋6x ＋ 12x＋8xx)(1 － 3x)5，故(1＋ 2x)3(1 － 3x)5 的睁开式中含 x 的项为 1C35( －3x)3 ＋12xC05 ＝－ 10x＋ 12x＝ 2x，因此 x 的系数为 2.5．在 2x3 ＋ 1x2n(nN*) 的睁开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ()A．3 B．5C．8 D．10[答案]B[ 分析 ]Tr＋ 1＝ Crn(2x3)n － r1x2r ＝ 2n－ rCrnx3n －5r.令 3n－5r＝ 0，∵ 0n， r、nZ.n 的最小值为 5.6．在 (1－ x3)(1 ＋ x)10 的睁开式中 x5 的系数是 ()A ．－ 297 B．－ 252C．297 D ．207[答案] D[ 分析 ] x5 应是 (1＋ x)10 中含 x5 项与含 x2 项．其系数为 C510＋C210( －1)＝ 207.7． (2009 北京 )在 x2－ 1xn 的睁开式中，常数项为15，则 n 的一个值能够是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[ 分析 ] 通项 Tr＋ 1＝ Cr10(x2)n － r(－ 1x)r ＝ (－1)rCrnx2n －3r，常数项是 15，则 2n＝ 3r，且 Crn＝ 15，考证 n＝ 6 时， r＝4 合题意，应选 D.8． (2019 陕西理， 4)(x ＋ ax)5(xR) 睁开式中x3 的系数为 10，则实数 a 等于 ()A ．－ 1 B.12C．1 D．2[答案] D[ 分析 ]Cr5xr(ax)5 － r＝ Cr5a5－ rx2r － 5，令 2r－ 5＝3，r＝ 4，由 C45a＝ 10，得 a＝ 2.9．若(1＋ 2x)6 的睁开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ()A.112 ＜x＜ 15B.16＜ x＜ 15C.112＜ x＜ 23D.16＜ x＜ 25[答案]A[ 分析 ]由T2T3得C162x1C162xC26(2x)2112＜x＜15. 10．在 32x －1220 的睁开式中，系数是有理数的项共有() A．4 项 B．5 项C．6 项 D．7 项[答案]A[ 分析 ]Tr＋ 1＝ Cr20(32x)20 －r－ 12r＝－ 22r(32)20 －rCr20x20 － r，∵系数为有理数，(2)r 与 220－r3 均为有理数，r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 020.r＝ 2,8,14,20.二、填空题11． (1＋ x＋ x2)(1 － x)10 的睁开式中， x5 的系数为____________．[答案 ]－16212． (1＋ x)2(1 － x)5 的睁开式中x3 的系数为 ________．[答案] 5[ 分析 ]解法一：先变形(1＋ x)2(1 －x)5＝ (1－ x)3(1 － x2)2＝(1－x)3(1 ＋ x4 － 2x2)，睁开式中x3 的系数为－ 1＋( －2)C13( － 1)＝ 5；解法二： C35(－1)3 ＋C12C25( － 1)2＋ C22C15(－ 1)＝ 5. 13．若 x2 ＋ 1ax6 的二项睁开式中x3 的系数为52，则 a＝________(用数字作答 )．[答案] 2[ 分析 ]C36(x2)31ax3 ＝ 20a3x3＝52x3， a＝ 2.14． (2019 辽宁理， 13)(1 ＋x ＋x2)(x － 1x)6 的睁开式中的常数项为 ________ ．[答案 ]－5[ 分析 ](1＋ x＋x2)x － 1x6＝x－1x6＋ xx － 1x6＋ x2x －1x6，要找出 x－ 1x6 中的常数， 1x 的系数， 1x2 的系数，Tr＋ 1＝Cr6x6 －r( －1)rx － r＝ Cr6(－ 1)rx6 － 2r，令 6－ 2r＝0， r＝ 3，令6－ 2r＝－ 1，无解．令 6－ 2r＝－ 2， r＝ 4.常数－ C36＋ C46＝－ 5.三、解答15．求二式 (a＋ 2b)4 的睁开式．[ 分析 ]依据二式定理(a＋b)n＝C0nan＋ C1nan－ 1b＋⋯＋ Cknan－kbk ＋⋯＋Cnnbnn 得(a＋2b)4＝C04a4＋ C14a3(2b)＋ C24a2(2b)2＋ C34a(2b)3＋C44(2b)4 ＝ a4＋ 8a3b＋24a2b2＋ 32ab3＋ 16b4.16． m、 nN* ， f(x) ＝ (1＋ x)m ＋ (1＋ x)n 睁开式中 x 的系数19，求 x2 的系数的最小及此睁开式中x7 的系数．[ 分析 ]由m＋n＝19，∵ m，nN*.m＝1n＝ 18，m＝ 2n＝ 17，⋯， m＝ 18n＝1.x2 的系数 C2m＋ C2n＝ 12(m2－ m)＋ 12(n2－ n)＝ m2－ 19m＋171.当 m＝ 9 或 10 ，x2 的系数取最小81，此 x7 的系数C79＋ C710＝ 156.17．已知在 (3x－ 123x)n 的睁开式中，第 6 项为常数项．(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求睁开式中全部的有理项．[ 分析 ](1)Tr ＋ 1＝ Crn(3x)n － r(－ 123x)r＝C rn(x13)n －r( －12x －13)r＝(－12)rCrnxn －2r3.∵第 6 项为常数项，r＝ 5 时有 n－2r3 ＝ 0， n＝ 10.(2)令 n－ 2r3＝ 2，得 r＝12(n －6) ＝ 2，所求的系数为C210( －12)2＝454.(3)依据通项公式，由题意得：10－ 2r3r10rZ令 10－2r3＝k(kZ) ，则 10－2r＝ 3k，即 r＝ 10－3k2 ＝5－32k.∵ rZ，k 应为偶数， k 可取 2,0，－ 2，r＝ 2,5,8，第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．它们分别为C210( －12)2x2 ，C510( －12)5，C810( －12)8x －2.18．若 x ＋124xn 睁开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[ 分析 ]通项为：Tr＋1＝Crn(x)n－r124xr.由已知条件知：C0n＋ C2n122＝2C1n12，解得： n＝ 8.记第 r 项的系数为tr，设第 k 项系数最大，则有：tktk ＋ 1 且 tktk － 1.又 tr ＝Cr－ 182－ r＋1，于是有：Ck－ 182－k＋ 1Ck82 － kCk － 182－ k＋ 1Ck－ 282－ k＋ 2即 8！ (k －1)！(9 － k)！8！k ！(8－ k) ！，8！ (k －1)！(9－ k)！8！ (k－2)！(10－ k) ！2.教师范读的是阅读教课中不可以缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
二项式定理（题型及答案）
⼆项式定理（题型及答案）1、(1) 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． (2)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80(3)若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为-5，则n 等于（）A. 4B. 6C. 8D. 102、求值: (1) =-++?-?+-nn n n n C C C 3)1(333133221(2) S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1= (3)=3、试求下列⼆项展开式中指定项的系数：(1)(a+b+c)10的展开式中，含a 5b 3c 2的系数为_________(2)求的常数项(3) 的展开式中项的系数(4) 的展开式中项的系数(5) 的展开式中项的系数(6) 的展开式中x 项的系数(7) 的展开式中项的系数(8)5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为。
,其中b 0+b 1+b 2+……+b n =62, 则n=_________（Ⅱ）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21（Ⅲ）已知(1)求a 0, (2)求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5(3)求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3+a 5)2(4)求a 1+a 3+a 5 (5)|a 0|+|a 1|+……+|a 5|5、已知⼆项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
~6、已知nx x )3(232 的展开式各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992． (1)展开式中⼆项式系数最⼤的项 (2)求展开式中系数最⼤的项．]*7、已知的展开式中奇数项的⼆项式系数之和等于512，试求：（1）⼆项式系数最⼤的项；（2）系数的绝对值最⼤的项；（3）系数最⼤的项。
06二项式定理1(经典题型+答案)
二项式定理（一）1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
题型一：利用通项公式求n x 的系数例2：求29()x -展开式中9x 的系数？例4：求二项式6(2)x -的展开式中的常数项？例5：若2()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 1.在的展开式中，x 4的系数为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣15D ．152.（2015•陕西）二项式（x+1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．43.（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x 的项的系数为30，则a=（ ）A ．B ．﹣C ．6D ．﹣64.若的展开式中第四项为常数项，则n=（ ）A ． 4 B ．5 C ．6 D ．75.在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3122的展开式中含常数项，则自然数n 的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.56.若（9x ﹣）n （n ∈N *）的展开式中第2项的二项式系数为9，则其展开式中的常数项为（ ）A ．﹣84B ．﹣252C ．252D ．847.二项式的展开式中的常数项是（ ）A ．﹣45 B ．﹣10 C ．45D ．658.（1+x ）4+（1+x ）5+…+（1+x ）9展开式中，x 3项的系数为（ ）A ．120 B ．119 C ．210 D ．209 9.在（+）12的展开式中，x 项的系数为（ ）A ．CB ．CC ．CD ．C10.（1﹣）5的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣10D ．10常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈二项式定理的性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
二项式定理4(含答案)
二项式定理知识梳理：1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)，这个公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k ＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 偶n ＝________，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C 奇n ＝________.自我检测 1．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．102．(2011·陕西)(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－2104．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．5．(2011·山东)若(x －ax2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．6．(2011·烟台期末)已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答) 探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 探究点二 二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ＝n ·2n －1； (2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727 除以9的余数．变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n2n 的值．探究点三 求系数最大项例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于( ) A ．13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,13(2)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．学案 二项式定理自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C k n 0,1,2，…，n ④C k n an －k b kC k n an －k b k 2.(1)等距离 (2)2nn C 12n n C + 12n nC -(3)2n 2n －1 2n －1自我检测 1．B [(1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.]2．C [设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.∴选C.]3．A4．－160x5．4解析 (x －a x2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x 6－3r(－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.6．－52课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n3n rx-⎝⎛⎭⎫－12r 3rx - ＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r 23n r x -，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·43r.由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C kn ＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C n n ，① ∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n ＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，② ①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n . ∴S ＝n ·2n －1.原式得证． 方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边． (2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n. 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项． 解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 2523x 骣琪琪桫3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 3523x 骣琪琪桫2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·()2523r x+．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13，故选D.](2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8. ∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.专项训练1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 6的展开式中x 2的系数是________．解析 设展开式中第r ＋1项是x 2项， 则由T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6x2r －6， 得2r －6＝2，解得r ＝4.∴x 2项系数为(－2)4C 46＝16×15＝240. 答案 2402．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________.解析 设第r ＋1项的系数为52，则T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝C r 61a r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 361a 3＝52， ∴a 3＝8，a ＝2. 答案 23.⎝⎛⎭⎪⎫xy－y x 6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy －y x 6的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x y 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝C r 6(－1)rx 6－32ry 32r －3， 令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 26(－1)2＝15.答案 154.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 27的展开式中倒数第三项为________． 解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项也为正数第六项． ∴T 6＝C 57(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝22·C 57·1x 8. 答案 84x 85．已知(1＋ax )5＝1＋10x ＋bx 2＋…＋a 5x 5，则b ＝________. 解析 根据题意知，二项展开式的第二项为C 15·ax ＝10x ，∴a ＝2.第三项为C 25·(ax )2＝bx 2，即b ＝40.答案 406．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n 的展开式中第4项与第6项的系数相等，求n 及展开式中的常数项．解 由已知可得C 32n ＝C 52n ，所以3＋5＝2n ，即n ＝4. 所以展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8x8－2r ， 若它为常数项，则r ＝4，所以T 5＝C 48＝70.综合提高 (限时30分钟)7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n ＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的通项为T r ＋1＝C r n x 2(n －r )·(－1)r ·x －r ＝(－1)r ·C r n ·x 2n －3r . 令2n －3r ＝0，则2n ＝3r ，即r ＝23n . 当n ＝3时，r ＝2，T r ＋1≠15， 当n ＝6时，r ＝4，T r ＋1＝15. 答案 68．(1＋2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 8的展开式中的常数项为________．解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 8的第r ＋1项为T r ＋1＝(－1)r C r 8x8－2r. 则令8－2r ＝0，得r ＝4；令8－2r ＝－2，得r ＝5. 故原式展开式中常数项为1×(－1)4C 48＋2×(－1)5C 58＝－42.答案 －429．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1，则f (x )＝________.解析 f (x )＝C 05(2x ＋1)5＋C 15(2x ＋1)4·(－1)＋ C 25(2x ＋1)3·(－1)2＋C 35(2x ＋1)2·(－1)3＋ C 45(2x ＋1)·(－1)4＋C 55(－1)5＝(2x ＋1－1)5＝32x 5.答案 32x 510．(1－x )4(1＋x )4的展开式中x 项的系数是________． 解析 ∵(1－x )4(1＋x )4＝(1－x )4，∴展开式中含x 的项为C 14(－x )1＝－4x ，故展开式中x 项的系数为－4. 答案 －411．在(3－x )20(x ∈R ，x ≠0)的展开式中，已知第2r 项与第r ＋1项(r ≠1)的二项式系数相等． (1)求r 的值；(2)若该展开式的第r 项的值与倒数第r 项的值的1256相等，求x 的值．解 (1)由题意知C 2r －120＝C r20，即2r －1＝r 或2r －1＝20－r ，解得r ＝7或r ＝1(舍去)．(2)T r ＝C r －120·321－r ·(－x )r －1，当r ＝7时，T 7＝C 620·314·x 6， 倒数第7项，即T 15＝C 1420·36·x 14， 由题意C 620·314·x 6＝1256·C 1420·36·x 14， 解得x ＝±6.12．(3x ＋32)100展开式所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有多少项？解，若第k ＋1项的系数为有理数，则50－k 2，k3均为整数，故k 为6的倍数时，第k ＋1项的系数为有理数．∵0≤k ≤100，∴k ＝6×0,6×1,6×2，…，6×16时，项的系数为有理数，故有17项系数为有理数．13．(创新拓展)求⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋110展开式中的常数项． 解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 210，则其通项为：T k ＋1＝C k 10·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2k ， (其中k ＝0,1,2，…，9)．要求原式的常数项，则需要求⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2k 的展开式中的常数项． ∵T r ＋1＝C r k ·a k －r ·a －2r ＝C r k ·a k －3r (其中r ＝0,1，2，…，k )． 由题意，令k －3r ＝0，则k ＝3r ，即k 是3的倍数，所以k ＝0,3,6,9.当k ＝0时，C 010＝1.当k ＝3时，r ＝1，C 310·C 13＝360. 当k ＝6时，r ＝2，C 610·C 26＝3 150. 当k ＝9时，r ＝3，C 910·C 39＝840. 所以原式展开式中的常数项是C 010＋C 310·C 13＋C 610·C 26＋C 910·C 39＝4 351.高考专区：1．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)xx --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【思路点拨】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.选C.62(6)1231666(1)(4)(2)(1)22(1)2-----+=-=-⋅⋅=-⋅r r x r x r r r x r xr r rx xr r T C C C ， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．2.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ ） （A ）154-（B ）154 （C ）38-（D ）38【思路点拨】利用二项展开式定理求解. 选C. 6226216(1)2--+=-r rrr r T C x，令1422662321,2.28--===-=-r r T C x 得, 3.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10【思路点拨】先利用二项式定理写出展开式中的2x 项，再从中提取“系数”.【精讲精析】选B. 由二项式定理易得，5(12)x +的展开式中的222225240x C x x =项为，2x ∴ 的系数等于40.4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40【思路点拨】用赋值法求各项系数和，确定a 的值，然后再求常数项，也可以用组合提取法求解.【精讲精析】选D.解析1： 令1x =，可得51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数和为1+a ，∴12a +=，即1a =.51(2)x x -的通项公式5151(2)()r r r r T C x x-+=-552r r C -=⋅52(1).r r x --∴511()(2)x x x x+-的展开式中的常数项为323152(1)x C x -⋅⋅- 232512(1)+⋅⨯-C x x＝40. 解析2：用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x ,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x ，选3个提出x .故常数项为223322335353111(2)()()(2)408040.x C x C C C x xx x⋅⋅-+⋅-⋅=-+= 二、填空题5.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += .【思路点拨】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，且项的系数互为相反数.【精讲精析】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，且项的系数互为相反数,即1110a a +=0. 【答案】0。
高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)
专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。
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二项式定理训练题
一、单选题（共4题；共8分）
1.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）
A. 1
B. 5
C. 10
D. 20
2.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数
为（）
A. 14
B.
C. 240
D.
3.若，则的值为（）
A. B. C. D.
4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）
A. ﹣40
B. 160
C. 120
D. 200
二、填空题（共13题；共15分）
5.二项式的展开式中常数项为________.
6.展开式中常数项为________.
7.的展开式中，x3的系数为________．
8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.
9.的二项展开式中，含项的系数为________．
10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）
11.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．
12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.
13.的展开式中，的系数是20，则________.
14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数
和为________.
15.在的展开式中，的系数是________.
16.的展开式中的系数为________.
17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．
三、解答题（共3题；共25分）
18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求其展开式中的有理项．
19.设.
（1）求；
（2）求及关于的表达式.
20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】由令得，解得，
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中含x项的系数为.
故答案为：C.
【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列方程，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.
2.【答案】C
【解析】【解答】二项展开式的第项的通项公式为
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.
解得：.
所以
令，解得：，
所以的系数为
故答案为：C
【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系
数之比是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．
3.【答案】C
【解析】【解答】展开式的通项为：，故，
，
根据对称性知：.
故答案为：C.
【分析】计算，根据二项式系数的对称性即可得到答案.
4.【答案】C
【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，
∴x3的系数为.
故答案为：C.
【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利用二项式定理中的通项公式求出结果.
二、填空题
5.【答案】60
【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为
,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，
故答案为：60。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而利用通项公式求出展开式中常数项。
6.【答案】240
【解析】【解答】展开式的通项公式
令,所以的展开式的常数项为,
故答案为.
【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出r的值，即可求得展开
式中的常数项.
7.【答案】8
【解析】【解答】解：对于，其通项为，，1，，4，
令和4，可得对应项的系数为：，．
故所求的的系数为．
故答案为：8．
【分析】根据式子特点，可先求出的通项，然后分别求出它的展开式中的，项的系数，然后相减即可．
8.【答案】40
【解析】【解答】因为的展开式中各项系数和为2，
所以令可得，解得，
所以，
因为的通项公式为，
令，得，令，得，
所以展开式中常数项是.
故答案为：40
【分析】令可得，将化为，利用通项公式分别求出展开式中的的系数与x的系数，再相加即可得到结果.
9.【答案】-160
【解析】【解答】，
由，可得.
含项的系数为.
故答案为：-160
【分析】写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.
10.【答案】560
【解析】【解答】，故，的展开式：，
取，得到系数为.
故答案为：.
【分析】先计算得到，再利用二项式定理计算得到答案.
11.【答案】；
【解析】【解答】令，，
故该二项式的展开式的各项系数之和为；
二项式的展开式的通项公式为，
令即，，故的系数为.
故答案为：，.
【分析】令即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的通项公式
，令即可求得的系数.
12.【答案】3
【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，令，
则的系数为，则.
故答案为：3
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项公式，根据系数建立等式即可求解.
13.【答案】
【解析】【解答】因为，
而展开式的通项公式为展开式的通项公式为.
所以的展开式中的系数为，解得.
故答案为：.
【分析】对多项式展开得，再研究的通项得，当和时，可得的系数为，再解关于的方程，即可得答案.
14.【答案】；32
【解析】【解答】的展开式的通项公式为，
令，求得，可得的系数为：，
.
令，求得，可得常数项的值为：，
当时，为整数；
所以其有理项的二项式系数和为：.
故答案为：；32.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于.，求出r的值，即可求得的系数，再根据
的系数为，求得a的值；在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求出r的值，即可求展开式中有理项的二项式系数和.
15.【答案】0
【解析】【解答】，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
令，得，，
因此，的系数为.
故答案为：.
【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果.
16.【答案】28
【解析】【解答】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为
故答案为：28.
【分析】将已知式转化为，则的展开式中的系数中
的系数，根据二项式展开式可求得其值.
17.【答案】5
【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为：，令即，则，
令即，则，
所以的展开式中，的系数为，
所以即.
故答案为：.
【分析】由题意结合二项式定理写出二项式的展开式的通项公式，分别令、即可得的系数，即可得解.
三、解答题
18.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得展开式中二项式系数和为，
令，可得展开式中各项系数和为，
则由题意可得，化简得，
由可得，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
则其展开式的通项公式，
要使为有理数，则或，
当时，；
当时，；
所以其展开式中的有理项为、.
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意展开式中二项式系数和为、各项系数和为，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式，分别令、即可得解.
19.【答案】（1）解：令，得，
令，得，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：当中选x，则中选4个x，当中选-1，则中选5个x.所以
对于，当中选x，则中选个x，当中选-1，则中选个x.
所以.
【解析】【分析】（1）根据，利用赋值法即可求解；（2）分两类，当中选x，则中选4个x，当中选-1，则中选5个x；对于
，当中选x，则中选个x，当中选-1，则中选个x，即可得到关于的表达式.
20.【答案】（1）解：所有奇数项的二项式系数之和为128，
，解得.
的第项为
，
令，得，
则常数项为；
（2）解：
展开式中的系数为：
.
【解析】【分析】（1）二项展开式中所有项的系数和为，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半，即，可求得，写出该二项式展开式的通项，令x的指数为零,即可求解；
（2）由二项式定理知在，，，中均存在，即可求出的系数为
.。