7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
牵连运动
在不同的参考体中研究同一个物体的运动，看到的运动情况是不同的。
例如，图7-1a 所示的自行车沿水平地面直线行驶，其后轮上的点M，对于站在地面的观察者来说，轨迹为旋轮线，但对于骑车者，轨迹则是圆。
同一个物体相对于不同的参考体的运动量之间，存在着确定的关系。
例如，图7-1a中，点M相对于地面作旋轮线运动，若以车架为参考体，车架本身作直线平动，点M相对于车架作圆周运动，点M的旋轮线运动可视为车架的平动和点M相对于车架的圆周运动的合成。
将一种运动看作为两种运动的合成，这就是合成运动的方法。
在点的合成运动中，将所考察的点称为动点。
动点可以是运动刚体上的一个点，也可以是一个被抽象为点的物体。
在工程问题中，一般将静坐标系（简称为静系）Oxyz固连于地球，而把动坐标系（简称为动系）O'x'y'z'建立在相对于静系运动的物体上，习惯上也将该物体称为动系。
选定了动点、动系和静系以后，可将运动区分为三种：(1)动点相对于静系的运动称为绝对运动。
在静系中看到的动点的轨迹为绝对轨迹。
(2)动点相对于动系的运动称为相对运动。
在动系中看到的动点的轨迹为相对轨迹。
(3)动系相对于静系的运动称为牵连运动。
牵连运动为刚体运动，它可以是平动、定轴转动或复杂运动。
仍以图7-1a为例，取后车轮上的点M为动点，车架为动系，点M相对于地面的运动为绝对运动，绝对轨迹为旋轮线；点M相对于车架的运动为相对运动，相对轨迹为圆；车架的牵连运动为平动。
例如，在图7-2所示的曲柄摇杆机构中，取点A为动点，杆O1B为动系，动点的相对轨迹为沿着AB的直线。
若取杆O1B上和点A重合的点为动点，杆OA为动系，动点的相对轨迹不便直观地判断，为一平面曲线。
对比这两种选择方法，前一种方法是取两运动部件的不变的接触点为动点，故相对轨迹简单。
将某一瞬时动系上和动点相重合的一点称为牵连点科氏加速度的方向垂直于角速度矢量和相对速度矢量。
①牵连运动为平动时科氏加速度为零②牵连运动为转动时科氏加速度不为零如图的导杆机构中构件2、3的重合点B 的加速度合成关系中绝对运动为2构件上B 点绕A 的转动，牵连运动为3构件绕C 的转动，相对运动为2对3的移动，科氏加速度不为零。
理论力学1-7章答案
习题7-1图Oυ(a)υυ(b)习题7-3图第7章 点的复合运动7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。
车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。
试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。
）答：B A A B //v v -≠1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。
为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =∴ ⎩⎨⎧︒==6021/θv v A B2．以B 为动系，A 为动点。
牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。
此时⎪⎩⎪⎨⎧︒==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。
自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。
试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。
解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=（2）由（1）0ωr xt =代入（2），得)sin(01r xa y ωω=7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。
试求当ϕ= ︒60，CD 杆的速度和加速度。
解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。
2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A01.02121.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑）3． r e a a a a +=（图b ）4.021.022e =⨯==ωr a m/s 2 346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）习题7-5图习题7-7图习题7-9图υ(a) (b)(a)7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
07点的合成运动--速度合成
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
理论力学.
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
第七章 第一节 相对运动、绝对运动和牵连运动点的合成运动
4. 实例 实例一 环形管内运动的小球 M 动点：M； 动系 ：杆AB。 AM：平面曲线运动； RM：圆周运动； TM：动系AB作平动。 A O
q
B
w
O1 O2
实例二 曲柄摇杆机构(牛头刨床中的急回机构) B
动点：A； 动系 ：杆O1B。 AM：以OA为半径的圆周运动； RM：直线运动； TM：动系O1B作转动。
ar
A
w1
O1 O1
w1
速度分析
加速度分析
实例四 凸轮机构 动点：轮心O ； 动系 ：推杆ABC 。 C C
vABC
A
aABC
B A
va vr
w
O1
ve
O
ae ar
w
O1
B
O
aa
速度分析
加速度分析
t2 ve2
t ae 2
M2
n ae 2
t ae 1
t1
vr1
n ae 1
ve1 M
动点：滑块M；
O
4.合成运动概念 合成运动:相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的 几个运动组合而成。 绝对运动 ≡ 牵连运动＋相对运动 利用坐标变换可建立绝对、相对和牵连运动方程之间的关系。 (略P148 ~150) 四、三种轨迹、速度和加速度 1. 绝对轨迹、速度和加速度： 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度 va; aa 2. 相对轨迹、速度和加速度： 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度vr ; ar 3. 牵连轨迹、速度和加速度： 牵连点的轨迹、速度和加速度ve ; ae 牵连点：某一瞬时，动系上与动点M相重合的那一点M'。 特别强调：动系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所 以除非动系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。
《工程力学》点的合成运动
y
a
n a
ae aa
ar
x
由加速度合成定理
即 a ae ar
aa aan ae ar
aan
ae aa
ar
x投影： y投影：
aan sin aa cos ar
aan cos aa sin ae
将 aan 2 OA 代入上式可解出 ar和 ae
aa OA
例7-7 设OA＝O1B＝r，斜面倾角为1，O2D＝l, D
点可以在斜面上滑动，A、B为铰链连接。 图示位置时OA、O1B铅垂，AB、O2D为水
平，已知此瞬时OA转动的角速度为，角
加速度为零，试求此时O2D绕O2转动的角速 度和角加速度。
解：以三角斜面为 动坐标系，D点为 动点
dz dt
dk) dt
ar
( dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k )
ar r
其中 ac 2 r
科氏加速度
aa ae ar 2 r
点的加速度合成定理
实例：
在北半球，河水向北流动时，科氏加速 度向西，有右岸对水向左的力，由作用力 与反作用力，河水必对右岸有反作用力。 故右岸有明显的冲刷。
北
r
西 ac
东
南
例7-8
如图所示，点M在杆OA上按规律x=20+30t2运动（其 中t以s计；x以mm计），同时杆OA绕轴O以 = 2t rad的规律转动。求当t=1s时，点M的加速度大小。
取点M在动点，动系建在杆OA上，把x=20+30t2对时 间求导，得vr=60t, ar=60mm/s2
第7章点的合成运动习题
第7章点的合成运动习题1.是非题（对画√，错画×）7-1.绝对运动是动点相对于定系的运动。
（）7-2.相对运动是动点相对于动系的运动。
（）7-3.牵连运动是动点相对于动系的运动。
（）7-4.动点的绝对运动看成动点的相对运动和牵连运动的合成。
（）7-5.动点相对速度对时间的导数等于动点的相对加速度。
（）7-6.在一般情况下，某瞬时动点的绝对加速度等于动点的相对加速度和牵连加速度矢量和。
（）2.填空题（把正确的答案写在横线上）7-7.在研究点的合成运动中，应确定、、。
7-8.图示机构设A 滑块为动点，BC 为动系，则A 滑块的绝对运动为；A 滑块的相对运动为；A 滑块的牵连运动为；科氏加速度的方向。
7-9.上题中若AD=l ，AD 以ω作匀角速度转动，且三角形ABD 构成等边直角三角形，则A 滑块的绝对速度a v = ；相对速度r v = ；牵连速度e v = ；绝对加速度τaa = 、n r a = ；相对加速度r a = ；牵连速度τe a = 、nea = ；科氏加速度c a = 。
ABCωD3.简答题7-10.定系一定是不动的吗？动系是动的吗？7-11.牵连速度的导数等于牵连加速度吗？相对速度的导数等于相对加速度吗？为什么？7-12.为什么动点和动系不能选择在同一物体上？7-13.如何正确理解牵连点的概念？在不同瞬时牵连运动表示动系上同一点的运动吗？7-14.科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？ 7-15.速度合成定理对牵连运动为平移或转动都成立，但加速度合成定理r e a a a a +=对牵连运动为转动却不成立？为什么？牵连运动为转动却不成立？为什么？7-16.如图所示曲柄滑块机构，若取B 为动点，动系固结于曲柄OA 上，动点B 的牵连速度如何？如何画出速度的平行四边形？速度如何？如何画出速度的平行四边形？OABCω7-17.如图所示的四连杆机构，曲柄OA 与BC 平行AB=BC=r ，问销钉B 相对于曲柄OA 的速度为多少？的速度为多少？4.计算题7-18.如图所示，点M 在平面y x O ¢¢中运动，运动方程为中运动，运动方程为)t cos (x -=¢140 t s i ny 40=¢ t 以s 计，x ¢、y ¢以mm 计，平面y x O ¢¢绕O 轴转动，其转动方程为t =j （rad ），试求点M 的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。
7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
相对运动.牵连运动.绝对运动●点和刚体相对一个定参考系的运动。
●点的运动用直角坐标和弧坐标描述；●刚体简单运动为：平动和定轴转动。
●物体相对于不同参考系的运动是不相同的。
运动的分解与合成：研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。
本章分析点的合成运动分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。
xO y O ′x ′y ′M对地面上的观察者：Ｍ点的轨迹是旋轮线对车上的观察者：Ｍ点的轨迹则是一个圆。
2 ) 图示车床在工作时，车刀刀尖ＭωO M 相对于旋转的工件：相对于地面:直线运动在圆柱面螺旋运动zy x z ′yx ′3)图示桥式吊车，卷扬小车A 边垂直起吊重物边行走。
重物作曲线运动 随小车一起运动的观察者：重物在垂直方向作直线运动地面观察者： A MM ′O ′x ′y ′有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）4)回转仪的运动分析动点：M点动系：框架CAD 相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动绝对运动：空间曲线运动车轮上Ｍ点：对于地面，Ｍ沿旋轮线运动；以车厢为参考体，点Ｍ对于车厢的运动是简单的圆周运动；车厢对于地面的运动是简单平动。
Ｍ点的运动就可以看成两个简单运动的合成.即点Ｍ相对于车厢作圆周运动;同时车厢对地面作平动. C xOy O ′x ′y ′M 合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动观察发现：点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。
相对运动.牵连运动.绝对运动有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）三种运动 （1）动点相对于定参考系的运动称为绝对运动 （2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动 （3）动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动 两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为定参考系； 用 O xyz 表示；z y x O ′′′′固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用表示。
理论力学
动点、动系和定系的选择原则 （1）动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝 对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。 （2）动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运 动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
[例3] 曲柄滑块机构 已知： O1 A r , 1 , , h; 图示瞬时 O1 A//O2 E ; 求: 该瞬时O 2 E 杆的2 。
[例4] 已知：凸轮半径 R, vo , ao 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。
绝对速度va = ? AB ；
相对速度vr = ? CA; 牵连速度ve=v0 → ;
由速度合成定理 va
ve v r
绝对加速度aa=? AB（待求） 相对加速度art =? CA a n v r2 / R 沿CA指向C r 牵连加速度 ae=a0 →
2 3 va ve tan30 e 3
0
2 3 v AB e 3
()
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： （1） 选取动点，动系和定系。 （2）三种运动的分析。 （3） 三种速度的分析。 （4） 根据速度合成定理 va = ve + v r ，作出速度平行四边形。 （5）根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和定系是求解合成运动问题的关键。
解：(1)动点:O1A上A点; 动系:固结于BCD上, 静系固结于机架上。 va r1 , O1 A 绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动; vr ?, //BC 牵连运动：平动; ve ? ，水平方向
根据 va v e v r 做出速度平行四边形
根据 va F ve F vr F 做出速度平行四边形
相对运动绝对运动牵连运动
相对运动（有关相对速度的求解）导数的补充例题1在一直線的高速公路上，有甲乙兩車正以等速度行駛。
甲車的速度為80km／h，乙車落在甲車之後5.0公里處，正以90km／h的速度追趕甲車，試求乙車何時可追上甲車？例2、一列火车以10Km/h的速率向东行使时，相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离窗上竖直方向30o,求雨滴相对于地面的速率和雨滴相对于火车的速率。
例3、某人骑自行车以速率 1 m/s 向北行驶，感觉风从正西吹来，将速率增加到 2.73m/s 时，则感觉风从北偏西300 的方向吹来。
求风速和风向。
例4、一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路边时，雨滴可落入车内达d=1 m ，而当它以15 km/h 的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中作业练习1.练习求导数 已知 xyx y xy x x x y ∆∆==-+-= 求c o s s i n 12723232.相对运动与力学的综合传送带以恒定的速度V 1=3m/s 运动，且传送带足够的长；在传送带上方有一固定光滑的轨道巢，方向与传送带方向垂直；轨道巢中有一个工件m=5Kg ，该工件左右部分与轨道接触，底面与皮带接触u=0.3；现用一个与轨道平行的推力F 使得工件以V 2=4m/s 开始做匀速运动。
求F=？3.相对运动与功能关系的结合有两个大小相同的光滑小球，最开始如图1紧靠在光滑的墙角里，由于受到轻微的扰动将开始运动；当运动到如图2所示时刻，圆心连线与竖直方向成30度角。
已知两球半径均为r ，求此时两球的速度分别为多少？附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意见)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
理论力学哈工大第八版答案
哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版习题答案《理论力学（1 第8版）/“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材》第1版至第7版受到广大教师和学生的欢迎。
第8版仍保持前7版理论严谨、逻辑清晰、由浅入深、宜于教学的风格体系，对部分内容进行了修改和修正，适当增加了综合性例题，并增删了一定数量的习题。
本书内容包括静力学（含静力学公理和物体的受力分析、平面力系、空间力系、摩擦），运动学（含点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动），动力学（含质点动力学的基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理）。
本书可作为高等学校工科机械、土建、水利、航空、航天等专业理论力学课程的教材，也可作为高职高理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案专、成人高校相应专业的自学和函授教材，亦可供有关工程技术人员参考。
本书配套的有《理论力学学习辅导》、《理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学关注网页底部或者侧栏二维码回复理论力学（I）第8版答案免费获取答案引言第一章静力学公理哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
第七章理论力学
y dy
d2 j dt 2 dj
z dz
d 2k
dt 2
)
dk
)
(x
d
2i
y
d
2
j
z
d
2k
)
dt 2
dt 2
dt 2
dt dt dt dt dt dt
dt 2
dt 2
dt 2
ar
dvr dt
d 2r dt 2
d
(
dx
i
dy
j
dz
k )
dt dt
(
d 2x dt 2
dj dt
dz dt
dk ) dt
ae
又∵
dx di dy dj dz dk
vdxt(v(dvrtxii)dvtvy yjd(t
4、速度分析（略）；
D
5、加速度合 成定理：
ae
ω
A
aa ae ar
O
φaa ar
B
C
大小 rω2 ? ?
方向 √ √ √
E
6、求解：ae aa cos r 2 cos
aDE ae r 2 cos
例7-4
已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以 匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。BC=DE， 且BD=CE=l。
即：
aa ae ar ac ,
ac
2e
vr
证明：
设动系 ห้องสมุดไป่ตู้oy 作定轴转
动，转轴为通过坐标原点 o
的定轴 z ，动系的转动角速
度矢量为
．
∵
v
dr
dt
r
z
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
07点的合成运动--速度合成
三、点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢
量和。
va
ve
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
大小 ？ 方向 ？
？
？
？
？
只要知道六个量中的四个 就能求出其余变量
求牵连速度
例7-3 急回机构的曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转
动, 滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆 动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1 。
牵 连 点 相 对 于 定 系 的 矢 径 ： r r1r r1= r r'r rO'x'i'y'j'z'k'r rO' 牵 di连 'x速 'd 度 j'vy e' (d 认 k'为 z'牵 +连 dr rO 点 ' 在 动 系 中 的 坐 标 不 变 ， 即 x',y',z' 不 变 ) dt dt dt dt
v r 1 2 v c o s 3 0 o 1 7 .3 2 ( m /s )
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve2O A50v5m/s 北
va2 10m/s
v r2v e2 2 v r2 2 1 1 .2 m /s
R
B
tanve2 5 0.5
ve2 Φ=30°
va2 10
相对速度
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度
牵连速度
ve (ae )
动系上与动点重合的点
某瞬时, 牵连点相对于定系的速度
《理论力学》合成运动习题解
2v v e =1v v =ABr v v =045045v r =N竞赛资料 点的合成运动习题解[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。
求在B 车上观察到的Ａ车的速度。
解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。
相对运动：动点A 相对于B 车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。
2v v e =。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。
用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的v 。
相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。
牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。
由速度合成定理得：)(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。
如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。
渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s sm mtv r 1=sm /2sm v e /1=v（２）即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=对于输种管的速度s m v /22=。
《理论力学》第三章点的合成运动(三)
解：A-动点，O1B-动系，基座-静系。
绝对速度va = r
相对速度vr = ? 牵连速度ve = ?
由速度合成定理 va= vr+ ve
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
ve O1 A
1 r 2 l2
A
cR
O
u
x
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
[例] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点A，动系-圆盘， 静系-基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
例图示平面机构，已知：OA=r，0为常数，BC=DE， BD=CE=L，求：图示位置，杆BD的角速度和角加速度。
解： 动点：A点(OA杆)
动系：BC杆
va ve vr
D
E
大小： 方向：
？？
B
600 A
vr
300 C
0 O
根据速度合成定理 va ve vr va
ve
做出速度平行四边形, 如图示
E
投至y轴：
0 O aa
aa ae
si
n (
300 ae n aa aen ) sin
sin 60 0
sin 30 0
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
理论力学--运动学总结
内滑动。图示瞬时：OA水平，BCD位于铅垂。
求此时销钉D的速度与加速度。
B ω
O
A
C
F
D
E
练习8：OA＝AB＝r，CB＝2R， OA杆以匀角速度ω 转动。图示瞬时：OA垂直于AB，AB垂直于BC，套
筒D位于BC杆的中点。DE与BC成45度角，求此时：
E点的速度与加速度。
C
D
B
E
A
O
ω
练习9：ABC为等边三角板，OA＝DB＝EC＝R。OA 杆以匀角速度ω转动。图示瞬时：OA垂直于AB， AB平行于CE，D、B、C共线。求此时：EF杆的角 速度与角加速度。
O C
1
练习1：机构位于同一铅垂面内，OB=r，位于水平。 B、D、C共线，BD＝AB＝AD＝2r。轮C的半径为
ｒ，在水平面上纯滚。已知：轮心C的速度vC为常
量。求此时：直角拐EFH的速度与加速度。
O B E A
D
c v F H
练习2:图示瞬时：AB＝60毫米，AB与AC成30度角，
C点的速度为vC=17.32mm/s，向上；加速度为
角。求此时：套筒D相对于BC杆的速度与加速
度。
A B ω O D C
练习12: OA＝r，以匀角速度ω转动，AB＝BD＝ 2r，DE＝r。且：OA垂直于ABD。求此时：DF 杆的角速度与角加速度。
A B F E
O D
练习13：轮的半径为r，在水平面内纯滚，B处铰
求此时：CD杆的速度。
B C A v D
练习6：图示瞬时：OA＝AB＝L， OA、AB分别
与水平线成30度角。BC＝1.732L/2。OA、BC
分别以匀角速度ω逆时针转动。求此时：AB杆
理论力学课件 14.1 相对运动、牵连运动和绝对运动
点的速度合成定理
主要内容
1、相对运动、绝对运动和牵连运动
2、牵连点
3、动点、动系的选择
4、绝对、相对和牵连运动的关系
5、点的速度合成定理
1、相对运动牵连运动绝对运动
相对运动 牵连运动 绝对运动
相对运动·牵连运动·绝对运动
车轮边缘上一点P 固连地面参考系Oxy 固连车厢参考系 '''y x O 相对于车厢：
相对于地面：
圆周运动 旋轮线运动
车厢相对于地面：
平移运动
车刀刀尖一点M 固连地面参考系Oxy 固连工件参考系 '''y x O 相对于工件：
相对于地面：
螺旋线运动 直线运动
工件相对于地面：
定轴转动
相对某一参考体的运动可由相对于
其他参考体的几个运动的组合而成
－合成运动。
两个坐标系
定坐标系（定系） 动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。
相对运动：动点相对于动系的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动。
回转仪
动点：Ｍ点 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
相对轨迹
相对速度 相对加速度 r
v
r
a
绝对轨迹
绝对速度 绝对加速度 a v a
a 牵连速度 和牵连加速度 e
a
e v 牵连运动是动系相对于定系的运动。
？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相对运动.牵连运动.绝对运动
●点和刚体相对一个定参考系的运动。
●点的运动用直角坐标和弧坐标描述；
●刚体简单运动为：平动和定轴转动。
●物体相对于不同参考系的运动是不相同的。
运动的分解与合成：
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。
本章分析点的合成运动
分析运动中某一瞬时点的
速度合成和加速度合成的规律。
x
O y O ′
x ′y ′
M
对地面上的观察者：
Ｍ点的轨迹是旋轮线
对车上的观察者：
Ｍ点的轨迹则是一个圆。
2 ) 图示车床在工作时，车刀刀尖Ｍ
ω
O M 相对于旋转的工件：
相对于地面:
直线运动
在圆柱面螺旋运动
z
y x z ′y
x ′
3)图示桥式吊车，卷扬小车A 边垂直起吊重物边行走。
重物作曲线运动 随小车一起运动的观察者：
重物在垂直方向作直线运动
地面观察者： A M
M ′
O ′x ′
y ′
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
4)回转仪的运动分析
动点：M点动系：框架CAD 相对运动：圆周运动
牵连运动：定轴转动
绝对运动：空间曲线运动
车轮上Ｍ点：
对于地面，Ｍ沿旋轮线运动；
以车厢为参考体，点Ｍ对于车厢的运
动是简单的圆周运动；
车厢对于地面的运动是简单平动。
Ｍ点的运动就可以看成两个简单运动的合成.
即点Ｍ相对于车厢作圆周运动;
同时车厢对地面作平动. C x
O
y O ′x ′y ′M 合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
观察发现：
点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。
相对运动.牵连运动.绝对运动
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
三种运动 （1）动点相对于定参考系的运动称为绝对运动 （2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动 （3）动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动 两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为定参考系； 用 O xyz 表示；
z y x O ′′′′固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用
表示。
动点：要研究的点
一个动点；两个坐标系；三种运动
相对运动.牵连运动.绝对运动
上例：车轮上点Ｍ为动点，在车厢看到Ｍ点作圆周运动是动点的相对运动，在地面上看到Ｍ点的运动是旋轮线，是动点的绝对运动。
车对地面作平动，是牵连运动
x
O y O ′
x ′y ′
M
牵连运动是指参考体的运动。
刚体的运动：可能是平动，转动或复杂运动
相对运动.牵连运动.绝对运动 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
相对运动.牵连运动.绝对运动
动点相对于动参考系运动的轨迹、速度、加速度称为”相对轨迹、相对速度和相对加速度”
动点相对于定参考系运动的轨迹、速度、加速度称为”绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度”
动点的牵连速度、牵连加速度指某瞬时动参考系上与动点重合点（称“牵连点”）的速度和加速度
r r a v ,a a a v ,e
e a v ,符号（已规定）： 动点的相对速度和相对加速度 动点的绝对速度和绝对加速度 动点的牵连速度、牵连加速度 相对运动.牵连运动.绝对运动
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例： 点M 相对于动系
沿半径为r 的圆周以速度v 作匀速圆周运动(圆心为O 1 ） ，动系 相对于定系 以匀角速度ω绕点O 作定轴转动，如图所示。
初始时 与
重合，点M 与O 重合。
y x O ′′y x O ′′Oxy y x O ′′Oxy
求：点M 的绝对运动方程。
解: 2 相对运动方程
ψ
ψ
sin cos 111M O y M O OO x =′−=′代入 r
vt =ψ1动点：M 点
动系：ox ’y ’
=′ −=′r vt
r y r vt r x sin cos 13 绝对运动方程
+ −=′+′=− −=′−′=t r
vt r t r vt r y x y t r vt r t r vt r y x x ωωϕϕωωϕϕcos sin sin cos 1cos sin sin sin cos cos 1sin
cos 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例: 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M 沿水平轴x 作往复运动，如图所示。
设oxy 为定坐标系，刀尖的运动方
程为 。
工件以等角速度
逆时针转向转动。
()t b x ωsi n =ω求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
3 相对运动轨迹
422
22b b y x = +′+′)2cos 1(2
sin sin 2t b t b t x y ωωω−−=−=−=′2 相对运动方程
t b t t b t x x ωωωω2sin 2cos sin cos ===′解: 1 动点：M, 动系：工件 ()
y x o ′′有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。