极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为

极轴.已知直线l

的参数方程为1222

x t y ⎧=+⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为

2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两

点，求弦长||AB .

2．已知直线l 经过点1

(,1)2P ，倾斜角α＝

6

π

，圆C

的极坐标方程为)4πρθ=-.

(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；

(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是)(242

2

2

2

是参数t t y t x ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+==，圆C 的极坐标方程为

)4

cos(2π

θρ+=．

（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴

重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩

（α为参数），

点Q

的极坐标为7

)4

π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；

（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,

3(π

，曲线C 的方程为)4

sin(22π

θρ+

=；以极点

为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为

⎩⎨

⎧+==α

α

sin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=

与曲线1C ，2C 交于不同于原

点的点A,B 求AB

7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫

-

⎪⎝

⎭

，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．

8．在直角坐标系中，曲线C 1

的参数方程为：2cos x y αα

=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极

点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；

(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.

9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l

的参数方程为1221122

x x t ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A

的极坐标为24π⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，设直线l 与圆C 交于点P 、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.

10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t

y t

=⎧⎨

=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=

与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。 （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

11．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ

θ=⎧⎨=⎩

（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲

线C 上的点按坐标变换13

12

x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；

（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．

12．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+-=t y t x 5425

3（t 为

参数）.

（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值. 13．已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2

-4ρcos θ+3=0,

(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.

14．极坐标与参数方程： 已知点P 是曲线2cos ,

:(3sin ,

x C y θθπθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩为参数，2)

上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为

3

π

，求点P 的直角坐标． 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨

⎧-=-=2

cos 3sin 32θα

y x ，（其中α为参

数，R ∈α），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为cos()4

a π

ρθ-

=．

（1）把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程； （2）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为

3

2

，求曲线2C 的直角坐标方程． 16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θ

θ

⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），

以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06

π

ρθ+

=.

⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17．圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程． 18．已知曲线C 1的参数方程为

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19．极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。已知曲线1C 的极坐标方

程

为

θ

ρcos 2=，曲线

2

C 的参数方程为

)),0[(sin 3cos 2πααα

α

∈⎩⎨

⎧+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；