传递函数求增益

−
R(s )
−
+
1 s
s
1 s2 + s
1 s2 + s
−2
Y (s )
10
3. 解：系统的闭环传递函数为 系统的特征方程为 的极点数，列劳斯阵如下：
φ (s ) =
−2 s 5 + 2s 4 − s − 2
s 5 + 2s 4 − s − 2 = 0
s5 s4 s3 s2 s1 s
0
看出特征方程的系数不全为正，所以系统是不稳定的。为了求出S右半平面
（d）
5
R(s )
1
C (s )
所以
G (s ) =
C (s ) =1 (s ) R
提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相 提示： 移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图 的反馈点（即分支点）A前移到 A′ 点时， ′点的反馈值比在A点反馈少了s ⋅ R(s ) ， A 为了保证变换的等效性，需在相加点 B ′处加以补偿，大小为s ⋅ R(s ) ，于是有了 图a。下例的变换也是这个思路，碰到这类分支点和相加点需要相互移动的题目， 可用梅逊公式求解较为简单。
ω n 2 = 40 ω n ≅ 6.325 ⇒ 2ζω n = 5 ζ ≅ 0.395
则
σ% = e
−
πζ
1−ζ 2
× 100% = 26%
3 ω ζ = 1.2 ts = n 4 = 1.6 ω n ζ
(当∆ = 5时) (当∆ = 2时)
提示： 提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。
（1）画出系统的根轨迹； （2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围； k （3）求产生持续等幅振荡时的 k 值和振荡频率； （4）求主导复数极点具有阻尼比为 0.时的 值和闭环极点。 5 k
23
7. 解：（1）画根轨迹
4 ① 该系统有三条根轨迹，开环极点为 0, − 2, −。
② 求渐近线
σa =
s1 + 2 × (− 0.382) = −2
s1 = −1.236
由此可知，当 − 0.382 − 1.236 和 ，于是
k = 0.时，闭环系统有重根极点，且三个极点为 09
− 0.382
，
φ (s ) =
(s + 1.236)(s + 0.382)2
k1 (s + 1)
=
9(s + 1) (s + 1.236 )(s + 0.382)2
2s 4 − 2 = 2(s + 1)(s − 1)(s + j )(s − j ) = 0 这样特征方程可写为
(s + 2)(s + 1)(s − 1)(s + j )(s − j ) = 0
s 可见，系统在S右半平面有一个根 s = 1，在虚轴上有两个根 s = j， = − j， 在S左半平面有两个根 s = −1 ，s = −2 。
s1, 2 = −0.675 ± j1.138
由于 n ≥ m + 2 ，因此闭环极点之和等于开环 极点之和，另一个闭环极点为
6
4
j2.83
2 o o
s3 = (− 2 ) + (− 4 ) − s1 − s 2 = −4.686
根据幅值条件知
0
60 60 -0.845
-2
-j2.83
-4
k = s1 ⋅ s1 + 2 ⋅ s1 + 4 = 8.634
1 0 −1 2 0 −2 0 0 (8) (0) 0 −2 16 −2 0
(ε )
ε
第三行元素全为零，对辅助方程
11
2s 4 − 2 = 0
8s 3 = 0
求导得
可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数 ε 替换0， 继续排列劳斯阵。 劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行 元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或 ， 对称于虚轴的两对共轭复根。解辅助方程得：
ω n = 4.946(rad s )
k 2 = ω 2 = 24.463
a = 2ζω n = 2 × 0.608 × 4.946 = 6.014
提示： 提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。
9
例3. 系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S右半 平面的极点数。
s −1
6
例2. 图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定 k1 ， 2 和 a 的值。 k
R(s )
k1
−
k2 s(s + a )
Y (s )
y(t ) 2.18 2 .0
（a）
0
0.8
（b）
t
7
（a）系统结构图
（b）阶跃响应曲线
2. 解： 因为
kk Y (s ) = 2 1 2 R (s ) s + as + k 2
G (s ) = 20000 = s (s + 5)(s + 500) 40 40 ≈ s s (s + 5 ) s(s + 5) + 1 500
近似后的闭环传递函数为
ωn (s ) = 2 40 φ = 2 s + 5s + 40 s + 2ζω n s + ω n 2
2
17
所以
f (s ) = s 3 + 6s 2 + 8s + k = 0
s3 s2 s1 s0
1 6 48 − k 6 k
8 k
25
当
k = 48 时，辅助方程为
6 s 2 + 48 = 0
解得
s1, 2 = ± j 2.83
6
根轨迹如图所示。
4
j2.83
2 o o
0
60 60 -0.845
-2
-j2.83
提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况 （劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。
12
例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函 数 G (s )，应满足的条件: (1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零； (2) 闭环系统的特征方程为 s 3 + 4 s 2 + 6 s + 10 = 0 。
ωn k2 G (s ) = = s (s + a ) s (s + 2ζω n )
2
ω n 2 = k 2 2ζω n = a
8
据题意知 解得
2.18 − 2 σ% = × 100% = 9% = e 2 ζ = 0.608
−
πζ
1−ζ 2
t p = 0.8 =
解得 故
π ωn 1−ζ 2
-4
26
-6 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
（2）当 3.1 < k < 48 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响应为 欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。
ω （3）当 k = 48 时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡， n = 2.83 。
（4）阻尼角 β = cos −1 0.5 = 60 ，解方程或由图可知阻尼角为 60 的主导极点
+2+4 =2 3
± 180 (2k + 1) 3
于是，渐近线与实轴交点为 (− 2, 0) 。 ，
ϕa =
当k =0 时 当 k = 1时
ϕ a = +180
ϕ a = ±60
Q ③ 求分离点：由开环传递函数知 P(s ) = 1 ， (s ) = s(s + 2)(s + 4) 代入方程
P ′(s )Q(s ) − P(s )Q′(s ) = 0
k
+
+
−
1 s +1
1+
τs + 1
s
−
1 s
C (s )
k
4
τs + 1
s
s2
R(s )
k
+
+
−
1 s +1
1+
τs + 1
s
−
1 s
C (s )
k
（c）
τs + 1
R (s )
s2 + s + k
(τ + 1)s + 1 s (s + 1)
−
−
1 s
C (s )
k [(τ + 1)s + 1] s(s + 1)
27
-6 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
例8. 最小相角系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。
L(ω ) ( dB )
ω1
ω2
ω3
ω4
ω
28
8. 解：由图知在低频段渐近线斜率为0，因为最小交接频率前的低频段
L(ω ) = −v 20 lg ω ，故 v = 0 。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处， 渐近特性斜率发生变化。
总复习题
C (s ) 例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数 R(s )
。
s
s2
R(s )
−
+
−
−
k
1 s
A
τs + 1
s
+
1 s
C (s )
1
1.解：
R(s )
−
s s2
+
−
k
−
1 s
A
τs + 1
s
+
1 s
C (s )
s s2
R(s )
+
k
−
+
B′
−
1 s
−
A′
τs + 1
s
+
1 s
即
G (s) =
10 s ( s 2 + 4s + 6 )
15
例5. 某单位反馈随动系统的开环传递函数为
G (s ) = 20000 s (s + 5)(s + 500)
试计算闭环系统的动态性能指标 σ % 和 t s 。
16
5. 解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的 多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点， 而使系统近似为二阶系统。近似原则如下： ① 保持系统的稳态值不变； ② 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为
21
提示: 提示 （1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增益和反馈通路根轨迹
增益的乘积。 （2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。 （3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函 数的极点所组成。
22
例7．已知单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) = k s (s + 2)(s + 4)
有
24
3s 2 + 12 s + 8 = 0
s s1, 2 = −2 ± 1.155 ， 1 = −3.155 不在根轨迹上，舍去。 s2 = −0.845 是分离点，
分离角为 ± 90 。 根据幅值条件可求出分离点处的增益
k 2 = s 2 ⋅ s2 + 2 ⋅ s 2 + 4 ≈ 3.1
④ 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 劳斯表为
E (s )
−
R(s )
G (s )
Y (s )
13
4. 解：由单位阶跃引起的误差为
1 R (s ) s E (s ) = = 1 + G (s ) 1 + G (s )
由题意知稳态误差为
1 s ess = lim s ⋅ =0 s →0 1 + G (s )
lim G (s ) = ∞
s →0
所以 则G(s ) 分母的常数项应为零。 设 则闭环系统传递函数为
C (s )
k 2 (s + 2 ) s +1
由幅值条件知，分离点处 k =
20
s s +1
0.382 × 0.618 2 = = 0.09 s+2 1.618
2
由已知条件知在分离点处 因此，有
k 2 = 0.01
k1 = 9
由 n ≥ m + 2，可知闭环极点之和等于开环极点之和，将分离点− 0.382 代入得
6. 解：由图(a)可知系统的开环传递函数为
GH =
s (s + 1)
k (s + 2 )
2
其中 k = k1 ⋅ k 2 ，k1 为前向通路的根轨迹增益；k 2为反馈通路的根轨迹增益。 由图(b)知
k 2 (s + 2 ) H (s ) = (s + 1)
+
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因此，系统结构如图所示。R(s )
−
k1 s (s + 1)
C (s )
2
s
s2
R(s )
+
k
−
+
B′
−
1 s
−
τs + 1
s
+
A′
1 s
C (s )
（a）
s
τs + 1
s
s2
R(s )
+
k
−
+
−
1 s
τs + 1
s
+
−
1 s
C (s )
k
3
s
τs + 1
s
s2
R (s )
+
k
−
+
−
1 s
τs + 1
s
+
−
1 s
C (s )
k
（b）
τs + 1
s
s2
R(s )
18
例6．已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零、极点分布如图的(a)和(b)所示， 试确定闭环存在重极点情况下的闭环传递函数，此时反馈通路根轨迹 增益为 0.01 。
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -5
-0.382
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
（a）
19
（b）
图 根轨迹和 H (s ) 的零、极点分布
k1 k 2 k1 k 2 1 Y (s ) = 2 R (s ) = 2 ⋅ s + as + k 2 s + as + k 2 s
所以 又因为 所以
k1 k 2 1 y (∞ ) = lim y (t ) = lim s ⋅ 2 ⋅ = k1 = 2 t →∞ s →0 s + as + k 2 s
G (s ) =
k s as 2 + bs + c
(
)
φ (s ) =
G (s ) k = 3 1 + G (s ) as + bs 2 + cs + k
14
特征方程式为 比较系数得
as 3 + bs 2 + cs + k = s 3 + 4 s 2 + 6 s + 10 = 0
a = 1 ， b = 4 ， c = 6 ， k = 10