传递函数求增益
运算放大器的传递函数
运算放大器的传递函数
运算放大器是一种特殊的放大器，其传递函数是非常重要的。
传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系，它是运算放大器性能分析和设计中的一个重要参数。
传递函数通常表示为：
Vout/Vin = A*(1 + s/ωp)/(1 + s/ωz)
其中，A表示运算放大器的放大倍数，ωp和ωz分别表示极点和零点的角频率。
当输入信号的频率低于极点角频率ωp时，传递函数近似为A。
在这种情况下，运算放大器表现为一个理想的放大器，它可以放大输入信号，而不会引入任何失真。
当输入信号的频率高于极点角频率ωp时，传递函数将开始下降，这意味着运算放大器的增益将开始下降。
在这种情况下，运算放大器性能将会受到影响，并可能引入不必要的失真。
当输入信号的频率等于零点角频率ωz时，传递函数将具有一个额外的增益，这意味着运算放大器的增益将会更高。
在某些应用中，这种额外的增益可能是必要的，但在其他应用中，它可能会引入不必要的失真。
总之，了解运算放大器的传递函数是非常重要的。
只有通过深入了解其传递函数，才能设计出性能优良的运算放大器电路。
- 1 -。
传递函数求增益
传递函数求增益1. 什么是传递函数求增益传递函数求增益是信号处理中的一种方法，用于描述系统对输入信号的放大或衰减程度。
传递函数是输入输出之间的关系，可以通过传递函数求取系统的增益。
在控制系统设计和信号处理中，传递函数求增益是非常重要的一项技术。
2. 传递函数的定义和性质传递函数是描述系统输入输出关系的函数，一般用H(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的定义如下：H(s) = Y(s) / X(s)其中，Y(s)是系统的输出信号的拉普拉斯变换，X(s)是系统的输入信号的拉普拉斯变换。
传递函数具有以下性质：•线性性：传递函数具有线性性质，即系统的输出是输入的线性组合。
•时不变性：传递函数具有时不变性质，即系统的输出不随时间变化。
•因果性：传递函数具有因果性质，即系统的输出只依赖于当前和过去的输入。
•稳定性：传递函数具有稳定性质，即系统的输出有界。
3. 传递函数求增益的方法传递函数求增益的方法有多种，下面介绍几种常用的方法：3.1 频域法频域法是一种常用的传递函数求增益的方法，它通过对系统的输入输出信号进行频谱分析来求取增益。
具体步骤如下：1.对系统的输入信号进行傅里叶变换，得到输入信号的频谱。
2.对系统的输出信号进行傅里叶变换，得到输出信号的频谱。
3.将输出信号的频谱除以输入信号的频谱，得到系统的传递函数。
4.根据传递函数的定义，求取系统的增益。
3.2 时域法时域法是另一种常用的传递函数求增益的方法，它通过对系统的输入输出信号进行时域分析来求取增益。
具体步骤如下：1.对系统的输入信号进行拉普拉斯变换，得到输入信号的拉普拉斯变换。
2.对系统的输出信号进行拉普拉斯变换，得到输出信号的拉普拉斯变换。
3.将输出信号的拉普拉斯变换除以输入信号的拉普拉斯变换，得到系统的传递函数。
4.根据传递函数的定义，求取系统的增益。
3.3 实验法实验法是一种直接测量系统输入输出信号的方法，通过实验来求取系统的增益。
具体步骤如下：1.设计一个合适的实验，确定系统的输入信号和输出信号。
梅森增益公式
具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为
式中
——从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）；
——从源节点到阱节点的前向通路总数；
——从源节点到阱节点的第
条前向通路总增益；
——流图特征式
式中
——所有单路回路增益之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和；
——流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第
条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。
[1]。
专题5-梅森增益公式
例 试用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s) .
1
解: 单独回路有四个即
L
a
G1 G2 G3 G1G2
两个互不接触的回路有四组,即 Lb Lc G1G2 G1G3 G2G 3G1G2G3 三个互不接触的回路有一组,即
因此,系统的传递函数为
p2 G2G3 K , 2 1 G1 ; p4 G1G2G3 K , 4 1 .
p3 G1G3 K , 3 1 G2 ;
C ( s ) p11 p2 2 p3 3 p4 4 R( s ) G2G3 K (1 G1 ) G1G3 K (1 G2 ) 1 G1 G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G3 2G1G2G3
L L L
d e
f
G1G2G3
1
则信号流图特征式为
1 La Lb Lc Ld Le L f 1 G1 G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G3 2G1G2G3
前向通路共有四条,其增益及余因式分别为
p1 G1G2G3 K , 1 1 ;
C ( s) G1 ( s )G2 ( s ) ( s) R( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
由 (s )可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为
R( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
1 n P pk k k 1
2.闭环系统的传递函数
传递函数状态反馈增益矩阵
传递函数状态反馈增益矩阵
在控制理论中，传递函数状态反馈增益矩阵是指在引入状态反馈后，系统的动态矩阵会发生改变，但不影响输入矩阵和输出矩阵。
状态反馈可以通过适当选取反馈增益矩阵来任意移置闭环系统的极点。
对于线性定常系统，原系统的动态矩阵为$A$，输入矩阵为$B$，输出矩阵为$C$。
引入状态反馈后，系统就会变成$(A-BK,B,C)$。
其中，$K$是一个常系数矩阵（比例环节），通常称为反馈增益矩阵。
状态反馈不影响系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。
只要原系统是能控的，就一定可以通过适当选取反馈增益矩阵$K$来用状态反馈任意移置闭环系统的极点。
随着状态观测器理论和状态估计方法的发展，在很多情况下已不难获得状态变量的良好实时估计值，状态反馈方法已进入了实用阶段。
2.2 传递函数
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)
Td
dr(t) dt
r(t)
传递函数： G(s) Td s 1
G(s) Uo(s)
Ui (s)
R1
R2 // 1
Cs
R2 R1
(R1Cs
1)
K
(Td
s
1)
其中， K R2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程：
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)Mc (s) Gu (s) Gm(s)UMac((ss))
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
说明：
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
dr(t)
y(t) Td dt
t0
G(s) Td s 式中，Td 为微分时间常数
纯微分电路
G(s) Uo(s) R
Ui (s)
1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
(2)实际微分环节 微分方程：
n
(n为自然角频率，为阻尼比，0 1表示振荡环节)
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
iir滤波器增益 传递函数的级联合成 增益计算
IIR滤波器的增益及传递函数的级联合成是数字信号处理中重要而复杂的问题之一。
本文将从增益计算的角度对此问题展开讨论，以帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
1. IIR滤波器简介IIR滤波器是一种数字滤波器，其特点是具有无限脉冲响应（Infinite Impulse Response，IIR）的性质。
相比于FIR（有限脉冲响应）滤波器，IIR滤波器在设计上更加灵活，能够实现更为复杂的频率响应。
2. 增益的定义在数字滤波器中，增益是指输入信号经过滤波器后的幅度变化。
具体而言，对于IIR滤波器而言，增益可以通过传递函数来描述。
传递函数是描述输入信号与输出信号之间关系的数学函数，通过传递函数可以计算出增益的数值。
3. 传递函数的级联合成在实际应用中，常常需要将多个滤波器级联使用，以实现更为复杂的滤波功能。
此时，传递函数的级联合成就显得尤为重要。
传递函数的级联合成是指将多个滤波器的传递函数进行合并，得到级联滤波器的整体传递函数。
4. 增益的计算方法对于级联的IIR滤波器，其整体增益可以通过各个滤波器的增益进行逐步计算得到。
具体而言，在级联合成之前，需要计算每个滤波器的增益，然后根据级联关系逐步合并增益，最终得到整体的增益。
5. 实例分析在实际应用中，通过一个具体的实例分析可以更好地理解IIR滤波器增益的计算方法。
假设有两个IIR滤波器，其传递函数分别为H1(z)和H2(z)，现需将其级联使用。
分别计算H1(z)和H2(z)的增益，然后根据级联合成的原理，计算整体增益。
6. 结论与展望通过本文的讨论，我们对于IIR滤波器增益的计算有了更为全面和深入的理解。
传递函数的级联合成也得到了充分的阐述。
在实际应用中，读者可以根据本文所述的方法，更加灵活地设计和应用IIR滤波器，从而实现更为精确和高效的信号处理。
通过以上分析可知，IIR滤波器增益的计算是一个复杂而重要的问题，需要结合传递函数的级联合成进行全面理解。
希望本文的讨论能够帮助读者更好地掌握相关知识，为实际应用提供指导和参考。
自动控制原理--传递函 数的求法及例题
1(t) 2 (t)
[例2] 求下图的传递函数：
传递函数
例 RLC电路
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
ur
取ur为输入，uc为输出 LCs2 RCs 1 Uc s Ur s
W
(s)
Uc (s) Ur (s)
LCs2
1 RCs
1
机械位移系统
m
d 2 x t
dt 2
B
dx t
dt
Kx t
f
t
ms2 Bs K X s F s
取外力f(t)为输入 位移x(t)为输出
W
s
Xc s F s
ms2
1 Bs
K
（一）比例环节：
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。 实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
电位器(无负载时)
u θ
E θ 0
ห้องสมุดไป่ตู้
max
22
u
E0 θmax
.θ
K
p.θ
G
(s)
U(s) Θ(s)
K
p
xc
R2 R1
xr
Kxr
X c (s) KX r (s)
W (s) X c (s) K X r (s)
（二）积分环节：
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失， 输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机 中的积分器等。
传 递 函 数的求法及例题
1.由实际系统求出其原始微分方程组 2.在零初始条件下，对方程组进行拉氏变换 3.求出输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 比，即为传递函数
传递函数求增益课件
传递函数求增益的未来发展方向
随着科技的不断进步，传递函数 求增益的方法和技术也在不断发
展和完善。
未来，随着计算机技术和人工智 能的不断发展，传递函数求增益 的方法将更加智能化和自动化。
同时，随着系统复杂性的不断增 加，传递函数求增益的方法将更 加重视多学科交叉和跨领域合作
。
THANKS
传递函数求增益课件
目录 Contents
• 传递函数基础 • 传递函数求增益方法 • 传递函数增益的应用 • 传递函数增益的实例分析 • 总结与展望
01
传递函数基础
传递函数的定义
01
传递函数：描述线性时不变系统 动态特性的数学模型，是系统输 入和输出之间关系的复数域数学 表达式。
02
传递函数的定义基于系统的输入 和输出信号，通过拉普拉斯变换 或Z变换等方法得到。
04
传递函数增益的实例分析
一阶传递函数增益分析
总结词
一阶传递函数的增益分析相对简单， 主要通过解析传递函数的分子和分母 来计算增益。
详细描述
一阶传递函数通常表示为 G(s) = K/(Ts+1)，其中K是增益，T是时间常 数。增益K可以通过比较传递函数的分 子和分母来直接计算。
二阶传递函数增益分析
高阶传递函数增益分析
总结词
高阶传递函数的增益分析较为复杂，需要全面解析传递函数的各项系数和极点、零点。
详细描述
高阶传递函数由多个多项式分数组成，每个多项式的分母称为极点，分子称为零点。增益分析需要全面解析这些 多项式系数以及极点和零点的关系，以准确计算增益。同时，高阶传递函数的稳定性、动态性能和静态性能也需 要综合考虑。
通过调整传递函数的增益，优化控制 系统的性能指标，如调节时间、超调 量等。
控制系统传递函数
控制系统传递函数控制系统是现代工程中广泛应用的重要技术之一，用于实现对各种工业过程和设备的自动控制。
而控制系统的核心是其传递函数，它能够描述输入和输出信号之间的关系。
本文将介绍控制系统传递函数的概念、用途以及一些常见的传递函数模型。
一、传递函数的定义与概念传递函数是用于描述控制系统输入和输出之间的关系的数学模型。
它是一个比较抽象的概念，通常用符号G(s)来表示。
其中，s是复变量，表示拉普拉斯变换的变量。
传递函数将输入信号X(s)转换为输出信号Y(s)，通过设定传递函数来实现所需的控制效果。
传递函数一般可以写成如下形式：G(s) = Y(s) / X(s)其中，Y(s)是输出信号的拉普拉斯变换，X(s)是输入信号的拉普拉斯变换。
二、传递函数的用途传递函数在控制系统中起到了至关重要的作用。
它可以帮助工程师们分析和设计控制系统，理解系统的性能和行为。
1. 稳定性分析：传递函数能够帮助评估系统的稳定性。
通过分析传递函数的特征值或频率响应，可以判断系统是否稳定。
这对于控制系统的设计和优化非常重要。
2. 系统响应：传递函数可以描述系统对各种输入信号的响应特性。
通过分析传递函数的阶数、根的位置等信息，可以了解系统的响应速度、稳态误差和阻尼情况等。
3. 控制设计：传递函数可以用于控制器的设计。
通过选择合适的传递函数，可以实现对系统的精确控制，满足工程要求。
三、常见的传递函数模型控制系统传递函数可以采用不同的模型形式来描述不同的系统特性。
下面介绍几种常见的传递函数模型。
1. 一阶系统传递函数：G(s) = K / (Ts + 1)其中，K是传递函数的增益，T是一个时间常数。
这种传递函数常用于描述惯性系统，具有较简单的数学形式。
2. 二阶系统传递函数：G(s) = K / (τ^2s^2 + 2ζτs + 1)其中，K是传递函数的增益，τ是一个时间常数，ζ是阻尼系数。
这种传递函数用于描述振荡系统，可以较好地模拟实际工程中的许多系统。
开环增益与闭环增益计算公式
一、开环增益和闭环增益的计算公式是什么？开环增益计算公式:开环增益等于反馈环路和前向通路组成的环中所有增益的乘积。
闭环增益计算公式:闭环增益等于开环增益除以1加上环路增益(即改善系数)。
开环增益是指放大器不加负反馈电路时的放大增益，负反馈后的增益称为闭环增益。
因为负反馈降低了放大器的放大能力，所以在同一系统中，闭环增益必须小于开环增益。
开环增益是集成运算放大器在没有反馈电阻的情况下的差模电压增益，它是集成运算放大器的输出电压与差分输入电压的比值。
因为负反馈降低了放大器的放大能力，所以在同一系统中，闭环增益必须小于开环增益。
在自动控制系统中，开环增益是指开环传递函数以常数项为1的标准形式写出后，开环传递函数的增益。
二。
开环增益意味着什么三。
开环增益和闭环增益的物理意义是什么？开环增益和闭环增益的物理意义是:开环增益:当输入和输出之间没有反馈环路和外部连接时，输入和输出的倍数。
闭环增益:当输入和输出通过外部电阻、电容、电感等连接时。
，而输出会影响输入，输出除以输入的倍数。
增益:输入的意义。
当输入信号电压Vp和Vn施加于差分放大器输入级的两个输入端时，获得该级的输出电压Vo1=Av1*(Vp-Vn)，其中Av1是输入级的电压增益。
公式推导:对于闭环控制系统，开环增益是指标准形式的开环传递函数的增益。
以具有单位负反馈的二阶系统为例，前向通道传递函数G(s)=ωn^2/s(s+2ωnζ)，其中ωn为系统的无阻尼固有频率，ζ为系统的阻尼比。
因为是单位负反馈，反馈通道传递函数是H(s)=1，所以系统的开环传递函数是G(s)H(s)=ωn^2/s(s+2ωnζ)。
标准形式的开环传递函数为G(s)H(s)=(ωn/2ζ)/s(s/2ωnζ+1)，分子ωn/2ζ为系统的开环增益，记为K=ωn/2ζ。
四。
什么是开环增益不。
增益是这样计算的:1.先规范每个环节:问题中的惯性环节应该是(Ts+1)的形式。
那个s+100应该写成100*(0.01s+1)；2.然后整理为:G(s)=0.15/s(3s+1)(0.01s+1)3.因此，增益k应等于0.15。
速度环闭环传递函数
速度环闭环传递函数速度环闭环控制系统是一种常见的控制系统，其目的是通过调整控制器输出，使得系统的速度达到设定值或者跟踪给定的速度参考信号。
在速度环闭环控制系统中，控制器的输入是速度误差，输出是控制信号，通常是电压或者电流信号。
速度环闭环传递函数描述了控制系统的动态特性，它是速度环系统输入和输出之间的数学关系。
传递函数通常是一个复数域有理分式函数，可以用来描述系统的频率响应特性、稳定性和性能指标。
对于一个典型的速度环闭环系统，其传递函数可以表示为：G(s) = K / (sT + 1)其中，G(s)是系统的传递函数，K是系统的增益，T是系统的时间常数，s是复数域中的变量。
在传递函数中，s可以视为一个复数的变量，它的实部表示系统的阻尼比，虚部表示系统的固有频率。
传递函数的分子表示输入变量与输出变量之间的直接关系，分母表示输入与输出之间的频率响应特性。
在速度环闭环控制系统中，通常可以通过调整传递函数的增益和时间常数来控制系统的动态性能。
增益可以用来调节系统的输出响应速度，时间常数用来控制系统的阻尼比和固有频率。
对于一个给定的速度环闭环系统，可以根据系统的要求来确定传递函数的增益和时间常数。
增益和时间常数的选择可以根据系统的响应速度、稳定性和抗干扰能力来进行调整。
增益较大的速度环闭环系统将会具有更快的响应速度，但是可能会导致系统不稳定或者不抗干扰。
增益较小的系统则会具有较慢的响应速度，但是会更稳定和更抗干扰。
时间常数可用于调节系统的阻尼比和固有频率，从而影响系统的暂态响应和稳定性。
传递函数的频率响应特性可以用来描述系统对不同频率输入信号的响应情况。
在频率响应特性中，增益和相位是两个基本的指标。
增益表示系统对于输入信号的放大倍数，相位表示系统对输入信号的相位延迟或超前情况。
频率响应特性可以通过绘制伯德图和尼科尔斯图来进行分析。
伯德图是频率响应特性的幅频特性曲线图，可以用来显示系统在不同频率下的增益情况。
尼科尔斯图是频率响应特性的相频特性曲线图，可以用来显示系统在不同频率下的相位变化情况。
《传递函数求增益》课件
欢迎来到《传递函数求增益》PPT课件。本课程将带你逐步学习如何计算传 递函数和增益，并展示它们在实际应用中的重要性。
简介
什么是传递函数
传递函数描述了输入信号和输出信号之间的关系，是系统控制和信号处理中的重要概念。
什么是增益
增益是传递函数中的一个重要参数，表示输出信号相对于输入信号的放大倍数。
传递函数
1 振幅比与相角差
（简述）
传递函数的振幅比和相 角差描述了输入和输出 信号在频率上的关系， 从而确定系统的频率响 应特性。
2 模拟系统的传递函
数
模拟系统的传递函数通 常由微分方程或拉普拉 斯变换得到，用于描述 系统的动态特性。
3 数字系统的传递函
数
数字系统的传递函数由 差分方程或Z变换得到， 用于描述离散时间系统 的行为。
传递函数可以用于滤波器的设计和信号处理算法 的分析，在音频和图像处理中发挥重要作用。
总结
1 传递函数和增益的关系
2 传递函数求解方法的应用前景
传递函数描述了输入和输出信号之间的关 系，而增益是传递函数中的一个重要参数。
传递函数求解方法可以应用于各种系统分 析和设计中，对工程实践具有重要意义。
增益
1
增益的定义
增益是传递函数的一个重要指标，表示输出信号与输入信号之间的信号能量变化。
2
内部增益和外部增益
内部增益是传递函数中的参数，而外部增益是描述整个系统的放大倍数。
3
增益计算实例
通过具体的计算实例演示如何计算传递函数的增益，并解释增益对系统性能的影 响。
传递函数求解
构建系统模型
通过分析系统的输入和输出 信号关系，建立数学模型以 求解传递函数。
已知传递函数怎么求开环增益
已知传递函数怎么求开环增益传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。
它通常用于描述动态系统中的输入和输出之间的关系，特别是在控制系统中。
在控制系统中，开环增益是指在没有反馈的情况下，输入信号的变化对输出信号幅度变化的影响程度。
开环增益的计算对于评估系统的性能和稳定性非常重要。
要计算传递函数的开环增益，首先需要了解传递函数的一般形式。
传递函数通常由多项式形式表示，其中分子多项式表示输出变量，分母多项式表示输入变量。
传递函数的一般形式如下：G(s)=K*(s^m+a_1*s^(m-1)+a_2*s^(m-2)+...+a_(m-1)*s+a_m)/(s^n+b_1*s^(n-1)+b_2*s^(n-2)+...+b_(n-1)*s+b_n)其中，s是Laplace变换的变量，K是开环增益，m是分子多项式的阶数，n是分母多项式的阶数，a_i和b_i是多项式的系数。
下面是计算开环增益的步骤：1.将传递函数的分子多项式和分母多项式整理成标准形式。
确保分子和分母多项式的阶数是相同的。
2.将传递函数的分子和分母多项式用复数因子相乘的形式表示。
这样可以更方便地计算开环增益。
3.找到传递函数的所有极点（分母多项式的根）和传递函数的极点（分子多项式的根）。
4.将传递函数的分子和分母多项式用极点和开环增益的乘积表示。
即G(s)=K*(s-p_1)*(s-p_2)*...*(s-p_m)/(s-z_1)*(s-z_2)*...*(s-z_n)其中，p_i是传递函数的极点，z_i是传递函数的零点。
5.计算开环增益。
开环增益是当输入变量的幅度为1时，输出变量的幅度。
对于传递函数为G(s)，开环增益的计算公式为：K_a = ，G(jw)其中，K_a是开环增益，G(jw)，是传递函数在频率为w时的幅度。
6.将传递函数转换为标准形式。
如果传递函数不是标准形式，则需要将其转换为标准形式进行开环增益的计算。
需要注意的是，计算开环增益时可以使用频域方法或时域方法。
传递函数求增益
传递函数求增益（原创实用版）目录1.传递函数的定义和重要性2.传递函数的求增益方法3.传递函数求增益的实际应用正文1.传递函数的定义和重要性传递函数是在控制系统中经常使用的一个概念，它是指系统输出的变化与输入的变化之比。
在控制系统的设计和分析中，传递函数起到了关键的作用。
通过传递函数，我们可以了解系统的稳定性、响应速度和放大倍数等重要信息。
在实际应用中，传递函数的研究可以帮助我们更好地设计和调整控制系统，以满足特定的性能要求。
2.传递函数的求增益方法传递函数的求增益方法主要分为以下几个步骤：（1）确定系统的输入和输出变量。
通常，输入变量是控制系统中的控制信号，输出变量是被控对象的响应。
（2）根据系统的输入和输出变量，列出传递函数的数学表达式。
传递函数的数学表达式通常包括系统输入和输出的乘积，以及系统的增益和相位等参数。
（3）求解传递函数的增益。
增益是传递函数中的一个重要参数，它表示系统对输入信号的放大倍数。
求解增益的方法通常是利用系统的输入和输出信号，通过数学运算得到。
3.传递函数求增益的实际应用传递函数求增益在实际应用中有很多例子，下面我们以一个简单的例子来说明。
假设有一个控制系统，其输入信号为 x(t)，输出信号为 y(t)，传递函数为 G(s)=K(s)，其中 K(s) 是系统的增益。
我们可以通过求解传递函数 G(s) 的增益 K 来了解系统的性能。
具体做法是，将输入信号 x(t) 通过传递函数 G(s) 作用于输出信号 y(t)，得到 y(t)=Kx(t)。
由此可知，系统的增益 K 就是输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 的比值。
在实际应用中，我们可以通过改变系统的增益 K 来调整控制系统的性能。
例如，当我们希望提高系统的稳定性时，可以适当降低增益 K；当我们希望提高系统的响应速度时，可以适当增加增益 K。
通过调整增益 K，我们可以实现对控制系统性能的优化。
总之，传递函数求增益在控制系统的设计和分析中具有重要意义。
二阶系统的静态增益 -回复
二阶系统的静态增益-回复二阶系统的静态增益是指系统在输入信号为恒定值时，输出信号的稳态值与输入信号的比值。
静态增益是描述系统响应的重要参数，可以帮助我们了解系统的输出特性和性能。
一、什么是二阶系统？二阶系统是指系统的传递函数有二次多项式形式，通常表示为：H(s) = k / [(s^2 + 2ξωns + ωn^2)]，其中，k为系统的放大倍数，ξ为系统的阻尼比，ωn为系统的自然频率，s为Laplace变量。
二、二阶系统的静态增益的计算方法：对于二阶系统，静态增益的计算是通过将输入信号恒定值代入传递函数H(s)中求得的。
假设输入信号为恒定值U，即U(s) = U / s，输出信号为Y(s)，则有：Y(s) = H(s) * U(s) = k / [(s^2 + 2ξωns + ωn^2)] * (U / s)。
将以上表达式进行部分分式分解后，得到：Y(s) = (k / ωn^2) * [ (2ξωn / s) - (s / (s^2 + 2ξωns + ωn^2)) ] * U。
再对Y(s)进行Laplace逆变换，得到输出信号的时域表达式y(t)：y(t) = (k / ωn^2) * [ (2ξωn) * e^(-ξωnt)sin(ωndt) - e^(-ξωnt)cos(ωndt) ] * U，其中，e为自然常数，t为时间，d为一个与阻尼比和自然频率相关的参数。
根据以上表达式可以看出，输出信号y(t)与输入信号U之间的比值即为二阶系统的静态增益。
可以发现，静态增益与系统的放大倍数k有关，同时也与系统的阻尼比ξ和自然频率ωn有关。
三、二阶系统的静态增益的影响因素：1. 放大倍数k：静态增益与放大倍数k成正比，放大倍数越大，则静态增益越大；放大倍数越小，则静态增益越小。
2. 阻尼比ξ：静态增益与阻尼比ξ有关，阻尼比越小，静态增益越大；阻尼比越大，静态增益越小。
3. 自然频率ωn：静态增益与自然频率ωn有关，自然频率越小，静态增益越大；自然频率越大，静态增益越小。
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C (s )
2
s
s2
R(s )
+
k
−
+
Hale Waihona Puke B′−1 s
−
τs + 1
s
+
A′
1 s
C (s )
（a）
s
τs + 1
s
s2
R(s )
+
k
−
+
−
1 s
τs + 1
s
+
−
1 s
C (s )
k
3
s
τs + 1
s
s2
R (s )
+
k
−
+
−
1 s
τs + 1
s
+
−
1 s
C (s )
k
（b）
τs + 1
s
s2
R(s )
C (s )
k 2 (s + 2 ) s +1
由幅值条件知，分离点处 k =
20
s s +1
0.382 × 0.618 2 = = 0.09 s+2 1.618
2
由已知条件知在分离点处 因此，有
k 2 = 0.01
k1 = 9
由 n ≥ m + 2，可知闭环极点之和等于开环极点之和，将分离点− 0.382 代入得
f (s ) = s 3 + 6s 2 + 8s + k = 0
s3 s2 s1 s0
1 6 48 − k 6 k
8 k
25
当
k = 48 时，辅助方程为
6 s 2 + 48 = 0
解得
s1, 2 = ± j 2.83
6
根轨迹如图所示。
4
j2.83
2 o o
0
60 60 -0.845
-2
-j2.83
即
G (s) =
10 s ( s 2 + 4s + 6 )
15
例5. 某单位反馈随动系统的开环传递函数为
G (s ) = 20000 s (s + 5)(s + 500)
试计算闭环系统的动态性能指标 σ % 和 t s 。
16
5. 解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的 多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点， 而使系统近似为二阶系统。近似原则如下： ① 保持系统的稳态值不变； ② 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为
21
提示: 提示 （1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增益和反馈通路根轨迹
增益的乘积。 （2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。 （3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函 数的极点所组成。
22
例7．已知单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) = k s (s + 2)(s + 4)
总复习题
C (s ) 例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数 R(s )
。
s
s2
R(s )
−
+
−
−
k
1 s
A
τs + 1
s
+
1 s
C (s )
1
1.解：
R(s )
−
s s2
+
−
k
−
1 s
A
τs + 1
s
+
1 s
C (s )
s s2
R(s )
+
k
−
+
B′
−
1 s
−
A′
τs + 1
s
+
1 s
G (s ) =
k s as 2 + bs + c
(
)
φ (s ) =
G (s ) k = 3 1 + G (s ) as + bs 2 + cs + k
14
特征方程式为 比较系数得
as 3 + bs 2 + cs + k = s 3 + 4 s 2 + 6 s + 10 = 0
a = 1 ， b = 4 ， c = 6 ， k = 10
1 0 −1 2 0 −2 0 0 (8) (0) 0 −2 16 −2 0
(ε )
ε
第三行元素全为零，对辅助方程
11
2s 4 − 2 = 0
8s 3 = 0
求导得
可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数 ε 替换0， 继续排列劳斯阵。 劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行 元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或 ， 对称于虚轴的两对共轭复根。解辅助方程得：
有
24
3s 2 + 12 s + 8 = 0
s s1, 2 = −2 ± 1.155 ， 1 = −3.155 不在根轨迹上，舍去。 s2 = −0.845 是分离点，
分离角为 ± 90 。 根据幅值条件可求出分离点处的增益
k 2 = s 2 ⋅ s2 + 2 ⋅ s 2 + 4 ≈ 3.1
④ 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 劳斯表为
s1, 2 = −0.675 ± j1.138
由于 n ≥ m + 2 ，因此闭环极点之和等于开环 极点之和，另一个闭环极点为
6
4
j2.83
2 o o
s3 = (− 2 ) + (− 4 ) − s1 − s 2 = −4.686
根据幅值条件知
0
60 60 -0.845
-2
-j2.83
-4
k = s1 ⋅ s1 + 2 ⋅ s1 + 4 = 8.634
ωn k2 G (s ) = = s (s + a ) s (s + 2ζω n )
2
ω n 2 = k 2 2ζω n = a
8
据题意知 解得
2.18 − 2 σ% = × 100% = 9% = e 2 ζ = 0.608
−
πζ
1−ζ 2
t p = 0.8 =
解得 故
π ωn 1−ζ 2
k1 k 2 k1 k 2 1 Y (s ) = 2 R (s ) = 2 ⋅ s + as + k 2 s + as + k 2 s
所以 又因为 所以
k1 k 2 1 y (∞ ) = lim y (t ) = lim s ⋅ 2 ⋅ = k1 = 2 t →∞ s →0 s + as + k 2 s
ω n 2 = 40 ω n ≅ 6.325 ⇒ 2ζω n = 5 ζ ≅ 0.395
则
σ% = e
−
πζ
1−ζ 2
× 100% = 26%
3 ω ζ = 1.2 ts = n 4 = 1.6 ω n ζ
(当∆ = 5时) (当∆ = 2时)
提示： 提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。
+2+4 =2 3
± 180 (2k + 1) 3
于是，渐近线与实轴交点为 (− 2, 0) 。 ，
ϕa =
当k =0 时 当 k = 1时
ϕ a = +180
ϕ a = ±60
Q ③ 求分离点：由开环传递函数知 P(s ) = 1 ， (s ) = s(s + 2)(s + 4) 代入方程
P ′(s )Q(s ) − P(s )Q′(s ) = 0
E (s )
−
R(s )
G (s )
Y (s )
13
4. 解：由单位阶跃引起的误差为
1 R (s ) s E (s ) = = 1 + G (s ) 1 + G (s )
由题意知稳态误差为
1 s ess = lim s ⋅ =0 s →0 1 + G (s )
lim G (s ) = ∞
s →0
所以 则G(s ) 分母的常数项应为零。 设 则闭环系统传递函数为
ω n = 4.946(rad s )
k 2 = ω 2 = 24.463
a = 2ζω n = 2 × 0.608 × 4.946 = 6.014
提示： 提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。
9
例3. 系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S右半 平面的极点数。
s −1
（1）画出系统的根轨迹； （2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围； k （3）求产生持续等幅振荡时的 k 值和振荡频率； （4）求主导复数极点具有阻尼比为 0.时的 值和闭环极点。 5 k
23
7. 解：（1）画根轨迹
4 ① 该系统有三条根轨迹，开环极点为 0, − 2, −。
② 求渐近线
σa =
6
例2. 图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定 k1 ， 2 和 a 的值。 k
R(s )
k1
−
k2 s(s + a )
Y (s )
y(t ) 2.18 2 .0
（a）
0
0.8
（b）
t
7
（a）系统结构图