第十二章微分方程(二)

二、 高阶微分方程1．高阶微分方程的定义：'''()(,,,,)0n F x y y y =2．可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）()()n y f x = 解法：逐次积分（2）),(y x f y '='' 特点：不显含y 的方程解法：设p y ='，则p y '=''，代入方程中得),(p x f p ='。

已降为一阶。

（2）),(y y f y '='' 特点：显含x 的方程 解法：设p y ='，则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=，已降为一阶。

【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解：由于不显含y ，令()y p x '=，则y p '''=，代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 ln(1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dx dx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1ln(1)11C y x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。

解：由于不显含x ，令()y p y '=，所以y pp '''=，代入原方程得 20ypp p '+= 所以 0p = 或 0yp p '+=当0yp p '+=时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得dp dy p y=-积分得 1ln ||ln ||ln p y C =-+，所以 ， 1C p y =， 即 1C y y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =，从而 12y y '=分离变量得 22y x C =+，将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时，即0y '=，积分得y C =，特解为1y =，含在21y x =+内。

3．二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程： ()()0y P x y Q x y '''++= 二阶线性非齐次微分方程：()()()y P x y Q x y f x '''++= 解的结构性质：（1）若1y 和2y 是齐次方程的解，则1122C y C y +齐次方程的解。

（2）若1y 和2y 是齐次方程的线性无关解，则1122C y C y +是齐次方程的通解。

（3）若1122Y C y C y =+是齐次方程的通解，*y 是非齐次方程的特解，则*Y y +是非齐次方程的通解。

（4）若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解，则12y y +是非齐次方程的特解。

（5）若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解，则12y y -是对应齐次方程的特解。

4．二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次方程： 0=+'+''qy y p y 解法：由特征方程02=++q pr r ，解出特征根1r 和2r 。

通解为：①当21r r ≠（实根）时，x r x r e C e C y 2121+=；②当21r r =时，x r e x C C y 1)(21+=；③当i r β±α=2,1时，)sin cos (21x C x C e y x β+β=α。

（2）二阶常系数非齐次方程特解 )(x f qy y p y =+'+''解法：1）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解Y ；3）根据不同类型的自由项)(x f ，利用待定系数法求出一个特解y *；4）写出原方程的通解*Y y +。

自由项有两种：① 当)()(x P e x f m x λ=时，原方程的特解形式是 x m k e x Q x y λ=)(*。

② 当]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ω+ω=λ时，原方程的特解形式是]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ω+ω=λ。

【例1】设)(,)(x q x p 和)(x f 都是x 的连续函数，并设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)32211y y c y c ++ (B) 3212211)(y c c y c y c +-+(C) 3212211)1(y c c y c y c ---+ (D) 3212211)1(y c c y c y c --++ 【 】 解：因为321,,y y y 是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以 13y y -，23y y -是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：*11322331122123()()(1)y Y y c y y c y y y c y c y c c y =+=-+-+=++--【例2】具有特解x e y -=1,x xe y -=22,x e y 33=的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) 0=+'-''-'''y y y y (B) 0=-'-''+'''y y y y(C) 06116=-'+''-'''y y y y (D) 022=+'-''-'''y y y y 【 】 解：由特解知1231,1r r r ==-=，代入(A),(B),(C),(D)的特征方程验证(B)满足。

【例3】求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：特征方程为2440r r ++=，解得特征根122r r ==-， 则齐次方程通解是 2212x x Y C e C xe --=+因为2()x f x e -=为()x m e P x λ型，2,0m λ=-=，且2λ=-为重根，可设特解*22x y x ae -=，将**,y y '''代入原方程得21=a ，即*2212x y x e -= 所以通解为 *22221212x x x y Y y C e C xe x e ---=+=++【例4】 求方程x e x y y +=+''sin 的通解解：特征方程为 012=+r ，解得特征根 i r ±=2,1， 则齐次方程通解是 12cos sin Y C x C x =+其中1()x f x e =为()x m e P x λ型，1,0m λ==，且1λ=不是特征根，可设特解x ae y =*1，代入原方程得21=a ，即x e y 21*1= 2()sin f x x =为[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+型，0,1,0,0l n λω====，且i i λω±=±为特征根，可设特解)sin cos (*2x c x b x y +=，代入原方程得21,0-==b c ，即xx y cos 21*2-=故原方程的特解 ***1211cos 22x y y y e x x =+=-，所求通解为 )cos (21sin cos 21x x e x C x C y x -++=【例5】设函数)(x y y =满足微分方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数)(x y y =. 解：特征方程为2320r r -+=，解得特征根11r =，22r = 则齐次方程通解是 212x x Y C e C e =+因为()2x f x e =为()x m e P x λ型，1,0m λ==，且1λ=为单根，可设特解*x y xae =，代入原方程得2a =-，即*2x y xe =-所以通解为 *2122x x x y Y y C e C e xe =+=+-212222x x x x y C e C e e xe '=+--因为)(x y y =的图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，所以00|1,|1x x y y =='==-代入,y y '得121,0C C ==，则(12)x y x e =-【例6】设)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，已知曲线积分⎰'---Lx dy y x f x f dx y x f xe cos ))()(5(sin ))(6(2与积分路径无关，求)(x f .解：因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与路径无关的条件P Qy x∂∂=∂∂，得 2[(5()())cos ][(6())sin ]x f x f x y xe f x y x y∂∂'--=-∂∂ 即 2[5()()]cos [6()]cos x f x f x y xe f x y '''--=-亦即 2()5()6()x f x f x f x xe '''-+=可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为23212()(2)2x x x xf x C e C e x e =+-+再由(0)0f =，(0)1f '=，可得特解232()22(2)2x x x xf x e e x e =-+-+【例7】设函数)(x f 连续，且满足0()()()xxx f x e tf t dt x f t dt =+-⎰⎰，求)(x f .解：等式两边对x 求导得0()()()()()x xx x f x e xf x f t dt xf x e f t dt '=+--=-⎰⎰两边再对x 求导得 ()()x f x e f x ''=-，即 ()()x f x f x e ''+= 为二阶线性非齐次微分方程，且(0)1,(0)1f f '==解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为121()cos sin 2x f x C x C x e =++再由(0)1,(0)1f f '==可得特解1()(cos sin )2x f x x x e =++【例8】利用代换xuy cos =，将方程x e x y x y x y =+'+''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解．解：因为sec cos uy u x x==，sec sec tan y u x u x x ''=+，23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++代入整理得 4x u u e '''+=通解为 121cos 2sin 25x u C x C x e =++将cos u y x =代入得 12cos 212sin cos 5cos xx e y C C x x x=++ 5．欧拉方程()1(1)11()n n n n n n x y p x y p xy p y f x ---'++++=， 12,,,n p p p 为常数解法：做变换t x e = 或ln t x =，记d D dt=1.dy dy dt dydx dt dx x dt==xy Dy '⇒= 222221()d y d y dy dx x dt dt=-2(1)x y D D y ''⇒=- 33233321(32)d y d y d y dydx x dt dt dt=-+3(1)(2)x y D D D y '''⇒=--()(1)(2)(1)n n x y D D D D n y =---+将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将ln t x =代回即可。