第十二章微分方程(二)
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程

即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
第十二章 微分方程第二节 可分离变量的微分方程12-2

M 0 ,求衰变过程中铀含
直接法
量 M( t )随时间 t 变化的规律。 解 由题设条件,有
dM 衰变速度 M ( 0衰变系数) dt dM 可 分 离 变 量 为 dt M C t 积 分 , 得 ln | M | t C , 即M e e , t M Ce . 代入M t 0 M0 得 M0 C, t M M 0e 衰变规律
2
8 /9
由(1)和(2),消去V,得:
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
*思考题
求解微分方程
dy x y x y cos cos . dx 2 2
9/9
作
• 习题12-2 1-(2) 2-(3)
业
第二节
1.
2. 3.
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例题 小结、作业
1/9
一、可分离变量的微分方程
若一阶微分方程可写成变量分离的形式
g( y )dy f ( x )dx
dy 2 2 例 2 x y y dy 2 x dx. dx
——可分离变量的微分方程.
4 5
4 5
解法 1、分离变量; 2、两边积分 g( y )dy f ( x )dx 若G ( y ) 和 F ( x ) 分别为g( y ) 和 f ( x ) 的原函数,则
流量系数
2
孔口截面面积
重力加速度
S 1 cm , dV 0.62 2 gh dt ,
(1)
7/9
dV ( 200h h )dh,
2
设在微小的时间间隔 [t , t dt]内, 100 h 水面的高度由h降至 h dh , h dh r 2 则 dV r dh, o r 100 2 (100 h)2 200h h2 ,
高等数学科学出版社下册课后答案第十二章 微分方程 习题简答

习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4.(1) 2y x y '=+,00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21.( 1) C x y =+-1010; (2); C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(; (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1;2.(1) 2)(arctan 21x y =; (2)0)cos 2(cos =-y x ; (3) )4(412--=x y ; (4) y e xcos 221=+;(5) 0322=+-y y x ; (6) )2(ln 222+=x x y ; 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后,车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31. (1) x C x y sin e )(-+=;(2) x x C y 2cos 2cos -=;(3) 1sin esin -+=-t C s t; (4) 2e 2x C y -+=; (5) )2()2(3-+-=x C x y ;(6))||(ln 12C y yx +=2. (1) 412e e 22++-=x y xx; (2) 11332e 2--=x x x y ; (3) x x y sec =; (4) )cos 1(1x xy --π=; (5) 1e5sin cos =+xx y ; (6).ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、(1)21c x c e y x ++=(2)21212x y x x c e c =--++(3)12ln y C x C =+ (4)12arcsin()xy c e c =+(5).3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(6)221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y (3)x y 11+= (4)11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221,其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y =C 1e -x+C 2e-2x;(2)=C 1e 0x +C 2e-2/3x=C 1+C 2e-2/3x ;(3) y =C 1cos2x +C 2sin2x .(4)x =(C 1+C 2t) e 5t/2;(5) .321x x e C e C y +=-(6).)(221x e x C C y -+=(7)).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=.(9) y =C 1cosx +C 2sinx +C 3e x +C 4e -x;(10)).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=(11)w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y =C 1+C 2x +(C 3+C 4x)e x. 2. ϕ(x)=1/2(cosx +sinx +e x).3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.(1).31*+-=x y (2)*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=(5).2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4. y =-1/16 sin2x +1/8 x(1+sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.(1)二;(2);(3)ln(ln )xy x x e=+;(4)''2'50y y y -+=;(5)2()x Ax B x e -+. 2. (1) A (2) (A)(3)(C )(4) (B )(5)(C ) 3. (1));(12x x e Ce xy +=(2)3221Cy y x += (3)C x xy +=2;(4)x Ce x y tan 1tan -+-=(5)13423++=x Cx y (6)22)1(1-=-x C y (7)31)1(tan x e C y -=- (8)221ln xCx y +-=(9)C x e x x +=+2)1(;(10)C xy x =-4. (1)322142224181C x C x C x e y x +++-=; (2)2212C x C e xe y x x ++-= (3)21|)cos(|ln C C x y ++-= (4))sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. (1))1(ln 222+=x x y (2))2sin 22(cos x x e y x +=- (3)x x x y 2sin 31sin 31cos +--= (4)2135672--+=-x e e y x x . 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时,将被鱼雷击中。
第十二章 微分方程习题课 (一)(二)

(3) y′ =
3x + y − 6x + 3 2x y − 2 y
2 2
d y 3( x − 1)2 + y2 = 化方程为 dx 2y( x − 1)
dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx d t dx d t dy 3t 2 + y2 (齐次方程 齐次方程) 齐次方程 = dt 2t y 令y=ut
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q ∵ = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
5
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
22
为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A题1,2,3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) , ,
(题3只考虑方法及步骤 题 只考虑方法及步骤 只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 为通解的微分方程 ( x + C )2 + y2 = 1 消去 C 得 提示: 提示 2( x + C )+ 2 y y′ = 0 P327 题3 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解: 提示: 提示 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 提示 这是一阶线性方程 , 其中
第十二章 微分方程一、二、三节

含有未知函数的导数(或微分)的关系式。
3
常微分方程的发展历史
常微分方程已有悠久的历史,而且继续保持着 进一步发展的活力,其主要原因是它扎根于各种实 际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究天体问题,其中需 要求解的运动方程是常微分方程。他以非凡的积分 技巧解决了它,从而在理论上证实了地球绕太阳的 运动轨道是一个椭圆,澄清了当时关于地球将坠毁 于太阳的一种悲观论点。另外,莱布尼兹也经常与 牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。
12
s 9.8 s(0) h, s(0) 0 2 (6) 的通解为 s( t ) 4.9t c1t c2 s( 0) h c 2 h ,
s(0) 0 9.8t c1 t 0 0 c1 0 .
( 6) (7)
5
尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、 弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控 制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预 测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反 过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵 深, 从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到 今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微 分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。
x2ddxy?应满足条件应满足条件此外函数此外函数xxyyy?y1微分方程1721??xxy积分得x式两边关于1将cxxxy????32d223得代入将21?c故所求的曲线方程为12??xy初始条件通解特解积分曲线解的几何意义常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线
第十二章 微分方程
已知 y f ( x ) , 求 y — 积分问题
的切线的斜率为 2 x,求此曲线 L 的方程.
设曲线的方程为 y y( x),则有 dy (1) 2 x. dx 此外,函数y y(x) 应满足条件
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程

解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ,得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
大学课件高等数学二阶常系数非齐次线性微分方程

(2) 求非齐次方程的特解 x 设 y x 1A e ( 1 是单根 ) A 2 即 y 2 xe x 解得
x
1 特征根 r1 1
所以原方程通解为 y C1e C 2e
2x
2 xe
x
(3) 求原方程的特解 (求函数y的解析表达式)
2 由 y x x 1, 得 y 2 x 1, 且 y ( 0 ) 1,
设y xAe
3 x
将 y , y , y 代入方程,得
A 1 4 ,
y
1 4
xe
3 x
2x
1
C1 e C 2 e
x
2x
2x x( x 1)e
1
2
10
2002年考研数学二, 3分 设 y y ( x ) 是二阶常系数微分方程 py qy e 3 x 满足初始条件 y (0) y (0) 0 y 的特解, 则当 x 0时 , 函数 (A) 不存在. (B) 等于1.
ln( 1 x )
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y( x )
的极限
(D) 等于3.
0 0
(C) 等于2.
2
0 0
解 lim
ln( 1 x )
2
x 0
y( x )
2x lim lim x 0 y( x ) x 0 y ( x ) 2 2 lim x 0 y ( x )
y py qy 0
难点 如何求非齐次方程特解? 方法 待定系数法.
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy Pm ( x )e
12-2 定轴转动微分方程-转动惯量

d
§12-4
刚体对轴的转动惯量
3. 回转半径(惯性半径) 回转半径(惯性半径)
Jz 定义回转半径 ρz : ρz = m
2 Jz = mρz
3 l 均质细直杆对杆端: 均质细直杆对杆端: ρz = 3 均质圆环: 均质圆环: ρz = R
2 R 均质圆板: 均质圆板: ρz = 2
§12-4
刚体对轴的转动惯量
熟练应用平行轴定理求转动惯量! 熟练应用平行轴定理求转动惯量!
第十二章 动量矩定理
作 业
习题:P160 12 — 5 习题:
M2
r F′ t
R2
M2 M1
r F′ r n r F F n t r Fy1 r R1 F 1 α1 x r M1 mg 1
r Fy2 r α2 Fx2 r mg 2
第十二章 动量矩定理
§12-4 12-
刚体对轴的转动惯量
§12-4
刚体对轴的转动惯量
z
刚体对z轴的 刚体对 轴的转动惯量
Jz = ∑mr
4. 组合法(迭加法) 组合法(迭加法)
例12-9 12钟摆简图。 钟摆简图。已知 均质细杆长为l,质量 均质细杆长为 , 为m1,均质圆盘的直 径为d,质量为 径为 ,质量为m2。 求:摆对于通过悬挂点 O的转动惯量 O。 的转动惯量J 的转动惯量
§12-4
刚体对轴的转动惯量
解: JO = JO杆 + JO盘
r vi
mi
r Jzα =∑Mz (F)
r F 2
α
ω
O
r F N2
r F n
y
r x d2ϕ Jz 2 =∑Mz (F) —刚体绕定轴的转动微分方程 刚体绕定轴的转动微分方程 dt
高数第十二章 微分方程

可分离 变量的 微分方程
内容小结
1.通解不一定是方程的全部解 例如, 方程
( x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件(初始条件)定常数 .
28
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
d2x 程 2 k 2 x 0的解. 当 k≠0 时,求满足初始条 dt dx 0的特解. 件 x t 0 A, dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC 2 cos kt , dt d2x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt 13
y '' f ( x , y , y ') y | y , y ' | y ' x x 0 x x 0 0 0
几何意义:求过定点 ( x0 , y0 ) 且在定点的切线的斜 率为定值 y '0 的积分曲线.
12
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分方
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例 3)
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )
积分
y 2 xdx 即 y x 2 C ,
将 x 1时, y 2代入上式, 求得C 1,
故所求曲线方程为 y x 2 1 .
3
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程?
第十二章 第2节 可分离变量的微分方程

由初始条件得 C = 1 故所求特解为 y x 2 1 1
4
例3
求方程
y
dy dx
e
x y
的通解 .
解法 1:分离变量 e y d y e x d x
e e C
y
x
或
( e C ) e 1 0
x
(C<0 )
解法 2: 令 u x y , 则 u 1 y 故有 积分
2
问 从运 动开 始经 过了一 分钟 后的 速度是 多少? 四 、小 船 从 河 边 点 0 处 出 发 驶 向 对 岸 ( 两 岸 为 平 行 直 线 ) . 设 船速为 a , 船 行 方 向 始 终 与 河 岸 垂 直 , 设 河 宽
为 h ,河中任 意点 处的 水流速 度与 该点 到两 岸距离
y
3 x y 的通解. 说明: 在求解过程
2
3x d x
2
中每一步不一定是 同解变形, 因此可 能增、减解.
dy y
3x d x
2
得 ln y x 3 C1 即 y e e 令 C eC 1
x C1
3
或
C1 x
3
如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.
2
解: 令 则
u x y 1 u 1 y
2
故有 1 u sin u 即
sec u d u d x
2
解得 tan u x C
即
tan( x y 1) x C
( C 为任意常数 )
6
例5
求解微分方程
dy dx dy dx 2 sin
第十二章微分方程(二)

二、 高阶微分方程1.高阶微分方程的定义:'''()(,,,,)0n F x y y y =2.可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型: (1)()()n y f x = 解法:逐次积分(2)),(y x f y '='' 特点:不显含y 的方程解法:设p y =',则p y '='',代入方程中得),(p x f p ='。
已降为一阶。
(2)),(y y f y '='' 特点:显含x 的方程 解法:设p y =',则dydp p dx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=,已降为一阶。
【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解:由于不显含y ,令()y p x '=,则y p '''=,代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 l n (1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dxdx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1l n (1)11Cy x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。
解:由于不显含x ,令()y p y '=,所以y pp '''=,代入原方程得 20y p pp '+=所以 0p = 或 0y pp '+= 当0yp p '+=时,此方程为可分离变量的方程,分离变量得dp dy p y=-积分得 1l n ||l n ||l n p y C =-+,所以, 1C p y =, 即 1Cy y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =,从而 12y y'= 分离变量得 22y x C =+,将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时,即0y '=,积分得y C =,特解为1y =,含在21y x =+内。
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二、 高阶微分方程1.高阶微分方程的定义:'''()(,,,,)0n F x y y y =2.可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型: (1)()()n y f x = 解法:逐次积分(2)),(y x f y '='' 特点:不显含y 的方程解法:设p y =',则p y '='',代入方程中得),(p x f p ='。
已降为一阶。
(2)),(y y f y '='' 特点:显含x 的方程 解法:设p y =',则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=,已降为一阶。
【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解:由于不显含y ,令()y p x '=,则y p '''=,代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 ln(1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dx dx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1ln(1)11C y x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。
解:由于不显含x ,令()y p y '=,所以y pp '''=,代入原方程得 20ypp p '+= 所以 0p = 或 0yp p '+=当0yp p '+=时,此方程为可分离变量的方程,分离变量得dp dy p y=-积分得 1ln ||ln ||ln p y C =-+,所以 , 1C p y =, 即 1C y y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =,从而 12y y '=分离变量得 22y x C =+,将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时,即0y '=,积分得y C =,特解为1y =,含在21y x =+内。
3.二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程: ()()0y P x y Q x y '''++= 二阶线性非齐次微分方程:()()()y P x y Q x y f x '''++= 解的结构性质:(1)若1y 和2y 是齐次方程的解,则1122C y C y +齐次方程的解。
(2)若1y 和2y 是齐次方程的线性无关解,则1122C y C y +是齐次方程的通解。
(3)若1122Y C y C y =+是齐次方程的通解,*y 是非齐次方程的特解,则*Y y +是非齐次方程的通解。
(4)若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解,则12y y +是非齐次方程的特解。
(5)若1y 和2y 分别是非齐次方程的特解,则12y y -是对应齐次方程的特解。
4.二阶常系数线性微分方程(1)二阶常系数齐次方程: 0=+'+''qy y p y 解法:由特征方程02=++q pr r ,解出特征根1r 和2r 。
通解为:①当21r r ≠(实根)时,x r x r e C e C y 2121+=;②当21r r =时,x r e x C C y 1)(21+=;③当i r β±α=2,1时,)sin cos (21x C x C e y x β+β=α。
(2)二阶常系数非齐次方程特解 )(x f qy y p y =+'+''解法:1)写出特征方程并求根;2)求对应的齐次线性方程的通解Y ;3)根据不同类型的自由项)(x f ,利用待定系数法求出一个特解y *;4)写出原方程的通解*Y y +。
自由项有两种:① 当)()(x P e x f m x λ=时,原方程的特解形式是 x m k e x Q x y λ=)(*。
② 当]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ω+ω=λ时,原方程的特解形式是]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ω+ω=λ。
【例1】设)(,)(x q x p 和)(x f 都是x 的连续函数,并设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,21,c c 是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)32211y y c y c ++ (B) 3212211)(y c c y c y c +-+(C) 3212211)1(y c c y c y c ---+ (D) 3212211)1(y c c y c y c --++ 【 】 解:因为321,,y y y 是二阶非齐次线性方程的解,且线性无关,所以 13y y -,23y y -是对应齐次方程的两个线性无关的特解,非齐次线性方程的通解为:*11322331122123()()(1)y Y y c y y c y y y c y c y c c y =+=-+-+=++--【例2】具有特解x e y -=1,x xe y -=22,x e y 33=的三阶常系数齐次线性微分方程是 (A) 0=+'-''-'''y y y y (B) 0=-'-''+'''y y y y(C) 06116=-'+''-'''y y y y (D) 022=+'-''-'''y y y y 【 】 解:由特解知1231,1r r r ==-=,代入(A),(B),(C),(D)的特征方程验证(B)满足。
【例3】求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解:特征方程为2440r r ++=,解得特征根122r r ==-, 则齐次方程通解是 2212x x Y C e C xe --=+因为2()x f x e -=为()x m e P x λ型,2,0m λ=-=,且2λ=-为重根,可设特解*22x y x ae -=,将**,y y '''代入原方程得21=a ,即*2212x y x e -= 所以通解为 *22221212x x x y Y y C e C xe x e ---=+=++【例4】 求方程x e x y y +=+''sin 的通解解:特征方程为 012=+r ,解得特征根 i r ±=2,1, 则齐次方程通解是 12cos sin Y C x C x =+其中1()x f x e =为()x m e P x λ型,1,0m λ==,且1λ=不是特征根,可设特解x ae y =*1,代入原方程得21=a ,即x e y 21*1= 2()sin f x x =为[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+型,0,1,0,0l n λω====,且i i λω±=±为特征根,可设特解)sin cos (*2x c x b x y +=,代入原方程得21,0-==b c ,即xx y cos 21*2-=故原方程的特解 ***1211cos 22x y y y e x x =+=-,所求通解为 )cos (21sin cos 21x x e x C x C y x -++=【例5】设函数)(x y y =满足微分方程x e y y y 223=+'-'',且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合,求函数)(x y y =. 解:特征方程为2320r r -+=,解得特征根11r =,22r = 则齐次方程通解是 212x x Y C e C e =+因为()2x f x e =为()x m e P x λ型,1,0m λ==,且1λ=为单根,可设特解*x y xae =,代入原方程得2a =-,即*2x y xe =-所以通解为 *2122x x x y Y y C e C e xe =+=+-212222x x x x y C e C e e xe '=+--因为)(x y y =的图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合,所以00|1,|1x x y y =='==-代入,y y '得121,0C C ==,则(12)x y x e =-【例6】设)(x f 具有二阶连续导数,且0)0(=f ,1)0(='f ,已知曲线积分⎰'---Lx dy y x f x f dx y x f xe cos ))()(5(sin ))(6(2与积分路径无关,求)(x f .解:因为曲线积分与路径无关,所以,根据曲线积分与路径无关的条件P Qy x∂∂=∂∂,得 2[(5()())cos ][(6())sin ]x f x f x y xe f x y x y∂∂'--=-∂∂ 即 2[5()()]cos [6()]cos x f x f x y xe f x y '''--=-亦即 2()5()6()x f x f x f x xe '''-+=可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为23212()(2)2x x x xf x C e C e x e =+-+再由(0)0f =,(0)1f '=,可得特解232()22(2)2x x x xf x e e x e =-+-+【例7】设函数)(x f 连续,且满足0()()()xxx f x e tf t dt x f t dt =+-⎰⎰,求)(x f .解:等式两边对x 求导得0()()()()()x xx x f x e xf x f t dt xf x e f t dt '=+--=-⎰⎰两边再对x 求导得 ()()x f x e f x ''=-,即 ()()x f x f x e ''+= 为二阶线性非齐次微分方程,且(0)1,(0)1f f '==解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为121()cos sin 2x f x C x C x e =++再由(0)1,(0)1f f '==可得特解1()(cos sin )2x f x x x e =++【例8】利用代换xuy cos =,将方程x e x y x y x y =+'+''cos 3sin 2cos 化简,并求出原方程的通解.解:因为sec cos uy u x x==,sec sec tan y u x u x x ''=+,23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++代入整理得 4x u u e '''+=通解为 121cos 2sin 25x u C x C x e =++将cos u y x =代入得 12cos 212sin cos 5cos xx e y C C x x x=++ 5.欧拉方程()1(1)11()n n n n n n x y p x y p xy p y f x ---'++++=, 12,,,n p p p 为常数解法:做变换t x e = 或ln t x =,记d D dt=1.dy dy dt dydx dt dx x dt==xy Dy '⇒= 222221()d y d y dy dx x dt dt=-2(1)x y D D y ''⇒=- 33233321(32)d y d y d y dydx x dt dt dt=-+3(1)(2)x y D D D y '''⇒=--()(1)(2)(1)n n x y D D D D n y =---+将欧拉方程化为常系数线性微分方程,解方程,将ln t x =代回即可。