复合函数、抽象函数

复合函数 抽象函数

1、复合函数的构成

设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取

遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。此函数称为由外

函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．

注意：)(x g 的值域'M M ⊆．

2、抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

一、双基训练：

1、设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．

2、⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；

⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；

⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

3、已知函数x x x f +-=

1)(,)1(≥x 求)(x f 的值域。

4、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间

5、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.

6、已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.

7、已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围．

8、已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(=

=f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

9、设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，

求证：)(x f 在R 上为增函数。

10、已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断

函数f （x ）的奇偶性。

11、已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，

求f x ()在[]-21，上的值域。

12、已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402

，

试确定a 的取值范围。

13、已知f x ()是定义在]3(，-∞上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

14、、设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，

使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

二、高考再现：

1、设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

2、若函数f x ()2的定义域为[]

-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

3、若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）

A ．（0，21）

B ．（0，21）

C ．（21，＋∞）

D ．（0，＋∞）

4、函数f （x ）的图象与g （x ）＝（

3

1）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______． 5、已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0，则不等式f （l og 4x ）的解集是______．

6、设函数f （x ）＝532＋x ＋x

x 2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；

（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －

1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

7、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2

223--<的解集。

8、定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

9、定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当x>0时，

0

（1）判断f （x ）的单调性；

（2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A >⋅=，，