2015年高考文科数学全国卷2
2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C．144π D．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________． 15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；N M G OFE D C B A(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B.8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.xP O DC B A12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。
2015年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【考点】J1：圆的标准方程． 菁优网版 权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径 r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M．
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。
$(-1,3)$ B。
$(-1,0)$ C。
$(0,2)$ D。
$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。
$-4$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。
$-1$ B。
$0$ C。
$1$ D。
$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。
若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。
$5$ B。
$7$ C。
$9$ D。
$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。
$\frac{1}{1111}$ B。
$\frac{1}{8576}$ C。
$\frac{2}{1254}$ D。
$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。
$\sqrt{5}$ B。
$3$ C。
$2\sqrt{5}$ D。
$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。
2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知2(1i)1i z-=+(i 为虚数单位),在复数z = ( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A .3B .4C .5D .6 3.设x ∈R ,则“1x >”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为( )A .1-B .0C .1D .25.执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S =( )A .67B .37C .89D .496.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心率为( )AB .54C .43D .537.若实数a ,b满足12a b+=则ab 的最小值为 ( )AB .2 C.D .48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则||PA PB PC ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .910.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为=⎛⎫ ⎪⎝⎭新工件的体积材料利用率原工件的体积 ( ) A .89π B .827πCD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上. 11.已知集合{1,2,3,4}U =,{1,3}A =,{1,3,4}B =,则()U A B =ð . 12.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ,B 两点,且120(AOB O ∠=为坐标原点),则r = .14.若函数()22||x f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知0ω>,在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则ω= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球1A ,2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ,2a 和2个白球1b ,2b 的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =. （Ⅰ）证明:sin cos B A =; （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=,且B 为钝角,求A ,B ,C .18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,1CC 的中点.（Ⅰ）证明:平面AEF ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒,求三棱锥F AEC -的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,22a =,且2133n n n a S S ++=-+,*n ∈Ν. （Ⅰ）证明:23n n a a +=;（Ⅱ）求n S .20.（本小题满分13分）已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向.（Ⅰ）求2C 的方程;（Ⅱ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈Ν个极值点.（Ⅰ）证明:数列{()}n f x 是等比数列;（Ⅱ）若对一切*n ∈Ν,|()|n n x f x ≤恒成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷z x y∴=-在点A处取得最小值为.故选A.z x y∴=-22数学试卷第10页（共36页）(22)x x x -≤第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】{123}，， 【解析】由题{}2U B =ð，所以(){123}UB A =，，ð. 【提示】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集. 【考点】集合的运算. 12.【答案】22(1)1x y +-=【解析】曲线C 的极坐标方程为22sin 2sin ,ρθρρθ=∴=，它的直角坐标方程为222x y y +=， 22(1)1x y ∴+-=，故答案为22(1)1x y +-=【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可. 【考点】圆的极坐标方程. 13.【答案】2数学试卷 第16页（共36页）120，120，则△120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离数y b =的图像有两个交点，结合函数的图像可得，02b <<时符合条件，故答案为02b <<.所以平面AEF⊥平面11B BCC.3322121BC BB B=，推出数学试卷第22页（共36页）（Ⅱ）如图，设11223344()()()()A x yB x yC x yD x y，，，，，，，，uuu r uuu r u u ur u u ur数学试卷第28页（共36页）11 / 12数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）。
2015年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。
2015年高考全国Ⅰ卷文科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学适用地区：河南河北山西江西注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（A）5（B）4（C）3（D）2（2）已知点A（0, 1）, B（3, 2）, 向量AC=（−4，−3）, 则向量BC=（A）（−7，−4）（B）（7，4）（C）（−1，4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z−1）i = i + 1，则z =（A）−2 − i （B）−2 + i （C）2 − i （D）2 +i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12, E的右焦点与抛物线C：y² = 8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则| AB |=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周 八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米 的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆 放斛的米约有 （A ）14斛（B ）22斛 （C ）36斛（D ）66斛（7）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和. 则S 8 = 4S 4，a 10 =（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数f (x)={2x−1−2, x≤1−log2(x+1), x>1，且f (a)= −3，则f (6−a) =（A）−74（B）−54（C）−34（D）−14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年高考文科数学全国卷1-答案
4
4
4
，故单调减区间为
2k
1 4
,
2k
3 4
，k
Z
，
故选 D.
【考点】三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第 1 次， t 0.01， S 1 ， n 0 ， m 1 0.5 ， S S m 0.5 ， m m 0.25 ， n 1 ，
3 【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算 19.【答案】（Ⅰ）由散点图可判断， y c d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令 w
8
x
，先求出建立
y
关于
w 的线性回归方程，由于
d
(wi w)( yi
i 1
2(1 2n ) 126 ， 1 2
2n 64 ，n 6 .
【考点】等比数列定义与前 n 项和公式
14.【答案】1
【解析】 f (x) 3ax2 1， f (1) 3a 1，即切线斜率 k 3a 1，又 f (1) a 2 ，切点为 (1,a 2) ，
时，
z
取最大值，由
x x
y 2=0 2y 1=0
解得
A(1,1)
，
z
3x
【考点】简单线性规划解法 16.【答案】12 6
【解析】设双曲线的左焦点为 F1 ，由双曲线定义知， | PF | 2a | PF1 | ，
△APF 的周长为 PA PF AF PA 2a | PF1 | AF 2a ，由于 2a AF 是定值，要使 △APF 的周长最
2015年西藏高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅱ)(附答案解析)
2015年西藏高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =( ) A.(−1, 3) B.(−1, 0) C.(0, 2) D.(2, 3)2. 若a 为实数，且2+ai1+i =3+i ，则a =( ) A.−4 B.−3C.3D.43. 根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. a →=(1, −1)，b →=(−1, 2)则(2a →+b →)⋅a →=( ) A.−1 B.0C.1D.25. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5＝3，则S 5＝（ ） A.5 B.7C.9D.116. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A.18 B.17C.16D.157. 已知三点A(1, 0)，B(0, √3)，C(2, √3)则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A.53 B.√213C.2√53D.438. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =( )A.0B.2C.4D.149. 已知等比数列{a n }满足a 1=14，a 3a 5=4(a 4−1)，则a 2=( )A.2B.1C.12D.1810. 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90∘，C 为该球面上的动点，若三棱锥O −ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36πB.64πC.144πD.256π11. 如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则y ＝f(x)的图象大致为（ ）A. B. C. D.12. 设函数f(x)=ln (1+|x|)−11+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的取值范围是( )A.(−∞, 13)∪(1, +∞)B.(13, 1)C.(−13,13)D.(−∞, −13)∪(13，+∞)二、填空题已知函数f(x)＝ax 3−2x 的图象过点(−1, 4)则a ＝________．若x ，y 满足约束条件{x +y −5≤0，2x −y −1≥0，x −2y +1≤0，则z =2x +y 的最大值为________．已知双曲线过点(4,√3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是________．已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线为l ．若l 与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切，则a =________． 三．解答题△ABC 中D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC ． (1)求sin ∠Bsin ∠C ；(2)若∠BAC =60∘，求∠B ．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表B 地区用户满意度评分的频数分布表做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4．过E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)的离心率√22，点(2, √2)在C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．设函数f(x)＝ln x +a(1−x)． (Ⅰ)讨论：f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值，且最大值大于2a −2时，求a 的取值范围． 四、选修4-1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．（1）证明：EF // BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝2√3，求四边形EBCF 的面积． 五、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =t cos αy =t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=2sin θ，曲线C 3:ρ=2√3cos θ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值． 六、选修4-5不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明： （1）若ab >cd ，则√a +√b >√c +√d ；（2）√a +√b >√c +√d 是|a −b|<|c −d|的充要条件．参考答案与试题解析2015年西藏高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|−1<x<2}，B={x|0<x<3}，∴A∪B={x|−1<x<3}.故选A．2.【答案】D【考点】复数的基本概念虚数单位i及其性质【解析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，则a=4.故选D.3.【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004−2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．4.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】因为a→=(1, −1)，b→=(−1, 2)则(2a→+b→)⋅a→=(1, 0)⋅(1, −1)＝1；5.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝（1）则S5=5(a1+a5)2=5a3＝（5）故选：A．6.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为13×12×1×1×1=16，∴剩余部分体积为1−16=56，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．7.【答案】B【考点】圆的标准方程【解析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x ＝1上， 可设圆心P(1, p)，由PA ＝PB 得 |p|=√1+(p −√3)2， 得p =2√33圆心坐标为P(1, 2√33)，所以圆心到原点的距离|OP|=(2√33)=√1+129=√213， 8.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b 的值，当a =b =2时不满足条件a ≠b ，输出a 的值为2． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a =14，b =18满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b =4 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a =10 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a =6 满足条件a ≠b ，满足条件a >b ，a =2 满足条件a ≠b ，不满足条件a >b ，b =2 不满足条件a ≠b ，输出a 的值为2． 故选B ． 9.【答案】 C【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵ a 1=14，a 3a 5=4(a 4−1)，∴ (14)2×q 6=4(14q 3−1)， 化为q 3=8，解得q =2. 则a 2=14×2=12．故选C ．10.【答案】 C【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O −ABC 的体积最大，利用三棱锥O −ABC 体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时， 三棱锥O −ABC 的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时V O−ABC =V C−AOB =13×12×R 2×R =16R 3=36， 故R =6，则球O 的表面积为4πR 2=144π. 故选C ． 11.【答案】 B【考点】正切函数的图象 【解析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可． 【解答】当0≤x ≤π4时，BP ＝tan x ，AP =√AB 2+BP 2=√4+tan 2x ，此时f(x)=√4+tan 2x +tan x ，0≤x ≤π4，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，π4≤x ≤3π4且x ≠π2时，如图所示，tan ∠POB ＝tan (π−∠POQ)＝tan x ＝−tan ∠POQ =−PQOQ =−1OQ ，∴OQ=−1tan x，∴PD＝AO−OQ＝1+1tan x ，PC＝BO+OQ＝1−1tan x，∴PA+PB=√(1−1tan x )2+1+√(1+1tan x)2+1，当x=π2时，PA+PB＝2√2，当P在AD边上运动时，3π4≤x≤π，PA+PB=√4+tan2x−tan x，由对称性可知函数f(x)关于x=π2对称，且f(π4)>f(π2)，且轨迹为非线型，排除A，C，D，12.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2为偶函数，且在x≥0时，f(x)=ln(1+x)−11+x2，导数为f′(x)=11+x +2x(1+x2)2>0，即有函数f(x)在[0, +∞)单调递增，∴f(x)>f(2x−1)等价为f(|x|)>f(|2x−1|)，即|x|>|2x−1|，平方得3x2−4x+1<0，解得：13<x<1，所求x的取值范围是(13, 1)．故选B．二、填空题【答案】−2【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】f(x)是图象过点(−1, 4)，从而该点坐标满足函数f(x)解析式，从而将点(−1, 4)带入函数f(x)解析式即可求出a．【解答】根据条件得：4＝−a+2；∴a＝−2．【答案】8【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．由{x+y−5=0，x−2y+1=0，解得{x=3，y=2.即A(3, 2),将A(3, 2)的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【答案】14x2−y2＝1【考点】双曲线的标准方程【解析】设双曲线方程为y2−14x2＝λ，代入点(4,√3)，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】设双曲线方程为y2−14x2＝λ，代入点(4,√3)，可得3−14×16=λ，∴λ＝−1，∴双曲线的标准方程是14x2−y2＝1．【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x，则f′(1)=1+11=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．三．解答题【答案】解：(1)如图，由正弦定理得：AD sin∠B =BDsin∠BAD ,ADsin∠C=DCsin∠CAD，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴sin∠Bsin∠C =DCBD=12；(2)∵∠C=180∘−(∠BAC+∠B)，∠BAC=60∘，∴sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=√32cos∠B+12sin∠B，由(1)知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=√33，即∠B=30∘．【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】(Ⅰ)由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；(Ⅱ)由∠C＝180∘−(∠BAC+∠B)，两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合(Ⅰ)中的结论得答案．【解答】解：(1)如图，由正弦定理得：ADsin∠B=BDsin∠BAD,ADsin∠C=DCsin∠CAD，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴sin∠Bsin∠C=DCBD=12；(2)∵∠C=180∘−(∠BAC+∠B)，∠BAC=60∘，∴sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=√32cos∠B+12sin∠B，由(1)知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=√33，即∠B=30∘．【答案】（1）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P(∁A)＝(0.01+0.02+0.03)×10＝0.6得P(∁B)＝(0.005+0.02)×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【考点】频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．(II)计算得出∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P(∁A)，P(∁B)，即可判断不满意的情况．【解答】（1）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记∁A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，∁B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P(∁A)＝(0.01+0.02+0.03)×10＝0.6得P(∁B)＝(0.005+0.02)×10＝0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【答案】（1）交线围成的正方形EFGH如图所示；（2）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH=√EH2−EM2=6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积平面的基本性质及推论【解析】(Ⅰ)利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；(Ⅱ)求出MH=√EH2−EM2=6，AH＝10，HB＝6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】（1）交线围成的正方形EFGH如图所示；（2）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8．因为EFGH为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH=√EH2−EM2=6，AH＝10，HB＝6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97．【答案】椭圆C:x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的离心率√22，点(2, √2)在C上，可得√a2−b2a=√22，4a2+2b2=1，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：x28+y24=1．设直线l:y＝kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把直线y＝kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0，故x M=x1+x22=−2kb2k2+1，y M＝kx M+b=b2k2+1，于是在OM的斜率为：K OM=y Mx M =−12k，即K OM⋅k=−12．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l:y＝kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】椭圆C:x 2a2+y2b2=1，(a>b>0)的离心率√22，点(2, √2)在C上，可得√a2−b2a=√22，4a2+2b2=1，解得a2＝8，b2＝4，所求椭圆C方程为：x28+y24=1．设直线l:y＝kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把直线y＝kx+b代入x 28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0，故x M=x1+x22=−2kb2k2+1，y M＝kx M+b=b2k2+1，于是在OM的斜率为：K OM=y Mx M =−12k，即K OM⋅k=−12．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【答案】（1）f(x)＝ln x+a(1−x)的定义域为(0, +∞)，∴f′(x)=1x −a=1−axx，若a≤0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，若a>0，则当x∈(0, 1a )时，f′(x)>0，当x∈(1a, +∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0, 1a)上单调递增，在(1a, +∞)上单调递减，（2），由(Ⅰ)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x=1a取得最大值，最大值为f(1a)＝−ln a+a−1，∵f(1a)>2a−2，∴ln a+a−1<0，令g(a)＝ln a+a−1，∵g(a)在(0, +∞)单调递增，g(1)＝0，∴当0<a<1时，g(a)<0，当a>1时，g(a)>0，∴a的取值范围为(0, 1)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数(a)＝ln a+a−1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】（1）f(x)＝ln x+a(1−x)的定义域为(0, +∞)，∴f′(x)=1x−a=1−axx，若a≤0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，若a>0，则当x∈(0, 1a)时，f′(x)>0，当x∈(1a, +∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0, 1a)上单调递增，在(1a, +∞)上单调递减，（2），由(Ⅰ)知，当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x=1a取得最大值，最大值为f(1a)＝−ln a+a−1，∵f(1a)>2a−2，∴ln a+a−1<0，令g(a)＝ln a+a−1，∵g(a)在(0, +∞)单调递增，g(1)＝0，∴当0<a<1时，g(a)<0，当a>1时，g(a)>0，∴a的取值范围为(0, 1)．四、选修4-1：几何证明选讲【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF // BC；由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30∘，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2√3，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM=12MN=√3，∴OD＝1，∴AD＝5，AB=10√33，∴四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33．【考点】相似三角形的判定【解析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC−S△AEF计算即可．【解答】证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE＝AF，∴AD⊥EF，∴EF // BC；由（1）知AE＝AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO＝2OE，∴∠OAE＝30∘，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE＝2√3，∴AO＝4，OE＝2，∵OM＝OE＝2，DM=12MN=√3，∴OD＝1，∴AD＝5，AB=10√33，∴四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33．五、选修4-4：坐标系与参数方程【答案】解：(1)曲线C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3:ρ=2√3cosθ，则ρ2=2√3ρcosθ，即x2+y2=2√3x，②由①②得{x=0y=0或{x=√32y=32，即C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)，(√32, 32)；(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A的极坐标为(2sinα, α)，B的极坐标为(2√3cosα, α)．所以|AB|=|2sinα−2√3cosα|=4|sin(α−π3)|，当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4．【考点】参数方程的优越性平面直角坐标系与曲线方程两点间的距离公式【解析】（1）将C2与C1转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（2）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．【解答】解：(1)曲线C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3:ρ=2√3cosθ，则ρ2=2√3ρcosθ，即x2+y2=2√3x，②由①②得{x=0y=0或{x=√32y=32，即C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)，(√32, 32)；(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R, ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A的极坐标为(2sinα, α)，B的极坐标为(2√3cosα, α)．所以|AB|=|2sinα−2√3cosα|=4|sin(α−π3)|，当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4．六、选修4-5不等式选讲【答案】由于(√a+√b)2＝a+b+2√ab，(√c+√d)2＝c+d+2√cd，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab>cd，则√ab>√cd，即有(√a+√b)2>(√c+√d)2，则√a+√b>√c+√d；①若√a+√b>√c+√d，则(√a+√b)2>(√c+√d)2，即为a+b+2√ab>c+d+2√cd，由a+b＝c+d，则ab>cd，于是(a−b)2＝(a+b)2−4ab，(c−d)2＝(c+d)2−4cd，即有(a−b)2<(c−d)2，即为|a−b|<|c−d|；②若|a−b|<|c−d|，则(a−b)2<(c−d)2，即有(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd，由a+b＝c+d，则ab>cd，则有(√a+√b)2>(√c+√d)2．综上可得，√a+√b>√c+√d是|a−b|<|c−d|的充要条件．【考点】不等式的证明【解析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab>cd，即可得证；（2）从两方面证，①若√a+√b>√c+√d，证得|a−b|<|c−d|，②若|a−b|<|c−d|，证得√a+√b>√c+√d，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】由于(√a+√b)2＝a+b+2√ab，(√c+√d)2＝c+d+2√cd，由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab>cd，则√ab>√cd，即有(√a+√b)2>(√c+√d)2，则√a+√b>√c+√d；①若√a+√b>√c+√d，则(√a+√b)2>(√c+√d)2，即为a+b+2√ab>c+d+2√cd，由a+b＝c+d，则ab>cd，于是(a−b)2＝(a+b)2−4ab，(c−d)2＝(c+d)2−4cd，即有(a−b)2<(c−d)2，即为|a−b|<|c−d|；②若|a−b|<|c−d|，则(a−b)2<(c−d)2，即有(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd，由a+b＝c+d，则ab>cd，则有(√a+√b)2>(√c+√d)2．综上可得，√a+√b>√c+√d是|a−b|<|c−d|的充要条件．第21页共22页◎第22页共22页。
2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)
2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)1 / 15绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,32．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○7．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 4D.38．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.810．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ） A.36π B. 64π C.144π D. 256π11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)3 / 15第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．已知函数()32f x ax x=-的图像过点（-1,4）,则a= ．14．若x,y 满足约束条件50210210x yx y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ．三、解答题（题型注释）17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. （Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数 2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于70分70分到89分 不低于90分…○…………线………题※※…○…………线………满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D-中AB=16,BC=10,18AA=,点E,F分别在1111,A B D C上,114.A E D F==过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>,点(在C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知()()ln1f x x a x=+-.（Ⅰ）讨论()f x的单调性；（Ⅱ）当()f x有最大值,且最大值大于22a-时,求a的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（Ⅰ）证明EF BC；（Ⅱ）若AG等于圆O半径,且AE MN==求四边形EBCF的面积.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,x tCy tαα=⎧⎨=⎩（t为参数,且0t≠）,其中0απ≤<,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:.C Cρθρθ==（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d均为正数,且a b c d+=+.证明：（Ⅰ）若ab cd> ,>>a b c d-<-的充要条件.第7页共8页◎第8页共8页2015年高考全国2卷文科数学考试试题(含解析)1 / 15参考答案1．A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a ba a ab .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()15535552a a S a +===.故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2015年高考全国Ⅱ卷文科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学适用地区：青海/西藏/甘肃/贵州/内蒙古/新疆/宁夏/吉林/黑龙江/云南/广西/辽宁/海南 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B =（A ）(1,3)-（B ）(1,0)-（C ）(0,2)（D ）(2,3)（2）若a 为实数，且231aii i+=++，则a = （A ）−4（B ）−3 （C ）3 （D ）4（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 （C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a（A ）-1（B ）0（C ）1（D ）3（5）设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。
若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 = （A ）5（B ）7（C ）9（D ）11（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）18（B ）17（C ）16（D ）15（7）已知三点(1,0)A ，(0,3)B ，(2,3)C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为（A ）53（B ）213（C ）253（D ）43（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”。
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数学试卷 第1页（共9页）
数学试卷 第2页（共9页）
数学试卷 第3页（共9页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)
数学（文科）
使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共
6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B = （ ）
A ．(1,3)-
B ．(1,0)-
C ．(0,2)
D ．(2,3) 2．若a
为实数，且2i
3i 1i
a +=++，则a =
（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 （ ）
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量a =(1,－1)，b =(－1,2)，则（2a +b ）• a =
（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =
（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余
部分体积的比值为
（ ）
A ．1
8 B ．17
C ．16
D ．15
7．已知三点(1,0)A ，(0,3)B ，(2,3)C 则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为 （ ）
A ．
5
3
B ．
213
C ．25
3
D ．
43
8．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =
（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
9．已知等比数列{}n a 满足11
4
a =，35a a =44(1)a -，则2a = （ ）
A ．2
B ．1
C ．12
D ．18
10．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC
体积的最大值为36，则球O 的表面积为
（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
11．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则
()y f x =的图象大致为 （ ）
A
B
C
D
12．设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-
+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是
（ ）
A ．1,13
（）
B ．1
,1,3-∞+∞（）（）
C ．11,33-（）
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共9页）
数学试卷 第5页（共9页）
数学试卷 第6页（共9页）
D ．1
1,,33
-∞-+∞（）（）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．已知函数3
2f x ax x =-（）的图象过点（－1，4），则a =________.
14．若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
≤，
≥，≤，则z 2x y =+的最大值为________.
15．已知双曲线过点4,3（），且渐近线方程为1
2
y x =±，则该双曲线的标准方程为________.
16．已知曲线ln y x x =+在点1,1（）处的切线与曲线2
21y ax a x =+
++（）相切，则a =________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，BD =2DC .
（Ⅰ）求sin sin B
C
∠∠；
（Ⅱ）若C BA ∠=60°，求B ∠.
18．（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
50,60[）
60,70[）
70,80[）
80,90[）
90,100[]
频数
2
8
14
10
6
（Ⅰ）请作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满
意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分
不低于90分 满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
19．（本小题满分12分）
如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 20．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为22，点()
2,2在C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
21．（本小题满分12分）
已知函数ln 1f x x a x =+-（）（）. （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）当f x （）有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,
:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜，在以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=.
（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.
数学试卷 第7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明： （Ⅰ）若ab cd >
||||a b c d -<-的充要条件.。