镜像法

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm

§4.4 镜像法

镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。在镜像法应用中应注意以下几点：

(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像

z

q

d

x

设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面

的距离为d 。如图4.2(a)所示

上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即

(,,)0x y z φ= (4.29)

设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即

1/2

1/2

2222

2

2

01

1

{

}

4()()q

x y z d x y z d φπε=

-

⎡⎤

⎡⎤

++-+++⎣⎦

⎣⎦

(4.30)

上半空间任一点的电场强度为

E φ

=-∇

电场强度E 的三个分量分别为

3/2

3/2

2

2

2

2

2

2

0{

}

4()()x q

x

x

E x y z d x y z d πε=

-

⎡⎤

⎡⎤

++-+++⎣⎦⎣⎦

(4.31a)

3/2

3/2

2222

2

2

0{

}

4()()y q

y

y

E x y z d x y z d πε=

-

⎡⎤

⎡⎤

++-+++⎣⎦⎣⎦

(4.31b)

3/2

3/2

2222

2

2

0{

}

4()()z q

z d

z d

E x y z d x y z d πε-+=

-

⎡⎤

⎡⎤

++-+++⎣⎦

⎣⎦

(4.31c)

可见，在导体表面0z =处，0

x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向

电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条件0S n z D E ρε==决定，即

2

2

2

3/2

2()

S qd

x y d ρπ=-

++ (4.32a)

或

2

2

3/2

2()

S qd r d ρπ=-

+ (4.32b)

式中222

r x y

=+。它是导体表面上任一点到

原点的距离的平方。

由式(4.32)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图4.3所示。

导体表面上感应电荷总量为

d d S S q x y ρ+∞+∞-∞

-∞

=

⎰⎰

q

=-

导体表面上感应电荷对点电荷q 的作用力，也可用镜像电荷'q 对点电荷q 的作用力来计算，即

2

2

016z

q

F a d

πε=-

(4.33)

若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的叠加。

4.4.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像

设一无限长的均匀带电的直线电荷，位于无限大接地导体平面上方，且与导

图4.

体平面平行，线电荷密度为l ρ，与导体平面距离为h ，如图4.4(a)所示

我们可以将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为l ρ-，位置如图4.4(b)所示。由第二章中【例2-4】，可得待求场域(0)y >中的电位为

20

1

ln

2l

r r ρφπε=

(4.34)

式中，

221/2

1[()]

r x y h =+-,

2

21/2

2[()]

r x y h =++。

当12r r =时，0φ=，满足接地导体平面边界电位为零的条件。 上半空间的电场为

12

01

02

22l

l r r E a a r r ρρπεπε-=

+

(4.35a)

或

12

2

21/2

2

21/2

002[()]

2[()]

l

l

r r E a a x y h x y h ρρπεπε-=

+

+-++ (4.35b)

4.4.3 点电荷对无限大介质平面的镜像

设一点电荷q 位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为d ，界面两侧介质的介电常数分别为1ε和2ε，如图4.5(a)所示。

由于点电荷q 产生的电场对界面两侧的介质均有极化作用，在介质分界面两

(a) (b) (c)

图4.5 点电荷对无限大介质平面的镜像