镜像法

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm
§4.4 镜像法
镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：
(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
q
d
x
设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面
的距离为d 。

如图4.2(a)所示
上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即
(,,)0x y z φ= (4.29)
设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即
1/2
1/2
2222
2
2
01
1
{
}
4()()q
x y z d x y z d φπε=
-
⎡⎤
⎡⎤
++-+++⎣⎦
⎣⎦
(4.30)
上半空间任一点的电场强度为
E φ
=-∇
电场强度E 的三个分量分别为
3/2
3/2
2
2
2
2
2
2
0{
}
4()()x q
x
x
E x y z d x y z d πε=
-
⎡⎤
⎡⎤
++-+++⎣⎦⎣⎦
(4.31a)
3/2
3/2
2222
2
2
0{
}
4()()y q
y
y
E x y z d x y z d πε=
-
⎡⎤
⎡⎤
++-+++⎣⎦⎣⎦
(4.31b)
3/2
3/2
2222
2
2
0{
}
4()()z q
z d
z d
E x y z d x y z d πε-+=
-
⎡⎤
⎡⎤
++-+++⎣⎦
⎣⎦
(4.31c)
可见，在导体表面0z =处，0
x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向
电场存在。

导体表面感应电荷分布可由边界条件0S n z D E ρε==决定，即
2
2
2
3/2
2()
S qd
x y d ρπ=-
++ (4.32a)
或
2
2
3/2
2()
S qd r d ρπ=-
+ (4.32b)
式中222
r x y
=+。

它是导体表面上任一点到
原点的距离的平方。

由式(4.32)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图4.3所示。

导体表面上感应电荷总量为
d d S S q x y ρ+∞+∞-∞
-∞
=
⎰⎰
q
=-
导体表面上感应电荷对点电荷q 的作用力，也可用镜像电荷'q 对点电荷q 的作用力来计算，即
2
2
016z
q
F a d
πε=-
(4.33)
若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的叠加。

4.4.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
设一无限长的均匀带电的直线电荷，位于无限大接地导体平面上方，且与导
图4.
体平面平行，线电荷密度为l ρ，与导体平面距离为h ，如图4.4(a)所示
我们可以将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。

根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为l ρ-，位置如图4.4(b)所示。

由第二章中【例2-4】，可得待求场域(0)y >中的电位为
20
1
ln
2l
r r ρφπε=
(4.34)
式中，
221/2
1[()]
r x y h =+-,
2
21/2
2[()]
r x y h =++。

当12r r =时，0φ=，满足接地导体平面边界电位为零的条件。

上半空间的电场为
12
01
02
22l
l r r E a a r r ρρπεπε-=
+
(4.35a)
或
12
2
21/2
2
21/2
002[()]
2[()]
l
l
r r E a a x y h x y h ρρπεπε-=
+
+-++ (4.35b)
4.4.3 点电荷对无限大介质平面的镜像
设一点电荷q 位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为d ，界面两侧介质的介电常数分别为1ε和2ε，如图4.5(a)所示。

由于点电荷q 产生的电场对界面两侧的介质均有极化作用，在介质分界面两
(a) (b) (c)
图4.5 点电荷对无限大介质平面的镜像
侧将出现极化电荷，空间任一点的电位将由点电荷和分界面的极化电荷共同产生。

设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作 用，满足界面上的边界条件，根据惟一性定理，空间场就可唯一确定了。

在两种介质分界面上边界条件为
12φφ=，12n n D D =，12t t E E = (4.36)
由于分界面两侧均为待求场域，所以要对两个区域分别讨论。

当待求区域为介质1所在区域时
设想一镜像电荷'q 位于区域x 中，且'q 的位置与q 关于分界面对称，如图4.5(b)所示 。

此时，将整个区域的介电常数视为1ε，那么区域1中任一点的电位为
111'44'q q R
R φπεπε=
+
(4.37)
区域1内，任一点处的电位移矢量为
1'
2
2
'44'
R R q q D a a R
R ππ=
+
(4.38)
当待求区域为介质2所在区域时
设想一镜像电荷''q 位于区域1中，且''q 的位置与q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2ε，如图4.5(c)所示。

于是，区域2种任一点的电位和电位移矢量分别为
22''4''
q q R φπε+=
(4.39)
2''
2
''4''R q q D a R += π
(4.40)
在分界面上，当'''R R R ==时，式(4.37)和(4.39)应满足电位连续的边界条件，得
12
'
''
q q q q εε++= (4.41)
式(4.38) 和式(4.40)应满足法向分量相等的边界条件，可得
'''q q q q -=+
(4.42)
联立式(4.41)和式(4.42)可得
1212
'''q q q
εεεε-=-=
+ (4.43)
我们将'q 和''q 代入式(4.37)、式(4.38)、式(4.39)和式(4.40)中，便可得到两个区域中的电位和电场分布。

4.4.4 线电流对无限大磁介质平面的镜像
设一无限长的直线电流I 位于一无限大磁介质分界面平面附近，该电流与分界面平行，且与分界面距离为d ，界面两侧磁介质的磁导率分别为1μ和2μ，如图4.6(a)所示。

由于电流I 产生的磁场对界面两侧的磁介质均产生磁化作用，在分界面上 出现磁化电流，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边 界条件不变，则空间磁场就可以用电流I 和镜像电流产生的磁场叠加来计算。

1.当计算上半空间的磁场时
可认为整个空间充满磁导率为1μ的磁介质，在下半空间有一镜像电流'I ，且'I 与I 关于分界面对称，如图4.6(b)所示。

上半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流'I 共同产生，即
1'
'22'
I I H a a r
r ϕϕππ=
+
(4.44)
2.当计算下半空间磁场时
可认为整个空间充满磁导率为2μ的磁介质，在上半空间有一镜像电流''I ，且''I 与电流I 位置重合，如图4.6(c)所示。

下半空间任一点的磁场由电流I 和镜像电流''I 共同产生，即
2''
''2''I I H a r ϕπ+=
(4.45)
在分界面上，当'''r r r ==时，磁场的边界条件为
12t t
H H =，12n n B B = (4.46)
从图4.6(b)和图4.6(c)可以看出
1'sin sin 22t I I H r
r
ϕϕ
ππ=
-
2''sin 2t I I H r
ϕ
π+=
111'
cos cos 22n I
I B r
r
μμϕϕ
ππ=
+
22('')
cos 2n I I B r
μϕ
π+=
由边界条件式(4.46)得
'''I I I I -=+ (4.47)
12(')('')I I I I μμ+=+ (4.48)
联立式(4.47)和式(4.48)可得
2121
'''I I I
μμμμ-=-=
+ (4.49)
图4.6 线电流对无限大磁介质平面的镜像
根据两种磁介质参数1μ和2μ的不同，由式(4.49)可确定镜像电流'I 和''I 的大小和方向。

(1)当21μμ>时，则'0I >，''0I <，说明'I 与I 方向一致，''I 与I 方向相反； (2)当21μμ<时，则'0I <，''0I >，说明'I 与I 方向相反，''I 与I 方向相同； (3)当1μ有限，2μ→∞，即第二种媒质为铁磁物质时，则'I I =，''I I =-，此时，铁磁质中各点的磁场强度
2
H
为零。

而磁感应强度的大小为
(a)
(c)
(b)
2212
1
2222121
lim lim [()]2I B H I I r r
μμμμμμμμμππ→∞
→∞
-==+
=+ (4.50)
(4)当1μ→∞，2μ为有限时，则'I I ≈-，''I I ≈，说明当电流I 位于磁物质中时，下半空间的磁感应强度比电流位于整个空间充满磁介质2μ时产生的磁感应强度增加了一倍。

4.4.5 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角
n
π
α=
，n 为整数时，
该角域中的点电荷将有(21)n -个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。

（1）当1n =时，角形边界变成无限大平面边界问题，在4.4.1中已给出了详细讨论。

(2)当2n =时，该角域为直角形边界，如图4.7(a)所示。

点电荷q 与两平面的距离分别为1d 和2d ，根据镜像法原理，该角域外有3个
镜像电荷1q 、2
q 和3q ，它们的位置如图4.7(b)所示。

其中1q q =-，2q q =，3q q =-，
该角域内的场就由点电荷q 和3个镜像电荷产生的场的叠加获得。

(3)当3n =时，该角域形状如图4.8(a)所示。

角域外有5个镜像电荷，其大小和位置如图4.8(b)所示。

值得注意的是角域边界的所有镜像电荷都正负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷q 到顶点的距离。

总之，角域夹角为n π
，n 为整数时，有(21)n -个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为
(2),1,2,,(1)(2)m m n n π
θπθ⎫
±=-⎪⎬
⎪-⎭
及 (4.51)
其中θ为点电荷q 相对水平界面的角度。

值得注意,当锐角域夹角n π
中，n 不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。

【例4-3】 如图4.7(a)所示，两个相交成直角的半无限大导体平面间有一点电荷q ，与两平面的距离分别为12,d d ，求平面上的感应电荷作用于电荷q 上的力。

解 因为要满足两个半无限大导体平面的电位为零的边界条件，所以如图4.7(b)所示，在所求区域外放置镜像电荷123,,q q q q q q =-==-。

用镜像电荷替代导体平面后，就可求得所求区域的电位分布和电场强度分布。

电荷q 所受到的电场力为镜像电荷123,,q q q 对q 的作用力的叠加，即有
123
F F F F =++
其中
2
12
024(2)
y q
F a d πε=-
2
212223/2
012(22)
4[(2)(2)]
x y q
F d a d a d d πε=
++
2
32
014(2)
x
q
F a d πε=-
4.4.6 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q 位于半径为a 的接地导体球附近，与球心的距离为d ，如图4.9(a)所示。

待求场域为r a >区域，边界条件为导体球面上电位为零，即
(,,)0a φθϕ= (4.52)
根据球面上感应电荷的分布状态，在待求场域之外()r a <，设想有一镜像电荷'q ，位于球心与点电荷q 的连线上，且与球心距离为b ，如图4.9(b)所示。

根据导体球面电位为零的条件，在球面上任取一点c ，则
012
1'()0
4c q q r r φπε=
+=
即 21'r q q
r =-
(4.53)
在球面上选两点M 、N (如图4.9(b))亦应满足上式。

(a) (b)
图4.9点电荷对导体球面的镜像
在M 点： '
q a b
q
d a -=-
- (4.54) 在N 点： '
q a b
q d a +=-
+ (4.55)
联立(4.54)和式(4.55)可得
2
a
b d =
，
'a q q
d
=-
(4.56)
由式(4.56)确定了镜像电荷的位置和大小，导体球外任一点处的电位为
2
21/2
2
2
2
41/2
01
[
]
4(2cos )
(2cos )
q
a
r dr d d r dra a φπεθθ=
-
-+-+ (4.57)
若导体球不接地，球面边界的电位不为零，但仍然是等位面。

根据电荷守恒定律，导体球上所感应电荷的代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷''q ，令
'''a q q q
d =-=
(4.58)
为了保证球面为等位面的条件，''q 应放置于球心处，如图4.10所示。

这样，待求区域的场就由点电荷q 和两个镜像电荷共同产生。

则球外任一点的电位为
2
21/2
2
2
2
41/2
01
[
]
4(2cos )
(2cos )
q
a
a r dr d d r dra a dr
φπεθθ=
-
+
-+-+ (4.59)
球面上的电位为
00''44q q a
d
φπεπε=
=
(4.60)
因为导体球为等位体，所示球内任一点的电位亦由式(4.60)给出。

可见，导体球外一点电荷q 在该球上所产生的电位值恰好等于导体球不存在时，点电荷q 在球心处所产生的电位值。

【例4-4】 有一接地导体球壳，内外半径分别为1a 和2a ，在球壳内外各有一点电荷1q 和2q ，与球心距离分别为1d 和2d ，如图4.11(a)所示。

求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。

解 (1)取球壳外区域为待求区域2()r a >，该区域边界为2r a =的导体球面，且边界条件为2(,,)0a φθϕ=，根据球面镜像原理如图4.11(b)所示，镜像电
荷2q '的位置和大小分别为
2
2
22
a b d =
，
22
2
2
a q q d '=-
球壳外区域任一点电位为
2
21/2
0222
2
2
2
41/2
22221
[
4(2cos )]
(2cos )
q
r d r d a d r d ra a φπεθθ=
-+-
-+外
(2) 球壳中为导体区域，根据导体为等位体特性，球壳中的电位为零。

(3)球壳内为待求区域时1()r a <，该区域边界为1r a =的导体球面，边界条件为1(,,)0a φθϕ=，仍然根据球面镜像原理，在待求区域之外有一镜像电荷1q '
，如图4.11(c)所示。

其中
2
1
11
a b d =
，
111
1
a q q d '=-
球壳内任一点电位为
1
2
21/2
22
241/2011
1
11
1
1
[
]
4(2cos )
(2cos )
a q
r d r d d r d ra a φπεθθ=
-
-+-+内
从该例中可以看出用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对
边界以外的情况不予考虑。

4.4.7 线电荷对导体圆柱面的镜像
设一无限长均匀带电直导线位于一半径为a 的无限长接地导体圆柱之外，且与圆柱轴线平行，其线电荷密度为l ρ，线电荷与圆柱轴线距离为d ，如图4.12(a)所示。

由于线电荷和导体圆柱均为无限长，所以场沿轴向不变，可视为二维问题。

取柱坐标，待求区域为r a >区域，边界条件为r a =的柱面上电位为零。

即
2
图4.11(b) 外球壳的镜像
图4.11(c) 内球壳的镜像
0),(=ϕφa (4.61)
考虑到导体柱面上感应电荷分布靠近线电荷一侧较多，且对于线电荷和圆柱轴线所在面对称，因此可设想镜像线电荷l ρ'位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b ，如图4.12(b)所示。

为了简化推导，将零电位参考点选在与l ρ和l ρ'等距离的点上，则导体柱面上任一点的电位表示为
12
ln ln 22l
l r r ρρφπεπε'
=-
-
面 (4.62)
式中ϕcos 2221ad d a r -+=，ϕcos 2221
ad b a r -+=。

在柱面上取两个特殊点M ，N ，如图 4.12(b)所示。

这两点的电位应满足式(4.62)，可得
ln()ln()
22l
l M d a a b ρρφπεπε'
=-
--
-
ln()ln()
22l
l N d a a b ρρφπεπε'
=-
+-
+
已知导体柱面为等位面，即M N φφ=，且借助于球面镜像点的位置关系，令
2
a
b d =
，可得出
l l
ρρ'=- (4.63)
获得了镜像线电荷的位置和大小，圆柱外区域任一点的电位为
20
1
ln
2l
r c
r ρφπε=
+ (4.64)
式中1r ，2r 分别为l ρ和l ρ'
到场点的距离。

1r =
2r =
常数c 是为了保证导体柱面电位为零的边界条件而附加的。

由式(4.64)得到两平行线电荷l ρ和l ρ-在空间等位面分布如图4.13中虚线
图4.13 两平行线电荷
l
ρ和
l
ρ-的电位分布
所示，实线为电场线。

4.4.8 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
设两平行长直导体圆柱半径分别为a 和b ，且分别带有等量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为d ，如图4.14(a)所示。

由于异号电荷相互吸引，使电荷在圆柱面上分布不均匀，但两导体柱面仍然为等位面，待求区域为两圆柱面之外，设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为l ρ和
l
ρ-，其位置如图4.14(b)所示。

这两个线电荷在空间产生的电位分布，从图4.13
可以看出，其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。

根据唯一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。

通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电
轴法。

如图4.14(b)，取两圆柱几何轴心的连线为x 轴，两电轴平行且和x 轴垂直，选两电轴连线的中点为坐标原点，设两电轴坐标分别为(, 0)c 和(,0)c -，则两电轴在空间产生的电位为
20
1
ln 2l
r c
r ρφπε=
+
式中常数c 的值与零电位参考面的选择有关，若选yo z 面电位为零，则0c =。

等位面方程为k φ=(常数)，即
4.14
k
y
c x y c x r r =+-++=
2
2
221
2)
()( (常数)
上式可简化为
2
22
2
22
12()(
)
1
1
k ck x c y k k +-
+=-- (4.65)
可见，当k 取不同的值时，式(4.65)描述的等位面是不同的圆柱面，其轴心坐标
为2
2
1
(,0)
1
k c k +-，其半径为2
21ck
k -。

设取1k k =值时，该等位面与一导体圆柱面重合，即
2
112111
k x c
k +=
- (4.66)
及
1
2
121ck a k =
- (4.67)
式(4.66)和式(4.67)消去1k 后得
2
2
2
1x c a
=+ (4.68)
同理，取2k k =值时，等位面与另一导体圆柱面重合，即
2
222
211k x c
k +=
- (4.69)
及 2
2
221ck b k =
- (4.70)
上两式消去2k 后得
222
2x c b
=+ (4.71)
已知两圆柱轴线相距为d ，即
12x x d
-= (4.72)
联立式(4.68)、式(4.71)和式(4.72)可求出1x 、2x 和c 。

2
2
2
12a b d
x d
-+=
(4.73)
222
22a b d
x d
--=
(4.74)
c =
确定了等效电轴的坐标，空间电位分布由式(4.64)给出。

【例4-5】 图4.15为一偏心电缆，内导体半径为a ，外导体半径为b ，两几何轴线间距离为d ，求两等效电轴的位置。

解 取几何轴心的连线为x 轴,该坐标原点和几何轴的距离分别为1x 和2x ，两电轴的位置分别为（C ,0）和（-C ，0），如图4.15所示。

只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，这样就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。

根据电轴法
2
2
2
1x b c =+ 1 2
2
2
2x a c
=+ 2
又 12d x x =- 3 联立方程1，2和3可解出：
2
2
2
12d b a
x d +-=-
2
2
2
22d a b
x d
+-=-
C =
两等效电轴的位置分别位于（C ,0）和（-C ，0）处。

(a) 偏心电缆 (b)镜像
图4.15 偏心电缆的电轴。