微积分学PPt标准课件29-第29讲一元微积分应用

y
凹
Q
yf(x)
P
O a x1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(xx 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线下方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) 编x 辑2 ) pp t f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 )10
x 2 x 0 (x 1 x 0 )
由泰 f( x ) f( x 0 ) 勒 f ( x 0 ) x ( x 公 0 ) f 2 ( ! ) ( x 式 x 0 ) 2
有 f ( x 1 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 1 ( x 0 ) f 2 ( ! 1 ) ( x 1 x 0 ) 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十九讲 一元微积分的应用(二) —— 函数(曲线)的凹凸性、拐点、
函数图形的描绘
脚本编写：刘楚中
教案制作：刘楚中
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第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变
力作功、液体的压力等。
▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
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第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
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x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线上方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) x 编2 ) 辑 ppt f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 9
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f( x ) C ( I ) , ( 0 ,1 ) .
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
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一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
.B
Leabharlann Baidu
?!
.A
O
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x
4
f(x)(a, b)时, 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的
图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 .
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .
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1 2(f(x1)f(x2))x1 3 2x2 3
在( , 0)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)),
yx3 是凸的.
在(0,)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)), yx3 是凹的.
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y y x3
O
在( , 0)上 , yx3 是凸的 ,
f( x 2 ) f( x 0 ) f( x 0 ) 编x 辑2 p( pt x 0 ) f 2 ( ! 2 ) ( x 2 x 0 ) 2 16
其 ,1 在 x 中 0 与 x 1 之 , 2 在 间 x 0 与 x 2 之 . 间
于 f ( x 1 ) f x 2 是 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2( 即 f ( x 1 ) f x 2 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2(
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 ;
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例1
分析立方y抛 x3物 的线 凹凸 . 性
分析
f ( x1 x2 ) x133x12x23x1x22x23
▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解
相关变化率和最大、最小值的应用问题。
▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
此时 y0.
在(0,)上 ,
x
yx3 是凹的 ,
此时 y0.
y3x2, y6x, 有何体会？
x0时, y0,
点(0, 0) 是曲线凹凸性的分界. 点
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能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？
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判别可微函数的凸凹性主要是对
1(f 2
(x1)f
(x2))
进行比较.
f ( x1 x2 ) 2
有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
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设f(x) C([a,b]), 在 (a,b)内有二 . 阶导
x 1,x 2 (a ,b ),令x0
x1x2 2
,
则
x 1 x 0x 1 x 1 2x 2x 1 2x 2
x2x0x2x1 2x2x22 x1
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简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.
y
凸 yf(x)
y
凹 yf(x)
O x1
x1 x2 2
x2
x O x1 x1 x2 x 2
x
2
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定义
设 f(x) C (I).
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 .
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凹凸性的一般性 定义是……
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y yf(x)
凸
Q
P
O ax1 x