微积分学PPt标准课件29-第29讲一元微积分应用
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29-第29讲一元微积分应用46732 共57页
x ( 1 ,1 )时 ,y 0 ,且仅 x 0 时 ,在 y 0 ,
故yx4在(1,1内 ) 是.凹的
y
y x4
O
x
x0只是使 y 0 的孤立点, 不是曲线凹凸性 的分界点.
比较例3 和例4 , 发现使得曲线所对 应的函数的二阶导数等于零的点引起了 我们的兴趣 , 因为它可能是曲线凹凸性
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f( x ) C ( I ) , ( 0 ,1 ) .
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
x x (0, )时 , y0, y1为凹 . 的
x
该函数的图形 请自己绘出.
例3 研 y 究 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a 4(a 1 0 )的凹 . 凸
解
函数的定义 ( 域 , 为 ).
y 3 a 1 x 2 2 a 2 x a 3, y 6 a 1 x 2 a 2,
y
凹
Q
yf(x)
P
O a x1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(xx 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线下方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 )
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 ;
一元微积分几何应用
微分元素 S(x)d x
例11 解
求以圆为底, 以平行且等于该圆直径的线段为顶, 高为 h 的正劈锥的体积 .
y
h
h
y
|y| |y|
a
Ox a x
x2 y2 a2
| y | a2 x2 .
S(x) 1 (2 | y | ) h | y | h h a2 x2. 2
h a2 sin 2 d 1 h a2 .
0
2
四、弧长及其计算方法
1 平面曲线弧长的定义
在弧 AB 上, 任意取分点 A M0, M1,, 将 AB 弧分成 n 个小段 : Mi1Mi ( i 1,
y
Mn1, Mn 2,, n ).
BM MA0
1
0
0
a3
2
(1
cos t )3
d
t
展开
5a3
.
0
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
y
S ( x)
Oa
x
b
x
设几何体 A 被垂直于x 轴的平面所截得的面积S(x).
若 S(x) C([a, b]), 则几何体 A 位于区间[a, b] 上的体积为
b
V a S(x) d x.
A
由图可以看出 :
选择 y 为积分变量比选择x 为积分变量好.
积分区间为 y [2, 4].
(2) 求微分元素 d A (( y 4) 1 y2 ) d y . 2
(3) 计算面积
A 4 (( y 4) 1 y2 ) d y 18.
2
2
2 参数方程形式下平面图形的面积
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
微积分学PPt标准课件30-第30讲一元微积分应用
o((x
x0 )n1)
23
按照上面的方法不断地做下去, 是否有下面的结论:
f
(x)
n0
f
(n) ( x0 n！
)
(
x
x0
)n
等
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
号
成 立 吗
f (n) (x0 ) n!
该级数收敛吗？
？
即算级数收敛, 其和函数等于 f (x) 吗？
7
1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,医 治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年 82 岁。
除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学 会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家 学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视 为德意志的民族英雄。
5
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放 弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父 亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。 后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。 在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学 论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想 和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和 雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并 于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见 经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。
故在 U(x0 )内可对其进行逐项求导, 且其和函数
f (x) 在 U(x0 )内具有任意阶导数. 于是有
f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点 二,曲线的渐近线 三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2
微元法的应用(讲演PPT)
微元法渗透着微积分的思想，它在处理积分的实际应用 问题时也是相辅相成的，是物理学发展史中最具里程性 的思维方法之一，是牛顿力学的数学基础，也是数学理 论中一种常用的方法 ，故而研究微元法就显得十分重要。
微元法的数学理论
微元法的适用条件： 1.所求的量可以表示成在一个区域上的函数 ； 2.所求的量在区域上具有线性可加性 ； 3.在该区域上的部分量可用变量的微分的线性部分来 进行表示。
解：若选择全部的链条为整体作为一个系统， 由于链条与各处的摩擦略去不计，故整个过 程遵循动量守恒。 根据质点系的动量定理就可以得到： 在的dt时间里，下垂部分链条的动量增量为： 由上面两个公式得到定积分： 求解定积分得：
例2：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ 。 将其卷成一堆放在地面上。若手握着链条的一端， 以匀速v将其向上提起。当链条的一端被提起离地 面的高度为y时，求手的提力。
微元法的应用
数学与应用数学09级
微元法的应用
☺1.微元法概述 ☺2.微元法的数学理论 ☺3.微元法在物理学中的应用 ☺4.微元法求解几何体的面积和体积 ☺5.微元法在其他方面的应用
微元法概述
微元法（Infinitesimal method ）：微元法是先从部 分再到整体的思维方法，即为求得某一实际问题中的 量w，只需先求得微元dw，然后再对dw进行定积分 的运算即可求得w。通俗地说，就是把要研究的对象 分为无限多且无限小的部分，取出具有代表性的极小 的一部分，即微元，再对该微元进行细节分析和描述， 然后从局部到全体综合起来加以考虑的科学的思维方 法。
微元法可以将变量和难以确定的量转化成常量和容易确 定的量，使那些复杂的问题简单化， 这样我们就可以用 简便的方法对事物的规律进行分析研究。 微元法是微积分学中的主要思想，在解决数学分析、物 理、几何等问题时经常用到这种方法，广泛地应用于经 济、生物、工业计算、医学研究等方面。在物理学中， 定义感应电动势、瞬时速度和瞬时加速度等等都用到了 这种思想。
定积分的应用之微元法PPT课件
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
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如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 ;
编辑ppt
11
例1
分析立方y抛 x3物 的线 凹凸 . 性
分析
f ( x1 x2 ) x133x12x23x1x22x23
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变
力作功、液体的压力等。
▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
编辑ppt
2
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
编辑ppt
▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解
相关变化率和最大、最小值的应用问题。
▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
y
凹
Q
yf(x)
P
O a x1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(xx 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线下方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) 编x 辑2 ) pp t f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 )10
3
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
.B
?!
.A
O
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x
4
f(x)(a, b)时, 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的
图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 .
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .
此时 y0.
在(0,)上 ,
x
yx3 是凹的 ,
此时 y0.
y3x2, y6x, 有何体会？
x0时, y0,
点(0, 0) 是曲线凹凸性的分界. 点
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13
能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？
编辑ppt
14
判别可微函数的凸凹性主要是对
1(f 2
(x1)f
(x2))
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f( x ) C ( I ) , ( 0 ,1 ) .
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
进行比较.
f ( x1 x2 ) 2
有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
编辑ppt
15
设f(x) C([a,b]), 在 (a,b)内有二 . 阶导
x 1,x 2 (a ,b ),令x0
x1x2 2
,
则
x 1 x 0x 1 x 1 2x 2x 1 2x 2
x2x0x2x1 2x2x22 x1
x 2 x 0 (x 1 x 0 )
由泰 f( x ) f( x 0 ) 勒 f ( x 0 ) x ( x 公 0 ) f 2 ( ! ) ( x 式 x 0 ) 2
有 f ( x 1 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 1 ( x 0 ) f 2 ( ! 1 ) ( x 1 x 0 ) 2
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5
简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.
y
凸 yf(x)
y
凹 yf(x)
O x1
x1 x2 2
x2
x O x1 x1 x2 x 2
x
2
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6
定义
设 f(x) C (I).
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 .
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7
凹凸性的一般性 定义是……
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8
y yf(x)
凸
Q
P
O ax1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线上方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) x 编2 ) 辑 ppt f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 9
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十九讲 一元微积分的应用(二) —— 函数(曲线)的凹凸性、拐点、
函数图形的描绘
脚本编写：刘楚中
教案制作：刘楚中
编辑ppt
1
第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求的凸凹性以及求函数拐点的方法。
f( x 2 ) f( x 0 ) f( x 0 ) 编x 辑2 p( pt x 0 ) f 2 ( ! 2 ) ( x 2 x 0 ) 2 16
其 ,1 在 x 中 0 与 x 1 之 , 2 在 间 x 0 与 x 2 之 . 间
于 f ( x 1 ) f x 2 是 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2( 即 f ( x 1 ) f x 2 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2(
2
8
1 2(f(x1)f(x2))x1 3 2x2 3
在( , 0)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)),
yx3 是凸的.
在(0,)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)), yx3 是凹的.
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12
y y x3
O
在( , 0)上 , yx3 是凸的 ,
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11
例1
分析立方y抛 x3物 的线 凹凸 . 性
分析
f ( x1 x2 ) x133x12x23x1x22x23
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变
力作功、液体的压力等。
▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
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2
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性、 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
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▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解
相关变化率和最大、最小值的应用问题。
▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
y
凹
Q
yf(x)
P
O a x1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(xx 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线下方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) 编x 辑2 ) pp t f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 )10
3
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
.B
?!
.A
O
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x
4
f(x)(a, b)时, 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的
图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 .
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .
此时 y0.
在(0,)上 ,
x
yx3 是凹的 ,
此时 y0.
y3x2, y6x, 有何体会？
x0时, y0,
点(0, 0) 是曲线凹凸性的分界. 点
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13
能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？
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14
判别可微函数的凸凹性主要是对
1(f 2
(x1)f
(x2))
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f( x ) C ( I ) , ( 0 ,1 ) .
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
进行比较.
f ( x1 x2 ) 2
有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
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15
设f(x) C([a,b]), 在 (a,b)内有二 . 阶导
x 1,x 2 (a ,b ),令x0
x1x2 2
,
则
x 1 x 0x 1 x 1 2x 2x 1 2x 2
x2x0x2x1 2x2x22 x1
x 2 x 0 (x 1 x 0 )
由泰 f( x ) f( x 0 ) 勒 f ( x 0 ) x ( x 公 0 ) f 2 ( ! ) ( x 式 x 0 ) 2
有 f ( x 1 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 1 ( x 0 ) f 2 ( ! 1 ) ( x 1 x 0 ) 2
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5
简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.
y
凸 yf(x)
y
凹 yf(x)
O x1
x1 x2 2
x2
x O x1 x1 x2 x 2
x
2
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6
定义
设 f(x) C (I).
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凸的 ;
如 x 1 果 ,x 2 I(x 1 x 2 ),恒有 f(x1 2x2)1 2(f(x1)f(x2))
成立 , 则称曲线 yf(x)在区间 I 上是凹的 .
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7
凹凸性的一般性 定义是……
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8
y yf(x)
凸
Q
P
O ax1 x
x2 b
x
弦线PQ的方程 : y弦 f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)(xx1)
点x的坐标: x x 1 ( 1 ) x 2 , ( 0 ,1 )
曲线位于弦线上方: f(x)y弦 即 f ( x 1 ( 1 ) x 编2 ) 辑 ppt f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) 9
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二十九讲 一元微积分的应用(二) —— 函数(曲线)的凹凸性、拐点、
函数图形的描绘
脚本编写：刘楚中
教案制作：刘楚中
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1
第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求的凸凹性以及求函数拐点的方法。
f( x 2 ) f( x 0 ) f( x 0 ) 编x 辑2 p( pt x 0 ) f 2 ( ! 2 ) ( x 2 x 0 ) 2 16
其 ,1 在 x 中 0 与 x 1 之 , 2 在 间 x 0 与 x 2 之 . 间
于 f ( x 1 ) f x 2 是 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2( 即 f ( x 1 ) f x 2 2 f ( x 0 ) ( f ( 1 ) f ( 2 ) x 1 x ) 0 ) 2(
2
8
1 2(f(x1)f(x2))x1 3 2x2 3
在( , 0)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)),
yx3 是凸的.
在(0,)上 , f(x 1 2x2)1 2(f(x 1)f(x2)), yx3 是凹的.
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y y x3
O
在( , 0)上 , yx3 是凸的 ,