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T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明:若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在,则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件, f ( x)在 x 0处 (1)连续; (2)可导;
(3)导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导,a , b应取什么值.
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
(一)曲线积分与曲面积分 (二)各种积分之间的联系 (三)场论初步
(一)曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x,其中L是以
1,
0
为
为中心,R为半径 R 1的圆,逆时针方向
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质,如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关,可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用,如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$,当$x_1 < x_2$时,都 有$f(x_1) leq f(x_2)$(或$f(x_1) geq f(x_2)$),则称函数在该区间内单调递 增(或单调递减)。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性,可以判断函数的单调性。此外,导数也 是判断函数单调性的重要工具,如果函数在某区间内的导数大于0,则函数在该 区间内单调递增;如果导数小于0,则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像,我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域,然后根据函数的解析式 ,在坐标系上标出对应的点,最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析:奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$,都有 $f(-x) = -f(x)$;偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$,都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义,可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质,如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关,可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用,如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$,当$x_1 < x_2$时,都 有$f(x_1) leq f(x_2)$(或$f(x_1) geq f(x_2)$),则称函数在该区间内单调递 增(或单调递减)。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性,可以判断函数的单调性。此外,导数也 是判断函数单调性的重要工具,如果函数在某区间内的导数大于0,则函数在该 区间内单调递增;如果导数小于0,则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像,我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域,然后根据函数的解析式 ,在坐标系上标出对应的点,最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析:奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$,都有 $f(-x) = -f(x)$;偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$,都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义,可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
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例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内,无论对怎样的
正数 M 0,总是存在该邻域内一点 x 0 ,使得
f x0 M.
1
现设
M
0,取
x0
2n
/
,
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数,
并且使得 x 0 在空心邻域内,
例:设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
从使用情况来看,闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ,但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ,在此 不再说 明。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
2.函数的单调性:
x1,x2I, 当 x1 x2时,
若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调增加函数; 若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调减少函数;
如 yx,yx3 单增
yx2?
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21
3.函数的奇偶性:
设 D关于原, 对 点 于 对 xD 称 , 有
f(x)f(x)
o
x
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27
(2)单值函数的反 一函 定数 是不 单值函数
如y : x2
反函数x: y. (3)若y f(x)单调增(减),
其反函数也单调增(减 )。
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28
六、基本初等函数
1.幂函数
yx (是常)数
y
y x2
yx
1
y x (1,1)
o1
x
y 1 x
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29
2.指数函数 yax (a0,a1) y e x
(1)子集; ( 2)集合相等; (3)空集;
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2
( 4)集合运算: 如A B {xx A 且 x B }
AB{xxA 或x者 B }
3、常用数的集合:
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
数集间的关系:
R----实数集
N Z ,Z Q ,Q R .
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第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
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1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性}质
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
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( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解:y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解: y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
(a ) a ln a
x ( n) x n
特殊地: (e ) e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
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b、 2 , 3 , 4 在 ________;
3、点 A ( 4 , 3 , 5 ) 在 xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________,在 zox 轴上的射影点为_________,在x 轴上 的射影 点为________,在x 轴上 的射影点为______,在 z 轴上 的射影点为_______ ;
D
b
AM MD (a b ). 2 1 DC AB AM MB (a b ). 2
练 习 题
一、填空: 1、向量是_________的量; 2、向量的___________叫做向量的模; 3、___________的向量叫做单位向量; 4、_____________的向量叫做零向量; 5、与_____无关的向量称为自由向量; 6、平行于同一直线的一组向量叫做_________ ,三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________; 7、两向量___________,我们称这两个向量相等; 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量; 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点,则终点 构成____________;
(平行四边形法则)
b
c
a
(平行四边形法则有时也称为三角形法则)
特殊地:若 a‖ b 分为同向和反向 | c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
向量的加法符合下列运算规律:
B(0, y , z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ,每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用,例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用,例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用,例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广,表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质,这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ,表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率,是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质,如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量,用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值,这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ,每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用,例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用,例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用,例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广,表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质,这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ,表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率,是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质,如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量,用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值,这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《同济版高数》课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质,掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义,掌握计算多元 函数极限的方法,如分别求极限 、累次极限等。
多元函数的连续性
理解连续性的概念,掌握判断多 元函数在某点或某区域的连续性 的方法。
极限的概念与性质
总结词
极限是高数的核心概念,理解极限的概念和性质是学习高数的关键。
详细描述
极限是指当自变量趋近某一值时,因变量的变化趋势。极限的性质包括唯一性 、局部有界性、局部保序性等。这些性质在高数的各个章节中都有重要的应用 。
极限的运算规则
总结词
掌握极限的运算规则是解决极限问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的解法
总结词
掌握一阶常微分方程的解法是解决这类问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x, y),可以 通过分离变量法、积分因子法、公式法等求解。
高阶常微分方程的解法
总结词
理解高阶常微分方程的解法一般形式是y''(x) + p1(x)y'(x) + p2(x)y(x) = f(x),可以通过降 阶法、变量代换法、积分因式分解法等求解
则更加注重应用和与其他学科的交叉融合,不断涌现出新的分支和领域。
高数与其他学科的联系
要点一
总结词
高数与其他学科有着密切的联系,如物理、工程、计算机 科学等。这些学科在高数的理论和方法的基础上不断发展 。
要点二
详细描述
高数与物理学的联系尤为紧密,许多物理问题的解决需要 高数的理论和方法。例如,在力学、电磁学、光学等领域 中,高数的微积分和向量分析被广泛应用。在工程领域中 ,高数的理论和方法也是解决实际问题的关键工具。计算 机科学在高数的基础上发展出了算法设计和数据结构等重 要领域。此外,经济学、统计学等领域也与高数有着密切 的联系。
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设数列
lim
n
xn 存在,则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
n
xn
lim
k
xn k
.
用此定理,即可说明数列 1n 的极限不存在。事
实上:
lim
n
x2n1
1,
lim
n
x2n
1,
所以,lim n
xn
不存在.
值得注意的是,对于函数,我们不能用此定理来证明
个不同的子列,使函数收敛到两个不同的值,则说明函
数在这一点无极限.
lim
n
f
(xn )
y
A
lim
xx0
f
(x).
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
f (x3 )
f (x1)
O x1 x3
xn x0
y f x
lim
n
xn
x0,
x4 x2
x
例 证明函数 f (x) sin 在x 0时极限不存在.
即: f x 在x0的某个空心邻域内有界.
局部有界的几何意义
从图中可以看出局部有界的含义:函数 f x 在 x0 处 o
的极限为 A,则存在点x0的一个空心邻域 U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中,对应
的函数图形在某一个带
y
A+1
y f x
形区域中,而该邻域外 A
的点所对应的函数图形, A-1
x
证令
1
1
xn 2n 1 , yn 2n ,
2
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性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充:不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx
c
b
f
( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
第2页/共178页
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
播放
第3页/共178页
曲边梯形如图所示, 在区间[a,b]内插入若干
个分点,a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ], 长度为 xi xi xi1;
五、88.2(千牛).
第26页/共178页
第二节 定积分的性质、中值定理
一、基本内容 二、小结 思考题
第42页/共178页
一、基本内容
对定积分的补充规定:
(1)当a
b
时, b a
f
(
x)dx
0;
(2)当a
b 时, b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小.
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
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恩格斯
CHENLI
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数,辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
1
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
CHENLI
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 CHENLI 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
他在解析数论自守函数论高维数值积分等广泛的数学领域中都作出了卓几何学典型群他对青年学生的成长非常关心他提出治学之道是即基础要宽专业要专要使自己的专业知识漫到其它领域
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
同济大学高等数学ppt第一章
同济大学高等数 学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质,即对于 任意常数C1,C2,有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数,其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x), 则在(a,b)上,f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质,将 已知函数进行恒等变形,从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量,将已知函数 进行换元,从而将复杂函数分解 为简单函数的组合,以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换,从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性,我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算,从而简化计算过程。例 如,当我们需要计算一个复杂函数的值时, 我们可以先找到这个函数在某一点的微分, 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中,经常会遇 到一些复杂的数学问题,如求解方程、优化 问题等。在这些情况下,利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分 空间解析几何与向量代数
极限理论 微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质,即对于 任意常数C1,C2,有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数,其 常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x), 则在(a,b)上,f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质,将 已知函数进行恒等变形,从而得 到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量,将已知函数 进行换元,从而将复杂函数分解 为简单函数的组合,以便于计算 。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其 中一个函数求导再与另一个函数 乘积进行交换,从而得到两个函 数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性,我们可以对一些复杂的 函数进行近似计算,从而简化计算过程。例 如,当我们需要计算一个复杂函数的值时, 我们可以先找到这个函数在某一点的微分, 然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中,经常会遇 到一些复杂的数学问题,如求解方程、优化 问题等。在这些情况下,利用微分进行近似 计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性
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D
= 4∫∫ dxdy
D1
∫ ∫ = 4
π
6 dθ
a
2cos 2θ
rdr
0
a
= a2 ( 3 − π). 3
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
15
分
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
∫ ∫ D
=
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
∫ ∫ 2、将积分
2
dx
3x f ( x2 + y2 )dy 化为极坐标形式的
0
x
二次积分为_________________________________.
二、试将对极坐标的二次积分
π
2a cos θ
∫ ∫ I =
4 −π
dθ
0
f (r cos θ, r sin θ)rdr
4
交换积分次序.
2010年5月21日11时28
R 2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0} 显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2
∵ e− x2 − y2 > 0,
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∴ e−x2− y2dxdy < e− x2 − y2 dxdy < e− x2 − y2 dxdy.
D1
S
D2
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
9
分
∫∫ 又∵ I = e−x2− y2 dxdy
分
二重积分的计算法(21)
7
∫∫ 例 2 计算 e−x2− y2dxdy,其中 D 是由中心在
D
原点,半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D:0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π.
∫∫ ∫ ∫ e−x2− y2dxdy =
2π
dθ
a e −r2 rdr
D
0
0
= π(1 − e−a2 ).
a cosθ
∫ ∫ I =
2 −π
dθ
0
f (r, θ)dr
2
(a ≥ 0).
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
17
分
思考题解答
D
:
⎪⎧ ⎨
−π ≤θ≤ π
2
2
,
⎪⎩0 ≤ r ≤ a cos θ
y
θ = arccos r
a
r = acosθ
D
o
ax
∫ ∫ I =
a
dr
0
arccos r a
二重积分的计算法(21)
12
分
∫∫ 例 5 计算二重积分 sin(π x2 + y2 ) dxdy,
D
x2 + y2
其中积分区域为D = {( x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
解 由对称性,可只考虑第一象限部分,
D1
D = 4D1
注意:被积函数也要有对称性.
∫∫ ∫∫ sin(π x2 + y2 ) dxdy = 4 sin(π x2 + y2 ) dxdy
0
4
∫ 所求广义积分 ∞ e− x2 dx = π .
0
2
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二重积分的计算法(21)
11
分
例 4 计算∫∫ ( x2 + y2 )dxdy,其 D 为由圆
D
x2 + y2 = 2 y, x2 + y2 = 4 y及直线x − 3y = 0,
y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
4
∫ ∫ 2a
arccos r
+
rdr
2a
2a −arccos r
f (r cos θ, r sin θ)dθ.
2a
三、1、 2 − π ;2、 1 (π − 4 ) ;3、5 π.
2
33
2
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二重积分的计算法(21)
21
分
作业: P155 T13奇 T14奇
2010年5月21日11时28
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
8
分
∫ 例 3 求广义积分 ∞ e−x2dx. 0
解 D1 = {( x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }
D2 = {( x, y) | x2 + y2 ≤ 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
D
∫ ∫ =
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
α
ϕ1 (θ )
2010年5月21日11时28 分
二重积分的计算法(21)
r = ϕ2(θ)
A
3
区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
r =ϕ1(θ)
D
ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ ).
β
o
α
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
解
y−
3x
=
0⇒
θ2
=
π
3
x2 + y2 = 4 y⇒ r = 4sinθ
x−
3y
=
0
⇒ θ1
=
π
6
x2 + y2 = 2 y ⇒ r = 2sinθ
∫∫ ∫ ∫ ( x2 + y2 )dxdy =
π
3 dθ
r 4sinθ 2 ⋅ rdr = 15( π −
3).
D
π 6
2sin θ
2
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S
∫ ∫ ∫ = R e− x2dx R e− y2dy = ( R e− x2dx)2;
0
0
0
∫∫ I1 = e− x2− y2dxdy
D1
∫ ∫ =
π
dθ
R e −r2 rdr
= π (1 − e−R2 );
0
0
4
∫∫ 同理I2 =
e − x2− y2 dxdy = π (1 − e−2R2 ).
二重积分的计算法(21)
22
分
D
x2 + y2
D1
x2 + y2
∫ ∫ = 4
π
2 dθ
2 sin πr rdr = −4.
0 1r
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
13
分
例 6 求曲线 ( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) 和 x2 + y2 ≥ a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D = 4D1
⎧α
ϕ1 (θ )
⎪
∫ ∫ ⎨
=
⎪⎩ =
β
ϕ (θ )
dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
α
0
2π
ϕ (θ )
dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
∫ ∫ 0
0
(在积分中注意使用对称性)
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
16
分
思考题
交换积分次序:
π
D
2π
ϕ (θ )
∫ ∫ = dθ f (r cosθ ,r sinθ )rdr.
0
0
∫∫ 极坐标系下区域的面积 σ = rdrdθ .
D
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二重积分的计算法(21)
6
分
例 1 写出积分∫∫ f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式,其中积分区域
D = {(x, y) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
A
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D
D
2010年5月21日11时28
二重积分的计算法(21)
2
分
二重积分化为二次积分的公式(1)
区域特征如图
r = ϕ1(θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ ).
βα o
∫∫ f (r cosθ ,r sinθ )rdrdθ
一、利用极坐标系计算二重积分
∆σ i
=
1 2
(
ri
+
∆ri )2
⋅ ∆θi
−
1 2
ri
2
⋅ ∆θi
=
1 2 (2ri
+
∆ri
)∆ri
⋅
∆θ i
r = ri + ∆ri r = ri
=
ri
+
(ri + 2
∆ri
) ∆ri
⋅
∆θ i
D
= ri ⋅ ∆ri ⋅ ∆θi ,
o
θ = θi + ∆θi ∆σ i θ =θi
D
∫ ∫ =
β
dθ
ϕ2(θ ) f (r cosθ , r sinθ )rdr.
α
ϕ1 (θ )
2010年5月21日11时28 分
二重积分的计算法(21)
r =ϕ2(θ)
A
4
二重积分化为二次积分的公式(2)