基于MATLAB双缝干涉和双缝衍射的对比研究

基于MATLAB 双缝干涉和双缝衍射的对比研究

摘要：本文运用Matlab 软件，参照前人编出的程序，对双缝干涉和双缝衍射的光强分布和谱线特征进行了数值模拟，绘出实验中难以观察到的光强分布图，模拟结果比较理想，获得了直接的感官认识。这种方法作为辅助教学的手段，有助于学生更加深刻地理解干涉与衍射的区别与联系，提高教学质量。

关键词：双缝干涉；双缝衍射；MATLAB ；光强分布；谱线特征

1引言

在学习光学部分，光栅衍射一直是一个难点，我们用的物理教材在介绍了杨氏双缝干涉和单缝衍射后直接进入光栅衍射，中间也讲到干涉和衍射的区别与联系，但都不深入，感觉就停留在定义的层面。由于这部分知识需要理论联系实际，抽象性比较强，学生很难掌握众多因素对衍射图样的影响，所以对干涉与衍射的关系理解不深，甚至我们会产生错误认识，认为干涉和衍射是两个不同的现象。

正好，MATLAB 为我们提供了解决问题的手段，通过编程，将复杂的物理问题用Matlab 呈现出来，通过计算和作图，培养学生的综合能力，激发学生深入探索问题的兴趣。本文运用Matlab 软件，参照前人编出的程序，对双缝干涉和双缝衍射的光强分布和谱线特征进行了数值模拟，绘出实验中难以观察到的光强分布图，这样做不仅不受实验仪器的限制，而且得到的图样比较直观，有利于学生的学习和研究。

2理论分析

2.1双缝干涉原理

首先，在介绍杨氏双缝干涉实验时有一个重要前提：双缝的宽度必须非常小，即 λ〈〈a 的情况，在这个前提下每一束光的传播才可以用几何光学来处理，这是双缝干涉和后面介绍的衍射的重要区别。而在许多教材中对这一点并没有作说明，这也是学生产生误解的一个重要原因。在上述纯干涉的条件下，如果两束光的相位差恒定，可以直接利用干涉叠加的原理得到合成光强为ϕ∆++=cos 22121I I I I I ，其中，12ϕϕϕ-=∆，第三项是干涉项。这就是光的相干叠加。如果21I I =,则合成光强为()2

cos 4cos 12211ϕϕ∆=∆+=I I I 。 (1)当πϕk 2=∆时() ,2,1,0±±=k ，合振动的平均强度最大：(

)22121212I I I I I I I +=++=,或14I I M =，这种干涉称为干涉相长。 (2)当πϕ)12(+=∆k 时() ,2,1,0±±=k ，合振动的平均光强最小：()2

2121212I I I I I I I -=-+=,或0=M I ，这种干涉称为干涉相消。

我们定义干涉条纹的可见度为M

M m M I I I I V +-= 根据（1）（2）的讨论，最大光强和最小光强之和为)(221I I I I m M +=+ 最大光强和最小光强之差为214I I I I m M =-，因此可见度用分光强表示为212

12I I I I V +=,两光强相差越小，可见度越大。当21I I =时，可见度1=V [1]。

2.2双缝衍射原理

图1双缝衍射装置

Fig.1. Double-slit diffraction equipment

双缝衍射的实验装置如图1所示：一光栅有N 条缝，透光的缝宽度为a ，不透光的挡板宽度为b ，入射光波为λ。

双缝间距为d=a+b ，d 称为光栅常数。如图，在θ方向，相邻两条缝之间的

光程差为δ=dsin θ，相位差为λ

θπλδπϕsin 22d ==∆，假设每一个单缝引起的光波振幅为'A ∆，根据多个等幅同频振动的合振幅公式：()()2/sin 2/sin ϕϕ∆∆∆=n A A ，所有缝在θ方向产生的振幅为()()v Nv A N A A sin sin 2/sin 2/sin ''

'∆=∆∆∆=ϕϕ，其中λθπsin d v =。汇聚点的光强为2'0)sin sin (v

Nv I I =,其中2''0A I ∆=。当N=1，可知：'0I 是单缝引起的光强。根据单缝衍射的公式20)sin (u

u I I =，可得光栅衍射的光强公式20)sin (u u I I =2)sin sin (v

Nv ，其中u=λθπsin a 。 （1）当N=1时，光强公式变为单缝衍射的公式20)sin (u

u I I =，因此2)sin (u u

称为单缝衍射因子。

（2）当N=2时，根据光栅衍射公式可得：v u

u I I 220cos 4)sin (

=[2]。 3双缝干涉和双缝衍射的强度分布和谱线图

为了得到双缝干涉和双缝衍射的强度分布的谱线图，又限于目前的知识储备，下面参照前人的程序画出强度分布的谱线图，接着重点对二者的区别和联系进行讨论[3,4]。

3.1双缝干涉强度分布和谱线图

利用MATLAB 软件，根据双缝干涉的算法，输入程序，得到的干涉强度分布和谱线如图2所示[5]。

图2光的干涉强度曲线和谱线

Fig.2 Interference of light intensity curves and lines

上图为可见度V=1的两束相干光的干涉强度和干涉条纹。由上图可知最大值的光强是相等的，且是等间隔的[6]。在上述现象中，设双缝的间隔为d ，屏幕到缝的距离为0r ，则可推算出各级明条纹的位置，得到亮条纹的间隙为d r y λ0=∆ ,即双缝的间隔d 越小 ，条纹Δy 就越宽。但当d 很小时，屏幕上只出现一条亮条纹 ，即看不到干涉现象。

3.2双缝衍射强度分布和谱线图

仍利用MATLAB 软件，根据双缝衍射的算法，输入程序，得到的衍射强度分布和谱线图。下面改变参数对双缝衍射进行讨论分析。

3.2.1改变缝宽a 观察双缝衍射图样变化

图3光栅衍射的光强曲线和谱线（a ） 图4光栅衍射的光强曲线和谱线(b) Fig.3Grating diffraction intensity Fig.4Grating diffraction intensity curves and lines (a) curves and lines (b)

图3和图4是双缝衍射的光强曲线和谱线，两图不同之处就是缝宽和波长的比值不同。由图3图4可知 ，当缝宽a 变小，变到与波长相等时，衍射图样逐渐接近双缝干涉图样，变成明暗相同的等亮度条纹。可以这样解释：当a 逐渐变

小时，由双缝衍射公式v u u I I 220cos 4)sin (=可知，当u

u sin 1→（u=λθπsin a ）时，)2sin 22(2cos 4cos 42020v d I v I I ===∆∆=→θλ

πδλπϕϕ。双缝衍射光强分布就向双缝干涉2

cos 421ϕ∆=I I 过渡[7]。 在实验中，当两条缝宽比波长大得多时，我们发现衍射现象较明显，慢慢的调窄缝宽，当其小于光波长，但在一个数量级时，单缝衍射的调制作用消失，双缝衍射图样过渡到双缝干涉图样，可以说双缝干涉是双缝衍射在缝宽很小时的特例。

3.2.2减小双缝间距d 观察双缝衍射图样变化

图5光栅衍射的光强曲线和谱线(c) 图6光栅衍射的光强曲线和谱线(d) Fig.5Grating diffraction intensity Fig.6Grating diffraction intensity curves and lines (c) curves and lines (d)

以上上两图的缝宽一致，不同的是双缝间距，图5中双缝间距大于图6。根据式v u

u I I 220cos 4)sin (=中的第二个因子可知 ，当缝宽a 不变 ，而减小双缝