同态和同构定义设GG是两个群G上oG上
抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
离散数学-同态和同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
群同态与同构的基本理论与应用
群同态与同构的基本理论与应用在代数学的研究领域中，群同态和同构是具有重要意义的概念。
群同态是指将一个群的结构映射到另一个群的结构的映射，而同构是指具有双射性质的群同态。
本文将介绍群同态与同构的基本理论，并探讨它们在代数学以及其他领域中的应用。
一、群同态的定义与性质一个群同态是指将一个群的元素映射到另一个群中的函数，满足保持群运算的性质。
设有两个群$G$和$G'$，它们的运算分别为$*$和$*$'，那么一个群同态$\phi: G \rightarrow G'$需要满足以下条件：1. 保持群运算：对于任意的$x, y \in G$，有$\phi(x * y) = \phi(x) *'\phi(y)$；2. 保持单位元：有$\phi(e_G) = e_{G'}$，其中$e_G$和$e_{G'}$分别是$G$和$G'$的单位元；3. 保持逆元：对于任意的$x \in G$，有$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$。
上述条件保证了群运算在映射之后的群中仍然成立，即保持了群的结构。
群同态的一个重要性质是，对于同一个群$G$，我们可以定义自身到自身的恒等同态$id: G \rightarrow G$，它满足$id(x) = x$，对于任意的$x \in G$。
二、群同构的定义与性质如果一个群同态是双射的，那么它就是一个群同构。
群同构保持了群元素之间的一一对应关系，从而保持了群的结构。
设有两个群$G$和$G'$，它们的运算分别为$*$和$*$'，一个群同构$\phi: G \rightarrowG'$需要满足以下条件：1. 双射性：对于任意的$x, y \in G$，如果$\phi(x) = \phi(y)$，那么$x = y$，并且对于任意的$x' \in G'$，存在唯一的$x \in G$，使得$\phi(x) = x'$；2. 保持群运算：同群同态的条件一样，对于任意的$x, y \in G$，有$\phi(x * y) = \phi(x) *' \phi(y)$；3. 保持单位元和逆元：同群同态的条件一样，有$\phi(e_G) =e_{G'}$，并且对于任意的$x \in G$，有$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$。
同态和同构
1
aa
1
假如
1
(a
) a
所以τ-1τ：
a (a ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法 作成的一个群叫做A的变换群。 此群的元素不是数
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个 变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限 例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 例4，设G为群， , b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba a 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
§8.2 同态和同构
定义1：设G,G’是两个群， G上:o G’上:⊙ ，f：G → G’
如果对任意的a,b∈G,都有 f（aob）=f(a)⊙ f(b) 则称f为G到G’的一个同态。进一步
满同态：如果f是满射； 单同态：如果f是单射； 同构：如果f是一一对应的。
例1，
A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， f1：a → 1 ， f2：a → -1 f3：奇a → -1 , 偶a → 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律 IV. ε = τ0∈G V. τθ = τ-θ
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
群论中的群同态与同构
群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。
在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。
首先，我们来讨论群同态。
群同态是指一种映射，它保持群的结构。
具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。
第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。
群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。
通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。
接下来，我们谈论群同构。
群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。
具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。
同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。
例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。
尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。
同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。
即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。
2.若G ≅ H，那么H ≅ G。
同构满足交换性。
3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。
同构满足传递性。
群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。
通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。
同时，群同构也为群的计算提供了便利。
如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。
总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。
群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G， 则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三 循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
ϕ
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
引理 设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ， 则
400浅谈代数系统上的同态与同构
400浅谈代数系统上的同态与同构何东东(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)指导教师:郑红梅[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构1 预备知识同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.定义1.1]1[设集合A 到A 各有代数运算 和 ,且ϕ是A 到A 的一个映射.如果ϕ保持运算，即对A 中任意元素a ,b ,在ϕ之下由a a →,b b →总可得b a b a →,亦即b a b a =或)()()(b a b a ϕϕϕ =,则称ϕ为代数系统A 到A 的一个同态映射,若ϕ又是满射,则称ϕ为同态满射.如果A 到A 存在同态满射,则简称A 与A 同态,记为A A ~.定义 1.2]1[设ϕ是A 到A 的一个(关于代数运算 及 )同态满射.如果ϕ又是单射(即ϕ是双射),则称ϕ是A 到A 的一个同构映射.如果A 到A 存在同构映射,就说A 与A 同构,记为A A ≅.否则,即若A 到A 不存在任何同构映射,则称A 与A 不同构.A 到自身的同态映射,称为A 的自同态映射,简称A 的自同态.同样,A 到自身的同构映射,叫做A 的自同构映射,简称A 的自同构.定义1.3]2[设(S ,≤)是序列集,S T ⊆.如果存在S u ∈,使得)(T t u t ∈∀≤,则称u 为T 的一个上界.如果T 的一个上界u 具有如下的性质:对于T 的任一上界u ',都有u u '≤,则称u 为T 的一个最小上界,记为lub T .如果存在S l ∈使得)(T t T l ∈∀≤,则称l 为T 的一个下界.如果T 的一个下界l 具有以下性质：对于T 的任一个下界l ',都有l l ≤',则称l 为T 的一个最大下界,记为glb T .S 的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0.由偏序的反对称性可知:偏序集中任意指定的两个元素的最小上界和最大下界有唯一性(如果它们存在).设），（≤L 是一个偏序集,如果L 中的任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称），（≤L 是一个格.只含有有限多个元素的格称为有限格,否则称为无限格.定义 1.4]2[设R 是幺环,M 是一个交换群,如果映射(称R 在M 上的作用)M M R →⨯,ax x a ),(.满足下列条件:(1);,,,)(M y x R a ay ax y x a ∈∈∀+=+(2);,,,)(M x R b a bx ax x b a ∈∈∀+=+(3);,,),()(M x R b a bx a x ab ∈∈∀=(4),,1M x x x ∈∀=则称M 为环R 上的一个左模,或左R 模.如果将(3)改为;,,),()(R b a M x ax b x ab ∈∈∀=其余条件不变,则称M 为环R 上的一个右模,或右R 模.理论上讲,右模和左模没有本质的区别.如果M 为环R 上的一个右模,令R '为R 的反同构的环,则M 构成R '上的左模,当然,若R 是交换环,则R 上的左模和右模没有区别.定理1.1]3[设代数系统),( A 和)( ，A 同态，则（1）若 适合结合律, 也适合结合律;（2）若适合交换律, 也适合交换律.定理 1.2]3[设⊗,⊕为集合A 的代数运算,⊗,⊕为集合A 的代数运算,且存在A 到A 的满射φ,使得A 与A 对于代数运算⊗,⊗来说同态,对于代数运算⊕,⊕来说也同态,那么（1）若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合左分配律;（2）若⊗,⊕适合右分配律,⊗,⊕也适合右分配律. 2 主要内容下面将分别讨论群,环,格,模上同态同构在其中的应用以及比较它们在同态同构中的不同.2.1 群同态与同构定义2.1.1]4[设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:(1)结合律成立,即对G 中任意元素c b a ,,都有)()(c b a c b a =;(2)G 中有元素e ,叫做G 的左单位元,它对G 中每一个元素a 都有a a e = ;(3)对G 中每一个元素a ,在G 中都有元素1-a ,叫做a 的左逆元,使e a a =- 1;则称G 对代数运算 为一个群.定义 2.1.2]4[设G 和1G 是群,映射1:G G →ϕ称为由G 到1G 的群同态,如果ϕ保持群运算,即∀G b a ∈,,都有)()()(b a ab ϕϕϕ=.如果ϕ为单(满)射,则称ϕ为单(满)同态.定义 2.1.3]4[既单又满的同态称为同构.如果存在由G 到1G 的一个同构,则称G 同构于1G ,也说G 和1G 是同构的,记为1G G ≅.群G 到自身的同态及同构具有重要的意义,称之为群G 的自同态和自同构.)(End G 表示G 的全体自同态构成的集合,)(Aut G 表示G 的全体自同构构成的集合.对于映射的乘法,)(End G 构成一个有幺元的半群,而)(Aut G 构成一个群,称为G 的自同构群.定义2.1.4]4[像通常的映射一样,)(G ϕ称为ϕ的像,记为ϕim .又将1e 的原像称为ϕ的核,记为ϕker ,即})(|{ker 1e a G a =∈=ϕϕ.定理2.1.1]4[设1:G G →ϕ是群同态.则ϕϕim G ≅ker /.证明 记H =ϕker ,定义映射,im /:ϕψ→H G ).(a aH ϕ验证ψ是良定义的,即)(aH ψ与陪集代表a 的选取无关.如果bH aH =,即aH b ∈,则存在H h ∈使得ah b =.故)()()()()()()(aH a h a ah b bH ψϕϕϕϕϕψ=====,即ψ良定义.下面证明ψ是群同构，也就是证明ψ是单射,并且ψ也是满射.)()()()()()()))(((bH aH b a ab abH bH aH ψψϕϕϕψψ====,所以ψ是群同态.又设1)(e aH =ψ(1G 的幺元),即1)(e a =ϕ,故H a ∈,即)/(的幺元H G H aH =,所以ψ是单射.最后设ϕim g ∈,则存在G a ∈使得g a =)(ϕ.于是g a aH ==)()(ϕψ,这说明ψ必是满射.所以ψ同构.定理 2.1.2]3[设G 是一个群,G 是一个代数运算(也称为乘法)的集合.如果G G ~,那么G 也是一个群.证明 因为G G ~,G 是群,其乘法满足结合律,故由定理1.1得,G 的乘法也满足结合律.设e 是群G 的单位元,a 是G 的任一元素,又设ϕ是G 到G 的满同态,且在ϕ之下e e →，a a → 于是a a e =,但是a ea =,故a a e = ,即e 是G 的单位元.又设1-a →1-a,则a a a a 11--→.但是e a a =-1,故e a a =-1,即1-a 是a 的逆元.因此,G 也是一个群. 本定理的意义在于,要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群时,可找到一个已知群,并通过同态来实现.定理 2.1.3]4[设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射(不一定是满射),则群G 的单位元的像是群G 的单位元,G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元,即11--=a a 或11)()(--=a a ϕϕ.应该注意,如果集合G 与G 各有一个代数运算,且G G ~,则当G 为群时,G 却不一定是群.例 1 令G ={全体正负奇数},代数运算为数的普通乘法;又}1,1{-=G 关于数的普通乘法作成群,令ϕ:正奇数1→,负奇数-1→.则易知ϕ是G 到G 的一个同态满射,故G G ~.G 是群,但G 却不是群.当然,若G 与G 为各有一个代数运算的代数系统,且G G ≅,则当G 与G 中有一个是群时,另一个必然是群.例2 设G 是一个群,N 是G 的正规子群.令G a aN a f ∈∀=,)(.显然f 是群G 到商群N G 的满同态,这个满同态称为群G 到商群N G 的自然同态.定理2.1.4]4[设是G 到G 的同态映射(不一定是满映射),则1）当G H ≤时,有G H ≤)(ϕ且H ～)(H ϕ;2）当G H ≤时,有ϕG H ≤)(-1ϕ,且在ϕ之下诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射. 证明 1）任取a ,b ）（H ϕ∈且在ϕ之下令a a →,b b →.其中H b a ∈,.由于G H ≤,故H ab ∈,且b a ab →. 从而)(H b a ϕ∈,即）（H ϕ对G 的乘法封闭,且 )(~H H ϕ.但H 是子群,从而)(H ϕ也是群且是G 的子群.2）当G H ≤时,由于)(-1H ϕ显然非空,任取)(,1H b a -∈ϕ,且在ϕ之下令a a →,b b →则11--→b a ab ,其中,H b a ∈，.而G H ≤,故H b a ∈-1,从而1-b a )(-1H ϕ→,即G H ≤)(-1ϕ且显然ϕ诱导出)(-1H ϕ到H 的一个同态映射.定理2.1.5]3[群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充要条件,群G 的单位元e 的逆象只有e .证明 必要性显然,下证充分性.设ϕ是群G 到群G 的任一同态映射,且在ϕ之下e 的逆象只有e .又设在ϕ之下a a →,b b →,当b a ≠时,必有b a ≠:又若b a =,则由于e b a ab =→--11,故b a e ab ==-,1,矛盾.因此,ϕ是单射. 定理 2.1.6]3[设f 是群G 到G '的一个满同态.若N 是G 的正规子群,则)(N f 是G '的正规子群.证明 设N 是G 的正规子群,可得,)(N f 是G '的子群.对于任意的)(N f n ∈'和任意的G a '∈',去N n ∈和G a ∈,使得n n f '=)(,a a f '=)(. 于是,有 )()())()(()()(111N f ana f a f n f a f a n a ∈=='''---,所以)(N f 是G '的正规子群.性质1]4[任何群G 与自身同构;证明 首先,对于任何群G ,单位变换G I 就是G 到自身的一个同构,因此G G ≅.所以性质成立.性质2]4[若群1G 与群2G 同构,则群2G 与群1G 同构;证明 1G 和2G 是两个群,并且1G 2G ≅,我们有b a b a f f ''=''-))((1,b a b f f a f f b f a f f ''=''=''----))(())(())()((1111,从而)()()(111b f a f b a f ''=''---.因此1-f是群2G 到群1G 的同构,从而12G G ≅,所以性质成立.性质3]4[若群1G 与群2G 同构,群2G 与群3G 同构,则群1G 与群3G 同构;证明 假设1G ,2G 和3G 都是群,并且21G G ≅,32G G ≅,不妨设f 是群1G 到2G 的同构,g 是群2G 到3G 的同构.容易验证,gf 是群1G 到3G 的同构,因此31G G ≅,所以性质成立.定理2.1.7]2[设G 是一个群,N 是G 的正规子群.（1） 若H 是G 的子群,则 N HN N H H )()(≅ .（2） 若H 是G 的正规子群且H N ⊆,则H G N H H G ≅)()(.推论2.1.8]4[设1:G G →ϕ是群同态,则ϕϕim G ≅ker /.定理2.1.9]4[(Cayley 定理)任何一个群都与某个变换群同构.证明 设G 是群.对与每一个G a ∈,定义G 的变换a σ如下： G x ax x a ∈∀=,)(σ.显而易见,a σ是G 的一一变换. 令{}G a G a ∈='σ.下面我们来阐明G '是G 上的一个变换群. 事实上,显然,我们有G I e G '∈=σ.此外对于任意的a σ,G b '∈σ,我们有)())((x abx x ab b a σσσ==,)())((11x I x x aa x G a a ===--σσ, )())((11x I x ax a x G a a ===--σσ,G x ∈∀,从而,G ab b a '∈=σσσ,G a a a a I ==--σσσσ11,所以,G '是G 上的一个变换群.现在考察由下式定义的G 到G '的映射fa a f σ=)(,G a ∈∀.显而易见,f 是满射.对于任意的G b a ∈,我们有b a b f a f σσ=⇒=)()( b a e e b a =⇒=⇒)()(σσ.因此f 是单射,从而,f 是双射.此外,我们有)()()(b f a f ab f b a ab ===σσσ,G b a ∈∀,.所以f 是G 到G '的同构,从而G G '≅.推论2.1.10]4[任何一个有限群都与某个置换群同构.2.2 环同态与同构由于环是有加,乘两种运算的代数系统,因此,定义同态映射时必须同时保持加,乘的同态性.定义2.2.1]5[设R 是一个环,S 是有加法和乘法的两种运算的代数系统,称R 到S 中的一个映射σ是环R 到S 中的一个同态映射,如果 )()()(b a b a σσσ+=+,)()()(b a ab σσσ=.若R 到R '上有一个同态映射,则称R 到R '同态,记为R ～R '.定义 2.2.2]5[如果σ是环R 到R '的一个同态映射,并且σ又是双射时,则称σ为环R 到R '的一个同构映射,当R 与R '之间存在同构映射时,称环R 与R '同构,记为R R ≅,特别的,当R R =时,称σ为环的一个自同构.定理2.2.1]5[设R 是一个环，S 是一个有加法和乘法的运算系统,若σ是R 到S 中的同态映射,则)(R R σ='也是一个环;)0(σ为R '的零元0';)()(a a σσ-=-;若R 有幺元而R '不止有一个元素,则R '有幺元且,σ（1）就是R '的壹1'；若R a ∈可逆,则)(a σ在R '中可逆而且)(1-a σ就是1)(-a σ.设σ是R 到R '上的同态映射,R '的零0'的逆映像)0(1'-σ叫σ的核.定理2.2.2]5[(环同态基本定理)设R 和R 是两个环,且R R ~.则1）这个同态的核N ,即零元的全体逆像,是R 的一个理想;2）R N R ≅/证明 设ϕ是环R 到环R 的一个同态满射.1)易知,核N 首先是环R 的一个子加群;其次,设R r N a ∈∈,,则r r a →→,0.于是在ϕ之下有00,00=→=→r ar r ra ,故N ar ra ∈,,即N 是R 的理想.2)令)(:a N a ϕσ→+,则由群同态基本定理知,作为加群,σ是N R /到R 的一个同构映射.又由于N ab N b N a +=++))((,而)()()(b a ab ϕϕϕ=,因此σ是N R /到环R 的一个同构映射,从而R N R ≅/.此定理表明,在同构意义下,每个环能而且只能与商环同态.推论2.2.3]6[设1:R R →ϕ是环同态,则1ker /R R ≅ϕ.定理 2.2.4]6[同态映射σ的核N 是R 的理想,设a '是R '的任意元素,则a '的逆映像})({)(1a a R a a '=∈='-σσ是N 的一个剩余类.证明 因为σ是R 的加法群到R '的加法群上面的一个同态映射,所以σ的核)0(1'=-σN 是R的一个子群,且a '的逆映象)(1a '-σ是模N 的一个剩余类.现在再证N 做成理想.即证：若N a ∈，R x ∈,则N ax ∈,N xa ∈,事实上,0)()()('==x a ax σσσ,故N ax ∈,同样可证N xa ∈.对于R 的任意理想N ,是否有一个环R '而且有R 到R '的一个同态映射σ使N 刚好就是σ的核呢?答案也是肯定的.由群中已证的结果,模N 的所有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法群,就是R 对于N 的商群N R ,规定N a a +=)(σ,即N a a +→:σ这样规定的σ便是群R 到群N R 上的一个同态映射,其核为N .规定剩余类的乘法,以使σ成为环R 到系统N R 上的同态映射.设A ,B 是N 的两个剩余类,任取A a ∈，B b ∈,规定包含ab 的剩余类N ab C +=为A 与B 的积,而AB C =,))((N b N a N ab ++=+.若另取A a ∈',B b ∈',则包含a 'b '的剩余类和包含ab 的剩余类是一样的,可见上面的乘法规定由A ，B 完全确定,与b a ,的选择无关.由σ的定义,N a a +=)(σ,N b b +=)(σ,N ab ab +=)(σ.但由上面的剩余类乘法的定义,))((N b N a N ab ++=+,故)()()(b a ab σσσ=.所以,σ是环R 到运算系统N R 上的一个同态映射.因此,N R 是一个环,于是有：定理 2.2.5]7[按照上述剩余类的加法和乘法,R 对于理想N 的所有剩余类的集合N R 是一个环,规定N a a +=)(σ,则σ是R 到N R 上的一个同态映射,其核为N .N R 叫做R 对于N 的剩余环,前面定理所说的加法和乘法的同态性,其实是说剩余环N R 中的加法和乘法运算可由剩余类中的任意元素来确定,剩余类的运算与其中元素的特殊选择无关.剩余环N R 有了这加法和乘法两种运算,就与环R 同态.定理 2.2.6]7[(第一同构定理)设R 是环,是R 的理想,则在自然同态I R R /:→π,I r r + .下,(1)R 的包含I 的子环与I R /的子环一一对应.(2)在此对应下,理想对应理想.(3)若J 是R 的理想且I J ⊇,则)/)(/(/I J I R J R ≅.定理 2.2.7]7[(第二同构定理)设R 是环,I 是R 的理想,S 是R 的子环,则(1)I S ⋂是S 的理想.(2))(/)(I S S I S I ⋂≅+.定理 2.2.8]8[若σ是环R 到R '上的一个同态映射,其核为N ,则R '与N R 同构：R '≅N R .证明 设a '是R '的任意元素,则)(-1a 'σ是N 的一个剩余类A .规定R '的a '和这个N R 的A对应.这样,我们规定了R '到N R 上的一个一对一映射τ,τ：N R R /→',a ' A .下面证明τ是同构,即证明：若R b a '∈'',,则)()()(b a b a '+'='+'τττ,)()()(b a b a ''=''τττ. 事实上,若A a =')(σ,B b =')(τ,即N a A a +=='-)(1τ,N b B b +=='-)(1σ,其中,A a ∈B b ∈,则因b a b a '+'=+)(σ,b a ab ''=)(σ,故 N b a b a ++='+'-)(1σ,N ab b a +=''-)(1σ,B A b a +='+'-)(1σ,AB b a =''-)(1σ.于是)()()(b a B A b a '+'=+=''ττσ,)()()(b a AB b a ''==''τττ.故τ是R '到N R 上的一个同构对应.定理 2.2.9]8[设环R 同态于R '：R R '~于是R 与N 间的子环与R '的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,理想对应理想.2.3 其他代数系统上的同态与同构定义 2.3.1]9[(模同态与同构)设M 和T 都是R 模,T M →:ϕ是映射.如果ϕ满足下述两个条件:(1)M y x y x y x ∈∀+=+,),()()(ϕϕϕ.(2)M x R a x a ax ∈∈∀=,),()(ϕϕ.则称ϕ为M 到T 的一个R 模同态.如果ϕ又是单(满)射,则称ϕ为R 模的单(满)同态.定义 2.3.2]9[如果,ϕ既单又满,则称ϕ为模同构.此时,也称为M 和T 是同构的,记作T M ≅,由M 到T 的所有R 模同态构成的集合记为),(Ho m T M R ;如果M T =,记),(Hom T M R 为)(End M R ,其元素称为M 的自同态.定义 2.3.3]10[(格同态与同构)设21:L L f →,1,L y x ∈∀有)()()(y f x f y x f ∧=∧，)()()(y f x f y x f ∨=∨则称f 为1L 到2L 的同态.如果f 是双射的,就称f 是1L <，1∨，>∧1到>∧∨<222,,L 的格同构,也称格>≤<11,L 和>≤<22,L 同构. 定理2.3.4]9[(同态基本定理)设T M →:ϕ是模同态.ϕϕim ker /→M ,)(x x ϕ是模同构,其中ϕker +=x x 是x 所代表的陪集.定理2.3.5]9[(第一同构定理)设N 为M 的子模,N M M /:→π是典范同态,则在π下的包含N 的子模与N M /一一对应,对于M 的包含N 的子模H ,有同构 )//()/(/N H N M H M →,)/()(N H x H x ++π .定理2.3.6]9[(第二同构定理)设H 和N 为M 的子模,则有同构)(/)(N H H N N H ⋂→+,)()(N H h N n h ⋂+++ ),(N n H h ∈∈∀.可以想象:环上的模的性质依赖与环的性质.环的性质越丰富,其上的模的结构就越简单.定理2.3.7]10[f 是格1L 到2L 的同态,则1,L b a ∈,)()(b f a f b a ≤⇒≤.证明 b a ≤)()()()()()()(b f a f a f b f a f a f b a f a b a ≤⇒=∧⇒=∧⇒=∧⇒.注意 )()(b f a f ≤不一定推出b a ≤.定理3.2.8]10[f 为双射.f 为格1L 到2L 的同构当且仅当)()(,,1b f a f b a L b a ≤⇔≤∈∀. 证明 必要性:)()(b f a f b a ≤⇒≤显然成立,若)()(b f a f ≤成立,则)()()(a f b f a f =∧,因为f 是同构,有)()(a f b a f =∧,由单射性a b a =∧,所以b a ≤.充分性:只须证明f 是同态映射,即：)()()(b a f b f a f ∧=∧,)()()(b a f b f a f ∨=∨.b a b b a a ∨≤∨≤,)()(),()(a f b f b a f a f ≤∨≤⇒)()()(b a f b f a f ∨≤∨⇒,2)()(L b f a f ∈∨))()()((1b f a f d f L d ∨=∈∃⇒,d b d a d f b f d f a f ≤≤⇒≤≤,)()(),()()()()(b f a f b a f d b a ∨≤∨⇒≤∨⇒)()()(b a f b f a f ∨=∨∴同理)()()(b a f b f a f ∧=∧.3 小结同态只保持两个代数系统的部分性质,而同构却能使两个代数系统的结构完全相同.但同态关系比同构易建立.虽然同态比起同构有其不足，但它的确是比同构应用更广泛也更灵活的一种研究代数系统的有效方法.在我们学习的过程中应该加强它们之间的联系与区别，这对于技术人员,工程人员,高等理工科院校本科生,研究生是必不可少的基础数学知识,有着重要的学习意义以及应用价值.参考文献[1].杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社.2011.21-107.[2].赵春来,徐明曜.抽象代数Ⅰ[M].北京:北京大学出版社.2008.143-153.[3].张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].高等教育出版社.1978.31-48.[4] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.[5].杨子胥.近世代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2003.81-105.[6].张禾瑞,郝炳新.近世代数基础[M].高等教育出版社.1988.30-42.[7].刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社.1999.45-52.[8] 杨树生.代数系统的同态与同构[J].内蒙古民族大学学报,2004,6(19):1-2.[9] J.M.Howie:An Introduction to semigroup theory[M].London:Published for the London Mathematical Society by Academic prees Inc,1975.1-156.[10] 崔亚琼.浅谈同构在代数中的应用[J].大同职业技术学院学报,2005,1(19):75-76.A T entative Discussion on the Homomorphism and Isomorphism of the Algebraic SystemDongdong He(Grade11,Class1, Major in Mathematics Education Speciality, School of Mathematics and ComputerScience, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor: Hongmei ZhengAbstract : One of the most important and elementary concept in algebra is homomorphism and isomorphism.The application of the homomorphism and isomorphism on several algebraic systems is summarized in this paper,which shows the importance on the algebra.Key words: Semigroup; Group; Ring; Lattic; Homomorphism; Isomorphism。
群论中的同态与同构理论
群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。
在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。
一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。
同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。
2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
那么φ就是一个从G到H的同构。
同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。
1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。
同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。
2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。
同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。
四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。
1.6群的同构与同态
§6 群的同构与同态
f (a ) = f (b) ⇒ σ a = σ b ⇒ σ a (e) = σ b (e) ⇒ a = b .
是单射,从而, 是双射 此外, 因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f (ab) = σ ab = σ a σ b = f (a ) f (b) , ∀a, b ∈ G .
f a ( x) = axa , ∀x ∈ G .
−1
容易验证, f a 是群 G 的一个自同构 .事实上 , 的一个自同构 事实上, 容易验证 , 根据消去律, 对于任意的 x, y ∈ G ,根据消去律,我们有
f a ( x ) = f a ( y ) ⇔ axa −1 = aya −1 ⇔ x = y .
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§6 群的同构与同态
1 e' = 0
0 −1 0 , a' = 0 − 1 , 1
1 0 −1 0 b' = 0 − 1 , c ' = 0 1 .
f (a ⋅ b) = f (a ) o f (b) , ∀a, b ∈ G ,
的一个同构 同构; 则称 f 为群 (G, ⋅ ) 到群 (G ' , o ) 的一个同构;不致 混淆时, 的一个同构 个同构或 混淆时,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. 同构.
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显而易见, 显而易见 , 对于群 G 的任意给定的子群 H , 群 G 的元素之间 的 “ 在 H 中 共轭 ” 的关系 是 G 的元素之间的 共轭” 的关系是 上的一个 等价关系 上的 一个等价关系 . 若令 S 表示 G 的所有子群构 一个 等价关系. 成的集合, 成的集合 , 则群 G 的子群之间的共轭关系是 S 上 的一个等价关系. 一个等价关系. 等价关系
群同态基本定理与同构定理
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及 群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定 理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本 的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关 键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。 这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本 定理。它们对于理解群的结构和性质具有重 要的意义。
THANKS
感谢观看
限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02
从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之 间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要 引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构， 包括环、域、模等。
群同态定义,单、满同态,同构
群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。
第三章 正规子群和群的同态与同构
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群， 其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个 一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一 定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论 设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象 是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个 同构映射.
2.3同态,同态基本定理
2.3.2 同态基本定理 (Fundamental Theorem of Homeomorphisms)
定义(同态核):设 f 是 G 到G′的同态映射，令 K={a|a∈G，f (a)=e' }=f -1(e' ) 则称K是同态 f 的核(Kernel)，记做Ker f。 同态核就是群G' 的单位元e' 的全原象，由前可知 Kerf 是G的一个子群，且有以下性质。
G/K
例1 设n 是大于1 的正整数，Z是整数加群，作映射 φ: Z→Zm，a →[a] ， 证明φ 是一个同态且为满射，并求同态核Kerφ。
证明：显然φ 是一个Z→Zm的映射， a，b∈ Z ，有 φ(a+b)=[a+b]=[a]+[b]= φ(a)+φ(b) (保运算) 故φ为同态.且 [a]∈ Zm, 有a∈ Z ，使φ(a)=[a]， 所以φ 是一个同态且为满射. 同态核 Kerφ={x∈Z | φ(x)=[0]}={x∈Z | m|x}=<m> 而且根据同态基本定理 Z/<m> Zm
例2 设G=<a>是一个循环群，作映射 F : Z→G，f (n) = an， 则 f 是一个同态且为满射。 由同态基本定理知 Z/K G。 K=KerZ是Z的子群。Z的子群具有形式nz，其 中n=0或n为子群的最小正整数。 1°n=0，则K={0}，此时 Z/K=Z ∴ G Z . 2°n≠0，则K=<n>，Z/K=Z/(n), 从而G Z/(n). 这便是§2.7中已得到的结果 (无限循环群与Z同 构，有限循环群与Z/(n)同构)
定理1.设G与G' 同态 G ～ G' ，Ker f = K，则 (1) K 是 G 的正规子群，即K G (2) a' ∈Im f，若 f (a)=a' ，则 f -1 (a' )= a K (3) f 是单同态 K={ e }
3。3同态基本定理
§3.3 群的同态基本定理1.定义；设,G G 是两个群，如果映射:G Gϕ→满足,,a b G ∀∈ 都有()()(),ab a b ϕϕϕ=则ϕ称是G 到G 的一个同态。
若ϕ分别是单射、满射、双射，则称ϕ是单同态，满同态和同构。
用GG≅表示G 到G 的同构。
定理1 设,NG 则GG N。
证明 在G 与G N 之间建立映射如下：:GG Nτ→，()a aN τ=，a G ∀∈。
则显然τ是G 到G N 的一个满射。
又,a b G ∀∈，都有 ()()()()()()ab ab N aN bN a b τττ==⋅=， 即τ是G 到G N 的一个同态映射。
所以G G N 。
注：以后将上面的同态映射τ称为G 到G N 的自然同态。
核与像：设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，称 ker {|,()},Na a G a e ϕϕ==∈=为ϕ的核，其中e 为G 的单位元；称Im {()|}a a G ϕϕ=∀∈ 为ϕ的像。
定理2 (同态基本定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker ,.GN G G Nϕ=≅ 且证明 首先，{}e G ,由上一节定理2有{}1ker -=N e G ϕϕ= 。
其次，在G N 与G 之间建立映射如下： :GGN σ→，()()aN aa σϕ==，a G ∀∈。
（1）设aNbN=，则1a b N -∈，于是1()a b e ϕ-=，即11()()a b a b e ϕϕ--==，从而ab=，即G N 中的每个赔集在σ下的像唯一，因此σ确为G N 到G 的一个映射。
（2）a G ∀∈，因为ϕ是满射，所以存在a G ∈，使得()a a ϕ=， 从而存在G aN N ∈，使得()aN a σ=，即σ是满射。
（3）设()()aN bN σσ=，即11()()()()()a b a b e a b eϕϕϕϕϕ--=⇒=⇒=，所以1ker a b N ϕ-∈=，从而aNbN=，即σ是单射。
高等代数同态基本定理
. .. . . ..
. .. . . ..
循环群的结构
实际上 ker φ 是无限循环（加法）群的子群. 由 § 7 定理 3 已经得 到无限循环群的全部子群，只要把那里对乘法循环群写出的结果转 换成加法循环群的情形，就知道 ker φ 有两种可能：
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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循环群的结构
实际上 ker φ 是无限循环（加法）群的子群. 由 § 7 定理 3 已经得 到无限循环群的全部子群，只要把那里对乘法循环群写出的结果转 换成加法循环群的情形，就知道 ker φ 有两种可能：
. .. . . ..
同态基本定理
证 首先 ∀g1, g2 ∈ G，g1g2 = g1g2 表明 η(g1)η(g2) = η(g1g2). 即 η 保持乘法，故是同态. 它显然是满同态.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
(i) ker φ = 0，这时 Z 与 G 同构； (ii) ker φ = nZ，这时 Z/nZ 与 G 同构. 第一种情形 G 是无限循环群，它与 Z 同构；第二种情形下，Z/nZ 与 G 都是 n 阶循环群，n 阶循环群 G 与 Z/nZ 同构.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
循环群的结构
实际上 ker φ 是无限循环（加法）群的子群. 由 § 7 定理 3 已经得 到无限循环群的全部子群，只要把那里对乘法循环群写出的结果转 换成加法循环群的情形，就知道 ker φ 有两种可能：
第三章正规子群和群的同态与同构
(不一定是满射).则群 G的单位元的象是群 G
的单位元; G的元素 a 的逆元的象是a的象的
逆元,即
a1
1
a
或
(a1) (a)1.
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抽象代数
证 设e是群 G的单位元,且在 之下(e) e.
由于 是同态映射,故在 之下有 e e2 e2 e.
复习回顾:
注:对于同构的群G与G,我们认为G与 G是代数相同的,因为这是对于近世代数所 研究的问题来说,除了符号与名称上的区别 之外,二者没有实质的差异.
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抽象代数
定理1 设G是一个群,G是一个有代数 运算(也称为乘法)的集合. 如果G ~ G,则 G 也是一个群.
H ~(H) . 但 H 是子群,从而(H)也是群且是G的子群.
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抽象代数
2) 当 H G时,由于 1(H )显然非空,任取
a,b1(H) ,且在 之下令(a) a, (b) b .则
(ab 1 )
1
ab ,
其中
a,b
H
,而
a(N)a1 (N), (N)G.
2)若NG,则可类似证明1(N )G.
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抽象代数
定理3 群G 的一个正规子群与一个子群 的乘积是一个子群; 两个正规子群的乘积仍是 一个正规子群.
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群论中的群的同态和同构
群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群的概念最早由德国数学家高斯引入，并在他之后被众多数学家继续研究和发展。
在群论中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了群与群之间的关系。
首先，我们来看同态的概念。
在群论中，如果存在一个映射 f：G→H，其中 G 和 H 是两个群，且满足以下两个条件：1.对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) = f(a)*f(b)（即 f 是一个保持群运算的映射）；2.f(G) 是 H 的子群（即 f 将 G 的元素映射到 H 中的元素，而且保持了H 中的群运算）。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同态映射，简称同态。
同态的概念可以理解为将一个群的结构映射到另一个群中，并且保持了群运算的结构性质。
同态映射的存在性与群的性质有很大关系，在实际应用中有着广泛的应用。
与同态相对应的是同构的概念。
如果存在一个一一映射 f：G→H，它满足以下两个条件：1. f 保持群运算，即对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) =f(a)*f(b)；2. f 的逆映射也是一个群的同态。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同构映射，简称同构。
同构的概念是群之间结构相等的一种描述，即两个群之间存在一一对应，并保持了群运算的性质。
同构关系常常用于分类和比较不同的群。
如果两个群之间存在同构映射，我们就可以将它们看作是彼此相同的结构。
同态和同构的概念在群论中有着广泛的应用。
首先，同态映射可以用于研究群的子群和商群的结构。
通过同态映射，我们可以将一个群映射为另一个群的子群，并且保持了群运算的性质。
这为研究群的结构提供了新的方法。
同时，同态映射还可以用于研究群之间的相似性和联系。
如果两个群之间存在同态映射，那么它们在结构上有相似的性质，可以通过研究其中一个群来推断另一个群的性质。
同构映射则更加强调了群之间的相等性。
当两个群之间存在同构映射时，它们在群运算结构上完全相同，在一些性质的研究中可以互相替代。
群论2
• 代数学研究的对象是具有一种或多种二元运算的 集合，但不是孤立地研究集合本身，而是将集合 与它的二元运算一起讨论，研究群当然也是如此。 当已知两个群和，可能它们各自的二元运算不同， 我们期望在两个群之间建立某种对应关系，使得 该对应关系仅涉及群中的二元运算，而各个群的 元素具体是什么东西无关，那么从抽象的角度看， 仅利用二元运算由某一个群导出的性质可以通过 对应关系对应到另一个群上，这样可使我们的研 究一般化，从而从一个群的研究达到对另一个群 的讨论，为此，下面介绍两个重要的概念——同 态和同构。
8.3.2 同态的性质
定理 5-13 设 是 G1 , 到 G2 , 的同态映射， e1 和 e2 分别为 G1 和 G2 的单位 元，则 (1) ( e1 ) e2 (2)
( a -1) (a ) -1 ， a G1 证明 (1) ( e1 ) ( e1 ) ( e1 e1 ) ( e1) (e1) e2 ，由 G2 的消去律得 ( e1{e, a, a 2 , , a11} 是 12 阶循环群， 小于等于 12 并与 12 互质的正整数为 1、5、7 和 11，所以其生成元为 a 、 a 5 、 a 7 和 a11 。 (2) 设 Z9 , 是模 9 的整数加法群，小于等于 9 并与 9 互质的正整数为 1、2、4、5、7 和 8，所以其生成元为 1、2、 4、5、7 和 8。 (3) 设 G {3 z | z Z} ，G 上的运算是普通加法，显然 G, 是无限循环群，所以只有两个生成元：3 和-3。
下面我们讨论另一种重要类型的群——置换群。 定义 5-27 集合 S 上的所有一一变换组成的集合 E (S ) ，关 于变换的复合运算 所构成的群 E (S ), ，称为 S 的一一变换 群。 E (S ), 的子群称为变换群。
高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构
(1) 若 对 适合左分配律，则 对 适合左分配律；
定理2.1.4 设 A, B, C 是三个非空集合， ，，
分别是A, B, C 上的代数运算。 如果是A到B 的同构映射， 是B到C的同构映射， 则 (1) 是B到A的同构映射；
a b b a e,
则称 b 为 a 的逆元， 记为 b a 1 。 半群G上的代数运算 一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且 通常省略。
定理2.2.1 设G是一个半群，则
（1）如果G有单位元，则单位元是唯一的； （2）如果 a G有逆元a ，则 a 是唯一的，并且 (a 1 ) 1 a ； （3）如果 a, b G 是可逆的，则 ab 也是可逆的，并且
(2) Ker ( )是G的子群； (3) 是一个单映射 Ker ( ) {e}.
定理2.2.11 设 G , G, G是三个群，如果是G到
G的同构映射， 是G到G的同构映射， 则 (1) 是G到G的同构映射； (2) 是G到G的同构映射 。
－1
2.2.4
(2)
A A到C的映射称为A到C的代数运算；
A对代数运算是封闭的。
(3) A A 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合
一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对 任意 A, b B ，经过代数运算 得唯一的 C ， c a 即 :(a,b)→c，记为c=a b . 例2.1.1 R
第2章 代数结构与线性空间
2.1 代数运算，同态与同构
2.2 群 2.3 环与域 2.4 线性空间
2.5 模
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此群的元素不是数
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外， 没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律
IV. ε = τ0∈G V. τθ –1= τ-θ
但G显然不包含A的所有的一一变换，G是较小的变换群。
若x y, 那么 x y 所以是G与G 间的一一映射。
再进一步看，
g xy g(xy) (gx) y (g x ) y (g x ) y g x y
即： x y xy 所以是G与G 间的同构映射。所以G 是一个群。
但G的单位元e的象
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样G与G的一个 变换群G 同构。
的充要条件是kerf={e}; (4) f(G)={f(a)|a∈G}是G’的子群，且f是满同态 的充要条件是f（G）=G’; (5)设H’是群G’的子群，则集合 f-1(H’)={a∈G|f(a)∈H’}是G的子群。
变换群
前面的例子：普通数、普通加法、乘法 或阶为1、2或3的抽象群，且是交换群 下面研究：非交换群、群的元素不一定是数
例1， A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， B:× f1：a → 1 ， f2：a → -1
f3：奇a → -1 , 偶a → 1
定理1 设f是G到G’的一个同态，则
(1) f(e)=e’;
(2) 对任意a∈G,f(a-1)=f(a)-1;
(3)kerf={a|a∈G,f(a)=e’}是G的子群，且f是单同态
如：
1 : (0,0) (1,0)
2
:
绕原点逆时针旋转
2
1 2 : (0,0) (0,1)
21 : (0,0) (1,0)
1, 2,1 2, 21 都是A的一一变换
1,1 2, 21 都不在G中。
定理3所得的变换群是最大的变换群
定理4 任何一个群都同一个变换群同构
假定G是一个群，G的元是a,b,c, 。任意取x G,则
若对于上述乘法来说G作为一个群，那么G只包含A的 一一变换。
证： G, 1 G, 1 ) a 1 a a 所以τ是满射
假定aτ= bτ则 (a ) 1 (b ) 1 a b a b
∴ τ是单射
定理3：一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G
例3 计算例1中变换的乘积 τ1τ2： 1→2 2→2 τ1τ2=τ2 τ2τ4： 1→1 2→1 τ2τ4=τ1
但τ不一定有逆元 例4 例1中τ1，用一个任意的τ左乘τ1，得到
1 : 1 (1 )1 1, 2 (2 )1 1 这就是说 S, 1
即τ1没有逆元
S一般不是一个群(逆元不能保证)，但S的一个子集G呢？ 先看G作为一个群的必要条件 定理2：G是由A的若干变换所成集合，且G中包含恒等变换ε
证明：G适合群定义的I, II, IV, V四个条件
①τ1，τ2是一一变换，则τ1τ2也是 ② 结合律
③ 左单位元
④τ是一个任意的一一变换 ，则有τ-1： （第一章）
τ-1： a a 1 假如
(a 1 ) a
所以τ-1τ：
a (a 1 ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法 作成的一个群叫做A的变换群。
x : g gx g x是G的一个变换。因为对G的任意元g,
我们能够得到一个唯一的G的元g x。这样由G的每一个元x，
可以得到G的一个变换 x。把所有的这种G的变换作成一个 集合G { a ,b , c , }. 那么 : x x 是G到G的满射。
但消去律：x y gx gy告诉我们：
例2 A={1，2} τ1：1→1 2→1 τ2：1→2 2→2 τ3：1→1 2→2 τ4：1→2 2→1 是A的所有变换
对于给定集合A, S={τ，λ，μ，… } , A的所有变换 记号 τ：a→a′=τ(a) = aτ 规定，τ，λ的乘积 τλ：a→(aτ)λ，则此乘法满足结合律 τ(λμ)：a→(aτ)λμ=((aτ)λ)μ S有单位元，恒等变换ε，ε：a→a
习题课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限
例3，设G为群，试证 n Z及a,b G, 有(aba-1)n = abna-1
例4，设G为群，
a,b
G,
a
e且a
4b
ba5，证明：ab≠ba
例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
a3b3 = (ab)3， a5b5 = (ab)5
例6，若群G的每一个元都适合方程 x2 = e,那么G是交换群
例7，在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数
例8，假定G是一个阶是偶数的有限群。
则在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。
例9， 设<G,*>为群，a,b∈G,且a*b=b*a.
证明：若|a|与|b|互素，a则|a*b|=|a||b|
例10，设<G,*>为交换群，a为G中阶最大的元，且|a|=n.