北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及标准答案
北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。
2006-2007高等数学A(一)B
2006-2007高等数学A （一）B 试卷大题 一二三四五六七八成绩一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)[][][]上的定积分，．在 差上的积分与一个常数之，．在 ．一个原函数 ．原函数一般表示式 的是，则 连续，，在、设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f b x)( )()( )()()()(d )()()(1≤-≤=⎰-().11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan22222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则、设 ()2112212121)()()()()(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s ba---+=⎰ 则如图表示的面积和、123)30(01343． ． ． ． ）内的实根的个数为（ ，在、方程D C B A x x =+-()4)(2)(1)(0)()cos1)x 1ln(x 52222 （、 D C B A dx x ⎰-=-+++ππ二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分2小题, 每小题5分, 共10分)1、.________________ln cot ln lim的值等于xx x +→2、,)(cos 的一个原函数是已知x f xx =⋅⎰x xx x f d cos )(则___________.三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )在求过)3,2,4(0-P 与平面010:=-++z y x π平行且与直线⎩⎨⎧=-=--+010052:1z z y x l垂直的直线方程。
四、解答下列各题(本大题共3小题，总计18分) 1、(本小题6分)⎰.d )(ln 2x x 求 2、(本小题6分)．求⎰-10221dx x x3、(本小题6分)设非零向量a b ,满足b a b a b a b a 532,52-⊥+-⊥+，求(,)a b ∧。
07-08(1)高数I(A)参考答案
2007-2008学年第一学期2007级电气、电子、工程管理、机制、教技、土木工程、计算机、农机、网络工程、物理专业高等数学Ⅰ 试卷A 参考答案一、填空题(填对每空得2分，填错或不填每空得0分，计20分) 1．982442424++++x x x x ．2．3-e．3． 3 ． 4． 3 ． 5． （ 0 ，-1 ）． 6．21．7．0144=++y x ．8．51．9． 0 ． 10．14．二、选择题（选对每题得2分，不选、选错或多选每题得0分，计10分） 1．（ D ） 2．（ B ） 3．（ C ） 4．（ A ） 5．（ B ）三、计算题（每小题5分，计20分）1．解： xx x x x x x x sin )sin 21(1lim sin 2cos 1lim 200--=-→→…………………………2分xx xx sin sin 2lim 20→= …………………………………3分 x xx sin 2lim0→=..........................................4分 2=． (5)分2．解：应用洛必达法则得xxx xtd t t x xx 2arctan limarctan lim20-=∞-→∞-→⎰………………………3分x x a r c t a nlim 21∞-→-= ………………………4分 4)2(21ππ=-⨯-=. ………………………5分3．解： ⎰dx xx2sin ⎰-=x xd cot ……………………………………1分 ⎰+-=xdx x x cot cot ， …………………………2分 ⎰+-=dx x x x x sin cos cot ……………………………3分 ⎰+-=x d x x x s i n s i n1c o t ………………………4分c x x x ++-=|s i n |ln cot ．………………………5分4．解： ⎰-+1021xx dx ⎰+=20cos sin cos sin πtt tdt tx ……………………………1分⎰++=202)cos (sin )cos (sin cos πt t dt t t t (2)分⎰+++=202sin 112cos 2sin 21πdttt t……………………3分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=202sin 12cos 121πdt t t ………………………4分 4)2sin 1ln(212120ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=t t ．………………5分四、解答题（每小题5分，计20分） 1．解：)sin ()cos 1(t t ad t ad dxdy --= (1)分ttcos 1sin -=． …………………………………………2分)sin (cos 1sin 22t t ad t t d dxy d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ………………………………………3分)cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos 22t a t t t t ----=……………………………4分23)cos 1(1)cos 1(1cos t a t a t --=--=． …………………5分 2．解： 方程两边同时微分得)()(y x e d xy d += ………………………1分即 )(dy dx e xdy ydx y x +=++ ……………………3分 整理得 ydx dx e dy e xdy y x y x -=-++， …………………4分 从而得 dx ex yedy yx yx ++--=．……………………………5分3．解：令u e x=可得u x ln =，代入已知式得 ……………………………1分 u u f ln )(='， c u u u udu +-=⎰ln ln …………………2分 从而有 0ln )(c u u u u f +-= ……………………………………3分 由0)1(=f 得 10=c ……………………………………………4分 因此 1ln )(+-=x x x x f ． ……………………………………5分4．解：设所求平面的法线向量为0),,(≠=C B A n ，两个已知平面的法线向量分别为)4,2,1(,)2,5,3(21-=-=n n， ……………………………………1分则有n n n n⊥⊥21, 即有 ⎩⎨⎧=+-=-+0420253C B A C B A ………………………2分得 A C A B 1611,87-=-=，0≠A ……………………………………3分 所以所求平面的方程为 0)3(161187)2(=+---z A Ay x A ，………4分整理得所求平面的方程为 065111416=---z y x ． …………………5分五、证明题（6分×2题＝12分） 1．证明：由题设有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→，所以…………………1分hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h )]()5([)()3(lim)5()3(lim 00000000----+=--+→→……………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=→h x f h x f h x f h x f h )()5()()3(lim 00000…………3分hx f h x f h x f h x f h h 5)()5(lim53)()3(lim3000000---+-+=→→……5分)(8)(5)(3000x f x f x f '='+'=． (6)分2．证：设x x x x f -++=)1ln()1()(，则0)0(=f ，………………………1分 又 )1l n ()(x x f +='． ……………………………………………2分 当0>x 时， 0)(>'x f ，函数单调增加， ……………………3分当01<<-x 时， 0)(<'x f ，函数单调减少．………………………4分 从而，当01≠<-x 时有0)(>x f ，且0)0(=f ， ………………………5分因此，当1->x 时，x x x ≥++)1ln()1(． ……………………………6分六、综合应用题（6分×3题＝18分）解：由⎩⎨⎧=+-=022y x x y 得两曲线交点为)4,2(),1,1(-， …………………1分1．图形面积为 ⎰--+=212)2(dx x x A …………………………3分 29312212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x x ， …………………6分2．图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰--+=21222])()2[(dx x x V x π……………………………9分 57251)2(312153ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x ……………………12分3．曲线2x y =交y 轴于点)0,0(，直线02=+-y x 与y 交于点)2,0( ……………………………13分图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰⎰--=4422)2(dy y ydy V y ππ， (15)分 316)2(32423402πππ=--=y y ； ………………………18分。
06年高等数学(上)试题及答案
华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√） 考试日期：2007.1.15 题号 一 二三四 五 总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、 得分 评阅人得分 评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分 评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分 评阅人得分 评阅人得分 评阅人分扣缺1C。
北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题
C
G ( x ) 是 g ( x ) 的高阶无穷小;
D
G ( x) 是 g ( x) 的低阶无穷小.
17．设有下列四个条件：(1) f ( x) 在 a, b 上连续； (2) f ( x) 在 a, b 上有界； (3) f ( x) 在 a, b 上可导； (4) x0 a , b , lim f ( x ) 存在, 则上述 4 个命题的正确关系
A
偶函数
B
奇函数
2．以下哪个说法（
A
非奇非偶函数 ）与 lim xn A 的定义等价.
n
C
D
有界函数
(0,1), 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A 100 . B 1, 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A . C 对任意的自然数 N , 存在 0, 当 n N 时，有 xn A . D 存在自然数 N , 对任意 0, 当 n N 时，有 xn A .
北京科技大学 2009——2010 学年第一学期
高 等 数 学 A(I) 期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名 考场
题号 得分 评阅
一
二
三
课程考核成绩
说明: 1 、考场、学院、班、学号、姓名均需写全 , 不写全的试卷为废卷 ; 2 、涂改学号及姓名的试卷为废卷； 3 、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.
高等数学 AI 期中试卷
第 3 页 共 7 页
得 分
四、应用题（本题共 5 分）
k3 2 2 x ,其中 x 是箭离原点的水平距离, 20．一射手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx 300 y 是相应的高度( x 轴为地平线， 距离单位为 m), 正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线斜率. 问 (1) 正数 k 取何值时， 箭的水平射程最大？ (2) 正数 k 取何值时， 箭射中 30m 远处一直立墙面的高度最大？
2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(54)解答
2006-2007(1)高等数学试题(A 卷)(54)解答第 2 页 共 6页学院领导 审批并签名A 卷广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（54学时）参考解答与评分标准题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分 数 15 15 18 12 24 10 6 100 得分 评卷人一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 10lim(1)xx x →-= 1-e2．=++∞→x x x x cos 122lim 20 3. 曲线2x y =在点)4,2(处的切线方程为440y x -+=学院专业班级姓名学号第 3 页 共 6页4. 函数2x e y -=的渐近线为 0=y5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为 (1,-2)二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．下列函数为偶函数的是（ C ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x; (D)xx cos +.2. 当0→x 时,11-+x 是2x 的( B )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x处连续的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ B ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( D ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .第 4 页共 6页第 5 页 共 6页求0|=x dxdy . 解:方程 2=+-x ye xy e(*)两端同时对x 求导,得0=+'--'x y e y x y y e (**) 3分 在(*)式中令0=x ,得 0)0(=y 在(**)式中令0=x ,得 1)0(-='y 6分即 0|=x dxdy =-1第 6 页 共 6页四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分)1. 0sin lim (1cos )x x xx x →--. 解:原式=3021sin limx xx x -→2分=2023cos 1limx x x -→4分=xxx 3sin lim 0→ =316分 2．xx xln 12)1(lim ++∞→. 解:原式=x x x eln )1ln(lim2++∞→2分 =2212limxx x e ++∞→4分 =2e装 订 线 内 不 要答 题第 7 页 共 6页6分五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分)1. dx x x )3(-⎰.解: 原式=dxx dx x ⎰⎰-2/12/333分=C x x +-2/32/52526分 2. ⎰dxx x )1(sin 2+.解:原式=⎰⎰+xdxdx xx 2sin2分 =22221)(sin 21x x d x +⎰4分 =C x x +--)(cos 21226分第 8 页 共 6页3. 22ln(1)x dxx +⎰. 解:原式=)1()1ln(2⎰-+xd x2分=)1ln(1)1ln(122+++-⎰x d xxx=dx xx x ⎰+++-2212)1ln(14分 =C x x x+++-arctan 2)1ln(126分 4. dxxx ⎰+31.解: 令6u x =,则du u dx 56= ∴dxxx ⎰+31=duu u u ⎰+2356=du uu ⎰+1633分=duuu ⎰+-+11)1(63第 9 页 共 6页=du udu u u ⎰⎰+-+-11)1([62]=Cu u u u ++-+-)1ln(663223=Cx x x x ++-+-)1ln(6626636分第 10 页 共 6页六．(本题满分10分)某厂生产x件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问(1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?解: (1)依题意, 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++== 2分所以 40125000)(2+-='xx C 令0)(='x C ,得1000=x5分故要使平均成本最小, 应生产1000件产品; (2) 依题意, 利润)40120025000(500)(2x x x x L ++-==240125000300x x --7分装 订 线 内 不 要答 题第 11 页 共 6页则 x x L 201300)(-='令0)(='x L ,得6000=x10分 故若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产6000件产品.七．(本题满分6分)证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++. 证明: 令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++= 2分 则有 22221111)1ln()(x xx x x x x x x x f +-+++++++=' =)1ln(2x x ++>0(当0>x 时)第 12 页 共 6页 4分故函数)(x f 在(0,+∞)内是单调增加函数,所以 当0x >时,)0()(f x f >=0, 即 221)1ln(1x x x x +>+++. 6分。
07-08高数A1甲卷答案
姓名 班级 学号装 订 线安徽工业大学高等数学A1期末试卷(甲卷)参考答案与评分标准一、 单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）二、 填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 说明：①第10题和第16题每一小空1分 ②第16题中点b a ,,0的端点开闭均可9.45 10. 2009- ，小 11. 3234πa 12．0 13. 20092 14. 1 15. )()!1(!232n n x o n x x x x +-++++ 16. ),0(),(b a 及 -∞，0四、解答题(本题共６小题，满分44分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 25. (本题满分8分)解：2cos 10x x -→时， ～2)(22x , ------------------------------------ 2分2sin x ～2x --------------------------------------------------3分原式22402lim x x x x ⋅=→21= ---------------------------------------------- 8分说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如等价无穷小代换与洛必达法则结合使用。
26. (本题满分10分) 解：1)(-='n nxx f ，n f k ='=)1( -----------------------------------２分切线方程 )1(--=n nx y -----------------------------------４分令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ---------------------------６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e ----------10分27. (本题满分8分)解: θθx y dx dy ''= ---------------------------------------------------------------- 2分2212111θθθ++-=------------------------------------------------------- 5分2θ=---------------------------------------------------------------- 6分00==θ时，x ，------------------------------------------------- 7分 ==0x dxdy 02=θθ0=-----------------------------------------------8分说明：没有注明00==θ时，x 的扣１分 28.(本题满分８分)解: dx x x ⎰3sin +dx x x x ⎰++)1(21222---------- -----------------------1分 ⎰-=x xd 3cos 31dx x x )111(22⎰+++ )3cos 3cos (31⎰--=xdx x x x x arctan 1+-)]3(3cos 313cos [31⎰--=x xd x x x x arctan 1+--------------6分)3sin 313cos (31x x x --=c x x++-arctan 1--------------- - 8分说明：两个积分对一个给3分，丢了积分常数c 的扣2分29.(本题满分5分) 解：)1(21x xy -=' --------------------------------------------------- 1分 dx y s ⎰'+=3121-----------------------------------------------------3分dx x x⎰++=31)21(41 dx x x⎰+=31)1(21 ----------------------------------------------4分 3123)31(x x +=3432-=--------------------------------------5分30.(本题满分5分)证明：令 )()(x xf x F =，------------------------------------------------1分 则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，-----------------3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 ------------------------------4分 至少存在一点c ，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ， 也即cc f c f )()('-= 得证。
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
北京科技大学《高等数学》2012-2013学年第二学期期中试卷A卷
院（系） ________ 班级________ 学号________ 姓名________ 考试教室_______9 、 函数u xy 2z 在点P 1, 1,2处最大方向导数的值为______________________.二、单项选择题10、已知f x , y ex 2 y 4则【 】(B) f x 0,0不存在，f y 0,0 存在说明： 1 、要求正确的写出主要的计算或推倒过程， 过程有错或只写答案者不得分；2 、考场、学院、班级、学号、姓名均需全写，不写全的试卷为废卷；3 、涂改学号以及姓名的试卷为废卷；4 、请在试卷上作答，在其它纸上解答一律无效. 得分4 分，共 24 分）1 、 二次积分dxx e 2dy 的值等于______________.2 、 设 A zi x 2j y 3k ，则A (2,1,3) ________________.3 、 设f x , y 具有一阶连续偏导数，且u f xy , yz ，则du _______________________________.4 、 设有D :x2 y 2a 2 ,则 e x2y 2dxdy _______________________.D5 、 曲面x2 y2z 214在点 1,2,3 的法线方程为________________________________.6 、 设 a i j , b 2j k , 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积为__________________________.7 、 平面x y z 1到两定点A 1,0,1和B 2,0,1 的距离平方之和为最小的点是________________.8 、 设函数f x , y , z x 2 y 2 z 2 ，则gradf 1, 1,2 ___________________________.(C) f x 0,0存在，f y 0,0 不存在 (D) f x 0,0 , f y 0,0都不存在x 2 2zx 2 y 2 dxdydz 的值等于【 】3(A) 1024 (B)1024 (C)73 (D)12 、设f 具有二阶连续偏导数，且u f x y z , xyz ，则 【 】(A) f 1yf 2 xy 2zf 22 y x z f 1(C) xf 2 2xy 3f 1x yf 322 x 2y 2f 1x 1 y 5 z 6 x y 6(A)(B)(C)5(D)14 、设1: x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0,2: x 2 y 2 z 2 R 2 ,x 0,y 0,z 0, 则【 】(A)xdxdydz 4xdxdydz .12(C) zdxdydz 4zdxdydz .12(B)ydxdydz 4ydxdydz . 12(D) xyzdxdydz 4xyzdxdydz .12(D) xf 2 2xy 3f 1xyf 22 x 2y 2f 1y (A) f x 0,0 , f y 0,0都存在(B) yf 1 2xf 1x 3yf 22 x 2y 2f 1x z2u2234836， 11、设 为平面曲线 绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面z 8所围区域，则y 0】13 、设有直线L 1 : , L 2 : ，则两直线的夹角为【1 2 1 2y z 315 、设函数f x , y 连续，(A) dysin xf x , y dx 则二次积分dxs n xf x , y dy 等于【 】 (B) dy arcsin yf x , y dx(C)dyarcsin xf x , y dx216 、设u x , y 具有二阶连续偏导数， 则u 2 x ,2x 【 】 2(A) x 4 (B) x (D) dyarcsinyf x , y dx2x 2 y 24 (C) x5 (D) x 17 、由曲面z 2 x 2 y 2 和曲面z x 2 +y 2 所围成的立体的体积为【 】(A) 2 1. x 1 18 、若两直线 1 (A)1三、解答题4 (B) . y 1 z 122 (B)(C) 2 1. (D) 2 1. 与x 1 y 1 z 相交，则 【 】 5 5(C) (D)19、抛物面z x 2y 2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
07学期大学数学试卷(A卷)(附答案).docx
华南农业大学期末考试试卷A卷评分标准（参考）2007学年第一学期考试科目：大学数学一、选择题：【把所选的代码A、B、C、D之一填入（）内】（每小题3分，共15分）设0=（1,0」）心=（1丄0）心=（220）°4=（2丄1）,则向量组久如心皿共有C ）个极大无关组。
二、填空题：（每小题3分，共15分）6、吧（―畑占=——Q_'-2 4、7、 1 (-1 2)= -1 2<3 > <-3 6>1、函数cos手的-个原函数是（B)°2、3、4、A、7t • 7tX—sin ——B、2 . 7TX—sin ——7t 2C、兀.71X--- sin2设/（兀）在兀。
处可导，则lim /（兀+3山）-/（兀。
）=（△AT OD、）。
A、3/U)B、-3/z(x0)C、在［3 3］上满足拉格朗日定理的条件的是（c、y = ln(x-l)2曲线y = ln（l-x2）在区间（OJ）内A.单调增加XL是凸的B、)°B、D、D、C、单调增加.且是凹的D、y=|3兀|y = x6)o单调减少II是凸的单调减少且是凹的2 • 7TX--- sin —7t 25、X、3 B、4 C、58、设A 是三阶方阵且|內二丄，"是A 对应的伴随矩阵，则行列式1(34)-*-2A*|的值16 2710、函数y = x-ln(l + x)的极小值点为 x 二()三、计算题：(每小题6分，共36分)11、 求极限lim(l + 2x)AoXT Ol+x1 ・解:方法1 lim(l + 2兀)x =lim(l + 2兀尸 ............. 2分X->0XT ()丄2=lim(l + 2x)2工 lim(l + 2x)......................... 4 分 XT OXT O——ln(l+2x) lim —ln(l+2x) lim(l + 2x) x = lime x= e x ^ x x->0x->0其中 lim 出ln(l + 2x) = lim h(1+ 2'V )+limln(l + 2x) = lim二一=2 ......................... 5分 x —>0 兀 XT ()兀 JVT O大一>()]+ 2x1+x所以 lim(l + 2x) A=e 2 ................................ 6分A->012、设sin(x+y-z)二 z + x ,—o ox dy解：方法1 sin(x+y-z) = z + x 两边对兀求偏导，得cos(x+y-z)(l-^) = ^ + l ................................... 2 分ox dx解得主=cos(x+)一 z)-1 ................... 3 分 dx l + cos(x+ y-z)丄丫lim(l + 2x)2x -\=e 2XT O............................ 6分l+x方法2为sin(x+y-z) = z + x两边对y求偏导，得cos(x + y - z)(l -— ............................................. 5 分ay ay解得 3z = cos(x +y-z) ................................ § 分dy l + cos(x+y-z)方法 2 令F(x,y,z) = sin (兀+y_z)_z_兀， .................. 1 分则 F x =cos(x+y-z) — 1, F y =cos(x+y - z), F z =-cos(x+y-z)-l, .............................. 4 分 从而主-坨=cos(Hy-z)-l ......................... 井dx F 二 l + cos(x+y-z)dz F 、, cos(x +y-z) dy F. l + cos(%+y-z)1 0_1 1 ,且E 为三阶单位阵，求（E-AY [O0 31-10 10 014、计算解：令\fx = r,则兀=尸 ................ 2分I e <x dx= I e f 2tdt = 2 f tde 1 ....................................... 4 分 Jo Jo J 013、已知 A= -1 解：・・・(E — AE)~ 1 0-10 10 ................................. 2分0 -2 0 01 "I -11 0 0~0 1-1 1 00 1 -2 -I 0 1"I -1 0 1 0 o -0 1 0 -1 2 -1 _0 0 1 0 1-1-1 0 1 0 o - 0 1 -1 -1 1 01 0 1j0 0 02 — -r0 1 0 -12-i_0 0 11— -i0 (E-A)_, = -1 0 2 -12 -1 1 -11............................... 6分=2 te f15、计算二重积分fJ xydxdy,其中D是由直线y = x与抛物线^ = r所围成的区域。
《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案
《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。
一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分三峡大学试卷 教学班号 序号 班级学号 姓名密 封 线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - 0 a x 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到 所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分。
高等数学A、B(上)A卷参考答案
高等数学A 、B(上)试题A 参考答案与评分标准（20110119）一、单项选择题(每小题3分，共18分)1:A 2: B 3:A 4:A 5: C 6:D 二、填空(每小题2分，共16分)1：4π， 2：153y x =-， 3：1(1)!n -， 4ln(x C -++， 5：()()f x f a -， 6：8π， 7：21ln 2x ， 8：2x cx -+。
三、计算题(每小题7分，共14分)12200ln(1)1/(1)11lim lim (ln(1)1)2limx t t t t t x x t x t e e e e -→+∞→→+-+-+-24571.原式解:====.2. 解1dy dx t==，4分2223(1/)1t d y t dx t'+==-.7分四、计算题(每小题7分，共14分)1.解 0,y x e y y xy ''++=两边对求导：3分 yyy e x'=-+, 5分 .y ydy dx e x=-+7分2.解2222211111ln(1)ln(1)(1)-d ln(1)(1)ln(1)22122-1242x x x x x dx x x x x x x c x x ----+--++-+-⎰⎰212+2原式===五、计算题(每小题7分，共14分) 10101110110111221()[ln(1)]|ln(1)|[1ln 2ln(1)]ln 2111ln(1)ln(1).t t x t dt dt f t dt t e t e t e e e -----+-=+=-+++=-+++++=++=+=⎰⎰⎰11.解原式或=2. 解 ln ln ln 2ln 22ln ln ln ln |,3|().722b b y y by y ba y a aaA e dy e b a V e dy e b a πππ===-===-⎰⎰分分六、计算题(每小题8分，共16分)1.解 特征方程为 21210,1,1r r r -===-， 对应齐次方程通解12x x Y c e c e -=+，4分1λ=是单根，设*()x y x ax b e =+， 1,1a b ==-， 7分(1+1+1)通解 212()x x x y c e c e x x e -=++-。
北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学AI 》期 末 试 题120分钟 满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则 。
2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。
3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。
4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。
5．不定积分⎰dx x arctan= 。
二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6． 若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是 【 】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【 】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是 【 】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是 【 】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
2006高考数学全国卷1
2006高考数学全国卷12006年高考数学全国卷1第一题：已知集合B＝{x｜log(x－2) (以10为底)>log(1－x) (以10为底)}，集合A＝{幸的整数 x｜x一x一=B}，则集合A的元素的个数是______解：将不等式log(x－2) (以10为底)>log(1－x) (以10为底)进行求解，可得到下面的不等式(x－2)(1－x)>1化简化简得x^2–3x+1＞0，x的取值范围是（无穷，（3+√5）2/2）U（（3-√5）2/2，无穷）则A集合中的元素个数是（3+√5）2/2–1 .所以答案是6第二题：若自然数n满足10＜n2–99＜130，则n可能是____(写出所有可能的整数,用逗号隔开)解：10<n^2–99<130 可以化简为对于整数n有7<n<13则n的取值可能是8,9,10,11,12第三题：已知函数f(x)=ln(xy)+2y,其中y＝log10x，x＞1. 则同一平面上面的两条曲线y＝f(x)和y＝f-1(x)的交点个数是____ 解：化简得y=log10(xy)+2log10x=y=(xy)(log10x)+2log10x=y这样可得整理为2log10x=0 and xy-log10x=0可得的交点w为log10x=0那么就是当x＝1将x＝1带入得到y=-1所以还有w这一个交点第四题：曲线C的方程y=f(x) 定义为:1当1＜x≤２时，y=x^2-2x+1,2当２＜x≤３时，y=ax+b3当３＜x时，y=3-x求a和b使上述函数连续.解：首先，根据曲线的第二部分的定义有：4a+b=５(1)由曲线的第一部分的定义有：a(1)^2+b=１(２)将２和３带入(1)中可得到：a(1)^2+b=１，即：a+b=１(３) (３)-(２)得到: a=0, 代入（３）得到由a可得：b=1所以a＝0, b＝1第五题：在平面直角坐标系xOy中，设A（1，0）, B（4，2）是直线y=kx的两个点（k＞0），直线y＝2x－1与x轴交于点C，与 AOC面积为6，则k等于____.解：因为AOC面积为6，即为1/2OC*OA＝6所以CO＝12/OA, CO＝n所以tan(∠COB)=2n－1/2n, 加上∠COB为一直角，tan(∠COB)=2所以 2n－1/2n＝2, 所以2n^2－2n－1＝0,x＝（1+√3）/2。
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高等数学试卷(A）
院(系)班级学号姓名
试卷卷面成绩
占课程考核成绩７0%
平时成绩占３0%
课程考核成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
小计
得分
阅卷
校对
得分
一、填空题（每小题3分，共1５分)
１.设 .
2.已知 ,则全微分 .
３.已知 ,则 .
4. .是求函数 在区间 上的最小值．
根据 ，可得驻点 .（1分)
由实际问题考虑,此函数的最小值存在,且驻点是唯一的.
则当行驶速度为 公里/小时时总费用最省.（1分）
十一．如图:
（3分）
当水面下降高度为h时,
(１分)
由上二式可以解得 （1分)
十二
（1)解：由题设知
上式两边对于 求导得: 。
得 分
二、单项选择题（每小题3分,共1５分）
６．设 在 处连续，则a的值为【】.
(A)0(B)１(C)２(D）
7．在空间直角坐标系下,z轴的对称式方程为【】．
(A） ;（Ｂ） ；
（C) ；（Ｄ) .
8.函数 在点 可导，则 下列结论正确的是【】
（A） (Ｂ) ( C） (Ｄ)0
9.已知函数 具有任意阶导数， 且 ,则当n为大于2的整数时, 的n阶导数 是【】
得 分
十、(５分)已知汽车行驶每小时的耗油费用为 （元),它与行驶速度 （公里／ 小时）的关系为 .若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少?
得 分
十一、（5分)如图:已知半径为 的半球形水池充满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时,水面下降的高度。
（A） (B) （C) （D) 。
1０．设 的导数是 ,则 的一个原函数为【】
(Ａ)１＋ （Ｂ）1－ （C)1＋ (D)1－
得 分
三、(8分)计算
得 分
四、(８分）设 求
得 分
五、(8分）求不定积分
得 分
六、(8分)利用定积分定义计算极限 ）
得 分
七、（8分)求极限
得 分
八、（8分)求定积分
得 分
九、(8分）求极限
三.
=
=
=0（2分）
四、 (5分）
(3分）
五解法1：;
令
（3分) (３分)
= （2分)
解法２:原式= (3分)
（3分）
(2分）
六.I (3分）= （４分)
= (1分)
七．解：原式 (３分)
考虑极限 (3分)
原式 （2分)
八解：设原积分= ，则
设原积分= ,则
（５分）
=5（３分)
九.解:原式=
十解:设汽车行驶了 公里,则耗时 小时．
设 ，得到 ,解之得到 。
由 及 ，得到 ,从而
即 。(２分)
(２)证：当 时, ， 即 单调减少,又 ，所以
。（１分）设 ,则
当 时, ,即 单调增加，因而
，即有 。综上所述得到当 时 (１分）
得 分
十二、（4分)
设函数 在区间 上可导， ,且满足等式
（1） 求导数 ;
（2）证明:当 时，成立不等式 .
A卷
北京科技大学２006—２007学年度第一学期
高等数学试卷（A)题答案及评分标准
(注:此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档）
参考答案
一．填空题
１.
2. .
3．
４.
5．
二．选择题
６.A7.Ｂ8．Ｃ9.A１０．Ｂ