2020年高考考前大冲刺卷文科数学(一)解析

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2020年高考全国卷数学(文科)金榜冲刺卷(一)试题及解析word版

2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （）A ．98B ．158C ．198D ．2786．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )ABC ．D ．7．已知α 为第二象限角，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（） A ．12-B ．13C ．2D ．3-8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．B 1C ．D 112．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是．15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =, 2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.18．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）求点1B 到平面11ACC A 的距离.19．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分.（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率． 20．(12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．(12分）已知()()21x f x ax e x =-+.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0b a <<，则11a b <成立，所以p 是q 的充分条件,若11a b<，则当00b a <<，时成立，不满足0b a <<，所以p 不是q 的必要条件,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】执行如图程序框图：当n=1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,故选C.5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （）A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选C. 6．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )A BC ．D ．【答案】C【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：-+20x y =，圆2240x y +-=的圆心到公共弦的距离为dl 故选C.7．已知α为第二象限角，sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，则：1sin cos 5αα+=，据此有：2222222sincoscos sin 2tantan 111222222,55sin cos tan 1222ααααααααα+--+==++，解得：tan22α=或1tan23α=-，α 为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2.故选C. 8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 【答案】C【解析】试题分析：因为 21e e a +=，2124e e b +-=，所以2212121122()(42)422a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=--⋅+r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，而012121cos602e e e e ⋅==u r u u r u r u u r ，所以2211224224123a b e e e e ⋅=--⋅+=--+=-r r u r u r u u r u u r，而12a e e =+===r u r u u r1242b e e =-+===r u r u u r ，所以与的夹角的余弦值为1cos 2a b a bθ→→⋅===-r r ，所以与的夹角为120o ，故选C ．9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos235cos212cos2222x f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 10．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF【答案】A【解析】由题意：SG FG ⊥，SG EG ⊥，FG EG G =I ，FG EG ⊂，平面EFG ,所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥EF ，由平面图形可知显然不成立；同理 GF ⊥平面 SEF 不正确；故选A.11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．B 1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==.∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=.故选D.12．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42【答案】B【解析】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．【答案】2【解析】因为ln y x x =，所以'ln 1y x =+，所以它在x e =处的切线的斜率ln 12k e =+=.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是．【答案】[2,)+∞【解析】因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立，所以1sin a x ≥，因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<，所以a 的取值范围是[2,)+∞. 15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】(),P a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c =+--，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.【答案】24【解析】学校受到噪音影响。

2020年高考数学(文科)冲刺卷全国卷(一)

绝密★启用前2020年高考数学(文科)冲刺卷全国卷（一）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B ⋂中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5 2.若12i z =+，则4i 1zz =-() A.1 B.-1 C.i D.-i3.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y =B.y =±C.y =D.y =±4.已知3cos sin 8αα⋅=，且ππ42α<<，则cos sin αα-的值是（） A.12- B.12 C.14- D.145.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为()A ．12 B ．13 C ．14 D ．256.已知,,A B C 是圆O 上的三点，若OA OB OC =+，则BAC ∠=()A.60°B.90°C.120°D.150°7.把1x 输入程序框图可得()A.1B.0C.不存在D.18.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为14圆周，则该几何体的体积为()A.16πB.6416π-C.32π643-D.16π643- 9.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是()A.11a b <B.2ab b <C.2ab a -<-D.11a b-<- 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线20bx cy bc -+=相切，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D 3 11.设函数()()()32sin 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，且其图象关于直线0x =对称，则()A ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 12.若函数2()e x f x mx -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为()A.(1,e)B.1(,1)eC.1(,)e +∞D.(e,)+∞13.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________.14.若,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.15.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0n d S ≠，为其前n 项和，若125a a a ，，成等比数列，则8S = .16.已知,,,P A B C 是球O 的球面上的四点，PAPB PC ,,两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为__________. 17.在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=. (1)求sin C 的值；(2)若7a =，求ABC △的面积.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,,222AD BC AB AD AD AB BC ⊥===，PCD △是正三角形，,PC AC E ⊥是PA 的中点.⊥.（1）证明：AC PD（2）求三棱锥P BDE-的体积.19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量频数10(1).根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；(2).若该店这款新面包每日出炉数设定为24个①.求日需求量为18个时的当日利润；②.求这30天的日均利润.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(一)文

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数） ABCD【答案】AA ．2．已知集合{}|02A x x =<<，{}210B x x =->，那么A B =I （）A ．{}|01x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|10x x -<<D ．{}|12x x -<<【答案】B【解析】{}210B x x =->()()=,11,-∞-+∞U ，所以{}|12A B x x =<<I ，故选B ．3．中人民银行发行了2020中国皮(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18m ，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A ．2486π5mmB ．2243π10mm C ．2243π5mm D ．2243π20mm 【答案】B【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为150500，由几何概型概率得落在装饰狗的概率为218π2S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，所以215050018π2S =⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，243π10S ∴=，选B ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，3b =．则ABC S =△（） A ．2 B ．3C ．32D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：13sin 22ABC S ac B ==△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()()2133a f f -≥-，则a 的最大值是（）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()3f -=()3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，则()()2133a f f -≥-()()2133a f f -⇔≥2133a ⇔﹣≤121233a ⇔≤﹣，则有1212a≤﹣，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．已知实数x ，y 满足条件3703130 10x y x y x y +-≥+-≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为2z x y =+，即2y x z =-+，求截距的最小值，过点()2,1C 时，min 5z =，选C ．8．已知函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象经过点()0,1，则函数()f x （）A ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 B ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值 D ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上有最小值【答案】B【解析】由题意，函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到：()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数图象经过点()0,1，所以()01g =，即2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π6k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π0ϕ-<<，所以π6ϕ=-，即()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，即ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，当1k =时，当ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故选B ． 9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100 500300100007x y x y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩+，12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．函数1ex x y +=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为1e x x y +=，所以'e xxy =-，令'0y >，0x <，令'0y <，0x >，令'0y =，0x =，所以在(),0-∞为增函数，在()0,+∞为减函数，且0x =是函数的极大值点，结合4个函数的图象，选C ．11．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为（） A ．2+3π3B ．23π3-C ．()2+3πD ．2+3π3或23π3- 【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R =如图设1OO x =，则2222213x R r =-=-=，圆锥的高23h R x =+=+或23h R x =-=-所以，圆锥的体积为()()223π11π123333V Sh +==⨯⨯⨯+=或()()223π11π123333V Sh -==⨯⨯⨯-=．故选D ．12．已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（）A 62-B 21C 62+D 21【答案】B【解析】()10,1F ，()20,1F -，200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为12y x '=，2000142x x k x +∴==，204x ∴=，2014x =，以1F ，2F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b-=，所以22141a b -=221a b +=，21a ∴=，2121e ∴==-，选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________．【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=，圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯⨯=，故答案为2．15．cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒=︒_____________．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒， 133cos 25sin 25sin 251222cos 252︒-︒+︒==︒，故答案为12．16．设函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．给出以下四个命题：①()21f f=；②()f x 是R 上的偶函数；③若12x x ∀∈R ，，则()()()1212f x x f x f x +≤+；④()f x 是周期函数，且最小正周期是1．请写出所有正确命题的序号__________．【答案】①②④【解析】∵函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．∴()()01ff f ==，①正确；由偶函数定义分x 为整数和非整数可知②正确；取11x =-，20.1x =，则()()1201f x x f +==而()()120f x f x +=，不满足，故③不正确；由周期性定义和图象可得最小正周期是1，故④正确．故答案为：①②④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <．【答案】（1）()*4nn a n =∈N ；（2）见解析．【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则 ()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4nn a n =∈N ．……6分（2）由（1）有22log log 42nn n b a n ===，……7分则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率．参考公式：1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．【答案】（1）8.512.5ˆ5y x =-+；（2）49人；（3）715P =．【解析】（1）由表中数据知，3x =，100y =，……2分∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，……3分ˆ125.ˆ5ay bx =-=，……4分 ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+．……5分（2）由（1）知，令9x =，则8.591ˆ25.549y=-⨯+=人．……7分（3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份的驾驶员编号分別为1b ，2b ．从这6人中任选两人包含以下基本事件()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b ，共15个基本事件；……10分其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，……11分 ∴所求概率为715P =．……12分 19．如图，已知多面体PEABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=︒，求点P 到平面ACE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =，因为DE PA ∥，且12DE PA =，所以OF DE ∥，且OF DE = 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ∥，即BD EF ∥．……2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，……4分因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ，……5分因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）因为60ABC ∠=o ，所以ABC △是等边三角形，所以2AC =．又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．122PAC S PA AC ∴=⨯⨯=△，……7分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高，3EF DO BO ===，11232333E PAC PAC P ACE V V S EF --∴==⨯=⨯⨯=△，……9分 DE PA Q ∥PA ⊥平面ABCD ，DE ∴⊥平面ABCD ，DE AD ∴⊥，DE CD ⊥，1DE =Q ，5AE CE ∴==，1=22=22ACE S ∴⨯⨯△，……10分所以点P 到平面ACE 的距离23331233P ACE ACEV h S -===△．……12分20．设O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为255．直线():0l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，5OM MF +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1P ，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221255x y +=；（2）直线l 过定点()0,2．【解析】（1）设椭圆的右焦点为1F ，则OM 为1AFF △的中位线． ∴112OM AF =，12MF AF =， ∴152AF AF OM MF a ++===，……3分∵255c e a ==，∴25c =，∴5b =， ∴椭圆的方程为：221255x y +=．……5分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22 1255y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=．∴0∆>，1221015kmx x k+=-+，212252515m x x k -=+，……7分 ∴()121222215my y k x x m k +=++=+，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++， ∵()01P ，，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，∴()()()11221212121114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-，，，……8分∴22222252525250151515m k m mk k k--++-+=+++，……10分整理得：23100m m --=，……11分解得：2m =或53m =-（舍去）， ∴直线l 过定点()0,2．……12分 21．已知函数()1e xax f x -=．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值．【答案】（1）(),2-∞递增，在()2,+∞递减；（2）10a -≤<时，()min 1,1f x a =-<-【解析】（1）当1a =x ∈R ，()2exx f x -+∴='，……1分令()0f x '>，解得：2x <；令()0f x '<，解得：2x >；()f x ∴在(),2-∞递增，在()2,+∞递减．……4分（2[]0,1x ∈，令()0f x '=，0a<Q ……5分 ①110a+≤时，即10a -≤<时，()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立， ()f x ∴在[]0,1递增，()()min 01f x f ==-；……8分②当1011a<+<时，即1a <-时，x ，()f x '，()f x 在[]0,1上的情况如下：……11分综上，10a -≤<时，()min 1f x =-，1a <-……12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94．【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 12x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =，综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号．所以m n +的最小值为6．……10分。

2020年高考考前45天大冲刺卷文科数学一 Word版含答案

2020年高考考前45天大冲刺卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|ln(1)}A x y x ==-，2{|4}x B y y -==，则()U A B =I ð（）A ．(1,0)-B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(1,0]-2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（） A ．32-B ．1-C ．32D ．744．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（）A ．43-B ．43C ．34-D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（） A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（）A ．1B ．2CD8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y -+-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 22x ≥的概率为（） A ．13B ．12 C ．23D ．3411．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12||||AF AF =（） A ．13B ．12C ．23D ．312．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A．212a -<<B ．11a -<<C．22a >或22a <D．2222a <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+．（1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由；（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =．（1）求证：AB CG ⊥；（2）若ABC △和梯形BCGF 3G ABE -的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2xy =n ，0⋅=m n ．（1）求证：1214k k ⋅=-；（2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ．（1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，求2222||||||||OP OQ OP OQ ⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数1()||()3f x x a a =-∈R ．（1）当2a =时，解不等式1||()13x f x -+≥；（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】A12．【答案】A第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】314．【答案】201715．【答案】10016．【答案三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．19．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ，由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC I 平面BCGF BC =，平面EFG I 平面BCGF FG =，∴BC FG ∥， ∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥．∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC I 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =，又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3，∴(12)32CG+⋅=23CG =， 11112233ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥．20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠，∵0⋅=m n ，∴121204x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-．（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时，由121214y y x x =-，得221114x y -=，又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114x y +=，∴1||x =，1||2y =，∴1121||||12POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，∴122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+，∵121204x x y y +=，∴1212()()04x xkx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，∴11||||2||122POQS PQ b b ====△， ∴OPQ △的面积S 为定值．21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当a e =时，(1)()()x x xe e f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =，∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )xy f x xe a x x ==-+，即ty e at =-，令()tg t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t ∈R 上有两个零点． ①当0a =时，()tg t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③当0a >时，由()0tg t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点；若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>，由ln x y x=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．22．【答案】（1）2253sin 2ρθ=+；（2）57．【解析】（1）由2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，得曲线C 的普通方程是22215x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=，即2253sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ=+）．（2）因为22255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+，由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，得OP OQ ⊥，设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±，所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 152715==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14[,]23-．【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式1||()3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤，依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故实数a 的取值范围是14[,]23-．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

专题19 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(文)(解析版)

第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2,1,01,2U =--，，{}012A =，，，则U C A =（） A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{}01,2，D ．{}1,2 【答案】B【解析】∵集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A ＝{0，1，2}，∴∁U A ＝{﹣2，﹣1}，故选：B ．2．已知复数z ＝i （2＋3i ）（i 为虚数单位），则1z =( ) A ．32i 1313-+ B ．32i 1313-- C ．32i 1313+ D ．32i 1313- 【答案】B【解析】复数z ＝i （2＋3i ）=2i-3,则1z ()()123322323231313i i i i i +===----+. 故答案为B.3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确；③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确.故选：C .4．溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（）（参考数据：20.3010lg ≈）A ．1.398B ．1.204C ．1.602D ．2.602 【答案】C【解析】依题意()2 2.5100lg 2.510lg lg lg 40100 2.5pH -=-⨯=-==()lg 410lg4lg102lg2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C5．函数()()1ln 1x x e xf x e -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 ()()1ln 1x x e x f x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x x x xe xe xf x f x e e ------===-++, 所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项,故选:B.6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py =集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =，所以抛物线方程24x y =，故焦点坐标是()0,1F .所以容器灶圈应距离集光板顶点1m .故选：B7．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为（）A ．2B ．3C ．214D ．8【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图如图：P ABCD -是长方体的一部分，最长棱长为：22242656214PB =++==．故选：C ．8．已知双曲线C 的实轴长为2，且与椭圆22:1312x y E +=的焦点相同，则双曲线C 的渐近线方程为（）． A ．255y x =± B ．52y x =± C ．24y x =± D ．22y x =±【答案】C【解析】椭圆22:1312x y E +=的焦点坐标为(0,3)-，(0,3)，故3c =，可设双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则2229c a b ==+.双曲线C 的实轴长为2， ∴22a =，可得：1a =∴28b =，∴双曲线C 的标准方程为2218x y -=.令2208xy-=，得2y x=±，故双曲线C的渐近线方程为24y x=±故选：C.9．若等差数列{}n a的前n项和为n S，且130S=，3421a a+=，则7S的值为（）．A．21 B．63 C．13 D．84【答案】B【解析】因为130S=，3421a a+=，所以111313602521a da d+⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d=-，118a=，则7171876(3)632S=⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B．10．如图所示，在梯形ABCD中，2Aπ∠=，//AB CD，2AB=，1CD=，2AD=，E，F分别为边CD，BC的中点，则AE AF⋅=（）A．54B．114C．3 D．4【答案】B【解析】在梯形ABCD中,2Aπ∠=,则可建立以A为原点,,AB AD方向为,x y轴正方向的直角坐标系,如下图所示:由题可得(0,0),(2,0),(0,2),(1,2)A B D C , 因此13(,2),(,1)22E F , 所以13(,2),(,1)22AE AF ==, 所以311244AE AF ⋅=+=, 故选:B.11．关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减其中所有不正确．．．结论的编号是（） A ．①③④B ．②③C ．①④D ．①③【答案】B【解析】 ()2sin sin 2sin cos sin 22222x x x x f x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭. 对于①，因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数()y f x =为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆221x y +=也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为()()()()sin sin f x x x x x f x ππππ+=+-+=---≠，所以函数()y f x =的周期不是π，即②错误；对于③，因为()cos 10f x x '=-≤，所以函数()y f x =单调递减，所以，函数()y f x =在区间(),-∞+∞上至多有1个零点，即③错误；对于④，由③可知，函数()y f x =单调递减，即④正确.综上所述，所有不正确．．．结论的编号是②③. 故选：B.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的分别为a ，b ，c ，且（a +b ）（sinA ﹣sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ，若a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．1B C ．2 D ．【答案】B【解析】由（a +b ）（sinA ﹣sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ，利用正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ，即a 2＝b 2+c 2﹣bc ，所以由余弦定理可得：cosA 222122b c a bc +-==，而A ∈（0，π），所以A 3π=；因为a ＝2，所以可得：4＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ，即bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，取等号，所以S △ABC 12=bcsinA 12≤⨯4=，即△ABC . 故选：B . 第II 卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+，当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大．此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=．故答案为：514．过点()1,2M -且倾斜角为135︒的直线l 与圆228x y +=相交的弦长为__________． 30【解析】因为直线l 过点()1,2M -且倾斜角为135︒,所以直线l 的方程为2(1)y x -=-+,即10x y +-=,又圆228x y +=的圆心为(0,0),半径为2,所以圆心(0,0)到直线l 的距离122d -==所以直线l 与圆228x y +=相交的弦长为2222(22)()302-=, 故答案为:30. 15．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______.【答案】2【解析】∵sin 22cos21αα-=-， ∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：216．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形， 2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为___________.【答案】823π 【解析】根据题意，取AD 中点为F ，连接EF ，取EF 中点为O ，连接PO ，如下所示：因为⊿PAD 为边长为2的等边三角形，故可得PF = 又因为1,2PE EF ==，满足勾股定理，故可得PE PF ⊥，则⊿EPF 为直角三角形，则11122PO EF BD ==<=若要满足题意，只需满足ABCD 在球大圆上时，点P 在球内部即可，此时球半径最小为3.故答案为：3. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0na>，数列{}n S 为等比数列，12346,24S S S S +=+=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2nn S =；（2）13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由数列{}n S 为等比数列234124S S q S S +==+，由0n a >，则0q >，2q，()12116S S S q +=+=，有12S =，则2n n S =.（2）由（1）112a S ==，2n ≥，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则11,1,211,2,2n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当2n ≥时，121121111111......2222n n n T a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113121222212n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=- ⎪⎝⎭-，又11112T a ==符合，所以13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 18.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由. 【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x = 【解析】解：（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =，该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=，则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400.8835.2⨯=（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，E ，F 分别是AC 和AB 上动点，且AE BF =.（Ⅰ）若E 与C 重合，求证：11B E C F ⊥；（Ⅱ）若1AE EC ==，求点1B 到平面1A EF 的距离. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43【解析】（Ⅰ）证明：当E 与C 重合时，∵AE BF =， ∴F 与A 重合，要证11B E C F ⊥，即要证11B C C A ⊥.∵90BAC ∠=︒，∴11190B AC ∠=︒，即1111B A AC ⊥，又111B A A A ⊥，1111A A AC A ⋂=，∴11B A ⊥平面11A ACC ，∴111B A AC ⊥，又正方形11A ACC 中，11C A A C ⊥，1111A CA B A =，∴1C A ⊥平面11A B C ，∴11C A B C ⊥，即11B E C F ⊥；（Ⅱ）∵1A A ⊥平面ABC ，∴1190A AE A AF ∠=∠=︒，∵1AE EC ==，∴12A A =，∴11A E A F ==，在Rt EAF 中，EF =∴11322A FE S ==△，1112222A B F S =⨯⨯=△，设点1B 到平面1A EF 的距离为h ，由1111B A EF E A B F V V --=，得1111133A EF A B F h S EA S ⋅⋅=⋅⋅△△，1EA =， ∴43h =，即点1B 到平面1A EF 的距离为43.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32)【解析】（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②，由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩，122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++，∴Q (2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得Q (1，32)或(﹣1，32).21．已知函数()()sin f x ax x a R =-∈. （1）当12a =时，求函数()f x 在区间[]0,π上的最值；（2）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）函数()f x 的最大值为2π，函数()f x的最小值为6π-（2）1a ≥或1a ≤-；（3）1. 【解析】（1）当12a =时，()()1sin 2f x x x a R =-∈，()1cos 2f x x '=-，显然02>，则函数()f x 的最大值为()2f ππ=，函数()f x 的最小值为36f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）当函数()f x 在R 上单调递增时，当且仅当()0f x '≥，即()cos 0x a x f '=-≥恒成立，得1a ≥；当函数()f x 在R 上单调递减时，当且仅当()0f x '≤，即()cos 0x a x f '=-≤恒成立，得1a ≤-；综上，若函数()f x 在R 上是单调函数，实数a 的取值范围为1a ≥或1a ≤-；（3）()cos f x a x =-'，且()00f =，当0a ≤时，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上()cos 0f x a x '=-<，得()0f x <；当1a ≥时，在区间()0,∞+上()cos 0x a x f '=-≥，得()0f x >恒成立；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0f x a x '=-=成立，同时在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减，()00f =，所以()f x 在区间()00,x 上小于零.综上，不等式()0f x >在区间()0,∞+恒成立时，1a ≥. a ∴的最小值为1.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x +=又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ，则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以263ππθ+=，或2263ππθ+=，即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-；当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<；当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”，原不等式得证.。

专题10 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(文)(解析版)

第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}{0,1,2A =，集合{}1,1B =-，则A B =I （） A ．{}1,1- B ．{}1 C ．}{1,0,1,2-D ．{}1,01-，【答案】B 【解析】由题意{1}A B ⋂=．故选：B ．2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为,对应点为，在第四象限，选D.3．已知 1.22,a =0.21,2b -⎛⎫= ⎪⎝⎭5log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】由题, 55log 2log 51c =<=,且0.20.2212b -⎛⎫= ⎪=⎝⎭, 1.20.202212a >>==.故1c b a <<<. 故选：C4．随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：•/kW h公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日5000 0.125 3802020年1月2日5100 0.126 246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程=剩余电量剩余续航里程平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.6【答案】D【解析】由题意可知：51000.12650000.12517.6⨯-⨯=故该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计值大于12.6.故选：D.5．函数3cos1()xf xx+=的部分图象大致是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】根函数()f x是奇函数，排除D，根据x 取非常小的正实数时()0f x >，排除B ，x π=是满足310cosx +<的一个值，故排除C ，故选：A ．6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( ) A ．531B ．1031C ．9D ．10【答案】B 【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ，首项为1a ，前n 项和为n S ，由题意可得5152(1)51q a q S q =⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得12531q a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以第二天织的布为211031a a q ==. 故选B 7．若1tan 3tan αα+=，则cos4α=（） A ．79-B ．19- C ．79D ．19【答案】D 【解析】因为1sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2ααααααα+=+==，所以2sin 23α=，所以21cos 412sin 29αα=-=.故选：D8．设非零向量a r ，b r 满足3a b =v v，1cos ,3a b =r r ，()16a a b ⋅-=r r r ，则b =v （）ABC ．2 D【答案】A 【解析】||3||a b =r rQ ，1cos ,3a b 〈〉=r r .2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==r r r r r r r r r ，||2b ∴=r.故选：A9．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内应填（）A ．4?K …B ．5?K …C ．6?K …D ．7?K …【答案】C 【解析】当1k =，1s =进入循环，第一次循环后，2k =．4120s =≠，第二次循环后，3k =．11120s =≠，第三次循环后，4k =．26120s =≠，第四次循环后，5k =．57120s =≠，第五次循环后，6k =．120s =，满足条件，应跳出循环，故判断框内应填写“6k ≥？”．故选：C ．10．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210＞，＞0-=y x a b a b上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】双曲线22221(0y x a b a b-=＞，＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22可得：22222222c a bca b c a b -=⎧=+=+⎩，解得a ＝1，c ＝3，b ＝2，所以双曲线的离心率为：e ca==3．故选：B ．11．若ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=A ．10B ．8C ．7D ．4【答案】B 【解析】()()11sin 22sin C A B sin A C -==+,即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab+-+-⋅=⋅，即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==⨯=，则228c a -=，故选B.12．已知圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）A ．2 B．32C ．7 D ．27【答案】D 【解析】如图,因为,PA PB 与圆C 相切,故,ACAP BC BP ⊥⊥.故ACP BCP ≅V V ,故,AC BC ACP BCP =∠=∠ .所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值, cos ACACP PC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB 取最小值.此时()2202132211PC --==+-.223214122AP ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故142722sin 23322AB AC ACP =⋅∠=⨯=.故选：D第II 卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若曲线f （x ）＝e x cos x ﹣mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为34π，则实数m ＝_____．【答案】2 【解析】f ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）﹣m ．∴3'0114f m tan π=-==-（）． ∴m ＝2．故答案为：214．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________．【答案】115 【解析】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1,故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115. 故答案为:115.15．已知函数()cos 2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.【答案】14【解析】由题意2()cos2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++，令sin x t =，则[1,1]t ∈-，则2219()21248f x t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，故14t =时，即11sin 4x =时，()f x 取得最大值； 1t =-时，即2sin 1x =-时，()f x 取得最小值，此时()2322k k Z x ππ=+∈，∴()12111cos co 3s sin 422x x x k x ππ+⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.故答案为：14. 16．已知球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，ABC V 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC -的体积的最大值为______．【答案】3 【解析】由题意画出几何体的图形如图，∵平面SAB ⊥平面ABC ，∴点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H 为AB 中点时，SH 最大，棱锥S ABC -的体积最大．ABC ∆Q 是边长为2的正三角形，∴球的半径2233r OC CH ==．在RT SHO ∆中，1122OH OC OS ==30HSO ∴∠=︒，求得cos301SH OS =︒=，∴体积21133213343V Sh ==⨯⨯⨯=．故答案为：33．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含男生55人，求n 的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++【答案】(1) 100n =；(2) 有把握；(3) 169. 【解析】（1）由题意得551000550n =，解得100n =．（2）22⨯列联表为：选择“物理” 选择“地理” 总计男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计7030100()22100452025108.1289 6.63555457030K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关18．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的、，都有．（Ⅰ）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（Ⅱ）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由对任意的、，都有，取，，得，而，．当时，，当时该式成立，，即，可得数列为公差为，首项为的等差数列；（Ⅱ）证明：由，可得，即有，，两式相减可得，化简可得，由为自然数，可得，则．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE .（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED ∆面积的最小值是4时，求此时点E 到底面ABCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（222. 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥. ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥.又PA AC A =I ，∴BD ⊥平面P AC . 又BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面P AC .（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面P AC ，OE ⊂平面P AC . ∴BD OE ⊥.∵8BD =，由()min 142BDE S BD OE ∆=⋅⋅=，得min ()1OE =. ∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值1.此时22223122CE OC OE =-=-=作EH PA ∥交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由223OE CEEHOC⋅==，得点E到底面ABCD的距离223EH=.（1）（2）20．已知函数.（1）若在，上有唯一极大值点，求实数a的取值范围；（2）若，且，证明．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）已知.当时，，在上单调递增，此时在上，不存在极大值点；当时，，在单调递减，又，，故存在唯一使得，单调递增，，单调递减.此时，是函数的唯一极大值点.综上可得；（2）依题..在单调递增，.欲证，等价证，等价证，等价证.令，，，故时，单调递增，单调递增，，得证.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于,M N 两点，且1,MN O =为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点,若OA OB ⊥.①求221m k +的值；②求AOB ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）①45，②45. 【解析】(1) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>33c e a ==，根据椭圆的通径长为221b a= ，结合椭圆中222a b c =+ ，可解得2,1,3a b c ===，故椭圆C 的方程为 2214x y +=.（2）①已知直线AB 的方程为y kx m =+ , 设 ()()1122,,,A x y B x y与椭圆方程联立有2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y,得()222148440k x kmx m +++-= , 所以2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++ ，因OA OB ⊥ ,所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，即()()22121210k x x mk x x m ++++= ，所以 ()2222222448101414m k m km k k-+⋅-+=++ .整理得()22541m k =+ , 所以22m +1k 的值为45②设直线OA 的斜率为0k .当00k ≠时,则的方程OA 为0y k x =,OB 的方程为01y x k =- ，联立02214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2120220120414414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩,同理可求得22022022204444k x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩, 故△AOB的面积为12S x x == .令201(1)k t t+=>，则S == 令()()2299112549124g t t t t t ⎛⎫=-++=--+> ⎪⎝⎭,所以()2544g t <≤ .所以415S ≤< ，当00k =时,可求得S=1,故415S ≤≤,故S 的最小值为45（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若射线m 的极坐标方程为()03πθρ=≥.设m 与C 相交于点M ，m 与L 相交于点N ，求MN.【答案】（1）2219y x +=；60x y +-=（2）6MN =【解析】（1）已知曲线C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.消去参数α，得2219y x +=，所以曲线C 的普通方程为2219y x +=.直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=.转换为直角坐标方程为60x y +-=.（2）曲线C 的极坐标方程为2222sin cos 19ρθρθ+=.将()03πθρ=≥代入2222sin cos 19ρθρθ+=，解得1ρ，将()03πθρ=≥代入sin cos 6ρθρθ+=，解得26ρ=.故126MN ρρ=-=.23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-.（1）若3a <，且不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值；（2）如果对任意x ∈R ，()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】(1) 1a =-；(2) 7a ≥或1a ≤- 【解析】 (1)若3a <，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，因为不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以当72x =时，()2345f x x a a =--=-=，解得：1a =-；(2)①当3a <时，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：1a ≤-；②当3a =时，()|||3|2|3|f x x a x x =-+-=-，则()f x 的最小值为0，不符合条件，舍去； ③当3a >时，()()()23,()33,323,3x a x a f x x a x a x a x a x ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥，解得：7a ≥，综上：a 的取值范围7a ≥或1a ≤-。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学冲刺试题参考答案(新课标全国1卷)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺试题参考答案文科数学（新课标全国Ⅰ卷）一、选择题1～5 CADCB 6～10 DCAAB 11～12 BD二、填空题13、40x y -+= 14、1611 15、10 16、316 三、解答题 17、解：（I ）法1：由正弦定理得33sin sin 77c C B b ===又,,,02ABC b c C B C π∆>∴<∴<<Q 在中23cos 1sin 177C C ∴=-=-=()()cos cos cos BAC B C B C π∴∠=--=-+(cos cos sin sin )B C B C =-- 14772217323=⨯-⨯= 法2：在ABC ∆中,由余弦定理得ABC BC AB BC AB AC ∠⋅-+=cos 22222174222a a ∴=+-⨯⨯⨯ ()()310a a ∴-+= 解得3a =(1a =-已舍去）AC AB BC AC AB BAC ⋅-+=∠∴2cos 222147722974=⨯⨯-+= （II ）法1：()AC AB AD +=21Θ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+=∴AC AB AC AB AC AB AD 241412222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯++=1477227441413=213=∴AD 法2：在ABC ∆中,由余弦定理得BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222 914772274=⨯⨯⨯-+= 3=∴BC 23=∴BD 在ABD ∆中,由余弦定理得 ABD BD AB BD AB AD ∠⋅⋅-+=cos 22224132********=⨯⨯⨯-+= 213=∴AD 法3：设E 为AC 的中点,连结DE ，则 1AB 21E ==D ， 721AC 21AE == 在ADE ∆中,由余弦定理得AED DE AE DE AE AD ∠⋅⋅-+=cos 22224131471272147=⨯⨯⨯++= 213=∴AD 18、解：（Ⅰ）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数为55（分钟）．使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）．（Ⅰ）（Ⅰ）使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%.故可认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%. （Ⅰ）使用B 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数： 150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<，所以选B 款订餐软件．注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分。

2020年高考全国统一考试文科数学冲刺试卷及答案解析(一)

绝密★启用前2020年晋通爲等学校招生全国统一考试文科数学冲剌试卷（•）<⅛ «：120分钟满分J50分〉注•事项：1•齐总前・彭生务必将白己的址名、号生巧等填丐亦签题卡和试卷指定位置h.2.冋答迭择国时•透出毎小题答案后•用锻笔把答題卡上对应題日的答案标号漆黒•如盂改动•用濛皮≡T⅛>G∙再述徐其他答案採号• I 叫答作选择題时•将衿案书在答迪卡上•丐住本试左上无效.3号诫结車后•将本试住和存并交何•一、迭择題：本題共12小題，毎小題5分•共60分.在每小題饴出的四个迭项中•只有一项是符合题目姜求的.文集合 Λ=u ∈N ∣ -3<j <l∏B={y ∣ v=r ÷1}∙则人∏<C B B) =()A∙ {2∙3} B{0}C. {0.1}D∙ {—2«— 1*0∙1}2.设复数H=冷.则"1 =()■ /H √26A2 " 2，C. √T3D. √263.如图所示.AAB 「中∙D∙E 分别是线段BC.AB 的中点•则我4•为了研究OO 后求职H 寸考虑的要素•研究人员随机抽取了一定数量的00后求职者逬行调杳•所得情况统计如F 图所示•则下文科数学冲剌试卷（一）第1页（共6趺尸A. -2 D⅛--∣-BΓ C.-1 I>Γ--J-TfCB∙ -2 Df ⅛ ^hCD.-3 Df--I-W②公诵風利Mlne4）聲朋体亀ΦbArtr*A.参与JHI充的求馭希总人数町旄为3000H.接受调代的()0话求职者中•选择“棒陪体条”的人数最名C. 接受凋杳的00肓求职幷中•选择-公司福利-的人数最少D. 接受崗査的00后求职旨中•选抒“薪酬休系“的人数可能比选择"培Ull机遇”的多400人5. 已知长方体ABCD-A I B I C I D l的8个顶点都生圆柱Oo r的底面関周上•若Λ(1-5√2.AA1-6.则関柱的体积为( )Λ,63κB,42π C. 21π D. 8心6. 若函象/(χ) = e,j,÷(2M-l)s in x + m<√ + l>为训诵数•则曲线^≡∕(χ)在点(1.∕(∣))处的切线方程为( ) A∙ y= <e+ I)X B. y=(e+ 1 )χ-(e+1)C∙ >∙=ex÷e D. βy=e-r-e7. F图中小正方形的边氏为1・祖实线f⅛岀的是茱圄柱的三视图・侧柱表⅛i卜的点M在的觇图卜的对应点为A •側件表面上的点N在止觇图和俯視圏丄的对应点分别为B.B∖MΨ点B为劣弧&两数Λx>= Asin(2x+y) + 4Λ<)上单调递减•A∙叶考] B∙>f-T]C.[一节・—OD. [γ.y]9.已知椭圆G斗十*≡≡i(α>Q0)的左.右焦点分别为F1.F1. U b第一象限的点M住椭圆「匕•若ZAfFJ)= vZ-WOF1 = 15*.WffJsIC的离心半为( )A 普Kf C,√3-l n.⅛l10•已知长方体ABCD-A1B1C1D1中JB = 4∙BC=3∙若険长方休的表面积为66.W直线Br l与平面ACC I A I所成角的正切值为( )文科敦学冲则试卷(一》第2页(Jt 5页)11.已知角α*的顶点为坠标贩点•始边与*轴的非负半轴∙R 介.A(IMhn).B(∕r,∕n ＞分别是角α*终边上的点•找中mn≠Q.若 LL^±J, W z 2尸 ()Sin a嗨＜f+ 4才二＞_少的取值范国为 A.「― 1・—卜 C.(-2∙-l)D.(-2∙-l]二、填空題：本題共4小题，毎小題3分，共20分. 13. IOgI 16+ log 23 I IOgI 144— ______ .=—2a yP6∙2^÷y>0.W z ≈2χ-y 的用大值为J -Λ≤δ∙15•已知BI 「过点<0.0)U6∙-8>∙(6∙0)>iilft 点的直线 /与BIC交TM. V 曲点•若IMNl=√Σ∙则直仪I 的方程为 ____________ 16. MH 为J 响应国凉勺出•实现全Ir 脱贫”・且委决定开发H 城旅游业•首先计划修建一条从县城到达诫区的公路.已知且城与槓区通路的中段有一座高山，需婆條涌一圣陡酒A/人为ΓMy^∣α AD 的艮度，现在平面ABCD 中测鈕相应数!《•其中 A D - 5 √3 . B(-10.C 7＞- 8. «ij AI)^ ______ . 三、解答題：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步费.第17-21題为必考题，每个试JS 考生都必须作答.第22、23雄为选考题•考生根据更求作答. 17. (*小题满分12分〉记許序为2的数列｛α.｝的炳R 项和为S.. U 2S, = S rψl -2.tt 列他｝满足⅛≡⅛・(I )证阴，数列｛“.｝为零比数列：(Il ＞记数列的前"项和为丁.•若丁.玄20,求实数入的取值范围.)2co^ B=戸丐YX 「若/(3x+ 1 )＞∕(x) •则实数.r 2・才＜ —2∙18. 《本小题满分12分）已知WfeBS-ABCO 中•底rti AHCI）是菱形.ZAHC=120∖ SA = SD=2・点V足:线段人D的中点・IL SD丄BN•点G亦线段SC上.（I ［求证：SB丄ADI< U）若NSAD=60°.点Vf是线段B（、上靠近「的四等分点• 平而DGM丄T tf∏ ABCD•求二棱傩D-CMG的体积.19. （本小题满分12分）为了比较传统新旳粗食〃的产Ift是杏有力別，研左人员在若ΓH±地上分别种植/传统粮食α与新型粮食$,并收坐统计了&的山产址•所得数据如卜图所示・U知传统粗生α 的产量约为760公斤/亩.< 1）求新型粮伏0的由产Ja在［785.805）的槪率，<∏〉通过计算比较传统報食α与新型粮食0的平均亩产昴间的大小关系$（IIl）现按分整抽样的方法，在种植新熨粮食3的由产貳介于［785.805）的上地中抽取6山••再庄这6应土地中随机抽収2 亩研究粮食的生产是否受到上壤的影响•求抽到的2亩上地新加粮您0的商产就都在IX间［785.795）卜的御率.广20. (本小题満分12分〉巳知抛物线C s√=2^(p>0)的焦点F到准线的/的距离为2•点M,N是抛物线C上的点•且MFN三点共线.(I〉若IMNl = I2・求直线MN的方程；(Il)直线Z l山分别是抛物线C在M・N处的切线，且直线Z I, I Z交点为A.求证:AF丄MF.21. (本小題满分12分)已知西数/(x) = γ —W -J?"----- c∣j∙.(I)若α = 2∙求函数/(工)的单凋区间；(H)若关于的不等式2/(工)+αj^ + (∙τ' +J^)1Π J∙+A≥O恒成立•求证：36—6α÷5≥0.22∙（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程平面直角坐标系χθy中•直线/的参数方程为J r=^Z为j=√6∕.参数）•以坐标原点为极点・才轴的正半轴为极轴建立极坐标系•曲线「的极坐标方程财7严=Sin 0.（I）求曲线（、的参数方程和直线/的极坐标方程：（II）若在线加的极坐标方程为O = ^（Pe R）・设曲线C与直线/的交点为o、M•曲线C与直线加的交点为O、N•求△OMN的面枳.23.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数/（x） = ∣mx+11 + |工一加I +fc r∙（I）若加=2・求不等式/（j-）≥8的僧集：< U）若m>0.关于工的不等A∕<∙r）≥^∙÷2在R上恒成立，求实数加的取值范围•2020佯普通盛等学校招生全国统一考试文科数学模拟试卷(•)C rM βτl（fttt G .Λ-1 .f e NI -J<./ < O-<<∣∙1.2.3hB -<v∣v-2,÷∏-{v∣ y> H •期£』一Iyl τ≤ 门•故4D （CHB）=I-SSWlIN XJ-√÷ S •扳一；G \・衬味Ih 爲⅛I ÷∖ fi ∣∈H.⅛徐ΛJ3.⅛ 2 I •本B中給易由于翼砒・J E、哺* "•府W的花》⅛-<-2.-k<l.l.?.：<! .⅛>⅞S⅛ W 人靑今力斤/令对氏念•块冷约泾耳• h 5祈5*卸— g m誥占i';二'7 JiT二宁故ld = 74'-ς-⅛p^-■Aii6 B.【知识惟摆】I=I整卡友红乂的馍龙•乂一个X⅛⅛j4iφ→ ^=u-∕d<u∙∕÷R?. tfi∣√l= √u r^Λr. «什•建叹為屮冷R1 -20 口旳竹・4方抚巧穴卜比・；・「【命St聿绍】金騎人罟务t ⅛⅛⅛⅛4∙岌我的走令・A 【解IfiI^ADtfi中点M i^r⅛∙∣∙⅛ X .ji⅛ ΓA∕.Λ∕.∖. 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百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(一)数学(文)试题(PDF版,含解析)

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