四面体外接球半径问题

正四面体的外接球半径的求法

正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保留下来的旋转体，此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。现把求四面体外接球的半径的几种方法总结如下，本人认为很有代表意义，希望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图：已知正四面体A BCD -，H 为底面的中心，O 为外接球的球心，设棱长为a ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，试求R.

方法一：易知R+r=AH=63a ，由等积法得： A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++ 所以：

11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34

R AH = 所以 64

R a =.

方法二：如图AHM BNM ∆≅∆所

HM ON AM OA =，即13r R =,又由6a 可得 64R a =

.

方法三：

如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64

R a =. 方法四：如图正四面体可补成一个边长为22

a 的正方体，显然正方体的外接球即为正四面体的外接球，而23(

)22a R =故可得64R a =.

小结：此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋，对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。

任意四面体外接球的半径计算公式