四面体外接球半径问题

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正四面体外接球半径和高的关系

正四面体外接球半径和高的关系

正四面体外接球半径和高的关系
正四面体是一个特殊的三维几何形体,它有四个面,每个面都
是一个等边三角形。

外接球是指可以完全包围这个四面体的球,而
外接球的半径和四面体的高之间存在着一定的关系。

首先,让我们来看一下正四面体的性质。

正四面体的高是从其
中一个顶点到对立面(底面)的垂直距离,也就是说,从顶点垂直
向底面作垂线,垂线的长度就是正四面体的高。

外接球的半径和正四面体的高之间的关系可以通过以下步骤来
推导。

首先,我们知道正四面体的高可以通过它的边长来表示。


正四面体的边长为 a,那么它的高可以表示为(a√6)/3。

接下来,我们来求外接球的半径。

设外接球的半径为 R。

根据
正四面体的性质,外接球的半径 R 和正四面体的边长 a 之间存在
着以下关系,R = (a√6)/4。

因此,我们可以得出正四面体外接球半径和高的关系为,外接
球的半径 R 等于正四面体的高乘以√6再除以4,即R = (h√6)/4,其中 h 表示正四面体的高。

综上所述,正四面体外接球的半径和高之间的关系可以用公式R = (h√6)/4 来表示,其中 R 表示外接球的半径,h 表示正四面体的高。

这个公式可以帮助我们在已知正四面体高的情况下求得外接球的半径,或者在已知外接球半径的情况下求得正四面体的高。

四面体外接球的球心、半径求法之欧阳地创编

四面体外接球的球心、半径求法之欧阳地创编

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】:在四面体ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,61,,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。

解:所以:四面体外接球的直径为AE 的长即:22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC ,求球O 的体积。

解:BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为: 在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ,在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===,即O 为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量A CP知识求解【例题】:已知在三棱锥BCD A -中,ABC AD 面⊥,︒=∠120BAC ,2===AC AD AB=距离公222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=)(R 【结论】:空间两点间距离公式:221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点, 根据勾股定理知,假设正四面体的边长为 a 时,它的外接球半径为
6 a。 4
2
所以知 AC 2 PA 2 PC 2 所以可得图形为:
在 RtABC 中斜边为 AC 在 RtPAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O , 在 RtABC 中 OA OB OC 在 RtPAC 中 OP OB OC 所以在几何体中 OP OB OC OA ,即 O 为该四面体的外接球的球心
z
解:由已知建立空间直角坐标系
A(0, 0, 0) B (2, 0, 0) D(0, 0, 2)
A
C
由平面知识得
C (1,3, 0)
y
B
x
设 球 心 坐 标 为 O( x, y, z ) 则 AO BO CO DO , 由 空 间 两 点 间 距 离 公 式 知
x 2 y 2 z 2 ( x 2) 2 y 2 z 2
一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】 :长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b, c ,则体对角线长为
l a 2 b 2 c 2 ,几何体的外接球直径 2 R 为体对角线长 l 即 R
a2 b2 c2 2
二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】 :直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
R 1 AC 5 2
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解
【例题】 :已知在三棱锥 A BCD 中, AD 面ABC , BAC 120ห้องสมุดไป่ตู้,

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法【作者简介】张秀洲(1987.06),江苏滨海人,毕业于湖南师范大学,中学数学一级教师,省先进工作者,州、县优秀班主任,州先进个人,县优秀教师,县优秀教育工作者,县教师培训师团队成员,县“国培计划”(A307)指导教师,吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。

2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号,2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球。

如果一个球与多面体的各面都相切,且此球在多面体的内部,则称这个球为此多面体的内切球。

有关多面体外接球与内切球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点。

研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法:正四面体是特殊的正三棱锥,所有的棱长都相等,四个面是全等的等边三角形,有外接球、内切球,且球心重合.分析:如图1,因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B,C,D的距离相等,所以O在平面BCD内的射影O1到点B,C,D的距离也相等.又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形,所以O1是△BCD的中心,进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD,所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上.图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等,所以,由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等,所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心.这样,正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合.已知正四面体ABCD棱长为a,设外接球半径为R,内切球半径为r,球心为O ,则正四面体的高h即34R h =即14r h =.外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用不同方法进行探求:方法一:(勾股定理)如图2,因为在正四面体ABCD 中,△BCD 是正三角形,O 1是其中心,所以O 1D. 因为OO 1⊥平面BCD ,O 1D ⊂平面BCD , 所以OO 1⊥O 1D .所以,在Rt △OO 1D 中,由勾股定理,得22211OD OO O D =+,即222R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得R =,所以r R =-.. 知识联系:正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合,半径之比为1:2;正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合,半径之比1:3.方法二:(三角正切倍角公式)如图3,因为在正四面体ABCD 中,△BCD 是正三角形,O 1是其中心,所以OO 1⊥平面BCD ,O 1D,高1h AO =. 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆中,11tan DO AO θ===2222tan 2tan 21tan 1θθθ∴===--⎝⎭在1Rt ODO ∆中,113tan 2DO OO r θ====r ∴=,R h r =-==. 图2图3. 方法三:(平行线法)如图4,连接DO 并延长交平面ABC 于点G ,则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ,则A ,G ,E 三点共线,113EO EGED EA==; 再连接1GO ,则1GO ∥AD ,从而有1113O O O G EG AO AD EA ===,所以134AO AO =,1114OO AO ==.. 方法四:(分割体积法)如图5,记正四面体ABCD 的体积为V ,每个面的面积为S ,高为h ,内切球球心为O ,连结OA ,OB ,OC ,OD ,则O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++,所以11433Sh Sr =⋅,从而13,.44r h R h ====. 【方法拓展延伸】1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3Vr S=; 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .方法五:(补形法)以正四面体的各棱为正方体的面对角线,将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球,所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.设正方体的棱长为x,则2R =且a ,所以R =,从而13r R =.. 【方法拓展延伸】1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径为R =. 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则图4图5图6PO =22212a b c ++. 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则PO =2222()2x y z ++.方法六:(相交弦定理)设外接球球心为O ,半径为R ,过A 点作球的直径,交底面BCD ∆于1O ,则1O 为BCD ∆的外心,求得1163,,33AO a DO a == 由相交弦定理得2663(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =. 666633412r a R a a a ∴=-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a . 方法七:(坐标法)如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333(0,0,),(0,,0),(,,0),(,,0)332626a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ,则由OA OB OC OD R ====,得2222OA OB OC OD ===,即22222222222263()()333()()263()()26x y z a x y a z ax y a z ax y a z ++-=+++=-+-+=++-+解得60,.12x y z a ===所以66,.124r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a . 方法八:(相似法)(侧棱、高相似)如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心,⊥∆高163h AO a ==,设O 为球心,则1.O AO ∈设M 是AB 的中点,连结OM ,OB ,BO 1,AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=,又1MAO O AB ∠=∠,AMO ∴∆∽1AO B ∆, 1AM AO AO AB ∴=,即2,63aRa a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-=方法九:(相似法)(斜高、高相似)如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心,⊥∆高163h AO a ==,设O 为球心,则1.O AO ∈设E 为BC 中点,连结AE ,EO 1,作ON AE ⊥于N 点,则N 是ABC ∆中心,N 是AE 的三等分点, ON ABC ON r 平面,是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆1AN AO AO AE ∴=, 即336332aR a a =,6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论,从而从不同方面对思维作了训练,不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识,同时对解题能力的提高是有帮助的.。

四面体外接球半径公式

四面体外接球半径公式

四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式是一种计算四面体外接球半径的公式,它可以用来判断四面体外接球的大小。

四面体外接球半径公式的数学表达式为: R = 3V/S,其中R为四面体外接球的半径,V为四面体的体积,S为四面体的表面积。

四面体外接球半径公式的求解过程如下:
1)首先计算四面体的体积V和表面积S,可以使用体积公式V = (abh)/6,其中a,b,h分别为四面体的三个边,而表面积S可以使用表面积公式S = ab + bc + ca,其中a,b,c为四面体的三个边。

2)计算完体积V和表面积S之后,可以使用四面体外接球半径公式R = 3V/S,将体积V和表面积S代入公式,便可计算出四面体外接球的半径R。

以上就是四面体外接球半径公式的求解过程。

四面体外接球半径公式可以帮助我们计算出四面体外接球的大小,是一种非常方便、有效的计算方法。

四面体外接球的大小是用来描述不同形状物体的一种统计量,它可以用来进行物体尺寸的比较,也可以用来分析几何图形的几何特性。

因此,四面体外接球半径公式是一种实用性很强的数学工具,可以
帮助我们计算出四面体外接球的大小,为我们的几何学研究提供了有效的帮助。

正四面体外接球内切球半径

正四面体外接球内切球半径

解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体,其四个面都是等边三角形,相互之间都是等角的。

正四面体有个很有意思的性质,就是它的外接球和内切球的半径是相等的。

这个性质可以通过以下步骤进行证明:首先,我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。

我们可以画出如下的图形:正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。

正四面体外接球的圆心为O,内切球的圆心为I。

现在我们来证明r=R。

步骤1:连接OI,这条线段的长度为r+R。

步骤2:连接AB、AC、AD、BC、BD、CD,将正四面体分成四个小正三角形。

步骤3:我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等,设为S。

步骤4:我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。

AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5:再通过余弦定理求出角AOI的大小。

cos(AOI)=(OI²+AO²-AI²)/(2×OI×AO)=(r+R)/(2r)步骤6:由于AOI是一个等腰三角形,所以角OAI也等于角OIA。

因此,我们可以用余弦定理求出AI的长度。

cos(OAI)=(OI²+AI²-OA²)/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7:我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。

BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8:根据勾股定理,我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角〞结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,那么体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】:在四面体ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,61,,假设该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的外表积。

解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以:四面体外接球的直径为AE 的长 即:22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的外表积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC ,求球O 的体积。

解:BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为: 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ,在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===,即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

AC三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解【例题】:在三棱锥BCD A -中,ABC AD 面⊥,︒=∠120BAC ,2===AC AD AB ,求该棱锥的外接球半径。

解:由建立空间直角坐标系)000(,,A )002(,,B )200(,,D )031(,,-C设球心坐标为),,(z y x O 那么AO =距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=)(R 【结论】:空间两点间距离公式:221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“切〞“外接〞问题与球有关的组合体问题,一种是切,一种是外接。

正四面体外接球半径公式

正四面体外接球半径公式

一.正四面体外接球半径公式是什么?
答:R=(√6)a/4。

a为正四面体的棱长。

设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E 为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=(√3)a/2,AE=2/3*AD=(√3)a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。

在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得:R=(√6)a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。

利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*(R+r)=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=(√6)a/4。

扩展资料:
正四面体的性质:
1、正四面体的四个旁切球半径均相等,等于内切球半径的2倍,或等于四面体高线的一半。

2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心,或内心,或垂心,或重心,除外心外,其逆命题均成立。

3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和,小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。

4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。

5、对于四个相异的平行平面,总存住一个正四面体,其顶点分别在这四个平面上。

正四面体的外接球半径的求法

正四面体的外接球半径的求法

正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体,而球又是高中教材中唯一保
留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。

现把求四
面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义,希
望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图:已知正四面体A BCD -,H 为底面的中心,O 为外接球的球
心,设棱长为a,外接球半径为R,内切球半径为r,试求R .
方法一:易知R+r=AH=63a ,由等积法得: A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++
所以:
11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34
R AH = 所以 64
R a =.
方法二:如图AHM BNM ∆≅∆所
HM ON AM OA =,即13r R
=,又由R6可得 64R a =.
方法三:
如图设延长AH交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形AB K中由
射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64
R a =. 方法四:如图正四面体可补成一个边长为
22a 的正方体,显然正方体的外接球即为正四面体的外接球,而23()22a R =故可得64
R a =.
小结:此四种方法立体交叉,思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的
空间想象能力以及综合解题能很有帮助。

四面体外接球地球心、半径求法

四面体外接球地球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】:在四面体ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,61,,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。

解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以:四面体外接球的直径为AE 的长 即:22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC ,求球O 的体积。

解:BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为: 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ,在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===,即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解【例题】:已知在三棱锥BCD A -中,ABC AD 面⊥,︒=∠120BAC ,2===AC AD AB ,求该棱锥的外接球半径。

解:由已知建立空间直角坐标系)000(,,A )002(,,B )200(,,D )031(,,-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=)(R 【结论】:空间两点间距离公式:221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。

四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。

本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。

解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。

解:且,,,,因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。

作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少?分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。

任意四面体的外接球的半径

任意四面体的外接球的半径

任意四面体的外接球的半径
四面体的外接球是指四面体外围环绕着一个球体,有许多应用,如几何拓扑研究、动力学模拟、机器人抓取操作、空间定位、机械零件设计等,都需要外接球的半径。

外接球的半径的计算,基于四面体的正三角形布局,一般采用球内接四边形的大小作为四面体外接球的半径。

对于四面体,我们常用的是等边三角形,也就是球体内接正四边形,我们就可以简单计算该球体的半径。

首先,四面体的三个顶点都在球体表面上,而角b、c可以由角a推出来,具体表达式如下:
b = 2*cos(a/2)
因为在球内接正四边形abcd中,a、b、c和d都是90°,任意一条边ab=r,这时候可以求出四条边的长度,即:
b=r,
e=2*cos(a/2)*sin(a/2)*r,
而球内接正四边形的半周长P=a+b+c+d,由此可以求出球的半径r=P/2π,因此,任意四面体的外接球的半径为:r=a+2*sin(a/2)+2*cos(a/2)+2*cos(a/2)*sin(a/2)/2π,其中a表示任意四面体中两个边中夹角的所有可能性。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

For personal use only in study and research; not forcommercial use四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】:在四面体ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,61,,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。

解:因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以:四面体外接球的直径为AE 的长即:22224AD AC AB R ++= 1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC ,求球O 的体积。

解:BC AB ⊥且7=PA ,5=PB ,51=PC ,10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += A CD B E所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为:在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ,在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===,即O 为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

正四面体外接球半径公式推导过程

正四面体外接球半径公式推导过程

正四面体的外接球半径R=(1/2)a√6,其中a是正四面体的棱长。

下面是详细的推导过程:
1. 构造辅助线:首先,在一个正四面体中,我们画出它的外接球,并标出棱长为a。

接着,在其中一个面上画高AD,并在高上取点E,使得AE=2DE。

点E是底面等边三角形ABC 的中心,也是底面外接圆的圆心。

2. 利用直角三角形:连接PE,由于点E是等边三角形的中心,因此线段PE垂直于底面ABC。

此时,我们可以利用直角三角形AEP和直角三角形DEP来求解外接球的半径。

在直角三角形AEP中,我们有AE=DE=(根号3/2)a,而在直角三角形DEP中,我们有DP=(根号6/4)a。

因为PE是两个直角三角形共用的边,所以它的长度可以通过勾股定理求得,即PE=(根号6/4)a。

3. 应用勾股定理:由于正四面体外接球的球心O到顶点P和底面中心E的距离相等,即有OO'=PE,而OO'同时等于外接球的半径R。

因此,我们可以得出R=(根号6/4)a。

这里,OO'是球心到底面中心的连线,而PE是前面得到的直角三角形中的边。

四面体外接球半径的常规求法

四面体外接球半径的常规求法

教学参谋解法探究2018年9月四面体外接球半径的常规求法⑩湖北省武汉市第四十三中学卢伟近几年来,随着三视图的引人,使得立体几何客观 题的考查形式趋于多样化,这其中表现突出的就是四面 体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分 析,归纳,并得出结论,以期能够对这一类问题有一个较 为广泛的认识.(以下例题均只求取四面体外接球的半 径")一、定义法球心到球面上各点的距离相等,即为半径.下面通过对两大类型的分析,从而确定相关特征的 四面体外接球球心的位置.第一类型:“垂直+条件”型(有一条侧棱与底面垂直的四面体)例i在四面体中,丄平面&'(,"&'(为 边长是3的正三角形,且&4)6,求".解析:首先找到的外心G,作OG丄面&'(,且使得〇*)丄$4,则满足条件的02即为该四面体外接球的球心,再取$4的中点,,连接0,,如图1所示,经计算知")2#3.小结:这里不妨设A')-,4S).,V3 4例2在四面体中,S4丄平酿'(,&'丄B(,S()2,求".解析:如图2,易证'(丄邠,由直角三角形斜边的中线等于斜边 '图2的一半知SC的中点0即为球心,故 w")i.(事实上,这里与例i的解题思想是一致的y 例3在四面体中,S4丄平面4'(,120",4')4()4S)2,求".$S去.在双曲线^#02)1中,过右焦点(左焦点对称可得) a1〇的两条垂直相交弦4'与C1,有如下结论:结论4:当(.222-a2)(.2-a222)>0时,|其中2=^ —&=la2-.2l■2a.22-a222)<0时,=la2-.2l2a.2结论5 :当(.222-a2)(. 2-a222)>0时,当(.222-a2)(. 2-a222)<0 时,114'卜1(11丨>-$^.la2- .2l结论6:若4'与(1的中点分别记为,,7,则直线,7结论7:丄+丄=丄.l4'l l(1l2p结论 8:l4'l+l(1l'8p.结论9:若4'与C1的中点分别记为,,7,则直线,7恒过定点|%,0&.五、结语限于篇幅,上述对双曲线与抛物线的证明过程都没 有给出来,感兴趣的读者可以验证一下.至此,我们感叹 于圆锥曲线内部的和谐与统一,同时也激起我们对未知 领域的向往.我们相信如果能够把这样的一种追求与探 索的情感融入到平时的教学中去,感染学生,使之成为 他们学习与成长中的一道风景,帮助学生领悟数学的魅 力所在.l4'l+ l(1l 当(222-a2l4'l l(1l恒过定点(%2,0).在抛物线02=29中,过焦点的两条垂直相交弦4'与 (1,有如下结论:参考文献:1.钟长彬,杨苍洲,圆锥曲线两垂直焦点弦的一组 结论[J].中学数学研究,2014(6).|!94十•?•!{:,■?高中2018年9月解法探究解析:根据例1的作图,结合正弦定理知,2!= —isin 30o !!=2,其中!为外接圆的半径,则可知&=#T .小结:这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体 外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道,关键 是先找到底面A #$C 的外心,这里是分别以特殊三角形 (等边三角形,直角三角形h 与一般三角形(利用正弦定 理)为背景,寻找突破口,则可以得到这类问题的统一计算公式这里底面三角形的外接圆半径,*为垂线段#+的长)第二类型:“等腰+条件”型(定义一类特殊的四面体---等腰四面体:三条侧棱相等的四面体)例4已知在四面体+-#$%", ++#)+$)+%)2,$ $#%)30。

正四面体的外接球和内切球

正四面体的外接球和内切球

解题小结: (1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22. (2) 注意扩大与扩大到的区别.
(3) 解这类问题的关键:找到变化前后 半径的大小关系.
例3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2,3, 6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,求这个 球的表面积。
例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面 积分别为49πcm² 和400πcm² ,求球的表面积。 若将“球心同侧”这个条件去掉,又如何?
·
M

D
2 在RtBOO1中,由O1B2 BO2 OO 得 1
2
C
2 2 3 2 R ( R) , 解得R , 所以S球 4 R2 3 . 3 2 3
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ,四个顶点在同 一球面上,则此球的表面积( )
A 3л
B 4л
C 3 3
D1 A1
解:作出过一条侧棱PC和高 PO的截面,则截面三角形PDC 的边PD是斜高,DC是斜高的射 影,球被截成的大圆与DP、DC
P
相切,连结EO,设球半径为r,
由 Rt PEO ∽ Rt PO1D
r PO 6 , 得r , DO1 PD 2
E A D B O C O1
故S球 4 r 6
A D
E
O C O1 B
所以PO1 4r
6 易求PO1 2 6, 所以r . 2
B 4л
C 3 3
D 6л
A●
解:设四面体为ABCD,O1 为其外接 球心。球半径为R,O为A在平面BCD上 的射影,M为CD的中点。 连结B O1
2 2 3 6 BO BM ( BC ) . 3 3 2 3 2 2 2 所以AO AB BO , 3

正四面体边长与外接球半径的关系

正四面体边长与外接球半径的关系

正四面体边长与外接球半径的关系好呀,今天咱们来聊聊正四面体、边长和外接球半径之间的关系。

你知道吗,正四面体就是那种每个面都是等边三角形的立体,听起来是不是有点拗口?其实它长得就像一个小金字塔,底下三角形,上面再一个三角形。

这玩意儿可不仅仅是个模型,还是个有趣的数学家伙,跟我们生活中不少东西都有联系。

先说说边长吧。

正四面体的每一条边都是一样长的,想象一下,如果你用一根小棍子把四个角连起来,那每根棍子都要一样长,才能形成那个完美的形状。

边长大概有多重要呢?就像你盖房子,砖头都得大小一样,才能不歪不斜。

越长的边,四面体的体积也会随之变大。

就好像你在厨房里,做一个大蛋糕,材料越多,蛋糕越大,越诱人,哈哈!再来说说外接球。

这个概念乍一听有点晦涩,别担心,简单说就是一个球,把正四面体包得严严实实。

你可以想象成正四面体被一层软绵绵的棉花包裹着,那球的半径就是从中心到正四面体某个顶点的距离。

听起来是不是有点好玩?正四面体外接球的半径其实跟边长有很大关系,边长长,外接球半径自然也跟着大。

就像你吃冰淇淋,球越大,吃起来就越爽。

公式是怎样的呢?不想让你感到无聊,简单说一下吧。

外接球半径 R 是边长 a 的某个倍数,具体公式就是R = a / √2。

你看,这样一来,边长越长,R 自然也就越大。

就像你买衣服,尺码越大,穿起来就越舒服,哈哈。

你也许会问,为什么会是这个样子?这背后其实是有几何关系在作怪,正四面体的几何特性让它的外接球半径跟边长之间形成了这样的比例关系。

咱们不妨想象一下,正四面体就像个神秘的小宇宙,边长和外接球半径就像宇宙中的星星。

它们彼此关联,却又各自独立。

边长是基础,外接球半径是结果,二者就像锅里的米和水,水多了米就会变软,米少了水就会泛滥,这就是生活的奥妙。

数学不止于此。

这玩意儿在设计和工程中可是有着广泛的应用哦。

建筑师们常常会用正四面体的形状来设计一些独特的建筑,想想那些现代感十足的博物馆或者展览馆,正四面体的灵感随处可见。

外接球半径二级结论

外接球半径二级结论

外接球半径二级结论
外接球是指一个四面体的四个顶点恰好在一个球面上,这个球
称为外接球。

外接球的半径可以通过四面体的体积和三条棱长来计算。

根据二级结论,外接球的半径R可以通过以下公式计算,R = (abc) / (4V),其中a,b,c分别为四面体的三条棱长,V为四面
体的体积。

另外,外接球的半径也可以通过四面体的各个面的面积来计算。

具体而言,如果四面体的各个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,那
么外接球的半径R可以通过以下公式计算,R = (S1 S2 S3
S4)^(1/2) / (8V),其中V为四面体的体积。

从几何角度来看,外接球的半径也可以被视为四面体各个顶点
到外接球球心的距离。

在实际问题中,计算外接球的半径可以帮助
我们理解四面体的几何特性,以及在工程、建筑等领域中的应用。

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正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体,而球又是高中教材中唯一保留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。

现把求四面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义,希望它对高三备考的师生能有启发作用。

如右图:已知正四面体A BCD -,H 为底面的中心,O 为外接球的球心,设棱长为a ,外接球半径为R ,内切球半径为r ,试求R.
方法一:易知R+r=AH=63a ,由等积法得: A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++ 所以:
11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34
R AH = 所以 64
R a =.
方法二:如图AHM BNM ∆≅∆所
HM ON AM OA =,即13r R =,又由6a 可得 64R a =
.
方法三:
如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64
R a =. 方法四:如图正四面体可补成一个边长为22
a 的正方体,显然正方体的外接球即为正四面体的外接球,而23(
)22a R =故可得64R a =.
小结:此四种方法立体交叉,思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的空间想象能力以及综合解题能很有帮助。

任意四面体外接球的半径计算公式。

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