河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析

河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可. 详解：设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．Q 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.2．若二次函数2f x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数2f x ax bx c （）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002ba b a＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b Q （），'=+∴选项A 符合， 故选：A ．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．3．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).4．设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()xF x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-=)A ．12-B ．32C ．72D ．112【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论．()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，即()15f -=， 则()()1111112522F f --=-+=+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．5．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k +1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k +1代入等式，然后把n=k +1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k +1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 6．若是离散型随机变量，，且，已知，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论． 【详解】 ∵∴∴或（舍）∴故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.7．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A ．27B 22C 32D ．427【答案】C 【解析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出1F AB ∆的面积S ，利用椭圆的定义求出三角形的周长c ，代入内切圆半径2Sr c=，从而可得结果. 详解：椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，则2F 的坐标为()1,0，过2F 且斜率为1的直线为1y x =-，即1x y =+，代入22143x y +=，得27690y y +-=，则2126479122y y +⨯⨯-==，1F AB ∆的周长48c a ==，故1F AB ∆的内切圆半径27S r c ==，故选C. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 8．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!m nn C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++=D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.9．已知向量()a 1,2=v ，()b x,2=-v ，且a b ⊥v v ，则a b +v v 等于（ ）．A B ．5C ．D【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=r r ，求得x ，及向量b r 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运由a b ⊥v v ，可得0a b ⋅=r r ，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b v v + ()5,0=，得a b +v v =5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+v v，二是利用性质2a a =v v，结合向量数量积求解.10．已知正实数a 、b 、c 满足log 22a =，311og 3b =，6192c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】计算出a b 、的值，然后考虑666a b c 、、的大小. 【详解】因为1263192,3,2a b c ===，所以666198,9,2a b c ===，则a b c <<，故选：A. 【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【分析】由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项A ，B 显然正确； 对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题12．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示经计算得回归直线方程的斜率为-3.2，若存放温度为6℃，则这种细胞存活的预报值为_____%． 【答案】34 【解析】分析：根据表格中数据求出,x y ，代入公式求得a 的值，从而得到回归直线方程，将6x =代入回归方程即可得到结果.由表中数据可得1,50x y ==， 代入归直线方程可得53.2a =，所以回归方程为3,253.ˆ2yx =-+ 当6x =时，可得 3.2653.4ˆ23y=-⨯+=，故答案为34. 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bx a =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.14．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ___ 【答案】1 【解析】 【分析】画出图形，根据M 到直线1AF ，2AF 的距离相等得到M A 为12F AF ∠的平分线，然后根据角平分线的性质得到11222AF F M AF MF ==，再根据双曲线的定义可求得1AF ．【详解】由题意得()()122,0,2,0F F -，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，∴1228242,23333F M MF =+==-=． 画出图形如图所示，12,MP AF MQ AF ⊥⊥，垂足分别为,P Q ， 由题意得MP MQ =，∴M A 为12F AF ∠的平分线， ∴11222AF F M AF MF ==，即122AF AF =．又122AF AF -=， ∴124,2AF AF ==． 故答案为1． 【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题． 15．在极坐标系中A(2,)3π-，2B(4,)3π两点间的距离______. 【答案】6 【解析】 【分析】求出BOA ∠的大小，得出A,O,B 三点共线，即可求解. 【详解】设极点为O ，由题意可知2=33BOA πππ∠+= 即A,O,B 三点在一条直线上 所以246AB OA OB =+=+= 【点睛】本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标(,)ρθ 的含义，属于基础题. 16．若()2~5,N ξσ，且(45)0.25P ξ<<=，(67)0.15P ξ<<=，则(3)P ξ<=_______.【答案】0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()34670.15P P ξξ<<=<<=，可求出()35P ξ<<的值，再利用()()30.535P P ξξ<=-<<可得出答案．【详解】 由于()2~5,N ξσ，由正态密度曲线的对称性可得()()34670.15P P ξξ<<=<<=，因此，()()30.5350.50.40.1P P ξξ<=-<<=-=，故答案为0.1． 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键就是充分利用正态密度曲线的对称性，利用已知区间上的概率来进行计算，考查计算能力，属于中等题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x =R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值. 【答案】（1）(],4-∞-（2）922【解析】 【分析】（1）由定义域为R ，只需求解231x x ---的最小值，即可得实数m 的取值范围； （2）根据（1）求得实数t 的值，利用基本不等式即可求解最小值． 【详解】（1）Q 函数()f x =的定义域为R .∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++ 222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=，当且仅当22222123a b c +=+=+=，即219a =，216b =，213c =时等号成立，本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.18．为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表【答案】（1）有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据以上统计数据填写22⨯列联表,根据列联表计算2K的观测值k,对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列,求期望即可.（1）补充的22⨯列联表如下表：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()24094161125152020k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，()3113150C P X C == 1653345591==， ()211143151C C P X C == 2204445591==， ()121143152C C P X C == 66455=， ()3P X == 343154455C C =，所以X 的分布列为012391914554555EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列与期望问题， 是中档题 ． 19．已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。