2020高考数学必胜秘诀(十二)高考数学填空题的解题策略
2020版高考数学填空题解题技巧
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2 特殊值法
当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示结果是 一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊 角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结 论．为保证结果的正确性，一般应多取几个特例．
例4 (2017北京)能够说明“设 a ， b ， c 是任意实数．若 a b c ，则 a + b c ”是假命题 的一组整数 a ， b ， c 的值依次为________．
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1 直接法
直接求解型试题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算得出正确论．解 决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算 过程．解题过程中要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．
例 1 (2019 年全国Ⅱ卷)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时， f (x) = −eax ．
由①+②得， f (x + 3) = − f (x) ，所以 f (x + 6) = f ((x + 3) + 3) = − f (x + 3) = f (x) ，即
f (x) 是以6为周期的周期函数，于是 f (2018) = f (336 6 + 2) = f (2) = − 1 ． 4
例6 在△ ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若a、b、c 成等差数列，则
若 f (ln 2) = 8 ，则 a = _____．
【解析】当 x 0 时，−x 0 ， f (−x) = −e−ax ．因为函数 f (x) 为奇函数，所以当 x 0 时，
f (x) = − f (−x) = e−ax ，所以 f (ln 2) = e−aln2 = (1)a = 8 ，所以 a = −3 ． 2
2020年高考数学复习：五种策略搞定填空题
五种策略搞定填空题[题型解读] 填空题是高考三大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查.该题型的基本特点：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题.方法一 直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.例1 (2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________.点评 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.变式训练1 已知直线x ＝a (0<a <π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若|MN |＝15，则线段MN 中点的纵坐标为________.方法二 特殊值法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替，即可得到结论.例2 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.点评 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.变式训练2 (2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形.例3 (2015·苏州模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，函数g (x )＝f (x )－ax 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是__________. 点评 数形结合在解答填空题中的应用，就是利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.变式训练3 若不等式4x －x 2>(a －1)x 的解集为A ，且A ⊆{x |0<x <2}，则实数a 的取值范围是________. 方法四 构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.例4 如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.点评 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决. 变式训练4 若a ＝ln12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为__________________________. 方法五 估算法当题目中的条件有时不能很好地进行转化，或者条件中涉及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时往往采用估算法来解决.例5 已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围是________.点评 在填空题中，运用估算法，不像选择题有选项为依据，必须在特定条件下才可适用，必须注意估算的可行性及代表性.变式训练5 不等式1＋lg x >1－lg x 的解集为________.高考题型精练1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.2.(2015·青岛模拟)对于函数f (x )，在使f (x )≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数f (x )的“下确界”，则函数f (x )＝x 2＋1(x ＋1)2的下确界为______.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________.4.(2014·福建)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________.5.(2015·徐州模拟)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________.6.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 7.设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 8.定义区间[x 1，x 2] (x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________.9.已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x ≤12，0≤y ≤23的概率是________.10.已知实数x ，y 满足(x －3)2＋y 2＝3，则yx －1的最大值是________. 11.(2015·淮北模拟)求值：cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)＝________.12.(2015·杭州模拟)已知实数x ，y 满足(3x ＋y )5＋x 5＋4x ＋y ＝0，则4x ＋y ＝________. 13.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)14.已知0<x <y <1，m ＝log 2x ＋log 2y ，则m 的取值范围是__________. 15.已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称.其中真命题是________.16.(2015·安徽)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号). ①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.17.e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________. 18.已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －a 2n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝________. 20.(2015·石家庄模拟)在△ABC 中，∠B ＝π3，O 为△ABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且OP →＝xOA →＋yOC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为______.答案精析第2讲 五种策略搞定填空题典例剖析 例1 1解析 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1. 变式训练1710解析 由题意，知M (a ，sin a )，N (a ，cos a )， 则MN 的中点为P (a ，12(sin a ＋cos a )).而|MN |＝|sin a －cos a |＝15.①设sin a ＋cos a ＝t ，② ①②两式分别平方，相加， 得2＝125＋t 2，解得t ＝±75.又0<a <π2，所以t ＝sin a ＋cos a >0，故t 取75.所以线段MN 中点的纵坐标为12×75＝710.故填710.例2 2解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有λ＝μ＝1， 所以1λ＋1μ＝2.变式训练2323 解析 方法一 △ABC 为等边三角形时满足条件， 则S △ABC ＝332.方法二 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.例3 ⎣⎡⎭⎫ln 33，1e解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1,3]，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ln 1x ＝－ln x ，∴12f (x )＝－ln x ，∴f (x )＝－2ln x ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，f (x )＝－2ln x .∵函数g (x )的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数f (x )的图象与y ＝ax 有3个不同的交点，函数f (x )的图象如图所示，直线y ＝ax 与y ＝ln x 相切是一个边界情况，直线y ＝ax 过(3，ln 3)时是一个边界情况，符合题意的直线需要在这2条直线之间，∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，∴切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，与y ＝ax 相同，即a ＝1e ，当y ＝ax 过点(3，ln 3)时，a ＝ln 33.综上可得：ln 33≤a <1e .变式训练3 [2，＋∞)解析 在同一坐标系中作出函数y ＝4x －x 2和函数y ＝(a －1)x 的图象(如图)，由图可知斜率a －1≥1，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是[2，＋∞). 例46π解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62， 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.变式训练4 a >b >c解析 令f (x )＝ln x －x (0<x <1)，则f ′(x )＝1x －1，∵0<x <1，∴f ′(x )>0，∴f (x )为增函数. 又12 014>12 015>12 016，∴a >b >c . 例5 (23，1)解析 当P 点在G 点位置时，λ＝μ＝13，所以λ＋μ＝23，当P 点位于B 点位置时λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1， 当P 点位于C 点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1， 综上，λ＋μ的取值范围为(23，1).变式训练5 (1，＋∞)解析 先求x 的取值范围得x ≥110，若x >1则1＋lg x >1,1－lg x <1不等式成立.若110≤x ≤1， 则1＋lg x ≤1－lg x ，原不等式不成立.故正确答案为x >1. 高考题型精练 1.18解析 把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 2.12解析 f (x )＝x 2＋1(x ＋1)2＝x 2＋1x 2＋1＋2x ≥x 2＋12(x 2＋1)＝12，当且仅当x ＝1时取“＝”.故函数f (x )＝x 2＋1(x ＋1)2的下确界为12.3.45解析 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45，故填45.4.6解析 由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数：(1)若①正确，即a ＝1，则②，③，④都错误，即b ＝1，c ≠2，d ＝4.其中a ＝1与b ＝1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即b ≠1，则①，③，④都错误，即a ≠1，c ≠2，d ＝4，则当b ＝2时，有a ＝3，c ＝1；当b ＝3时，有a ＝2，c ＝1，此时有2种有序数组.(3)若③正确，即c ＝2，则①，②，④都错误，即a ≠1，b ＝1，d ＝4，则a ＝3，即此种情况有1种有序数组.(4)若④正确，即d ≠4，则①，②，③都错误，即a ≠1，b ＝1，c ≠2，则当d ＝2时，有a ＝3，c ＝4或a ＝4，c ＝3，有2种有序数组；当d ＝3时，有c ＝4，a ＝2，仅1种有序数组. 综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组. 5.[－1，＋∞)解析 函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞).6.1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 7.－105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. 8.3解析 如图，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)＝2，(b －a )max＝4－14＝154，(b －a )min ＝1－14＝34，则154－34＝3.9.13解析 由平面向量基本定理及点P 为ABCD 内部或边界上任意一点，可知0≤x ≤1且0≤y ≤1，又满足条件的x ，y 满足0≤x ≤12，0≤y ≤23，所以P (A )＝23×121×1＝13.10.3解析 数形结合法，yx －1可看作是过点P (x ，y )与M (1,0)的直线的斜率，其中点P 在圆(x －3)2＋y 2＝3上，如图，当直线处于图中切线位置时，即直线y ＝k (x －1)，斜率yx －1的最大值为 3. 11.32解析 特殊值法.题目中“求值”二字提供了这样信息，答案为一定值，于是不妨令α＝0°，得结果为32. 12.0解析 构造法.构造函数f (t )＝t 5＋t ，则已知变为(3x ＋y )5＋3x ＋y ＝－(x 5＋x )，即f (3x ＋y )＝－f (x )，根据函数f (t )是奇函数且单调递增可得f (3x ＋y )＝f (－x )，于是3x ＋y ＝－x ，即4x ＋y ＝0.13.DM ⊥PC解析 易得BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC 时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .14.m <0解析 由0<x <y <1，得0<xy <1，故m ＝log 2x ＋log 2y ＝log 2xy <log 21＝0.15.③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时， f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题； 因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题. 16.①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤. 17.e 416<e 525<e 636解析 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 18.94解析 C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22， 故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝d －r ＝d －2＝ 2.曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1，得x ＝12， 曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ，2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2，得a ＝94或a ＝－74(舍去). 19.1 275解析 ∵a n ＝n －a 2n ，a n ＝a 2n ＋1－1，∴a 2n ＋1＋a 2n ＝n ＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋...＋a 99＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋...＋(a 98＋a 99)＝1＋2＋3＋ (50)50×(1＋50)2＝1 275.20.[1,2]解析 如图所示建立直角坐标系，设圆O 的半径为1， ∵∠B ＝π3，∴A (－32，－12)，C (32，－12).设P (cos θ，sin θ)，则θ∈[7π6，11π6]，∵sin θ＝－x ＋y2，∴x ＋y ＝－2sin θ∈[1,2].。
高考数学填空题答题技巧高考数学怎么得高分
⾼考数学填空题答题技巧⾼考数学怎么得⾼分提⾼⾼考数学成绩，不仅要在平时学习上好好努⼒，还要掌握⼀些答题⽅法，下⾯⼩编整理了⼀些⾼考数学答题技巧，供⼤家参考！⾼考数学填空题四⼤解题技巧⼀、直接法这是解填空题的基本⽅法，它是直接从题设条件出发、利⽤定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
它是解填空题的最基本、最常⽤的⽅法。
使⽤直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应⽤解⽅程和解不等式的⽅法，⾃觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
⼆、特殊化法当填空题的结论唯⼀或题设条件中提供的信息暗⽰答案是⼀个定值时，⽽已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取⼀些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊⾓，图形特殊位置，特殊点，特殊⽅程，特殊模型等）进⾏处理，从⽽得出探求的结论。
这样可⼤⼤地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法"数缺形时少直观，形缺数时难⼊微。
"数学中⼤量数的问题后⾯都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。
我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭⽰出来，以达到"形帮数"的⽬的；同时我们⼜要运⽤数的规律、数值的计算，来寻找处理形的⽅法，来达到"数促形"的⽬的。
对于⼀些含有⼏何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法通过"化复杂为简单、化陌⽣为熟悉",将问题等价地转化成便于解决的问题，从⽽得出正确的结果。
⾼考数学解题怎么得⾼分圆锥曲线题圆锥曲线中最后题往往联⽴起来很复杂导致算不出，这时你可以取特殊值法强⾏算出过程就是先联⽴，后算代尔塔，⽤下韦达定理。
⾼考数学必考题型之空间⼏何，证明过程中有⼀步实在想不出把没⽤过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第⼀题真⼼不会做直接写结论成⽴则第⼆题可以直接⽤!⽤常规法的考⽣建议先随便建⽴个空间坐标系，如果做错了，⾄少还可以得⼏分，这是⼀个投机取巧的技巧，但好⽐过⼀分不得!⼩编推荐：怎样让数学成绩提⾼空间⼏何题空间⼏何证明过程中有⼀步实在想不出把没⽤过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
高考数学填空题答题套路和技巧
高考数学填空题答题套路和技巧考试答题，对分数影响最为关键的就是答案的正确性。
下面是为大家整理的高考数学填空题答题套路和技巧相关内容，以供参考，一起来看看！高考数学填空题答题套路和技巧1、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
2、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
3、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
4、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
5、图像法借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。
文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。
6、构造法在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。
高考数学答题规范1、答题工具答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。
禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。
必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
2、答题规则与程序①先填空题，再做解答题；②先填涂再解答；③先易后难。
3、答题位置按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。
4、解题过程及书写格式要求关于填空题，常见的错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰、字符书写不规范或不正确、分式写法不规范、通项和函数表达式书写不规范、函数解析式书写正确但不注明定义域、要求结果写成集合的不用集合表示、集合的对象属性描述不准确。
高考数学选择填空秒杀技巧
高考数学选择填空秒杀技巧
高考数学选择填空秒杀技巧是指在考试中快速做出选择填空题的方法和技巧,下面是一些可能有用的技巧:
1. 熟悉常见题型:高考数学选择填空题常见的题型有算术题、代数题、几何题等,要熟悉各种类型的题目,并掌握解题方法。
2. 抓住重点和难点:高考数学选择填空题通常会集中在一些重点和难点问题上,因此要重点复习和练习这些知识点。
3. 建立信心和耐心:高考数学考试是一个高水平的竞争,需要考生具备信心和耐心。
在考试前要保持良好的身心状态。
4. 多练习:练习是提高数学选择填空题目能力的关键,通过练习可以熟悉各种类型的题目,掌握解题方法,增强解题能力。
5. 做好时间规划:在考试中,要做好时间规划,合理分配时间,避免因时间不足而失分。
6. 细心和认真:高考数学选择填空题需要考生具备细心和认真的态度,要注意细节和特殊情况,避免遗漏问题。
需要强调的是,高考数学选择填空题的解题能力是需要长期积累和提高的,不能通过短期的技巧和练习就能取得显著进步。
要认真对待高考数学考试,充分准备,不断提高自己的能力。
高考数学中的填空题解题技巧
高考数学中的填空题解题技巧高中生们，你们好！今天我们将会谈论高考数学部分中的填空题，这是学生在高考数学中必定要迈过的里程碑。
填空题看似简单，但是它考验学生严密的思维和深厚的数学基础。
所以我们需要精密的技巧来解答这些题目。
一、技巧1：不忽略任何已知条件解决填空题需要仔细观察题目，对于任何一个给出的条件都不容忽视。
这可以将题目的复杂程度降低很多，通过对所有已知条件的详细考察，我们可以发现问题的关键点和解决方案。
这些关键点和解决方案让我们在填写答案时隐藏它们，并将它们自然地融入答案之中。
因此，需要读.清楚题目，注意一步步推进，确定性质。
二、技巧2：使用多种方法来解决问题在解决填空题时，还应该计算比较多的策略来找到题目的解决方案。
1.利用代数运算求解通过代数的方法解决问题常常是最常见的。
首先根据已知量列出等式，然后解方程，慢慢逼近答案。
2.依据对称性解题对于存在对称性的填空题，如果我们根据对称性的特点将题目中的某些数值互相替换，那么产生的等式将变得更加简单和方便。
这种方法相对简单，但也要看具体情况是否适用。
3.深入分析求解有时候，也有一些需要更认真深入思考的填空题。
这种类型的问题通常有轻微的规律可循，需要认真分析。
我们可以借助一些分析工具来深入分析题目，找到其中隐藏的规律或者性质，从而得到解决方案。
三、技巧3:注意陷阱题的存在好的填空题就像一道迷题，学生需要认真解答每一个小题，但是常常会在不经意间掉进陷阱之中。
灵活运用自己的思维，辨别陷阱，才可以顺利地解决填空题。
在高考数学中，老师也经常用到填空题来考察学生的识别陷阱和找出解决方案的能力。
四、技巧4:多训练，勤练习最后，作为考生，需要认真训练并多做习题来提高解题水平。
多解决各种难度级别的空缺题，熟悉不同题型，这样在考试中就可以毫不费力地应对各种填空题。
结语：在高考数学中，填空题是非常重要的一部分，所以需要同学们认真对待，从各方面加强理解和训练。
如果同学们能够熟练掌握填空题的解题技巧，并且多训练，那么在高考数学中取得好成绩并不是一个难题。
高考数学填空题解题方法与策略
高考数学填空题解题方法与策略高考数学填空题解题方法一、解填空题的常用方法和技巧1.直接推理法：直接法是从题设条件出发，通过计算、分析推理得出正确结论的方法. 解题过程中要注意优化思路、少算多思，尽量减少运算步骤，合理跳步，小题小（巧）做，以节约时间.例2：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员、与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱文员，则不同的选法共有_____(用数字作答). 解法1：分四类：①选甲不选乙有112322CC A ⋅⋅=12种；②选乙不选甲，同上有12种；③甲乙都选上有2123AC ⋅=6种；④甲乙二人都不选有33A =6种. 共有选法12+12+6+6=36种.解法2：从反面考虑，共有32542AA -=36种.点评：本题考查有限制条件的排列组合问题，两种解法显然解法2更简捷. 另外题目要求用数字作答，就不能用32542AA -等形式表示.例3：如图，平面内有三个向量OAu u u r 、 OBuuu r 、OCu u u r ，其中OAu u u r 与OBuuu r 夹角为0120，OA u u u r 与OCu u u r 的夹角为030，且||||1OA OB ==u u u r u u u r，||OC =u u u rOCu u u r=OA OBλμ+u u u r u u u r(,R λμ∈)，则λμ+的值为________.解法1：∵OAu u u r 与OBuuu r 夹角为0120，OA u u u r 与OCu u u r 的夹角为030，∴OCu u u r与OBuuu r 夹角为090，∴OB OC⋅u u u r u u u r =0，即()0OB OA OB λμ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，∴2OB OA OB λμ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，∴102λμ-+=，即2λμ=…………①. O ABC又cos ,||||OA OCOA OC OA OC ⋅<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u ru u u r u u u r u u u ru u u r u u u r1λμ-∴132λμ-=…………② 由①,②解得2,4μλ==. ∴6λμ+=.解法2：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A,1(2B -,∴OCu u u r =OA OBλμ+u u u r u u u r=1()2λμ-， ∴12OA OC λμ⋅=-u u u r u u u r=01cos30⨯=3，则(3,)2OC μ=u u u r .∴2222||3)2OC μ=+=u u u r ，得2μ=±，由图可知μ＞0，则2μ=，4λ=. 故6λμ+=.例4：定义在R 上的函数f(x)，对于任意实数x 都有(3)f x +≤()3f x +和(2)f x +≥()2f x +，且f(1)=1，则f(2011)=________________.解：由f(x+3)≤f(x)+3得：f(2011)≤f(2008)+3,f(2008)≤f(2005)+3,f(2005)≤f(2002)+3,…,f(7)≤f(4)+3,f(4)≤f(1)+3,共进行670次，将上述同向不等式相加可得：f(2011)≤f(1)+3×670，即f(2011)≤2011. 由(2)f x +≥()2f x +得：f(2011)≥f(2009)+2,f(2009)≥f(2007)+2,f(2007)≥f(2005)+2,…,f(5)≥f(3)+2,f(3)≥f(1)+2,共进行1005次，将上述同向不等式相加可得：f(2011)≥f(1)+2×1005，即f(2011)≥2011. 从而f(2011)=2011. 例5：数列{}na 定义如下：1a =1，且当n ≥2时，21n a +(当n 为偶数时) 11n a -(当n 为奇数时)解：由题设易知0na>，又由11a=可得，当n 为偶数时，1na>，所以当n(n ＞1)为奇数时11nn aa -=＜1. ∵32na=＞1，∴n 为偶数，32n a ==21n a+，2112n a=<，∴2n 为奇数，212112n naa -==，1221n a-=>，∴12n -为偶数，212421n n aa --==+，∴24n a -=1.∴214n aa -=，即214n -=，即6n =. 例6：设函数f(x)的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2xD∈，使12()()2f x f x C +=(C 为常数)成立，则称函数f(x)在D 上均值为C ，下列五个函数：①4sin y x =；②3y x =；③lg y x =；④2xy =；⑤21y x =-.则满足其定义域上均值为2的所有函数的序号是_________________.解：对于①，若124sin 4sin 22x x+=，则12sin sin 1x x+=，因为2x 不唯一，①不合题意；对于②，若331222x x +=，则2x=是唯一的，②符合题意；对于③，若12lg lg 22x x +=，则42110x x =是唯一的，③符合题意；na =已知32na =，则正整数n对于④，若122222x x +=，12224x x +=，则2x 可能不存在，④不合题意；对于⑤，若12212122x x-+-=，则213xx =-是唯一的，⑤符合. 故填②③⑤.2. 特例法：当填空题的答案暗示是与变量无关的一个定值时，常可用特例法(特殊值、特殊图形、特殊位置等)迅速求解.例7：如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ， 若AB mAM=u u u r u u u u r，AC nAN=u u u r u u u r ，则m + n 的值为__________.解1：∵O 是BC 的中点，∴1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r =2m AM u u u u r+2n AN u u u r ，∴,,M O N 三点共线，∴122m n+=，得2m n +=. 解2：用特例法. 取M 与B 重合，N 与C 重合，此时m = n =1，得m + n = 2 .点评：本题利用特殊位置迅速得解.3.充分应用已知结论：因为填空题不必写出解答过程，要提高解题速度，可以应用一些典型习题的重要结论或方法，心算、笔算结合，能减少运算步骤，简化计算. 例8：已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()aa a a a a ++++的值等于___________________.分析：在二项式()()nf x ax b =+的展开式中有结论：其展开式各项系数的和为(1)f ；奇数项的系数和为1[(1)(1)]2f f --；偶数项的系数和AB O NCM为1[(1)(1)]2f f +-. 解：分别令x=1、x=-1，得012345aa a a a a +++++=0，0123aa a a -+-+4a -5a =32，由此解得02416aa a ++=，13516a aa ++=-.∴024135()()aa a a a a ++++=-256.例9顶点都在一个球的面上，则此球的体积为_________________. 分析：当一个正n 棱柱各顶点都在球面上，则有结论：正n 棱柱的体对角线即为外接球的直径.解：正六棱柱的外接球的球心在正六棱柱的体对角线的中点上，如图所示.∵11112FC A F ==1F F =∴四边形11F FCC为正方形，∴1FC =∴外接球直径2R =R =∴343V R π==.例10：已知O e 的方程是2220x y +-=，O 'e 的方程是2x +2y -8x +10=0. 由动点P 向O e 和O 'e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是_____________________.分析：有关圆的切线长有结论：若圆方程为220x y Dx Ey F ++++=(2D + 2E4F-＞0)，则由点P(x,y)引圆的切线长为解：设P(x,y) D1得动点P 的轨迹方程为32x =. 4.观察法：通过仔细观察，抓住题设中的隐含条件或特征，挖掘出题目的内在规律进行求解. 例11：已知数列{}na 对于任意,*p q N ∈，有p q p qaa a ++=，若119a =，则36a =______________. 解：令p n =，1q =，则11n n aa a ++=，∴1119n n aa a +-==，所以数列{}na 是等差数列. ∴36136aa ==4.5.图解法：有些填空题涉及的问题可以转化为数与形的结合，数以形而直观，形以数而入微，利用图形往往直观易懂，又可节省时间.例12：已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为______________. 解法1：设双曲线方程为22221x y a b -=，顶点(,0)a ，焦点(,0)c ，渐近线0bx ay +=，则有2==ab c，6=3ce a==. 解法2：如图，A 、F 则||||||||OF FC OA AB =，即632c a ==. 6.等价转化法：通过命题的等价转换，将所给命题转化为熟悉的或容易解决的命题形式. 例13：若函数()f x =R ，则a 的取值范围为____________________.解：函数()f x =的定义域为R ，即222x ax a--≥1对x R ∈恒成立，等价于22xax a--≥0对x R ∈恒成立.∴Δ=2(2)4a a--≤0⇒(1)a a +≤0，∴-1≤a ≤0 .例14：函数|cos ||cos 2|()y x x x R =+∈的最小值是__________________.分析：本题关键在于去掉绝对值符号. 由2cos 22cos 1x x =-=22|cos |1x -，可设|cos |t x =，将原函数转化为关于变量t的函数，最后利用转化的思想将问题转化为关于求解t 的绝对值的函数的最小值问题. 解：令|cos |t x =∈[0,1]，则2|21|y t t =+-.当12t ≤≤时，221y tt =+-=2192()48t +-，得22y ≤≤；当02t ≤<时，221y tt =-++=2192()48t --+，得928y ≤≤.∴y 的最小值是2.训练题1. (1) 把10个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法种数是__________________.(2) 方程x + y + z = 15的非负整数解的个数是_____________.(3) 把10个相同的小球放入三个编号为①、②、③的三个盒子中，要求放入各盒的个数不少于它们的编号数，则共有不同的放法_________________种.2. 给出定义：若1122m x m -<≤+(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =. 在此基础上给出下列关于函数f (x) = | x – {x}|的四个命题：①函数y = f (x)的定义域是R ，值域是1[0,]2；②函数y = f (x)的图像关于直线x =2k (k ∈Z)对称；③函数y = f (x)是周期函数，最小正周期是1；④函数y = f (x)在11[,]22-上是增函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号).3. 定义一种新运算“⊗”如下：当a b ≥时，a b a ⊗=；当a b <时，2a b b ⊗=. 对于函数f (x) = [(–2)x ⊗]2)x x ⋅-⊗,(2,2)x ∈-(“⋅”和“-”仍是通常的乘法和减法). 把f (x)的图像按向量ar 平移后得到g (x)的图像，若g (x)为奇函数，则ar=_______________.4. 在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP = MC ， 则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的______________.ABC D PAB C DAB C DAB C DABCD甲乙丙丁5. 给出下列定义：连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度. 已知平面点集M 由不等式组 2220x x --≤10x y -+≥ 给出，则M 的长度是__________________.0y ≥6. 已知M 是△ABC 内的一点，且AB AC ⋅=u u u r u u u r30BAC ∠=，定义：f (M) = (m , n , p ), 其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若 f (P) =1(,,)2x y ，则14x y+的最小值是_________________.7. 在数列{}na 中，若()111,231n n n a aa n +==+≥，则该数列的通项na =__________.8. 口袋里装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥，现从中随机摸出两个球，若摸出的两个球是同色的概率等于摸出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数有____________个.9. 已知椭圆2211612x y +=的长轴为12A A ，短轴为12B B 。
准、巧、快——高考数学填空题的题型特点与解答策略
方法与技巧Җ㊀山东㊀刘㊀进１㊀题型特点填空题是介于选择题与解答题之间高考数学题的重要题型,是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题．从形式上分为单空题和多(两)空题．对于多(两)空题,两空可以是并列关系也可以是递进关系;从填写的内容上分为定量型和定性型,高考题多以定量型问题出现．这类题型要求考生填写数值㊁数集或数量关系等,结果要求化为最简形式．定性型要求填写具有某种性质的对象或给定对象的某种性质,这类题型往往出现创新性问题,如开放性试题．填空题与选择题虽同属客观性试题,但和选择题有很大的不同．由于填空题不像选择题那样设有备选提示,所以作答时既有不受诱误之利处,又有缺乏提示之不足,对考生独立思考和作答,在能力要求上会高一些．因此填空题的答对率一直低于选择题的答对率．填空题也有别于解答题,填空题只需要填写结果,不需要解答过程,而解答题不仅需要最后的结论,也要有详尽的解答过程和步骤,以免因缺少步骤或跳步而失分．从分值的 性价比 来看,每个填空题５分,而每个解答题的最高分值是１２分,每个填空题的分值大约是解答题最高分值的４０％．从填写结果来看,填空题的结果仅是一个数字㊁字母㊁式子或范围等,而解答题需要 洋洋洒洒 偌大篇幅来写出解答过程和步骤,因而填空题分值 性价比 要远高于解答题．填空题是数学高考命题改革的试验田,往往有创新型的填空题出现．因而填空题是高考数学题中具有较高区分度的题型,是考生的 兵家必争之地 ．高考成也填空题败也填空题,答好填空题对于整份试卷的分值起着至关重要的作用．２㊀解答策略填空题作为 小题 ,作答的原则是 小题不能大做 ;作答的基本策略是准㊁巧㊁快,合情推理㊁优化思路㊁少算多思是快速㊁准确解答填空题的基本要求;解题的基本方法有直接法㊁特殊化法㊁数形结合法㊁整体代换法和化归转化法等．解答填空题时,除了直接法外,对于带有一般性命题的填空题,可以采用特例法．和图形㊁曲线等有关的命题可以考虑数形结合法．有时候常常需要几种方法综合使用,才能迅速求出正确的结果．２．１㊀直接法直接法是解答填空题最基本㊁常用的方法,它是直接从题设条件出发,利用有关性质或结论㊁公式等知识,通过变形㊁推理㊁运算等过程,直接得到结果．在计算过程中,要根据题目的特点灵活处理,注意一些解题规律和技巧,将计算过程简化,这是准确㊁快速解答填空题的关键．例１㊀圆台上㊁下底面的圆周都在一个直径为１０的球面上,其上㊁下底面半径分别为４和５,则该圆台的体积为．㊀㊀图１从题设中的数量关系可以看出,圆台下底面为球的大圆(如图１所示),则圆台的高h ＝５２－４２＝３．故该圆台的体积为V ＝１３πˑ(４２＋５２＋４ˑ５)ˑ３＝６１π．根据题设中数量关系特征,得到 圆台下底面为球的大圆 是快速解答的关键．例２㊀已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝ʃ２x ,写出双曲线C 的一个标准方程:．由y ＝ʃ２x ,得x ʃy ２＝０,双曲线C 的方程为x ２－y ２４＝λ(λʂ０)．不妨取λ＝１,则双曲线C 的一个标准方程x ２－y ２４＝１．本题是结论开放型填空题,答案不唯一,这里利用了双曲线系方程,从而使问题得到快速㊁简捷地解决．２．２㊀特殊化法当填空题的题设条件中含有某些不确定的量,但其结论唯一,或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题设变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数㊁特殊角㊁特殊数列㊁特殊位置㊁特殊点㊁特殊方程㊁特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论．例３㊀若正方形一条对角线所在直线的斜率为７１方法与技巧２,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,．如图２所示,在平面直角坐标系中,不妨设正方形A B C D 的中心O (０,０),A (１,２),B (－２,１),D (２,－１),则k A B ＝１－２－２－１＝１３,k A D ＝－１－２２－１＝－３．图２本题选取了符合题设的正方形做为特殊的一种状态来求解,运用特殊化法处理特别有效．例４㊀如图３所示,在әA B C 中,已知D 是A C边的中点,E 是A B 边与点A 较近的三等分点,B D与C E 交于点M,N 是B C 的中点,若MN ң＝m A B ң＋nA C ң,则m －n 的值为．图３如图４所示,不妨取A B ʅA C ,以A 点为坐标原点㊁A C 所在的直线为x 轴㊁A B 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设A C ＝２a ,B (０,３q ),则A (０,０),C (２a ,０),D (a ,０),E (０,q )．故直线B D 的方程为３q x ＋a y －３a q ＝０,①直线E C 的方程为q x ＋２a y －２a q ＝０．②联立①②,解得x ＝４５a ,y ＝３５q ,所以M (４５a ,３５q )．图４又因为N 是B C 的中点,所以N (a ,３２q ),MN ң＝(１５a ,９１０q )．又因为MN ң＝m A B ң＋nA C ң＝m (０,３q )＋n (２a ,０)＝(２a n ,３qm ),所以１５a ＝２a n ,９１０q ＝３q m ,ìîíïïïï解得m ＝３１０,n ＝１１０,所以m －n ＝１５．本题将图形特殊化处理进行求解,减小了运算量．利用特殊化解答有关填空题具有避免小题大做的优势．２．３㊀数形结合法对于一些具有几何背景的填空题,若能根据题目中的条件,画出符合题设的辅助图形,通过图形的直观性分析㊁判断,即可快速得出正确的结论．例５㊀已知f (x )＝|x －１|＋|x ＋１|－１２|x |,若函数g (x )＝f (x )－b 恰有四个零点,则实数b 的取值范围为．f (x )＝－３２x ,x ɤ－１,２＋１２x ,－１＜x ɤ０,２－１２x ,０＜x ＜１,３２x ,x ȡ１,ìîíïïïïïïïïïï作出函数f (x )的图象,如图所示．图５令g (x )＝０,则f (x )－b ＝０,即f (x )＝b ．因为函数g (x )恰有四个零点,所以结合图５可知３２＜b ＜２．本题通过作出函数的图象,利用数形结合求解．值得注意的是,结果要求的是取值范围,所以最终要填的是区间或集合．若填３２＜b ＜２,则是不能得分的．８１方法与技巧２．４㊀构造法对于构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化计算或推理,使问题得到较为快捷的解决．例６㊀已知实数x １,x ２满足x １e x １＝e３,x ２(l n x ２－２)＝e ５,则x １x ２＝．对x １e x １＝e３两边取自然对数,得l n x １＋x １＝３．①对x ２(l n x ２－２)＝e ５两边取自然对数,得l n x ２＋l n (l n x ２－２)＝５,即l n x ２－２＋l n (l n x ２－２)＝３．②这样方程①②的结构相同．设f (x )＝l n x ＋x ,则f ᶄ(x )＝１x＋１＞０,f (x )在(０,＋ɕ)上单调递增,所以方程f (x )＝３的解只有一个,所以x １＝l n x ２－２,所以x １x ２＝(l n x ２－２)x ２＝e ５．若方程f (a )＝０和f (b )＝０呈现同构特征,则a ,b 为方程f (x )＝０的两个根．本题充分利用指数㊁对数式的互化,将两个方程化为同构形式,然后构造函数,利用导数研究函数单调性进行求解,其中将两个方程化为同构形式是解题的关键所在．例７㊀已知x ȡy ȡ１,且x ＋y ɤ２(１＋z ),则１x＋zy的最小值为．由x ＋y ɤ２(１＋z )得z ȡx ＋y －２２,所以１x ＋z y ȡ１x ＋x ＋y －２２y ＝１２＋x ２y ＋１x －１y＝１２＋x ２y ＋y －x x y ＝１２＋x ２y －１ x －y x yȡ１２＋x ２y －yx －y x y ＝１２＋x ２y －１＋y x ＝－１２＋(x ２y ＋y x )ȡ－１２＋２x ２y y x＝－１２＋２,当且仅当z ＝x ＋y －２２,y ＝１,x ２y ＝y x ,ìîíïïïïïï即x ＝２,y ＝１,z ＝２－１２时,等号成立．故１x ＋z y 的最小值为－１２＋２．本题应用不等式的性质㊁放缩法求解．在不等式变形的基础上,构造基本不等式模型,最终利用基本不等式求得最值．２．５㊀等价转化法等价转化法就是将问题等价转化为熟悉的㊁易于解决的问题,从而得出正确的结果．例８㊀若关于x的不等式a x －b ＜０的解集是(１,＋ɕ),则关于x 的不等式a x ＋b x －２＞０的解集是．根据不等式与相应方程的关系可知,不等式解集的端点就是相应方程的根．因为关于x的不等式a x －b ＜０的解集是(１,＋ɕ),所以１就是方程a x －b ＝０的根,且a ＜０,所以a －b ＝０,即a ＝b ．由a x ＋b x －２＞０,得x ＋１x －２＜０,即等价转化为(x ＋１)(x －２)＜０,解得－１＜x ＜２,故解集为(－１,２)．本题运用两次等价转化,一是将不等式a x －b ＜０解集的端点１转化为方程a x －b ＝０的根,二是将分式不等式x ＋１x －２＜０等价转化为一元二次不等式(x ＋１)(x －２)＜０,充分体现了等价转化方法的运用．３㊀注意事项解答填空题不要求解题过程,从而结论是判断是否正确的唯一标准．因此,解答填空题时要注意如下几个方面．１)认真审题,明确要求,思维严谨㊁缜密,计算有据㊁准确．２)填写结果要书写规范,如分式的分母不含根式,角的单位度与弧度不能混写,特殊角的函数要写出函数值,近似计算要达到精确度要求等．３)填写结果要完整,如函数的解析式要写出定义域,求三角函数的定义域㊁单调区间等,不能漏写k ɪZ ,应用题不要忘记写单位,求轨迹要排除不满足条件的点等．４)填写结果要符合教材要求,如分数书写常用分数线,而不用斜线形式;求不等式的解集㊁求函数定义域㊁值域,结果写成集合或区间形式,不能只用几个数字或式子表示．(作者单位:山东省日照实验高级中学)９１。
高考数学真题填空技巧
高考数学真题填空技巧高考数学是考生们备战高考的重中之重，其中填空题作为数学题型的一种，常常考查考生的逻辑思维和数学运算能力。
因此，掌握填空题的解题技巧显得尤为重要。
下面将介绍几种高考数学真题填空技巧，希望对广大考生有所帮助。
一、理清题意，透彻分析面对高考数学填空题，考生首先要做到的是理清题意，明确题目在问什么。
有些填空题会采用变形、简化的方式出现在试卷中，可能需要考生进行一定的转换思维。
因此，考生在解题前一定要透彻分析题目，确保自己理解准确。
二、巧妙利用选项，缩小范围在填空题解题过程中，考生可以适当利用选项，缩小答案的范围。
通过排除法，可以将一些不可能的选项逐一删除，从而提高猜对的概率。
同时，在解题中也要注意审题，排除无关选项，保持清醒头脑。
三、灵活运用数学技巧，提高效率填空题中，有些题目可能需要考生巧妙地运用一些数学技巧来解答。
比如，利用代数方法、几何知识等，来简化题目，缩短解题时间。
因此，考生在备考时应该熟练掌握各种数学技巧，以便在解题过程中游刃有余。
四、重视基础知识，打牢基础高考数学真题中的填空题往往考查基础的数学知识，如整数性质、几何图形性质等。
因此，考生在备考过程中一定要重视基础知识的学习，打牢基础，才能在解题过程中得心应手。
五、培养逻辑思维，做到严谨细致填空题通常考查考生的逻辑思维能力，因此在解题过程中，考生一定要做到严谨细致。
要养成仔细审题、逐步推理的习惯，确保每一步都严密无误，避免粗心大意导致失分。
总的来说，高考数学真题填空技巧需要考生在备考过程中多加练习，熟练掌握各种解题方法，培养良好的数学思维习惯。
只有在平时的学习中多下功夫，才能在高考考场上游刃有余，取得优异的成绩。
希望以上的填空技巧对广大考生有所帮助，祝愿大家在高考中取得理想的成绩！。
2020高考数学答题方法总结
数学答题策略一时间分配数学答题策略二巧解选择、填空题解选择、填空题的基本原则是“小题不可大做”。
思路:第一,直接从题干出发考虑,探求结果;第二,从题干和选择联合考虑;第三,从选择出发探求满足题干的条件。
解填空题基本方法有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(如特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)。
二、细答解答题1.规范答题很重要，找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。
即使过程比较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。
经常看到考生的卷面出现“会而不对”、“对而不全”的情况，造成考生自己的估分与实际得分相差很多。
尤其是平面几何初步中的“跳步”书写，使考生丢分，所以考生要尽可能把过程写得详尽、准确。
2.分步列式，尽量避免用综合或连等式。
高考评分是分步给分，写出每一个过程对应的式子，只要表达正确都可以得到相应的分数。
有些考生喜欢写出一个综合或连等式，这种方式就不好，因为只要发现综合式中有一处错误，就可能丢过程分。
对于没有得出最后结果的试题，分步列式也可以得到相应的过程分，由此增加得分机会。
3.尽量保证证明过程及计算方法大众化。
解题时，使用通用符号，不易吃亏。
有些考生为图简便使用一些特殊方法，可一旦结果有错，就会影响得分。
数学答题策略三考试准备+解答题分步1.合理安排，保持清醒。
数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。
然后带齐用具，提前半小时到考场。
2.通览全卷，摸透题情。
刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。
这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。
3.解答题规范有序。
一般来说，试题中容易题和中档题占全卷的80%以上，是考生得分的主要来源。
【高考复习】高考数学填空题解题策略
【高考复习】高考数学填空题解题策略高考数学填空题解题策略佚名填空题的基本要求是：快捷，准确，结果稍有问题，便得0分，要求比选择题高，选择题可以根据选项蒙，填空题不可以这样蒙。
填空题题不需要解题过程，切勿小题大做。
因此解填空题就有一些特殊的方法和技巧。
下面就简单介绍一下选择题的解题方法和技巧。
一定义法有些题目考察了数学定义的运用，可选用定义法。
如与圆锥曲线的第二定义，第一定义有关的题目，直接运用定义来解决问题可能更简便。
【例1】（99年全国卷）设椭圆 (a＞b＞0 )的右焦点为F1，右准线为L1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到L1的距离，椭圆的离心率是。
【分析】出现了椭圆一点到焦点和准线的距离的关系，求离心率可考虑用椭圆的第二定义来解。
【解】过F1且垂直于x轴的弦长等于d,则弦长的一半等于，即椭圆上一点到焦点的距离等于，到定直线的距离为d.由椭圆的第二定义可知：离心率为=。
二直接法直接从题设条件出发，选用有关定义、定理、公式等直接进行求解而得出结论。
在求解过程中应注意准确计算，讲究技巧。
这是解填空题最常用的方法。
【例2】（05北京理）已知的值为，的值为。
【分析】告诉半角的正切值，求全角的正切值，可考虑用万能公式。
再求两角和的正切值，可考虑用两角和的正切公式。
【解】（I）因为所以所以【例3】（05北京理）的展开式中的常数项是.（用数字作答）【提示】求二项式中的常数项，自然要考虑用二项式定理写出项的代数式。
第通项公式为，代入求出常数项是哪一项。
【解】对于当时，第5项为常数项,即 . 三特殊值法根据题设条件，选取恰当的特殊值、特殊图形或特殊情况进行处理，从而得出正确的结论。
含字母不等式的比较，用不完全归纳法写出数列的通项，二项式定理中求系数和等，常用特殊值法。
【例4】(2000年高考题)设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n+1）－n a2n＋an +1an＝0 (n＝1、2、3、…)则它的通项公式是an=。
2020高考数学填空题快速解答技巧
。
解： 函数 f ( x) 有意义，有 3a ax x2 0 ，
即 x2 ax 3a 0 在 x [ 2,2] 时恒成立。
设 g(x) x2 ax 3a ，则当 x [ 2, 2] 时， g(x) 0 恒成立。 y
-2 2
19
O
x
依右图抛物线的特征，有 g( 2) 0，
g(2) 0
4 5a 0
得 4 a 0 ，解得 a 4 。
B1
时，有 A1C B1D1（填上你认为正确的一个
A
件
B
即可，不必考虑所有可能性的情形） 。
C1
条
D
C
[ 类比 3] 椭圆 x2 4 y2 4 长轴上一个顶点为
A， 以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角
三角形，该三角形的面积是
。
[ 类比 4] 已知函数 f ( x) x2 2ax b ( x R) ，给出下列命题：
这个定点坐标是 .
解：取 m 1,0 两个值分别代入直线得不同方
C1
A1
y 3 0; x y 1 0 。解得交点坐标为 ( 2,3) 。
程为
B1
16
C ] 如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 E、
F 分别为 AB 、 AC 的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成
体积为 V1,V2 两部分，则 V1 : V2 =
T C130
T
15 。
S 128
[ 类 比 1] 设 { an } 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 ， 且
(n 1)an2 1 nan2 an 1an 0 (n=1,2,3, …),
则它们的通项公式是 an
。
高考数学填空题的答题技巧
高考数学填空题的答题技巧关于高考数学填空题的答题技巧学霸说数学是更容易拉开差距的学科之一，数学往往在很大程度上决定了考生的学习能力。
而同学们经常抱怨，数学考试卷上的填空题是重灾区。
填空题虽然分数小，但是几道题加起来分值就很大。
做不好填空题，那么，同学们也很难拿到高分。
相对于后面难度较大的解答题，填空题是更易拿分的，要想取得数学考试的胜利，一定要攻克数学填空题。
下面是店铺整理的学霸支招：高考数学填空题答题技巧。
数学填空题注重基础知识学霸说数学填空题和后面大题的考察重点是不同的。
学霸认为，填空题侧重考查的是基础知识。
数学基础知识是老师在课堂上强调最多的内容，所以，在做数学填空题之前，一定要全面的复习好这些数学重点知识，对于数学盲点和易错点，一定要反复练习。
数学填空题注重括号内的条件常常有很多数学题目并不是不会做，而是没看清或者没看到括号内的提示语，而导致失误。
学霸认为这是更可惜的情况。
数学填空题后面的`提示语是绝对不可忽略的条件，有时候，它还作为题目更重要的暗示出现，成为解答填空题的突破口。
由于提示语在括号内，学霸强调很多同学选择忽略，这时候，一定要算一算，去不去掉括号对数学题目的答案有没有影响。
如果有改变答案的影响，那么还是谨慎为好。
数学填空题合理分配时间数学填空题不需要详细的解答过程，只需要用更简洁的方案就可以得出数学答案。
学霸提醒，同学们如若采用解答题的方法，通过大量反复的数学计算得出结论。
那么，做数学填空题的效果已经大打折扣，违背了数学填空题考察的目的。
此外，对于数学填空题，根据整体的题目难度，要合理分配好每道题所用的时间，更好更到边做边检查。
在难题上不要花费过多的时间，主要精力放在解决中等难度的题目上。
长学霸相信通过以上的解题策略，能够使得同学们对于数学填空题有更深的了解。
希望同学们在数学的填空题上争取到更多的分数。
高考数学填空题技巧
客观专题二 填空题的解法技巧一、解题策略：快——运算要快，不要“小题大做”；稳——变形要稳，不要操之过急；全——答案要全，不要残缺遗漏；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不要粗心大意（12~15min ）二、解题技巧①直接法 ②特殊法（特例法） ③数形结合法（图解法） ④构造法 ⑤归纳推理法 方法一：直接法例1、（1）在ABC ∆中，4=a ，5=b ，6=c ，则=CA sin 2sin ． （2）设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos ．【解析】方法二：特殊法当已知条件中含有某些不确定的量，但题设条件中提供的信息暗含答案是一个定值时，可将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理．例2、（1）ax e x f x ++=)1ln()(3是偶函数，则=a ．（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等差数列，则=++CA C A cos cos 1cos cos ． （3）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数=m ．（4）O 为ABC ∆内部一点，且032=++OC OB OA ，则=∆∆ABCOAC S S ． 【解析】方法三：数形结合法（图解法）常用于求两点连线的斜率、截距、两点间的距离、向量的夹角等例3、（1）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤--≥+-01||012y x y x ，则9622+-+=x y x z 的取值范围是． （2）直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围是．【解析】方法四：构造法构造新的函数、不等式或数列等新的模型．在立体几何中，补形构造是最常用的解题技巧，如将三棱锥补成特殊的长方体等．例4、（1）若2ln =a ，e b 1=，ππln =c ，则c b a ,,的大小关系为． （2）在四面体ABCD 中，已知5==CD AB ，5==BD AC ，6==BC AD ，则四面体ABCD 的体积为；四面体ABCD 外接球的面积为． 【解析】方法五：归纳推理法例5、（1）观察下列等式112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律，第n 个等式可为．（2）记)(321*N k n S k k k k k ∈++++= ，观察下列等式： n n S 212121+=，n n n S 612131232++=，2344412141n n n S ++=， n n n n S 3013121513454-++=，2456512521Bn n n An S +++=．由此推测=BA ． （3）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列}{n a ，将可被5整除的三角形数按从大到小的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：①2012b 是数列{}n a 中的第项；②=-12k b ．（用k 表示）【解析】三、专题训练1、数列{}n a 满足3133313221+=++++-n a a a a n n ，*N n ∈，则数列{}n a 的前n 项和=n S ．2、设]2,0[π∈x ，则函数)cos 1(sin x x y +=的最大值是．3、定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数1x ，2x ，均有|||)()(|2121x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于函数)1()(≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是．4、已知双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两渐近线的夹角为3π，则其离心率为． 5、如图，正三棱锥BCD A -中，E 、F 分别为BD 、AD 的中点，CF EF ⊥，则直线BD 与平面ACD 所成的角为．6、若2014120141ln-=a ，2015120151ln -=b ，2016120161ln -=c ，则c b a ,,的大小关系为．7、在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ，则=⋅．8、已知等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为．9、)240(cos )120(cos cos 222︒++︒++ααα的值为．10、已知数列{}n a 对于任意*,N q p ∈，有q p q p a a a +=+，若911=a ，则=36a ．11、如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若m =，n =，则n m +的值为．12、观察下列等式：2311=，233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，根据上述规律，则第n 个等式为．13、已知213cos =π，4152cos 5cos =ππ，8173cos 72cos 7cos =πππ，……，根据以上等式，可猜想出的一般结论是．14、设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则xy y x z 22+=的取值范围是． 15、对于任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围是．16、曲线24y x -=与直线0=++b y x 有且只有一个公共点，则b 的取值范围是 ．17、函数|)1ln(|sin 2)2cos(2cos 4)(2+---=x x x x x f π的零点个数为． 18、若点P 在曲线x x y ln =上运动，则点P 到直线012=+-y x 的最短距离为．19、设函数⎪⎩⎪⎨⎧-+=22)(xx x x f 0,0,≥<x x ，若2))((≤a f f ，则实数a 的取值范围是． 20、已知实数y x ,满足122≤+y x ，则|36||42|y x y x --+-+的最大值是．。
高考数学 填空题的解题策略 试题
高考中的填空题的解题策略创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、复习策略填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是数学高考的三种基此题型之一，求解填空题的根本策略是要在“巧解〞二字上下功夫。
在解答问题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完好. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的根本要求，在草纸上少写一点，在头脑里多考虑一点，这可能会加快解的速度. 常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.填空题的类型一般可分为：完形填空题、多项选择填空题、条件与结论开放的填空题.二、典例剖析1．直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、计算得出结论.这是解填空题最常见的，也是最重要的方法，绝大多数的填空题使用该法求解.例1、的展开式中，常数项为____________.解：设常数项为第r＋1项，那么令·23〔－1〕6，即672.答案：672例2、假设函数的图象关于直线对称，那么解：由抛物线的对称轴为,得，而，有.答案：6例3、设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，那么实数m = __________.解：∵，∴.∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴.答案：－2例4、函数在区间上为增函数，那么实数a的取值范围是_______. 解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴.答案：例5、直线(不全为)与圆有公一共点,且公一共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有______________条.解：先考虑时,圆上横、纵坐标均为整数的点有、、，依圆的对称性知,圆上一共有个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有条,过每一点的切线一共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线一共有条.答案：722．特殊化法当填空题的结论唯一或者题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.例6、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.假设a、b、c成等差数列，那么__________。
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2020高考数学必胜秘诀（十二）高考数学填空题的解题策略――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十二、高考数学填空题的解题策略数学填空题在前几年江苏高考中题量一直为4题，从去年开始增加到6题，今年尽管保持不变，仍为6题，但分值增加，由原先的每题4分增加到每题5分，在高考数学试卷中占分达到了20%。
它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形状短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公平、准确等。
依照填空时所填写的内容形式，能够将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，因此高考题中多数是以定量型咨询题显现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
近几年显现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，因此对正确性的要求比解答题更高、更严格，«考试讲明»中对解答填空题提出的差不多要求是〝正确、合理、迅速〞。
为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
〔一〕数学填空题的解题方法 1、直截了当法：直截了当从题设条件动身，利用定义、性质、定理、公式等，通过变形、推理、运算、判定得到结论的，称为直截了当法。
它是解填空题的最差不多、最常用的方法。
使用直截了当法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
例1、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加竞赛。
3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种〔用数字作答〕。
解：三名主力队员的排法有33A 种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有27A 种排法，故共有排法数33A 27A =252种。
例2、102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 。
解：10201019281010210101010(2)(1)(242)(1)x x C x C x C x C x +-=+++⋅⋅⋅+-得展开式中10x 的系数为010C -2104C +=179。
例3、函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，那么实数a 的取值范畴是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
2、专门化法：当填空题条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯独或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，能够将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当专门值〔或专门函数，或专门角，专门数列，图形专门位置，专门点，专门方程，专门模型等〕进行处理，从而得出探求的结论。
如此可大大地简化推理、论证的过程。
例4、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分不为a 、b 、c ，假如a 、b 、c 成等差数列，那么=++CA CA cos cos 1cos cos解法一：取专门值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,那么cosA ＝,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45。
解法二：取专门角A ＝B ＝C ＝600 cosA ＝cosC ＝21,=++C A C A cos cos 1cos cos 45。
例5、假如函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么(1),(2),(4)f f f 的大小关系是。
解：由于(2)(2)f t f t +=-，故知()f x 的对称轴是2x =。
可取专门函数2()(2)f x x =-，即可求得(1)1,(2)0,(4)4f f f ===。
∴(2)(1)(4)f f f <<。
例6、SA ，SB ，SC 两两所成角均为60°，那么平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为。
解：取SA=SB=SC ，那么在正四面体S －ABC 中，易得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为1arccos3。
例7、,m n 是直线，,,αβγ是平面，给出以下命题：①假设,αγβγ⊥⊥，那么α∥β；②假设,n n αβ⊥⊥，那么α∥β；③假设α内不共线的三点到β的距离都相等，那么α∥β；④假设,n m αα⊂⊂≠≠，且n ∥β，m ∥β，那么α∥β；⑤假设,m n 为异面直线，n ⊂≠α，n ∥β，m ⊂≠β,m ∥α，那么α∥β。
那么其中正确的命题是。
〔把你认为正确的命题序号都填上〕解：依题意可取专门模型正方体AC 1〔如图〕，在正方体AC 1中逐一判定各命题，易得正确的命题是②⑤。
3、数形结合法：关于一些含有几何背景的填空题，假设能依照题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判定，那么往往能够简捷地得出正确的结果。
例8、向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，那么|2a －b |的最大值是解：因|2|||2a b ==，故向量2a 和b 所对应的点A 、B 都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2a －b |的几何意义即表示弦AB 的长，故|2a －b |的最大值为4。
例9、假如不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范畴是 。
解：依照不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象〔如图〕，从图上容易得出实数a 的取 值范畴是[)+∞∈,2a 。
例10、设函数 f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx ＋c ．假设当 x ∈〔0，1〕时，f (x )取得极大值；x ∈〔1，2〕时，f (x )取得极小值，那么 b -2a -1的取值范畴是 ．解：f ´(x )＝ x 2＋ax ＋2b ，令f ´(x )＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在〔0，1〕之间，另一根在〔1，2〕之间，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ´(1)<0f ´(0)>0f ´(2)>0，得⎩⎨⎧a +2b +1<0b >0a +b +2>0 ，在aob 坐标系中，作出上述区域如下图，而b -2a -1的几何意义是过两点P(a ，b )与A(1，2)的直线斜率，而P(a ，b )在区域内，由图易知k PA ∈〔14，1〕．4、等价转化法：通过〝化复杂为简单、化生疏为熟悉〞将咨询题等价转化成便于解决的咨询题，从而得到正确的结果。
例11、不等式23+>ax x 的解集为),4(b ，那么=a _______，=b ________。
解：设t x =，那么原不等式可转化为：,0232<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程0232=+-t at 的两根，由此可得：36,81==b a 。
例12、不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，那么实数a 的取值范畴是 。
解：题设条件等价于点〔0，1〕在圆内或圆上，或等价于点〔0，1〕到圆42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。
5、构造法：依照题设条件与结论的专门性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决咨询题的一种方法。
例13、如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥ABCD ，PD=AD ，那么PA 与BD 所成角的度数为 。
解：依照题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA 与BD 所成角为60°。
例14、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，那么只有1个空盒的放法共有 种〔用数字作答〕。
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球。
因此可先将球分成3堆〔一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的〝堆〞〕，然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步运算原理，符合条件的放法有2344144C A =〔种〕。
例15、椭圆 x 29 + y 24=1 的焦点F 1、F 2，点P 是椭圆上动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范畴是aboA (1,2)(－3,1)(－1,0)－2－2ABCDA 1B 1C 1D 1解：构造圆x 2＋y 2＝5，与椭圆 x 29 + y 24 =1 联立求得交点x 02 ＝ 95⇒x 0∈〔－ 355，355〕6、分析法：依照题设条件的特点进行观看、分析，从而得出正确的结论。
例16、如右图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形满足条件 时，有111AC B D ⊥〔填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形〕。
解：因四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，故11A C 为1A C 在面1111A B C D 上的射影，从而要使111AC B D ⊥，只要11B D 与11A C 垂直，故底面四边形1111ABCD 只要满足条件11B D ⊥11A C 即可。
例17、以双曲线2213x y -=的左焦点F ，左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，那么k 的取值范畴是 。
解：左焦点F 为〔－2，0〕，左准线l ：x ＝－32，因椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，故依照椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线3y kx =+与x 轴的交点3(,0)k -，由32k-<- ，得0 ＜ k ＜ 32。
〔二〕减少填空题失分的检验方法1、回忆检验例18、满足条件παπα<≤--=且21cos 的角α的集合为 。
错解：,2134cos ,2132cos-=-=ππ .3432ππα或=∴ 检验：依照题意，答案中的34π不满足条件παπ<≤-，应改为32π-；其次，角α的取值要用集合表示。
故正确答案为}.32,32{ππ-2、赋值检验。
假设答案是无限的、一样性结论时，可给予一个或几个专门值进行检验，以幸免知识性错误。
例19、数列}{n a 的前n 项和为1232++=n n S n ，那么通项公式n a = 。